第一篇：求函數(shù)零點近似解的一種計算方法---二分法教案吳朝暉10月15日

課題：求函數(shù)零點近似解的一種計算方法------二分法 教學目標：

知識與技能――了解二分法是求函數(shù)近似解的常用方法，會用二分法求解具體函數(shù)的近似解，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用，體會程序化解決問題的思想． 過程與方法――用二分法求函數(shù)的近似解，讓學生充分體驗逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用，并為下一步學習算法做準備．

情感、態(tài)度、價值觀――通過探究體驗、展示、交流養(yǎng)成良好的學習品質(zhì)，增強合作意識。通過體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一． 教學重點，難點：

重點――通過用二分法求函數(shù)的近似解，體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識．

難點――恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解． 教學程序與環(huán)節(jié)設(shè)計：

教學過程：

一復(fù)習引入：上節(jié)課咱們學習了函數(shù)的零點，請同學們看 問題1．（1）判斷函數(shù)f(x)=-2x-1是否有零點？

由上節(jié)課求函數(shù)零點的問題可以轉(zhuǎn)化為求方程根的問題，復(fù)習函數(shù)零點：

從數(shù)的角度看：是使f(x)=0的實數(shù)，從形的角度看：是函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標。

（2）不解方程，如何求方程-2x-1=0的一個正的近似解（精確到0.1）？ 問題2 如何求+3x-1=0 的近似解（精確到0.1）？

二、講解新課

問題探究：1不解方程，如何求方程-2x-1=0的一個正的近似解（精確到0.1）？

（１）師生共同探討交流，引出借助函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象，能夠縮小根所在區(qū)間，并根據(jù)f(x)<0,f(3)>0,可得出根所在區(qū)間為(2,3)。

（２）引發(fā)學生思考，如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間

（３）共同探討各種方法，引導(dǎo)學生探尋出通過不斷對分區(qū)間，將有助于問題的解決。（４）用圖例演示根所在區(qū)間不斷被縮小的過程，加深學生對上述方法的理解。2．讓學生簡述上述求方程近似解的過程，【設(shè)計意圖】：通過自己的語言表達，有助于學生對概念、方法的理解

二分法：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

三、實踐探究

如何求函數(shù)f(x)=x3+3x-1的一個近似解(精確到 0.1)【討論】若精確到0.1，算幾次就可以了？若精確到0.01呢？ 【設(shè)計意圖】：

由例１學生容易聯(lián)想到用上節(jié)課函數(shù)與方程的知識解決，目的在于分解難點，為問題2作鋪墊；而問題2題是初始區(qū)間未給定，需要自己找。通過學生自主探究，來體會、歸納出確定初始區(qū)間的一般方法：估算或利用圖象（函數(shù)與方程的思想）。

（四）理解領(lǐng)悟，總結(jié)提煉

思考：是否所有的零點都可以用二分法來求其近似值？ 教師有針對性的提出問題，引導(dǎo)學生回答，學生討論，交流.反思二分法的特點，進一步明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點，指出它只是求函數(shù)零點近似值的“一種”方法.利用二分法求方程近似解的過程，可以簡約地用下圖表示． 五【鞏固反饋】

1、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（）.[設(shè)計意圖]讓學生明確二分法的適用范圍.2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在∈(1,2)內(nèi)零點近似值的過程中得到，,在某個區(qū)間上一定有零點的是（）

(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5）

(C)（1.5,2）(D)不能確定 【設(shè)計意圖】讓學生進一步明確縮小零點所在范圍的方法.３在一個風雨交加的夜里,從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障,這是一條10km長的線路,每隔50m有一根電線桿,維修工人需爬上電線桿測試.如何可以盡快找到故障接點？

【設(shè)計意圖】數(shù)學來源于生活又服務(wù)于生活

六、課堂小結(jié)，回顧反思

學生歸納，互相補充，老師總結(jié)： 理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點近似值，但要保證該函數(shù)在零點所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷；二分法是一種求一元方程的近似解的常用方法。用二分法求方程的近似解的步驟.二分法求方程的近似解的步驟：體現(xiàn)了程序化的思想即算法思想。歸納總結(jié)

【設(shè)計意圖】幫助學生梳理知識,形成完整的知識結(jié)構(gòu).同時讓學生知道理解二分法定義是關(guān)鍵，掌握二分法解題的步驟是前提，實際應(yīng)用是深化.七、課外作業(yè)

1．[書面作業(yè)]海淀三新p38

第二篇：“用二分法求方程的近似解”教案

“用二分法求方程的近似解”教案

一、教學目標

1．讓學生掌握二分法，并能利用計算器或計算機用二分法求方程的近似解； 2．培養(yǎng)和加強函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用．

二、教學重點

通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)的觀點處理問題的意識．

三、教學難點

１．理解方程實根的本質(zhì)及幾何意義； ２．對方程近似解精確度的把握．

四、教具

以幾何畫板課件為主．

五、教學過程

１．問題情境（旨在引導(dǎo)學生感知尋求新方法解方程之必要性——為什么）

【問題１】求方程x?3x?3x?1?0的實根． 【解析】由配方可得(x?1)?0，所以x?1． 【問題２】解方程x?1.1x?0.9x?1.4?0．

教師：方程左邊無法配方，所以我們暫時還無法解此方程．以前數(shù)學家也有像解一元二次方程那樣去尋找一元三次方程的求根公式，但因其推導(dǎo)過程比較復(fù)雜且公式不易記憶，所以中學課本

圖1

一般都不作介紹．當然，我們現(xiàn)在可以利用幾何畫板來求解．在幾何畫板上繪出函數(shù)

32332x3?1.1x2?0.9x?1.4?0的圖象，在圖象上選取一個點并度量其橫坐標以及縱坐標．當移動該點時，函數(shù)值就會相應(yīng)地改變．當函數(shù)值為0或接近0時，這個橫坐標的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（見圖1）．

學生：這方法簡單，又易操作，很好！

教師：此法雖簡單，但其精度無法估算．能否尋找一種比較通用的、特別是可以利用程序讓計算機自動求解的其它方法呢？

【問題３】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，魯國人．中國春秋末期偉大的思想家和教育家，儒家學派的創(chuàng)始人．全世界300萬姓孔的人都可能被認為是孔子的后代．孔子的族人傳承2550年至今，已繁衍有82代．假設(shè)三代同堂的話，那么一個父母每個世代平均繁衍的數(shù)量是多少？

【解析】設(shè)一個父母每代平均繁衍的數(shù)量為x個，則x79?x80?x81?3000000．此方程現(xiàn)在我們也無法解．類

似地，我們用幾何畫板先繪出函數(shù)y?x79?x80?x81的圖

圖2 象，然后利用度量功能，估算出當函數(shù)值等于或接近3000000時方程的近似解x?1.18836（見圖2）．由于指數(shù)太大，曲線幾乎是垂直上升，所以操作起來很不方便．為了使移動點更方便些，也可把點選在x軸上，而不是在曲線上，然后再計算其函數(shù)值．

一般地，高于4次的一元高次方程就不再有求根公式可尋了，（有興趣的學生可以自己去閱讀有關(guān)高次方程解的書籍或上網(wǎng)查找相關(guān)的網(wǎng)頁）這就更加使得尋找一種新的求解方程方法的必要．（利用二分法解此方程，可得x?1.1883個）

２．新課引入（旨在引導(dǎo)學生怎樣尋求一種恰當?shù)姆椒ā趺礃樱締栴}１】人們常說“天下烏鴉一般黑”，如果有人對此有懷疑，想要否定它，他該如何做？

教師：當結(jié)論只有成立或不成立兩種情形時，可用反證法．譬如，我們找到了一只或幾只（換句話說就是至少有一只）白烏鴉，那么就可以否定“天下烏鴉一般黑”．

【問題２】當電燈不亮的時候，若要尋找原因，我們是如何做的？ 教師：我們一般會檢查電燈或開關(guān)是否壞了，抑或是保險絲燒了、外部線路壞了，等等．如果是外部線路壞了，而線路又很長（譬如幾千米甚至幾十千米以上），我們要進一步確定線路究竟壞在那里時，一般有經(jīng)驗的電工總是先根據(jù)停電的范圍來確定斷路的可能區(qū)間，再采用對分法來逐段排除，從而很快地找到線路究竟壞在何處．這種方法叫做分類歸繆法．

引導(dǎo)：解決問題的途徑一般有兩種，一是從已知條件→結(jié)論（演繹推理），二是從問題的結(jié)論→已知信息→與已知條件矛盾．后一種方法又常采用歸繆法，它又可細分為：（１）反證法．當結(jié)論只有成立或不成立兩種情形時．譬如，我們要說明平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系——平行或相交時，即可用反證法．譬如，兩直線不相交，它們就必平行；反之，如果它們不平行，它們就必相交．（２）選擇法．供選擇的結(jié)論不多．

【例】下列那一項是三次方程x?4x?7x?10?0的解？

A．－

2B．－

5C．

4D．3

（３）分類歸繆法．供選擇的結(jié)論很多．譬如，要證明有關(guān)三角形的某個定理，我們并不是對每個三角形進行論證的，而是分別從銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形等三種情形加以證明．

思考：分類歸繆法與方程的解有關(guān)系嗎？（類比法難在要找出似乎毫無關(guān)聯(lián)的兩類事物之間的相同之處）

引導(dǎo)：從前一節(jié)我們了解了方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，事實上，零點就是對應(yīng)方程的實根，它是方程的精確解．但在實際問題中，這個解一般不易求出，在應(yīng)用上，我們更多地是求滿足一定精確度的近似解．很顯然，要找到零點，就像電工師傅一樣，可用分類歸繆法來尋找，即在一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，若兩端點處的函數(shù)值同號，那么區(qū)間內(nèi)對應(yīng)方程必定無實根；反之，若兩端點處的函數(shù)值異號，那么區(qū)間內(nèi)對應(yīng)方程必定有一實根（為方便起見，一般取其中點作為近似解）．通過逐個排除，從而逐漸縮小區(qū)間的范圍，直到找出滿足精確度的近似解．為了便于計算機計算，在求方程的近似解時，可采用二分法．（其實，如果我們借助幾何畫板尋找零點時就不一定要用二分法）

３．新課（怎么做）

讓學生陳述課前預(yù)習時所掌握的二分法的原理以及解題步驟．教師在黑板上作紀錄，并

逐步補充完整．

注意：（１）從幾何上看，求方程的解其實是找相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點或兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標，而二分法并不是直接尋找交點，而是尋找函數(shù)值變號的一個盡可能小的區(qū)間中的某個值；

（２）求方程的近似解時，精確解（m）是未知的．當相鄰兩個近似解滿足|xi?1?xi|??(i?N*)時，由f(xi?1)?f(xi)?0，說明精確解介于xi?1和xi之間，故有|xi?1?m|??(i?N*)或|xi?m|??(i?N*)，所以xi?1和xi都已滿足精確度，均可作為近似解．所以通過比較相鄰兩個的近似解可以確定精確度；

（３）如果方程有整數(shù)解，那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同樣地，如果方程有重根，即相應(yīng)函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值不變號，曲線與x軸相切時，這個解也可能求不出．

【例１】用二分法求方程x?1.1x?0.9x?1.4?0在0與1之間的實根的近似值，使誤差不超過0.001．

為方便起見，可借助幾何畫板的計算功能進行演示（見圖3）．

操作過程：①根據(jù)精確度要求，通過參數(shù)選項選擇精確度（如萬分之一）； ②繪制函數(shù)圖象；

③利用函數(shù)計算函數(shù)值，同時計算區(qū)間中點的值； ④計算誤差，并確定近似解． 由計算可知，此方程的近似解為x?0.670或x?0.671．（事實上，從函數(shù)值來看，x?0.671會更精確些．顯然，要得到一個比較精確的值，其計算次數(shù)是比較大的．（說明其收斂速度慢，所以在實際應(yīng)用中比較少用）

練習：

（１）求方程

lnx?2x?6?0的近似解，使誤差不超過0.01．

（為了減少計算量，可先作出函數(shù)y?lnx和y??2x?6的圖象，確定其交點橫坐標的大概值．

圖3 練習時，可讓同桌同學合作，一個計算，另一個紀錄）

（２）借助計算器用二分法求方程2?3x?7的近似解（精確度0.1）． ４．拓展探究（從幾何畫板方面）

【例２】利用幾何畫板求方程2?3x?7的近似解（精確度0.0001）．

【解析】幾何畫板中用解析式繪制的函數(shù)圖象與坐標軸不能構(gòu)造交點，但利用不是用解析式繪制的圖形，那是可以構(gòu)造交點并度量其坐標的．既然是求方程的近似解，所以我們可

xx32

以在零點附近構(gòu)造一條線段（弦），然后構(gòu)造弦與x軸的交點并度量其橫坐標．接著，一端固定（此點的選擇與函數(shù)的單調(diào)性以及凹性有關(guān)，如此題的A點），另一端在曲線上找一點（其橫坐標等于交點的橫坐標），兩端點連成新的弦，再構(gòu)造交點，依次進行下去，直到求出滿足精確度的近似解為止（見圖4）．顯然，x?1.4332滿足要求．

５．課堂小結(jié)

（１）二分法是分類歸謬法的一種具體表現(xiàn)形式（體現(xiàn)方法的通性）；

（２）引導(dǎo)學生回顧二分法，明確它是一種求一元方程近似解的通法（僅適用于單調(diào)區(qū)間上端點函數(shù)值異號的情形）；

（３）利用估值或根據(jù)函數(shù)圖象（簡圖）確定初始區(qū)間；

（４）近似解精確度的估算：|xi?1?xi|??(i?N*)；

圖4（５）揭示算法定義，了解算法特點．

算法定義：算法一般是指求解某個問題的長度有限的指令序列，每條指令都是確定的、簡單的，機械的，可執(zhí)行的．對于任一屬于這個問題的實例的有效輸入，應(yīng)在有限步（一步執(zhí)行一條指令）內(nèi)給出結(jié)果（輸出），并中止．算法語言就是比較高級的程序設(shè)計自動化語言，它與數(shù)學公式非常接近而與計算機的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)無關(guān)．

用二分法求方程的近似解，由于計算量較大，而且都是程式化的步驟，因此二分法可以利用計算機程序，借助計算機解題．

６．布置課外作業(yè)（１）精選課本上的習題；

（２）收集并閱讀有關(guān)資料，寫一篇古今中外數(shù)學家關(guān)于方程求解問題探索歷程的文章．

報名表

第三篇：“用二分法求方程的近似解(一)”教案說明.

“用二分法求方程的近似解(一”教案說明 山東臨沂市郯城美澳學校楊明

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學1必修本(A版》3.1.2用二分法求方程的近似解(下面簡稱‘二分法’,為更好地把握這一課時內(nèi)容,對本課時教案給予以下說明.一、授課內(nèi)容的數(shù)學本質(zhì)

本課時的主要任務(wù)是結(jié)合3.1.1中的例1,介紹二分法的基本操作思路,在此基礎(chǔ)上又從算法思想的角度歸納了二分法的一般操作步驟,并使學生嘗試用二分法按給定的精確度、借助計算器或計算機等,求一個具體方程的近似解.借以體驗從具體到一般的認識過程,滲透運動變化(逐步逼近和極限思想(無限逼近,初步體會“近似是普遍的、絕對的,精確則是特殊的、相對的”辯證唯物主義觀點,樹立追求真理、崇尚科學的信念.函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一,又是初等數(shù)學和高等數(shù)學的銜接的樞紐,其實質(zhì)是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關(guān)系,因而函數(shù)與方程思想的教學,有著不可替代的重要位置。二分法的設(shè)置是通過研究函數(shù)的某些性質(zhì),把函數(shù)的零點與方程的解等同起來,加強了函數(shù)與方程的聯(lián)系,突出函數(shù)的應(yīng)用,這又是本節(jié)課要滲透的一個數(shù)學思想

所以本節(jié)課的本質(zhì)是向?qū)W生滲透函數(shù)與方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地處理問題的算法思想。

二、教學目標定位

本節(jié)課在教學內(nèi)容上銜接了上節(jié)函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系,學生在學習了上一節(jié)的內(nèi)容后,已初步理解了函數(shù)圖象與方程的根之間的關(guān)系,具有一定的數(shù)形結(jié)合思想,這為理解函數(shù)零點附近的函數(shù)值符號提供了直觀認識。但學生對于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系的認識還比較薄弱,對于函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用、計算機的使用

尚不夠熟練,這些都給學生在聯(lián)系函數(shù)與方程、發(fā)現(xiàn)函數(shù)值逼近函數(shù)零點時造成了一定的困難。

所以根據(jù)教材的要求,學生的實際情況,我將本課的教學目標設(shè)定如下:知識與技能――通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,會用二分法求解具體方程的近似解,從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用,體會程序化解決問題的思想.過程與方法――借助計算器求二分法求方程的近似解,讓學生充分體驗近似的思想、逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用,并為下一步學習算法做準備.情感、態(tài)度、價值觀――通過探究體驗、展示、交流養(yǎng)成良好的學習品質(zhì),增強合作意識。通過體會數(shù)學逼近過程,感受精確與近似的相對統(tǒng)一.三、本課內(nèi)容的承前啟后、地位作用

“二分法”所涉及的主要是函數(shù)知識,其理論依據(jù)是“函數(shù)零點的存在性(定理”,本課“承前”是上節(jié)學習內(nèi)容《方程的根與函數(shù)的零點》的自然延伸。

算法作為一種計算機時代最重要的數(shù)學思想方法,將作為新課程新增的內(nèi)容安排在數(shù)學必修3中進行教學,“二分法”是數(shù)學必修3教學的一個前奏和準備,“啟后”是滲透近似思想、逼近思想和算法思想的重要內(nèi)容。

四、與其他知識、其他學科的聯(lián)系及應(yīng)用

“二分法”不僅是求一元方程近似解的常用方法,利用“二分法”還可以幫助我們解決不等式、一元二次方程根的分布及最值等一些相關(guān)的問題。它與“優(yōu)選法”也有本質(zhì)聯(lián)系。在物理學、邏輯學、統(tǒng)計學、計算機等學科及生活實踐中只要是與查找有關(guān),都能體現(xiàn)到它的重要作用,如查找線路、水管、氣管等管道線路故障及實驗設(shè)計、資料查詢等.五、教學診斷分析

“二分法”的思想方法簡單易懂,所需的數(shù)學知識較少,算法流程比較簡潔,又利用計算器和多媒體輔助教學,直觀明了,學生也在生活中有相關(guān)體驗,所以易于被學生理解和掌握。但“二分法”不能用于求方程偶次重根的近似解、精確度概念與區(qū)間長度既有區(qū)別又有聯(lián)系,這些都容易被誤解誤算。

六、教學方法和特點

本節(jié)課采用的是問題導(dǎo)學、數(shù)學探究的教學方式:通過問題引導(dǎo)、師生互動,并輔以多媒體教學手段,創(chuàng)設(shè)問題情景,學生自主探究二分法的原理與步驟。

本節(jié)課主要表現(xiàn)在以下幾方面特點:

1、教學方式體現(xiàn)了以學生為主的教學理念。

2、創(chuàng)設(shè)貼近學生生活的情境,激發(fā)興趣,讓學生在活動中體會數(shù)學思想 本節(jié)課開始,老師從學生猜商品價格及解決實際問題中引出課題,通過這樣來創(chuàng)設(shè)情境,不僅對學生產(chǎn)生很強的吸引力,學生也在猜測的過程中體會二分法思想。

3、重視合作交流,重視探究過程

本節(jié)課中的每一個問題都是在師生交流中產(chǎn)生,在學生合作探究中解決,使學生經(jīng)歷了完整的學習過程,培養(yǎng)了學生思維能力。

4、恰當?shù)乩眯畔⒓夹g(shù),幫助學生探究數(shù)學本質(zhì)

本節(jié)課中利用計算器進行了多次計算,逐步縮小實數(shù)解所在范圍,精確度的確定就顯得非常自然,突破了教學上的難點,提高了探究活動的有效性。借助《幾何畫板》動態(tài)顯示這個實數(shù)解的范圍逐步縮小的過程,直觀逼真,有利于學生觀察函數(shù)零點的大致范圍。整個課件都以PowerPoint為制作平臺,界畫活潑,充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學課程的有機整合。

七、預(yù)期效果分析

有函數(shù)與方程的知識作基礎(chǔ),通過本節(jié)課探究討論,使學生主動參與數(shù)學實踐活動,又采用多媒體技術(shù),大容量信息的呈現(xiàn)和生動形象的演示,一定能提高學生學習興趣、激活學生思維、加深知識理解,掌握二分法的本質(zhì),完成教學目標。

但可能有部分學生易受課堂上活動和討論而分散注意力,從而影響其對知識的更深層的理解和掌握,因此,在教學時,要注意組織和協(xié)調(diào)。另外盡管使用了科學計算器,求一個方程的解也是很費時的,學生容易出現(xiàn)計算錯誤和產(chǎn)生急躁情緒。