第一篇：高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 兩條異面直線所成的角和講解

高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 兩條異面直線所成的角和距離教案

教學目標

1．運用類比推理，理解引入有關概念的必要性、重要性；

2．理解、掌握有關概念的定義，并會初步應用有關概念的定義來解題． 教學重點和難點

這節(jié)課的重點與難點都是異面直線所成的角和距離這兩個概念的引入，和使學生真正地理解、掌握這兩個概念．

教學設計過程

一、引入有關概念的必要性

師：我們都知道空間的兩直線的位置關系有三種：相交、平行、異面．這只是“定性”來研究對象，當我們要“定量”來研究對象時就必需要引入一些有關的新概念．

（這時教師拿出兩根小棍做平行直線演示并說）

例如a∥b，c∥d（如圖1），雖然它們都是平行直線，但是它們之間有什么區(qū)別呢？

生：雖然它們都是平行直線，但是它們的之間的距離不同．

師：對，為了區(qū)別都是平行直線的不同情況，也就是說為了“定量”的研究平行直線，就必須引入有關“距離”這個概念．

（這時教師又拿出兩根小棍做相交直線，并且使其角度各有不同，并說）

師：又例如a與b是相交直線，c與d也是相交直線（如圖2）．雖然它們都是相交直線，但是它們之間有什么區(qū)別呢？

生：雖然它們都是相交直線，但是它們的夾角大小不同．

師：對，為了區(qū)別兩相交直線的不同情況，也就是說為了“定量”的研究相交直線就必須引入有關“角”的概念．

（這時教師又拿出兩根小棍做異面直線狀，并變動其距離的大小演示給學生看，讓其觀察后，得出相應的結論）

師：直線a，b是異面直線，直線c，d也是異面直線，它們之間有什么不同？ 生：雖然它們都是異面直線，但是它們之間的距離不同．

（這時教師又拿出兩根小棍做異面直線狀，并變動其所成角的大小演示給學生看，讓其觀察后，得出相應的結論）

師：直線a，b是異面直線，直線c，d也是異面直線，它們之間有什么不同？ 生：雖然它們都是異面直線，但是它們之間所成的角大小不同．

師：對，通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)為了“定量”的研究異面直線，必須引入異面直線所成的角和異面直線的距離這兩個概念．下面我們先來研究異面直線所成的角這個概念的定義．

二、異面直線所成的角的定義

（教師拿出兩根小棍做異面直線狀，演示給學生看，使其觀察如何給異面直線所成的角下定義）師：我們來看這模型，怎樣給異面直線a、b所成的角下定義？

生：可以把直線a平移與b相交，這時由a平移而得的a′與b相交所成的角，就可以定義為異面直線a與b所成的角．

師：對，但是為了使這個定義更有一般性，我們給異面直線所成的角做如下的定義． 定義 直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．（如圖3）

師：由定義來看，O是空間中任意一點，當然我也可以在空間任意取一點O1，過O1分別引a1∥a，b1∥b，那么這時a1和b1所成的銳角與a′和b′所成的銳角是否相等呢？

生：相等，因為有等角定理的推論“如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等”．因為a′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推論．

師：對，我們在上兩節(jié)課講的公理4和等角定理，在某種意義來說都是為給異面直線所成的角下定義做理論上的準備，正因為角的大小與O點的選擇無關，所以為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上，所以你們一開始給異面直線所成的角下的定義是對的．

師：我們如何給兩條異面直線互相垂直下定義呢？

生：如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直． 師：設兩條異面直線所成的角為θ，問θ角的取值范圍？ 生：θ∈（0°，90°]，半開、半閉區(qū)間． 師：θ角能否等于0°．

生：不能，因為當θ=0°時，異面直線就轉化為平行直線．

師：對，θ≠0°，否則，量變就轉化為質變，異面直線就轉化為平行直線了．至于異面直線所成的角規(guī)定為銳角或直角，則是為了所成的角是唯一確定的．

三、練習

例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求：

（1）A1B與CC1所成的角是多少度？為什么？（2）A1B1與CC1所成的角是多少度？為什么？（3）A1C1與BC所成的角是多少度？為什么？（4）在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱B1B 垂直的棱有幾條？（如圖4）

師：請你們依次回答上述的四個問題．

生：（1）因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，CC1∥BB1，所以A1B與CC1所成的角為∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B與CC1所成的角為45°．

師：請回答第（2）問．

生：因為CC1∥BB1，所以A1B1與CC1所成的角為∠BB1A1，而∠BB1A1=90°，所以A1B1與CC1所成的角為90°．

師：請回答第（3）問．

生：因為BC∥B1C1，所以A1C1與BC所成的角就是∠B1C1A1，而∠B1C1A1=45°，所以A1C1與BC所成的角為45°．

師：請回答第（4）問． 生：與棱B1B垂直的棱有8條．

師：有哪幾條是與B1B相交垂直？有哪幾條是與B1B異面垂直？

生：與B1B相交垂直的棱有4條，為AB，A1B1，BC，B1C1；與B1B異面垂直的棱也有4條，為AD，A1D1，CD，C1D1．

師：對．這里我們需要指出，在立體幾何中．“垂直”、“相交垂直”、“異面垂直”這三個不同概念的聯(lián)系和區(qū)別．以后我們講兩直線垂直，則是指這兩直線可能是相交垂直，也可能是兩直線異面垂直．這里我們要破除在平面幾何中形成的思維定式，就是一說兩直線垂直就是指兩直線相交垂直．而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“異面垂直”．

四、異面直線的距離的定義 師：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？（同時拿出兩根小棍做為異面直線a，b，再拿出一根小棍c擺出與a、b都垂直狀，而小棍c在保持與a、b都垂直的情況下可平行移動，用這樣的模型讓學生觀察，再讓學生回答）

生：有無數(shù)條．

師：對．現(xiàn)在再問與這兩條異面直線都相交垂直的直線有幾條？ 生：只有一條．

師：對，由對模型的觀察我們知道和兩條異面直線都相交垂直的直線有而且只有一條，現(xiàn)在可以給出下面兩個定義．

定義

和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線．

定義

兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離． 要注意這兩個定義之間的聯(lián)系與區(qū)別，公垂線是一條直線，這直線在這兩條異面直線間（兩垂足間）的線段的長度是這兩條異面直線的距離．

五、練習

例

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）異面直線A1A與BC的距離；（2）異面直線A1A與C1D1的距離；

（3）異面直線A1B1與BC的距離．（如圖5）

師：在第（1）問中A1A與BC的距離等于多少？為什么？

生：因為ABCD－A1B1C1D1是長方體，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的長度就是異面直線A1A與BC的距離，因為AB=4cm，所以A1A與BC的距離為4cm．

師：在第（2）間中，A1A與C1D1的距離等于多少？為什么？

生：因為A1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的長度就是異面直線A1A與C1D1的距離，因為A1D1=BC=3cm，所以A1A與C1D1的距離為3cm．

師：在第（3）問中，A1B1與BC的距離等于多少？為什么． 生：因為B1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的長度就是異面直線A1B1與BC的距離，因為B1B=2cm，所以A1B1與BC的距離等于2cm．

師：現(xiàn)在你們自己看課本第15頁到第16頁的例，看完后你們自己來講．可根據(jù)課本來回答． 例 設圖6中的正方體的棱長為a．

（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線？（2）求直線BA′和CC′所成的角的大??；（3）求異面直線BC和AA′的距離．

（可根據(jù)課堂情況靈活掌握讓學生看3～5分鐘后，叫學生回答）師：現(xiàn)在你們先回答第（1）問．

生：因為A′平面B′BCC′，而點B、直線CC′都在平面B′BCC′內，且B CC′．所以直線BA′與CC′是異面直線．

同理，直線C′D′，D′D，DC，AD，B′C′都和直線BA′成異面直線． 師：剛才回答是正確的，但它們的理論根據(jù)是什么呢？

生：是根據(jù)課本第10頁例，過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線．

師；對，過去我們已經(jīng)講過，課本第10頁上的例，應該明確把它“升格”為定理．這定理有的書上叫它為異面直線存在定理，有的書上把它叫做異面直線判定定理．以后，我們叫這定理為異面直線判定定理．過去我們還小結過，證明兩條直線是異面直線的方法有兩個，是哪兩個方法．

生：一是用反證法，二是用異面直線的判定定理． 師：現(xiàn)在回答第（2）問．

生：因為C′C∥BB′，所以BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角．因為∠A′BB′=45°，所以BA′和CC′所成的角是45°． 師：現(xiàn)在回答第（3）問．

生：因為AB⊥AA′于A，AB⊥BC于B．所以AB是BC和AA′的公垂線段，因為AB=a，所以BC和AA′的距離是a．

師：今天我們講了兩個很重要的概念，兩條異面直線所成的角和距離，我們一定要很好的理解、掌握這兩個概念并能應用它們來解有關的題．

作業(yè)

課本第17頁，第9，10兩題． 補充題

1．正方體12條棱中，組成異面直線的對數(shù)是多少？[24] 2．空間四邊形的對角線互相垂直，順次連結這個四邊形各邊的中點，所得的四邊形是矩形，試證明．[提示：證有一個角是直角的平行四邊形是矩形] 3．空間四邊形ABCD，AB，BC，CD的中點分別是P，Q和R，[90°] 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，CD和CC1的中點，求異面直線EF和GH所成的角是多少度？[60°] 課堂教學設計說明

1．為了使學生理解引入異面直線所成的角和距離這兩個概念的必要，一定要運用類比推理的思想，從平面幾何為了區(qū)別不同的平行直線要有距離的概念，為了區(qū)別不同的相交直線要有角的概念．這樣為了區(qū)別不同的異面直線要引入異面直線所成的角和距離就是很自然很合理的了． 一定要使學生觀察模型，使他們理解兩異面直線所成角的概念的定義合理性．并且要求自己給出這個定義．

一定要使學生理解垂直、相交垂直、異面垂直這三個相互聯(lián)系又相互區(qū)別的三個概念，使學生理解與兩異面直線都相交垂直的直線有且只有一條，從而給異面直線的距離下定義做準備． 這節(jié)課引入兩個新概念要用較多的時間，所以應用這兩個概念的練習要很簡單、很基本，使學生一看就會，目的是加深對概念的理解．

2．在立體幾何第一章的教學中要有四個“高潮”（也可借用音樂中的一個術語，就是要有四個華彩樂段）．第一個“高潮”是在講了異面直線所成的角和距離以后；第二個“高潮”是在講了三垂線定理及其逆定理以后；第三個“高潮”是在講了二面角及其平面角以后；第四個“高潮”是在講了兩平面垂直的定義．判定和性質以后． 所謂“高潮”是指在這一階段教學中，要選較多、較全的題型，要多講幾次練習課，學生要多做些題，使學生能通過這一階段的教學在解題的能力上有較大的提高，也就是說在邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等躍上一個新的臺階或者說達到一個新的層面．所以在講了異面直線所成的角和距離這節(jié)課后，還應安排兩次練習題．為了節(jié)省篇幅，我們把第一節(jié)練習課的提綱寫在下面．

3．第一節(jié)練習課提綱

例1 在正方體ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1與B1B所成的角是多少度？（45°）

（2）問與AD1異面，且所成的角是45°的正方體的棱有哪幾條？（4條即為B1B，C1C，B1C1，BC）（3）問AD1與B1C所成的角是多少度？（90°）

（4）如果M，N分別是B1C1，C1C的中點，問MN與AD1所成的角是多少度？（90°）

由第（4）問這個特殊的題，用一般化的方法得出定理：一直線垂直于平行直線中的一條，也垂直于另一條．

例2 在正方體ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1與A1C1所成的角的度數(shù)？（△D1AC為等邊三角形，∠D1AC=60°）

（2）如果M，N分別為A1B1，B1C1的中點，求MN與BC1所成的角的度數(shù)？（60°）

（3）如果P，Q分別是A1A，A1D1的中點，求PQ與MN所成的角的度數(shù)？（60°）

例3 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2．求：（1）AB與A1C1所成的角的正切？

（2）A1A與BC1所成的角的正弦？

（3）A1C1與AD1所成的角的余弦？

這叫余弦定理，我們補充的定理．詳見代數(shù)課本第239頁二 解斜三角形中的3．5余弦定理． 在講完這三個例題后，可做如下總結． 小結

（1）以概念為指導作出異面直線所成的角；

（2）找出這個角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解這個三角形，求出所要求的角．

在求異面直線所成的角的三個步驟中，關鍵是第（1）步，即把空間角（異面直線所成的角）轉化為平面角，把解立體幾何中的問題化歸為解平面幾何中的問題．

這節(jié)課可留如下作業(yè)．（1）重做課堂練習中的例3．

（2）看代數(shù)課本第239～242頁．余弦定理只要求記住定理和用法，定理證明過程可略．（3）做代數(shù)課本中第243頁練習1（1）（2）（3）（4）．

以上就是講完異面直線所成的角和距離后第一節(jié)練習課的講課提綱．在這節(jié)課中我們補充了余弦定理．在講立體幾何第一章中要不要提前補充余弦定理．在什么時候補充余弦定理，下面就談一下自己在教學實踐中的想法． 4．對補充余弦定理想法

余弦定理本來是初中的教材，在立體幾何第一章的教學中不存在補充的問題．現(xiàn)在的教材把余弦定理放在高一的下半學期才講，這就出現(xiàn)了在立體幾何第一章的教學中要不要補充余弦定理的問題．

從理論上來說，求異面直線所成角的問題都要歸結到解三角形的問題．而解直角三角形的問題一般來說都比較簡單，達不到提高學生解題能力的目的．而要解斜三角形，一般來說就要用到余弦定理，所以余弦定理是我們在解立體幾何有關問題時思維鏈條中不可缺少的一個環(huán)節(jié)，所以一定要補上這一環(huán)，否則學生的解題能力很難提高．

第二篇：高中立體幾何教案第一章直線和平面第一章復習(四)教案

高中立體幾何教案 第一章 直線和平面 第一章復習

（四）教案

北京師大二附中 金寶錚

教學目標

結合第一章的內容，滲透數(shù)學思想方法．（數(shù)形結合思想；方程的思想；轉化的思想；分類討論的思想）

教學重點和難點 數(shù)學思想的滲透與培養(yǎng)． 教學設計過程

師：今天是復習課的最后一節(jié)．今天以復習題目中體現(xiàn)的數(shù)學思想為主線，研究幾種常用數(shù)學思想在本章的體現(xiàn)．

分類討論的思想是同學們比較熟悉的．使用較多的是在代數(shù)課上y=ax2+bx+c的圖象，當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下．

幾何中，分類討論思想的應用，主要是依據(jù)圖形中元素位置關系的不同而展開的．

請看以下一組題目：

例1 已知：a∥b，直線a平面α，直線b平面α，直線c

平面α，c∥a．若直線a與直線b的距離為6cm，直線b與直線c的距離5cm，直線c與平面α的距離為4cm．

求：直線a與直線c的距離．（教師畫圖）

生A：在直線c上任取一點A，作AB⊥α于B，過B作BC⊥a于C，反向延長交b于D，因為a∥b，所以BC⊥b．分別連結AC、AD，根據(jù)三垂線定理，a⊥AC，b⊥AD．

據(jù)題意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．

師：哪位同學對“生A”的解答有補充？

師：生A的解答基礎是依據(jù)我畫的圖．而原題中并沒有給圖，也沒有“如圖”這樣的說明，因此我們先要研究圖應該怎么畫！

生B：老師，我對“生A”的發(fā)言有補充． 這個題目的圖形還有以下兩種可能：

師：好．這道題目體現(xiàn)了分類討論的思想．它是根據(jù)直線c在平面α內射影的不同位置來

進行討論的．

生C：老師，我認為還有兩種情況：

情形1：直線c在平面α內射影與直線a重合． 情形2：直線c在平面α內射影與直線b重合．

師：“生C”同學的補充很好．例1應該分為5種情況來討論．但是其中會有一些情況無解，請同學們現(xiàn)在實踐一下．

圖一的位置．其余三種位置關系均無解．

師：還有一點提醒同學們注意：對于不同的位置關系，解題時都要給予論述，對于無解的情形要講清無解的原因。有些同學認為無解就不用寫了，這種認識是錯誤的．再看例2．

例2平面α外兩點A，B，它們到平面α的距離分別為a，b，求：點P到平面α的距離．

生A：我認為有兩種情況：一種是點A、點B在平面α同側；另一種是點A、點B在平面α異側．

生B：我有不同看法，已知條件中沒有給出a，b的大小關系，“生A”解決圖5情形時，默認為b＞a是不對的，應該再分兩種情形：

師：“生B”的補充很好，例2不僅在圖形的位置關系上分類討論，還要根據(jù)數(shù)據(jù)a，b的大小關系來分類討論．如果簡化題目，已知條件上補一個條件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？ 生C：當A，B兩點在兩側時，在圖6中，點P不一定在A1B1上方．當b＞2a時，點P位于A1B1上方；當b=2a時，點P在A1B1上；

師：經(jīng)過“生C”的補充，題目解答就全面了．

下面談一下方程的思想．在初中階段，同學們重點研究了列方程解應用題，這就是最基本的方程的思想．通過設未知數(shù)，尋求已知量與未知量之間的關系，從而獲得問題的解決．下面請看例3．

例3 如圖7，二面角α-l-β，點B∈l，AB α，BC β．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．

求：二面角α-l-β的大?。?/p>

師：首先我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義構造二面角的平面角．具體作法是：在l上選點D，經(jīng)過點D分別在α，β平面內作l的垂線交BA，BC于E，F(xiàn)．

設AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．

∠EDF=90°．

本例特點在于題目中沒有給出任何線段的長度，而是通過設未知量，進而知道已知與未知的關系．

例4 二面角α-EF-β為120°，點A∈α，點B∈β，∠ACB為二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一點D．

問：D點在何處時，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？

為了確定點D的位置，可設與D點有關的某一條線段長為x，依據(jù)題設建立等量關系．再求出x的值，同學們實踐一下．

生A：在EF上取點D，設AD=x． 因為 AC=BC=a，∠ACB=120°，因為 ∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以 ∠ADC=180°-θ．

△ABD中由余弦定理可得： AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我認為解答不全面，剛才“生A”的解答中，運用了圖8中各點之間位置關系．

應該給予討論，當點D位于CF之間時，∠ADC=180°而不是等于180°-θ． 師：“生B”的問題提的好，在“生A”的解答中，距點C的距離

例5 如圖9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由

求：△ABC的周長．

師：這道題目的難度在于如何建立一座溝通已知與未知的橋梁． 生：觀察圖形，我發(fā)現(xiàn)圖中有三對全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．設∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．

師：上面列舉了3個題目，從不同的側面，以不同的形式反映出方程的思想在立體幾何解題中的作用．

下面再談一下轉化的思想，轉化的內涵十分豐富．有條件的轉化；結論的轉化；圖形的轉化；解題策略的轉化??

事實上，許多題目的解答過程都不同程度在使用轉化的思想． 例6 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1． 求：異面直線A1C1與B1C的距離．

生A：可以證明：B1C∥A1D1，進而可證B1C∥面A1DC1，問題轉化為求直線B1C與平面A1C1D的距離??

生B：還可以證明AC∥A1C1，不難證明：平面A1C1D∥平面ACD1．問題轉化為求平面A1C1D與平面ACB1的距離??

生C：在A1C1上取一點P，作PN⊥B1C1于N，作NQ⊥B1C于Q，連結PQ．可以證明PQ⊥B1C．

師：“生C”的思想是：依據(jù)異面直線的概念，特別是公垂線段的長是兩條異面直線上各取一點后所連線段的最小值．

布置作業(yè)：（略）課堂教學設計說明

本節(jié)是復習題的第四節(jié)．首先介紹一下上節(jié)課的設計思路． 在第三節(jié)復習課上，重點研究了證明問題．

對于證明題的思路分析，總體構想認為它應該是初中平面幾何論證的延續(xù)，像由因導果，執(zhí)果索因等一些經(jīng)典論述讓學生刻骨銘心．

通過證明問題的復習，使學生對線面各種位置關系及性質、判定定理運用自如．

反證法是高中首次出現(xiàn)，學生不易掌握，是一個難點．教師要結合題目引導學生去思考，什么樣的題目用反證法．

同一法不屬教材，一般不要引入課堂．對確有余力的班級，教師也可適當滲透．

本節(jié)復習課是最后一節(jié)復習課，力圖通過復習，使學生能夠站在數(shù)學方法這個高度來解題．從認識水平上也上一個新的臺階．教師必須認識到：數(shù)學思想與數(shù)學方法決不是通過一節(jié)課就能完全教會學生．它是需要有長期的教學積累而成，確實有水到渠成的感覺．

目前高中數(shù)學提出的四個數(shù)學思想：分類討論、函數(shù)方程、數(shù)形結合、轉化．本節(jié)重點研究了其中三個．

分類討論是容易接受也是容易忽略的．許多同學往往是出了考場就想起來應該分類討論．

出現(xiàn)這種情況體現(xiàn)兩點：一是學生能力尚不強，檢東忘西、丟三落四；另一方面是分類討論的意識還不夠強，這種意識的培養(yǎng)需要一個過程．教師在平時教學中要注意滲透．對于一些問題，教師事先不去提醒他們注意，當他們走入誤區(qū)，教師再予以指導，效果會好一些．

方程的思想貫穿于整個中學教材．立體幾何也不例外，如何通過設置未知量，也有時是“參數(shù)”，用其來溝通已知與未知．本節(jié)課通過不同的例子來展示． 轉化更是無處不在．幾乎每一道題的解答都滲透有轉化的思想．這里只選了一例，轉化求證方向，用以解決問題．

復習課有其獨特之處，例題選配最好結合所教班級實際情況，在此，僅以兩個教案的粗淺之見，望能起到拋磚引玉之功效．

第三篇：相交直線所成的角(教學比武教案)

相交直線所成的角

澧縣永豐中學：尹笑

教學目標：

1.理解對頂角，并能在圖形中找出對頂角。

2.會運用已學知識證明對頂角的性質并學會運用。3.理解同位角、內錯角、同旁內角的概念。

4.會在兩直線被第三條直線所截的圖中，找出所有的同位角，內錯角，同旁內角。

5.用對頂角相等、等量代換、等式的性質理解P77的一個結論。教學重點：

在圖中辨認對頂角、同位角、內錯角、同旁內角，掌握一個性質、理解一個結論。

教學難點：辨認和尋找同位角、內錯角、同旁內角。教學方法：目標教學，合作探究 教學過程：

一、創(chuàng)設情境，引入新課

用多媒體呈現(xiàn)一些大千世界中的美麗圖片，讓學生通過觀察回答看到了什么，從而引入新課內容。今天，我們就一起來學習相交直線所成的角。

二、自主探索，合作交流

（一）自主導學，交流成果

根據(jù)教師給出的本堂課的學習目標，安排學生預習課本P75、P76、P77的內容，然后在課堂上分組討論學案上的第二部分“小試牛刀”的習題，然后請學習小組派代表回答相關問題。

（二）教師引導，鞏固新知

在學生回答問題的過程中，教師用課件對于本節(jié)課的重難點部分進行詳細講解：（主要圍繞以下四部分進行）1.對頂角的概念和性質。

2.“三線八角”的組成，強調三線相交的語言描述，并教會學生找出截線與被截線。

3.引導學生總結并歸納“同位角、內錯角、同旁內角”在圖形中所體現(xiàn)的與截線和被截線的相對位置關系。

（同位角：截線同側，被截線同方；內錯角：截線兩側，被截線內部；同旁內角：截線同側被截線內部）

4.教會學生在相關習題中找到同位角、內錯角和同旁內角。

三、“三線八角”的認知創(chuàng)新

1.“字母化”創(chuàng)新

同位角可以看做字母“F”，內錯角可以看做字母“Z”，同旁內角可以看做字母“U”

2.“變手游戲”的創(chuàng)新

全班以手為道具，以手指構造模型

（先給學生進行講解說明，然后通過小游戲進行體驗）

四、分級檢測，鞏固提升

整個練習題分為A、B、C三等級，從易到難，讓學生以小組為單位，學生根據(jù)自己的能力自選等級，分工合作完成，以比賽的形式評選出優(yōu)勝小組。（習題在學案和課件上均呈現(xiàn)出來）

五、課堂小結，記好數(shù)學筆記 要求：

1.仔細思考通過本節(jié)課的學習，你學到了那些知識？在學案中記下來。

2.把學案上的各目標掌握的情況用五角星做好標記。（掌握很好：5顆星，較好：4顆星，不夠好：3顆星）3.把學案上的相關題目過程整理好，待完成課后作業(yè)后一并交上來。

六、布置作業(yè)

請學生在課后完成學案上的作業(yè)

第四篇：【湘教版】七年級數(shù)學下冊：4.1.2《相交直線所成的角》教案

百度文庫

相交直線所成的角

知識與技能：

1．理解相交直線所成的角意義，理解對頂角、同位角、內錯角、同旁內角的概念。2．理解對頂角相等的性質。

3．會運用對頂角相等及等量代換的性質得到三條直線相交所得8個角之間的等量關系及互補關系。過程與方法：

通過認識圖形的組合（由簡到繁），培養(yǎng)學生識別圖形基本結構的能力。情感態(tài)度與價值觀：

經(jīng)歷知識發(fā)生的過程，通過動手操作，體驗數(shù)學概念的發(fā)展是現(xiàn)實生活的需要，感受數(shù)學學習的價值，積極參與探索過程。

教學重點：

三條直線構成的角的關系，對頂角相等的性質。教學難點：

準確地找出三條直線構成的8個角之間的關系，用對頂角相交及等量代換得到它們之間的等量關系。教學過程：

一、預學：

1、在同一平面內的兩條直線有幾種位置關系？

2、經(jīng)過直線外一點怎樣畫出這條直線的平行線？

3、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行 即：如果b∥a，c∥a，那么b ∥ c。

二、探究： 如圖4-7，剪刀的兩個交叉腿構成四個角，將其簡單地表示為圖4-8.1 4 3 2 圖4-7

圖4-8

1、做一做：1與∠3有什么關系？

2、對頂角的概念

如圖∠1與∠3有共同的頂點O，其中一個角的兩邊分別 是另一個角的兩邊的反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。

3、學生從做一做中得出相應的結論，也可從簡單的推理中得到：

對頂角相等。

∠1與∠3都是∠2的補角，因為同角的補角相等，所以∠1＝∠3。

4、說一說：生活中的對頂角

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5、畫直線AB、CD與MN相交，找出它們中的對頂角。

三、精導：

1、講解同位角、內錯角、同旁內角的概念。直線AB，CD都與第三條直線MN相交(有時也說直線AB和CD被第三條直線MN所截)，可以構成8個角，如圖所示.2、假設直線AB，CD被MN所截，有一對同位角相等 比如說∠1＝∠5，找出圖形中相等的角或互補的角。

3、應用“對頂角相等”及“等量代換”及等式的性質，可以得出相應的一些結論：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同位角相等，那么其他幾對同位角也相等，并且內錯角也相等，同旁內角互補。

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果有一對內錯角相等，那么其他幾對內錯角也相等，并且同位角也相等，同旁內角互補。（3）兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同旁內角互補，那么另一對同旁內角也互補，并且同位角相等，內錯角也相等。

例1 如圖，直線EF與AB，CD相交，構成8個角.指出圖中所有的對幾對對頂角、同位角、內錯角和同旁內角.解：略

例2 如圖，直線AB，CD被直線MN所截，同位角∠1 與∠2相等，那么內錯角∠2與∠3相等嗎？

四、提升：

如圖，直線a，b被直線c所截，找出圖中所有的對頂角、同位角、內錯角和同旁內角.若∠1=∠5=108°，求其他角的度數(shù).教學反思：

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第五篇：用向量運算證明兩條直線垂直或求兩直線所成的角

高二數(shù)學理（B）學案

用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

編號：10編制：王井雷審核：劉紅英時間：2012.2.18

【學習目標】

1、掌握兩條直線垂直的充要條件，知道直線夾角和其方向向量夾角的關系。

2、會用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角?！局攸c難點】

教學重點：用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角。教學難點：直線的方向向量?！局R梳理】

??????

1、兩條直線l1與l2所成的角?，兩條直線l1、l2的方向向量v1,v2所成的??????????

角v1,v2的范圍，?與v1,v2的關系是。

變式訓練1：.已知正方體ABCD-A?B?C?D? 中，點E,F分別是棱BB?與面對角線B'D'的中點。求證：直線EF?直線A'D

例2.已知三棱錐O-ABC，OA＝4,OB＝5,OC＝3,∠AOB＝ ∠BOC＝60o, ∠COA＝90o,M、N分別是棱OA、BC的中點。求直線MN與AC所成的角（用反三角函數(shù)表示）。

變式訓練2：已知四棱錐S?ABCD的高SO?3，底面是邊長為2，?ABC?60?的棱形，O為

2、l1?l2?，cos?【課前達標】

??

1、若異面直線l1、l2的方向向量分別是a??0,?2,?1?，b??2,0,4?，則異面直線l1與l2的夾

角的余弦值等于（）A、?

5B、2

5C、?

5D、52、在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分別CC1,AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于（）A

5B

5C、4

5D、2

3底面的中心，E,F分別為SA和SC的中點，求異面直線BF與DE所成的角

【典型例題】

例1.已知正方體ABCD-A?B?C?D? 中，點M、N分別是棱BB?與對角線CA?的中點。求證：MN?BB?；MN ?A?C。

高二數(shù)學理（B）學案

【鞏固練習】

1．在正三棱柱A1B1C1-ABC中，若1，則AB1與C1B所成的角的大小為（）

6.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

7.如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.（1）求BN的長（2）求cos

1>的值；（3）求證：A1B⊥C1M.A．60? B．90? C．105? D．75?

2．A1B1C1-ABC是直三棱柱，? BCA=90?，點D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點，若

BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）

A．

3010

B．

2C．

301

5D．

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，F(xiàn)是B1D1的中點，則BE與DF所成角的余弦值為__________.4.已知F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中點，則異面直線A1C1與DF所成的角的余弦值為__________.5.在棱長為1的正方體中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、BD的中點，G在CD上，且CG

＝CD/4，H為C1G的中點，⑴求證：EF⊥B1C；⑵求EF與C1G所成角的余弦值；⑶求FH的長。