第一篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：5.3 兩點(diǎn)間距離公式、線段的定比分點(diǎn)與圖形的平移

5.3 兩點(diǎn)間距離公式、線段的定比分點(diǎn)與圖形的平移

●知識(shí)梳理 1.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=（x2－x1，y2－y1）.22∴|AB|=（x2?x1）?（y2?y1）.2.線段的定比分點(diǎn)是研究共線的三點(diǎn)P1，P，P2坐標(biāo)間的關(guān)系.應(yīng)注意：（1）點(diǎn)P是不同于P1，P2的直線P1P2上的點(diǎn)；（2）實(shí)數(shù)λ是P分有向線段P1P2所成的比，即P1→P，P→P

2x1??x2?x?，??1??的順序，不能搞錯(cuò)；（3）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式?（λ≠－1）.y??y2?y?1?1???3.點(diǎn)的平移公式描述的是平移前、后點(diǎn)的坐標(biāo)與平移向量坐標(biāo)三者之間的關(guān)系，?x??x?h，??y?y?k.?特別提示

1.定比分點(diǎn)的定義：點(diǎn)P為P1P2所成的比為λ，用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)即為P1P=λPP2.當(dāng)λ＞0時(shí)，P為內(nèi)分點(diǎn)；λ＜0時(shí)，P為外分點(diǎn).2.定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式：

P點(diǎn)分P1P2成的比為λ，則OP=

11??OP1+

?1??OP2（O為平面內(nèi)任一點(diǎn)）.3.定比分點(diǎn)的應(yīng)用：利用定比分點(diǎn)可證共線問題.●點(diǎn)擊雙基

1.（2004年東北三校聯(lián)考題）若將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)由（1，0）變?yōu)椋?，2），則平移后的圖象的解析式為

A.y=f（x+1）－2

B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2

D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），則平移后的圖象的解析式為y=f（x－1）+2.答案：C 2.（2004年湖北八校第二次聯(lián)考）將拋物線y=4x沿向量a平移得到拋物線y－4y=4x，則向量a為

A.（－1，2）C.（－4，2）

B.（1，－2）D.（4，－2）

2?x??x?h?x?x??h，解析：設(shè)a=（h，k），由平移公式得? ????y?y?ky?y?k，??代入y2=4x得

（y?－k）2=4（x?－h(huán)），y?2－2ky?=4x?－4h－k2，第1頁（共10頁）

即y－2ky=4x－4h－k，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A 22思考討論

本題不用平移公式代入配方可以嗎? 提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道為什么嗎?）

3.設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線，且它們的縱坐標(biāo)分別為2、5、10，則A點(diǎn)分BC所得的比為 A.382

3B.83

8C.－

8D.－

35?10????解析：設(shè)A點(diǎn)分BC所得的比為λ，則由2=答案：C，得λ=－.834.若點(diǎn)P分AB所成的比是λ（λ≠0），則點(diǎn)A分BP所成的比是____________.解析：∵AP=λPB，∴AP=λ（－AP+AB）.∴（1+λ）AP=λAB.∴AB=1??AP.∴BA=－

1?????AP.答案：－1??

5.（理）若△ABC的三邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），則△ABC的重心坐標(biāo)為____________.解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），?x1?x2?2，?2??y1?y2?1，?2??x1?x3??3，??x?x2?x3??2242則?

∴?1∴重心坐標(biāo)為（－，）.33?y1?y2?y3?4?y1?y3?4，?2?x?x3?2??1，?2?y?y3?2??1.2?答案：（－23，43）

（文）已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點(diǎn)M分有向線段M1M2的比為3∶2，則m的值為____________.第2頁（共10頁）

6?3232解析：設(shè)M（x，y），則x=

1?=

1552?7?32=3，y=

1?32=

4?215=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析

【例1】 已知點(diǎn)A（－1，6）和B（3，0），在直線AB上求一點(diǎn)P，使|AP|=|AB|.31剖析：|AP|=|AB|，則AP=3113AB或AP=

13BA.設(shè)出P（x，y），向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），若AP=41???x?1?，?x?，3解得?3此時(shí)??y?6??2.?y?4.??13AB，則由（x+1，y－6）=

13（4，－6），得

P點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）.3131若AP=－13AB，則由（x+1，y－6）=－（4，－6）得

47??7?x?1??，?x??，3解得?3∴P（－?3?y?6?2.?y?8.??，8）.綜上所述，P（，4）或（－3173，8）.深化拓展

本題亦可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)處理.由AP=λ=1213AB，得AP=

12PB，則P為AB的定比分點(diǎn)，代入公式即可；若AP=－1413AB，則AP=－

14PB，則P為AB的定比分點(diǎn)，λ=－.由兩種方法比較不難得出向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，是解決向量問題的一般方法.【例2】 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分線，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及BD的長(zhǎng).剖析：∵A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為已知，∴要求點(diǎn)D的坐標(biāo)，只要能求出D分AC所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D分AC所成的比λ=由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

ADDC?ABBC?22.第3頁（共10頁）

?24??（?1）?2?xD??9?52，?21??∴D2??1?2?y??2.D?21??2?點(diǎn)坐標(biāo)為（9－52，2）.22?（2?4）=104?682.∴|BD|=（9?52?3）評(píng)述：本題給出了三點(diǎn)坐標(biāo)，因此三邊長(zhǎng)度易知，由角平分線的性質(zhì)通過定比分點(diǎn)可解出D點(diǎn)坐標(biāo)，適當(dāng)利用平面幾何知識(shí)，可以使有些問題得以簡(jiǎn)化.深化拓展

本題也可用如下解法：設(shè)D（x，y），∵BD是∠ABC的平分線，∴〈BA，BD〉=〈BC，BD〉.∴BA?BD|BA||BD|BC?BD|BC|?|BD|?，即BA?BD|BA|=BC?BD|BC|.又BA=（1，－3），BD=（x－3，y－4），BC=（－4，－2），∴x?3?3y?1210=?4x?12?2y?820.① ∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.又A、D、C三點(diǎn)共線，∴AD，AC共線.又AD=（x－4，y－1），AC=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.??x?9?52，由①②可解得?

??y?2.②

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（9－52，2），|BD|=104?682.思考討論

若BD是AC邊上的高，或BD把△ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解?請(qǐng)讀者思考.【例3】 已知在□ABCD中，點(diǎn)A（1，1），B（2，3），CD的中點(diǎn)為E（4，1），將 □ABCD按向量a平移，使C點(diǎn)移到原點(diǎn)O.（1）求向量a；

（2）求平移后的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由□ABCD可得AB=DC，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），第4頁（共10頁）

則?，?x3?x4?1?y3?y4?2.?x42?y4292①②

?x3??又CD的中點(diǎn)為E（4，1），則??y3??9?7??x4?，?x3?，由①－④得?2?2即?y?2，?y?0，?4?3?4，?1.③

④C（，2），D（72，0）.∴a=（－92，－2）.72（2）由平移公式得A′（－●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)，－1），B′（－

52，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.1.（2004年福州質(zhì)量檢查題）將函數(shù)y=sinx按向量a=（－式為

A.y=sin（x－C.y=sin（x+π4π4，3）平移后的函數(shù)解析）+3

B.y=sin（x－D.y=sin（x+

π4）－3 π4）+3

π4）－3

π??x?x??h，?x?x??，π解析：由?得?4∴y?－3=sin（x?+）.4?y?y??k，?y?y??3.?∴y?=sin（x?+答案：C π4）+3，即y=sin（x+

π4）+3.2.（2003年河南調(diào)研題）將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a平移，得到函數(shù)y=2sin（2x++1的圖象，則a等于

A.（－C.（π3π3π3），1）

π3

B.（－D.（π6π6π6，1），－1），1）

π6解析：由y=2sin（2x+答案：B）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.3.（2004年東城區(qū)模擬題）已知點(diǎn)P是拋物線y=2x+1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，－1），若點(diǎn)M分PA所成的比為2，則點(diǎn)M的軌跡方程是____________，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________.解析：設(shè)P（x0，y0），M（x，y）.第5頁（共10頁）

x0?x???x0?3x，?3代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，????y0?3y?2，?y?y0?2?3?x2=16y+118=162（y+），∴p=31611112，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－

724724）.答案：x=（y+）

（0，－

32）

24.把函數(shù)y=2x－4x+5的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=2x的圖象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，則b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.設(shè)b=（x，y），由題意得?則b=（3，－1）.答案：（3，－1）

5.已知向量OA=（3，1），（－1，2），OB=OC⊥OB，BC∥OA.試求滿足OD+OA=OC的OD的坐標(biāo).解：設(shè)OD=（x，y），則OC=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），BC=OC－OB=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），（x?3）?（2y?1）?0，????x?3y?0，?x?3，?x?y?4，y??1，??則?（?（3y?1）?0.?x?4），?x?11?y?6，所以? OD=（11，6）.13146.已知A（2，3），B（－1，5），且滿足AC=D、E的坐標(biāo).AB，AD=3AB，AE=－

AB，求C、解：用向量相等或定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式均可，讀者可自行求解.C（1，E（114113），D（－7，9），52）.培養(yǎng)能力

7.（2004年福建，17）設(shè)函數(shù)f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－3，且x∈［－

π3，π3］，求x；

π2（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，第6頁（共10頁）

求實(shí)數(shù)m、n的值.解：（1）依題設(shè)f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin（2x+由1+2sin（2x+∵|x|≤π3π6π6），）=1－3，得sin（2x+≤2x+

π6π6）=－

π332.π4，∴－π2≤

5π6.∴2x+

π6=－，即x=－.（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（x－m）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+8.有點(diǎn)難度喲！

（2004年廣州綜合測(cè)試）已知曲線x+2y+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C.（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)D（0，2）的直線與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)DM=λMN，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解：（1）原曲線即為（x+2）2+2（y+1）2=2，則平移后的曲線C為x2+2y2=2，即x2π12）+1.又|m|＜

π2，∴m=－

π12，n=1.222+y=1.2（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則

?x2?x?，221????x1?2y1?2，1??22由于點(diǎn)M、N在橢圓x+2y=2上，則? ?222??y2??y??x2?2y2?2，.1?1???2??y22??x22（）?（2）?2，?1??1??即?消去22?x?2y?2.2?22??34?x2得，2λ+8λy2+8=2λ+4λ+2，即y2=

2.∵－1≤y2≤1，∴－1≤又∵λ＞0，故解得λ≥故λ的取值范圍為［

122??34?12≤1..，+∞）.思考討論

本題若設(shè)出直線l的方程y=kx+2，然后與x2+2y2=2聯(lián)立，利用韋達(dá)定理能求解嗎?（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可嘗試一下.探究創(chuàng)新

9.甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向做勻速直線航行，速度為152 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（θ=arctan

12）

第7頁（共10頁）的方向作勻速直線航行，速度為105 n mile/h.（如下圖所示）

（1）求出發(fā)后3 h兩船相距多少海里?（2）求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近?最近距離為多少海里? 解：以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如下圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P（x1，y1），Q（x2，y2），則?12??x1?152tcos45??15t，??y1?x1?15t.由θ=arctan，可得cosθ=

255，sinθ=

55，x2=105tsinθ=10t，y2=105tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（45，45），（30，20）.22?（45－20）=850=534，|PQ|=（45?30）即兩船出發(fā)后3 h時(shí)，兩船相距534 n mile.2?（y2?y1）（2）由（1）的解法過程易知|PQ|=（x2?x12）222210t?15t）?（20t?40?15t）=50t?400t?1600=50（t?4）?800≥202.=（∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)，|PQ|的最小值為202，即兩船出發(fā)4 h時(shí)，相距202 n mile為兩船最近距離.●思悟小結(jié)

1.理解線段的定比分點(diǎn)公式時(shí)應(yīng)注意以下問題：（1）弄清起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)，并由此決定定比λ；

（2）在計(jì)算點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，首先要確定是內(nèi)分點(diǎn)，還是外分點(diǎn)，然后相應(yīng)地把數(shù)量之比轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度之比.也可直接由定義P1P=λPP2獲解.2.線段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示，強(qiáng)化了坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，確定λ的值是公式應(yīng)用的關(guān)鍵.3.關(guān)于平面圖形的平移，主要確定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特別注意分清

第8頁（共10頁）

新舊函數(shù)解析式.4.配湊法、待定系數(shù)法、對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入法是確定平移向量的重要方法.●教師下載中心

教學(xué)點(diǎn)睛

1.線段的定比分點(diǎn)公式P1P=λPP2，該式中已知P1、P2及λ可求分點(diǎn)P的坐標(biāo)，并且還要注意公式的變式在P1、P2、P、λ中知三可求第四個(gè)量.2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式要用活不要死記.可設(shè)出坐標(biāo)利用向量相等列方程組.該解法充分體現(xiàn)了向量（形）與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化具有一般性.3.平移前后坐標(biāo)之間的關(guān)系極易出錯(cuò)，要引導(dǎo)學(xué)生弄清知識(shí)的形成過程不要死記硬背.拓展題例

【例1】（2004年豫南三市聯(lián)考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）設(shè)△ABC的三內(nèi)角為A、B、C，求f（A，B）取得最小值時(shí)，C的值；（2）當(dāng)A+B=π2且A、B∈R時(shí)，y=f（A，B）的圖象按向量p平移后得到函數(shù)y=2cos2A的圖象，求滿足上述條件的一個(gè)向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－

32）2+（cos2B－

12）2+1，?ππ?3，?A?或A?，?sin2A?2π?632得?由題意?∴C=?3?cos2B?1，?B?π.??6?2?或C=

π2.（2）∵A+B=π2，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.π3∴f（A，B）=cos2A－3sin2A+3=2cos（2A+從而p=（π6）+3=2cos2（A+

π6）+3.，－3）（只要寫出一個(gè)符合條件的向量p即可）.3【例2】 設(shè)曲線C的方程是y=x－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線C1.（1）寫出曲線C1的方程；（2）證明：曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t2s2，）對(duì)稱.t2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.（2）分析：要證明曲線C1與C關(guān)于點(diǎn)A（s2

①，）對(duì)稱，只需證明曲線C1上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C上，反過來，曲線C上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C1上即可.證明：設(shè)P1（x1，y1）為曲線C1上任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)A（t2s2，）的對(duì)稱點(diǎn)為

P（t－x1，s－y1），把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.由于P1在曲線C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即點(diǎn)P（t－x1，s－y1）在曲線C上.同理可證曲線C上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C1上.第9頁（共10頁）

從而證得曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t2，s2）對(duì)稱.第10頁（共10頁）

第二篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：4.4 兩角和與差、二倍角的公式(三)

4.4 兩角和與差、二倍角的公式

（三）●知識(shí)梳理 1.化簡(jiǎn)要求

（1）能求出值的應(yīng)求出值.（2）使三角函數(shù)種數(shù)、項(xiàng)數(shù)盡量少；分母盡量不含三角函數(shù)；被開方式盡量不含三角函數(shù).2.化簡(jiǎn)常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、變形用）.（2）切割化弦、異名化同名、異角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化.（2）注意利用代數(shù)上的一些恒等變形法則和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).（3）注意利用角與角之間的隱含關(guān)系.（4）注意利用“1”的恒等變形.●點(diǎn)擊雙基

3+sinαsinβ的一組α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.滿足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入檢驗(yàn)得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，則a、b、c的關(guān)系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πb?btan??tan（??）??，??π?4a解析：?∴tan=a=1.cπc4?tan?tan1?（??）?，?a4a?∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域?yàn)?/p>

1?sinx?cosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（?2?12?1，－1）∪（－1，］ 22?3?13?1，）22第1頁（共7頁）

D.［?2?12?1，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t2?1?2?12?1t?1則f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1?t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，則cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=兩式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求證：sin（2???）sin?－2cos（α+β）=.sin?sin?剖析：先轉(zhuǎn)換命題，只需證sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的關(guān)系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可證得結(jié)論.證明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.兩邊同除以sinα得 sin（2???）sin?－2cos（α+β）=.sin?sin?評(píng)述：證明三角恒等式，可先從兩邊的角入手——變角，將表達(dá)式中出現(xiàn)了較多的相異的角朝著我們選定的目標(biāo)轉(zhuǎn)化，然后分析兩邊的函數(shù)名稱——變名，將表達(dá)式中較多的函數(shù)種類盡量減少，這是三角恒等變形的兩個(gè)基本策略.【例2】 P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求證：橢圓的離心率為e=2cosα－1.剖析：依據(jù)橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得證.證明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2?sin?sin（π?3?）第2頁（共7頁）

由比例的性質(zhì)得|F1F2||PF1|?|PF2|= sin3?sin2??sin?|F1F2|sin?cos2??cos?sin2?sin3??e===

|PF1|?|PF2|sin2??sin?sin??2sin?cos2?sin?（2cos2???）?2sin??cos2?=

sin（1?2cos?）4cos2??1==2cosα－1.2cos???評(píng)述：恰當(dāng)?shù)乩帽壤男再|(zhì)有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：給出非特殊角，怎樣化為特殊角或非特殊角，互相抵消、約分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10?cos10??2sin20?－4cos10°=

sin10?sin10?31cos20??sin20??2sin20?cos（30??20?）?2sin20?2==2

sin10?sin10?33cos20??sin20?3sin（30??20?）2=2==3.sin10?sin10?答案：3.●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2003年高考新課程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，則tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771?tan2x1?916?答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是

A.tanC.sin?2＜cot＜cos?2

B.tanD.sin

?2＞cot＞cos

?2 ?2?2?2?2第3頁（共7頁）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，則tan

?2－cot

?2sin??2－2cos?=cos2=－2cos?＞0.?sin?sin2∴tan?2＞cot?2.答案：B 3.下列四個(gè)命題中的假命題是

A.存在這樣的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在無窮多個(gè)α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.對(duì)于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在這樣的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函數(shù)y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1時(shí)，ymax=4.答案：4 5.求周長(zhǎng)為定值L（L＞0）的直角三角形的面積的最大值.L解法一：a+b+a2?b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.2?2∴S=

L（2?2）L23?222111ab≤（）2=·［］=L.242222?2解法二：設(shè)a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1?sin??cos?.sin?cos?L212∴S=csinθcosθ=.22（21?sin??cos?）設(shè)sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t2?12L2L2L23?222t?1L222則S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t?1t?11?t）2?16.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4頁（共7頁）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2??cos2??2cos2?于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sin?cos?sin2?5π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培養(yǎng)能力

3.7.求證：1?sin???2sin21?tan??2.?2=1?tan22（sin?cos）cos?sin1?sin?2222，證明：左邊===

????cos?cos2?sin2cos?sin2222????sin1?cos?2??2=coscos?2?sin?sin??2，右邊=sin1?cos?222?2∵左邊=右邊，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面積.分析：本題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1?31?3=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5頁（共7頁）

2?6.4

=2?631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

2?6.42?6.4∴tanA=

42?6sinA=·=－2－3.4cosA2?6（以下同解法一）

探究創(chuàng)新

9.銳角x、y滿足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinx?cscx1?sinx2sin2x?cos2x1?2tan2x22tanx2時(shí)取等號(hào).22.4當(dāng)且僅當(dāng)tanx=∴tany的最大值為●思悟小結(jié)

1.證明三角恒等式的基本思路，是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右歸

一、變更命題等方法，使等式兩端的“異”化為“同”.2.條件等式的證明，通過認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)耐緩桨褩l件用上去.常用方法有代入法、消去法、綜合法（即從已知條件出發(fā)，以待證式為目標(biāo)進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變形，逐步推出待證式）、分析法等.3.三角函數(shù)的應(yīng)用主要是借用三角函數(shù)的值域求最值，這首先應(yīng)將原函數(shù)通過降冪、輔助角公式等化成y=Asin（ωx+?）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，然后再求之.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.三角恒等式的證明實(shí)際上就是三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)過程.2.有條件的三角函數(shù)求值有兩個(gè)關(guān)鍵：①三角函數(shù)各關(guān)系式及常用公式的熟練應(yīng)用.②條

第6頁（共7頁）

件的合理應(yīng)用：注意條件的整體功能，注意將條件適當(dāng)簡(jiǎn)化、整理或重新改造組合，使其與所計(jì)算的式子更加吻合.3.注意方程思想的應(yīng)用.拓展題例

【例1】 試證：tan?（1?sin?）?sin?tan??sin?=.tan?（1?sin?）?sin?tan?sin?sin?（1?sin?）?sin?證明：左邊=cos?

sin?（1?sin?）?sin?cos?1?sin??cos?=??sin??cos?2sin2sin?2coscos?2?2cos2?2sin2??2=

cos?=

?2?222=cot?，?2sin2sin??sin?1?cos?cos?右邊==

sin?sin??sin?cos?2cos2?2=2sin?2cos?2=cot?2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π??），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.2?2=1－tan2

?2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

π.4評(píng)述：角的變換是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.第7頁（共7頁）