第一篇：選修2-2：變化率問題》的教學(xué)設(shè)計(浙江省衢州高級中學(xué) 舒燕芳)

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《變化率問題》的教學(xué)設(shè)計

浙江省衢州高級中學(xué)

舒燕芳

一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：平均變化率的概念及其求法。

內(nèi)容解析：本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)（選修2-2）第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的第一節(jié)1.1變化率與導(dǎo)數(shù)中的1.1.1變化率問題。本節(jié)內(nèi)容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟。平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念。二.目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：理解平均變化率的概念及內(nèi)涵，掌握求平均變化率的一般步驟。目標(biāo)解析：

1.經(jīng)歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數(shù)平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活。

2.通過函數(shù)平均變化率幾何意義的教學(xué)，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想。3.通過例題的解析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)平均變化率的概念。三.教學(xué)問題診斷分析

吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗，運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這兩個實例的共同點(diǎn)是背景簡單。從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，又可以減少因為背景的復(fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾，這是有利的方面。但是如何從具體實例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵。

教學(xué)難點(diǎn)：如何從兩個具體的實例中歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念。四.教學(xué)支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)備投影儀、多媒體課件等。

1.在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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想。

2.通過應(yīng)用舉例的教學(xué)，不斷地提供給學(xué)生比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

五.教學(xué)過程設(shè)計

1.章引言

師生共同學(xué)習(xí)本章的章引言。

設(shè)計意圖：充分利用章引言中提示的微積分史料，引導(dǎo)學(xué)生探尋微積分發(fā)展的線索，體會微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系，初步了解本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣。

2.形成概念

問題1：甲用5年時間掙到10萬元, 乙用5個月時間掙到2萬元, 如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果? 設(shè)計意圖：使學(xué)生了解生活中的變化率問題，為歸納函數(shù)平均變化率提供更多的實際背景。

師生活動：稍加點(diǎn)撥，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中的變化率問題。

問題2：大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

設(shè)計意圖：通過熟悉的生活體驗，提煉出數(shù)學(xué)模型，從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。

師生活動：由球的體積公式推導(dǎo)半徑關(guān)于體積的函數(shù)解析式，然后通過計算，用數(shù)據(jù)來回答問題，解釋上述現(xiàn)象。

思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 設(shè)計意圖：把問題2中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊。

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。問題3：在高臺跳水運(yùn)動中, 運(yùn)動員相對于水面的高度 h(單位:m)與起跳《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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后的時間 t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)??4.9t2?6.5t?10，如果用運(yùn)動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動狀態(tài), 那么:（1）在0?t?0.5這段時間里,運(yùn)動員的平均速度為多少？

（2）在1?t?2這段時間里, 運(yùn)動員的平均速度為多少？

設(shè)計意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率——運(yùn)動速度，而運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復(fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾。通過計算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景。

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生通過計算回答問題。對第（2）小題的答案說明其物理意義。

探究：計算運(yùn)動員在 0?t?65這段時間里的平均速度,并思考下面的問題: 49(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎? 設(shè)計意圖：通過計算得出平均速度只能粗略地描述運(yùn)動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導(dǎo)數(shù)的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生通過計算回答問題。對答案加以說明其物理意義（可以結(jié)合圖像說明）。

思考：當(dāng)運(yùn)動員起跳后的時間從t1增加到t2時,運(yùn)動員的平均速度是多少? 設(shè)計意圖：把問題3中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊。

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。通過引導(dǎo)，使學(xué)生逐步歸納出問題2、3的共性。

定義：一般地,函數(shù)y?f(x)中，式子

f(x2)?f(x1)稱為函數(shù)f(x)從x1到x2x2?x1f(x2)?f(x1)?y?。

x2?x1?x的平均變化率。其中令?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1)，則《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》

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設(shè)計意圖：歸納概念的過程，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。思考：（1）?x,?y的符號是怎樣的？（2）平均變化率有哪些變式？ 設(shè)計意圖：加深對概念內(nèi)涵的理解。

師生活動：教師播放多媒體，師生共同討論得出結(jié)果。思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率

f(x2)?f(x1)?y表示什么?（圖略）?x2?x1?x設(shè)計意圖：從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3.應(yīng)用舉例

課堂練習(xí)一：求下列函數(shù)的平均變化率：（1）y?1（2）y?x?1

設(shè)計意圖：概念的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

師生活動：教師適當(dāng)點(diǎn)撥，學(xué)生口答。例：求函數(shù)y?x2?1的平均變化率。

解：?y?f(x??x)?f(x)?(x??x)2?1?(x2?1)?2?x?x??x2

?y2?x?x??x2??2x??x ?x?x課堂練習(xí)二：設(shè)圓的面積為S，半徑為r，求面積S關(guān)于半徑r的平均變化率.設(shè)計意圖：進(jìn)一步加深對概念的理解，突出求平均變化率的一般步驟。從課堂練習(xí)一到例題，再到課堂練習(xí)二，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

師生活動：教師板書，并引導(dǎo)學(xué)生歸納求平均變化率的一般步驟：（1）作差（2）作商

最后請一位同學(xué)板演，其余同學(xué)在草稿上練習(xí)。

4.總結(jié)提高

（1）函數(shù)平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結(jié)出來的？（2）求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的？

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（3）這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學(xué)思想？

師生活動：最后師生共同歸納總結(jié)：函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學(xué)思想有：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合。

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識、思想方法，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。六.目標(biāo)檢測設(shè)計

（1）課本第10頁習(xí)題1.1A組:1（2）四人一組合作完成一篇數(shù)學(xué)小論文，備選題目：《變化率的應(yīng)用》、《數(shù)學(xué)來源于生活》、《生活中的平均變化率問題》（3）備選作業(yè)：已知函數(shù)f(x)?x(1?x)，求

f(0??x)?f(0)的值：

?x設(shè)計意圖：對一般學(xué)生布置第（1）（2）題，而對學(xué)有余力的學(xué)生布置（3）題，體現(xiàn)了分層、有梯度的教學(xué)，及時鞏固新知識。

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第二篇：《變化率問題》參考教學(xué)設(shè)計

§1.1.1

變化率問題

一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：平均變化率的概念及其求法。

內(nèi)容解析：本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)（選修2-2）第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的第一節(jié)1.1變化率與導(dǎo)數(shù)中的1.1.1變化率問題。本節(jié)內(nèi)容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟。平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念。二.目標(biāo)和目標(biāo)解析

新課標(biāo)對―導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用‖內(nèi)容的處理有了較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識，也有別于以往教材將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一種特殊的極限、一種―規(guī)則‖來學(xué)習(xí)的處理方式，而是按照：平均變化率—瞬時變化率—導(dǎo)數(shù)的概念—導(dǎo)數(shù)的幾何意義這樣的順序來安排，用―逼近‖的方法定義導(dǎo)數(shù)，這種概念建立的方式形象、直觀、生動又容易理解，突出了導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。平均變化率是本章的一個重要的基本概念，本節(jié)課是《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的起始課，對導(dǎo)數(shù)概念的形成起著奠基作用。

目標(biāo)：理解平均變化率的概念及內(nèi)涵，掌握求平均變化率的一般步驟。目標(biāo)解析：

1.經(jīng)歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數(shù)平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活。

2.通過函數(shù)平均變化率幾何意義的教學(xué)，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想。3.通過例題的解析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)平均變化率的概念。三.教學(xué)問題診斷分析

吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗，運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這兩個實例的共同點(diǎn)是背景簡單。從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，又可以減少因為背景的復(fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾，這是有利的方面。但是如何從具體實例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵。

教學(xué)難點(diǎn)：如何從兩個具體的實例中歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念。四.教學(xué)支持條件分析

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)備計算機(jī)、投影儀、多媒體課件等。

1.在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想。

2.通過應(yīng)用舉例的教學(xué)，不斷地提供給學(xué)生比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

五.教學(xué)過程設(shè)計 1.問題情景

從生活述語和學(xué)生比較熟悉的姚明身高曲線引入課題。

設(shè)計意圖：使學(xué)生了解生活中的變化率問題，為歸納函數(shù)平均變化率提供更多的實際背景。

師生活動：稍加點(diǎn)撥，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中的變化率問題。2.數(shù)學(xué)建構(gòu)

問題1：大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? 設(shè)計意圖：通過熟悉的生活體驗，提煉出數(shù)學(xué)模型，從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。

師生活動：由球的體積公式推導(dǎo)半徑關(guān)于體積的函數(shù)解析式，然后通過計算，用數(shù)據(jù)來回答問題，解釋上述現(xiàn)象。

思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 設(shè)計意圖：把問題1中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊。師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案，并利用幾何畫板進(jìn)行演示分析結(jié)果的分析與歸納。

問題2：在高臺跳水運(yùn)動中, 運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)=－4.9t2+6.5t+10，如果用運(yùn)動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動狀態(tài), 那么:（1）在0≤t≤0.5這段時間里,運(yùn)動員的平均速度為多少？（2）在1≤t≤2這段時間里, 運(yùn)動員的平均速度為多少？

設(shè)計意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率——運(yùn)動速度，而運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復(fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾。通過計算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景。

師生活動：教師播放多郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運(yùn)會上跳水比賽錄像，讓學(xué)生在情景中感受速度變化，學(xué)生通過計算回答問題。對第（2）小題的答案說明其物理意義。

探究：計算運(yùn)動員在0≤t≤

65這段時間里的平均速度,并思考下面的問題: 49(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎? 設(shè)計意圖：通過計算得出平均速度只能粗略地描述運(yùn)動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導(dǎo)數(shù)的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生通過計算回答問題。對答案加以說明其物理意義（突出數(shù)形結(jié)合思想——對教材的一個處理）。

思考：當(dāng)運(yùn)動員起跳后的時間從t1增加到t2時,運(yùn)動員的平均速度是多少? 設(shè)計意圖：把問題2中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想（體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想）。并為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊。

師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。通過引導(dǎo)，使學(xué)生逐步歸納出問題1、2的共性。定義：一般地,函數(shù)y=f(x)中，式子

f(x2)?f(x1)稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平

x2?x1均變化率。其中令?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1)，則:

f(x2)?f(x1)?y。?x2?x1?x設(shè)計意圖：歸納概念的過程，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。思考：（1）?x,?y的符號是怎樣的？（2）平均變化率有哪些變式？ 設(shè)計意圖：加深對概念內(nèi)涵的理解。

師生活動：教師播放多媒體，師生共同討論得出結(jié)果。思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率

f(x2)?f(x1)?y表示什么?（圖略）?x2?x1?x

設(shè)計意圖：從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用

例題

(1)計算函數(shù)f(x)=2x+1在區(qū)間[–3,–1]上的平均變化率；

(2)求函數(shù)f(x)=x2+1的平均變化率。

設(shè)計意圖：概念的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

師生活動：教師適當(dāng)點(diǎn)撥，學(xué)生口答。

練習(xí)（1）已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=（）A.3 B.3Δx-(Δx)2

C.3-(Δx)2

D.3-Δx

（2）求y=x2在x=x0附近的平均變化率.設(shè)計意圖：進(jìn)一步加深對概念的理解，突出求平均變化率的一般步驟。從課堂練習(xí)一到例題，再到課堂練習(xí)二，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

師生活動：教師板書，并引導(dǎo)學(xué)生歸納求平均變化率的一般步驟：（1）作差

（2）作商

最后請一位同學(xué)板演，其余同學(xué)在草稿上練習(xí)。4.總結(jié)提高

（1）函數(shù)平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結(jié)出來的？（2）求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的？（3）這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學(xué)思想？

師生活動：最后師生共同歸納總結(jié)：函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學(xué)思想有：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合。

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識、思想方法，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。六.知識鞏固

（1）課本第10頁習(xí)題1.1A組:1（2）四人一組合作完成一篇數(shù)學(xué)小論文，備選題目：《變化率的應(yīng)用》、《數(shù)學(xué)來源于生活》、《生活中的平均變化率問題》

（3）備選作業(yè)：已知函數(shù)f(x)?|x|(1?x)，求

f(0??x)?f(0)的值：

?x設(shè)計意圖：對一般學(xué)生布置第（1）（2）題，而對學(xué)有余力的學(xué)生布置（3）題，體現(xiàn)了分層、有梯度的教學(xué)，及時鞏固新知識。

第三篇：“平均變化率”一課問題情境的教學(xué)設(shè)計

“平均變化率”一課是高中新課程蘇教版選修1-1中導(dǎo)數(shù)一章的第一課，為了能更好的完成教學(xué)任務(wù)，聽了很多老師的課，吸取了很多經(jīng)驗，并結(jié)合弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想，通過自己的教學(xué)實踐，有了自己的一點(diǎn)心得，與教學(xué)同仁分享。

新教材與以前的教材相比，導(dǎo)數(shù)這一章在傳統(tǒng)內(nèi)容上有所刪減。不再系統(tǒng)的講述極限的概念，而且在要求和側(cè)重點(diǎn)上有所調(diào)整，本章就著重理解微分的基本思想及其應(yīng)用。本節(jié)是導(dǎo)數(shù)這章的第一節(jié)，主要通過一些現(xiàn)實生活中的實例來引出平均變化率的概念。從而為過渡到瞬時變化率，理解導(dǎo)數(shù)的概念做好準(zhǔn)備，讓學(xué)生能體會導(dǎo)數(shù)的基本思想。因此本節(jié)的問題情境的創(chuàng)建是需要重點(diǎn)考慮的。

本節(jié)教材中通過引言中的一則案例，提出問題：用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化的快與慢?這樣的數(shù)學(xué)模型有哪些應(yīng)用?意圖是在此基礎(chǔ)上提出平均變化率的概念，教學(xué)中如何使得平均變化率概念的引入顯得流暢自然?是拋開教材中的案例另辟蹊徑。來構(gòu)建概念，還是在教材基礎(chǔ)上著力創(chuàng)設(shè)“最近發(fā)展區(qū)”。讓學(xué)生知識遷移，主動構(gòu)建平均變化率的概念呢?

在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)。雖然教材中氣溫曲線的引例貼切學(xué)生生活，圖像直觀，有利于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但同樣它也存在著一些缺點(diǎn)：

1、不能反映確定的數(shù)量關(guān)系。無法用確定的函數(shù)關(guān)系來描述圖像，這為以后進(jìn)一步研究導(dǎo)數(shù)帶來了困難。

2、例子過于單一，無法符合所有學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。曼弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”中的一個基本結(jié)論是：每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運(yùn)算方法、規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。這就是說，每個人都有自己的一套“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。從這個意義上說，所謂“現(xiàn)實”不一定限于具體的事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)本身，也是“現(xiàn)實”的一部分，或者可以說，每個人也都有自己所接觸到的特定的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。這也許和我們常說的“從學(xué)生實際出發(fā)”差不多，數(shù)學(xué)教育當(dāng)然要根據(jù)學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”來進(jìn)行。學(xué)生的“實際”知識有多少?學(xué)生的“數(shù)學(xué)水平”有多高?學(xué)生的“日常生活常識”有多廣?這些都是教師面對的“現(xiàn)實”，如果我們只是簡單的運(yùn)用教材中的這一個事例，就未免太狹隘了。

根據(jù)以上的實際情況，在問題情境的教學(xué)設(shè)計中主要做了兩點(diǎn)改變：

1、讓學(xué)生根據(jù)自己的實際情況來定函數(shù)畫草圖，例如有的同學(xué)就用函數(shù)圖像來表示自己上學(xué)途中的情況，有的舉出商品價格和賣出數(shù)量關(guān)系的圖像等等。一方面調(diào)動了學(xué)生，另一方面更重要的是使得客觀現(xiàn)實與學(xué)生的數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實彼此融為一體。

2、根據(jù)學(xué)生不同的知識水平。在教材原實例的基礎(chǔ)上增加了和物理學(xué)有關(guān)系的路程與時間、速度與時間圖像以及數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖像。

在教學(xué)實踐巾。通過采用上述的問題情境教學(xué)，收到了良好的效果，主要體現(xiàn)在以下方面：

1、為學(xué)生的“再創(chuàng)造”提供了舞臺。弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”。每個人都應(yīng)該在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。弗氏認(rèn)為：數(shù)學(xué)實質(zhì)上是人們常識的系統(tǒng)化，每個學(xué)生都可能在一定的指導(dǎo)下，通過自己的實踐來獲得這些知識。所以我們必須遵循這樣的原則，那就是數(shù)學(xué)教育必須以“再創(chuàng)造”的方式來進(jìn)行。通過上述的問題情境，學(xué)生就能結(jié)合自己的實際，在教師的適當(dāng)指導(dǎo)下，用自己的思維方式，發(fā)現(xiàn)圖形“陡峭”，變化“快慢”背后的實質(zhì)。通過自己“創(chuàng)造性”的活動來重現(xiàn)歷史當(dāng)時概念形成的過程。當(dāng)然，每個人有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，每個人也可能處于不同的思維水平，因而不同的人可以追求并達(dá)到不同的水平。一般說來，對于學(xué)生的各種獨(dú)特的解法，甚至不著邊際的想法在教學(xué)過程中我都沒有加以阻撓，而是讓他們充分發(fā)展，充分享有“再創(chuàng)造”的自由，讓學(xué)生走自己的道路。自然從教師的角度，在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)反思，鞏固已經(jīng)獲得的知識，以提高學(xué)生的思維水平，尤其必須有意識地啟發(fā)，使學(xué)生的“創(chuàng)造”活動逐步由不自覺或無目的的狀態(tài)，進(jìn)而發(fā)展為有意識有目的的創(chuàng)造活動，以便盡量促使每個人所能達(dá)到的水平盡可能地提高。

2、為“數(shù)學(xué)化”鋪平了道路。人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學(xué)化。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。而在“數(shù)學(xué)化”過程中學(xué)生通過反思，對自己的判斷與活動甚至語言表達(dá)進(jìn)行思考并加以證實，以便有意識地了解自身行為后面潛藏的實質(zhì)，做更為抽象與形式的加工。只有這樣的數(shù)學(xué)教育――以反思為核心――才能使學(xué)生真正深入到數(shù)學(xué)化過程之中，也才能真正抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在實質(zhì)。通過上述的問題情境，學(xué)生們找到自己的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”以后，在老師有意義的指導(dǎo)下，比較順利地開始了“數(shù)學(xué)化”的過程。并且通過小組合作的形式，使學(xué)生在反思過程中的思想相互碰撞，相互影響，產(chǎn)生了良好的效果。例如，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己到校過程中路程和時間的圖形和另外一位學(xué)生的圖形相似，但事實上他到校要更快，仔細(xì)研究才發(fā)現(xiàn)兩者采取的單位長度不同，在老師的指導(dǎo)下，學(xué)生就開始反思，用什么能比圖形更好的來刻畫變化的“快慢”。這樣的例子在整個教學(xué)過程中經(jīng)常出現(xiàn)，學(xué)生在老師的有意義的指導(dǎo)下，根據(jù)自己的水平不同，都能進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的過程，雖然水平有高低，但都能了解掌握“平均變化率”。提高了學(xué)生的知識水平。掌握了一定的數(shù)學(xué)知識和技能。

3、為例題的講解提供了有利的素材。上述的問題情境在實施過程中肯定要花費(fèi)很多的時間，如果在按照教材巾的例題進(jìn)行講解的話，是無法在一堂課上完成的。但學(xué)生在整個的學(xué)習(xí)過程中研究得自己的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”已經(jīng)提供了大量的實例，老師只要依據(jù)教材，從中選取幾個恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行分析講解就能達(dá)到教學(xué)目的。

弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論的主要論點(diǎn)都是從實際的數(shù)學(xué)教育出發(fā)，而不是從一般教育出發(fā)，因而得到了世界各國特別是數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視和研究。回顧我國情況，對數(shù)學(xué)教育的系統(tǒng)理論還沒有很好研究，也很少借鑒國外的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育學(xué)說，處于一種比較盲目的狀態(tài)。而新教材更符合弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論，本文通過結(jié)合這一理論，在新教材的基礎(chǔ)上所作的修改，在教學(xué)實踐中充分體現(xiàn)了這一理論所帶來的良好的教學(xué)效果。希望通過本文，對讀者有所啟發(fā)。使根多的教師把弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論和中國的數(shù)學(xué)教育實踐相結(jié)合使我們的數(shù)學(xué)教育事業(yè)更進(jìn)一步。