第一篇：平面向量基本定理(教學(xué)設(shè)計(jì))

平面向量基本定理

教學(xué)設(shè)計(jì)

平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了共線向量基本定理的前提下，進(jìn)一步研究平面內(nèi)任一向量的表示，為今后平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。所以，本節(jié)在本章中起到承上啟下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關(guān)系，是向量解決問題的理論基礎(chǔ)。平面向量基本定理提供了一種重要的數(shù)學(xué)思想—轉(zhuǎn)化思想。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能: 理解平面向量基本定理，學(xué)會(huì)利用平面向量基本定理解決問題，掌握基向量表示平面上的任一向量.過程與方法：通過學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量基本定理，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生敢于實(shí)踐的創(chuàng)新精神，在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理的應(yīng)用； 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解.三、教學(xué)教法

1.學(xué)情分析: 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的基本知識(shí)，并且對(duì)向量的物理背景有了初步的了解.2.教學(xué)方法：采用“問題導(dǎo)學(xué)—討論探究—展示演練”的教學(xué)方法，完成教學(xué)目標(biāo).3.教學(xué)手段：有效使用多媒體和視頻輔助教學(xué)，直觀形象.四、學(xué)法指導(dǎo)

1.導(dǎo)學(xué)：設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲，引發(fā)思考.2.探究：引導(dǎo)學(xué)生合作探究，解決問題，注重知識(shí)的形成過程.3.應(yīng)用：在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與學(xué)以致用的能力.五、教學(xué)過程

針對(duì)以上情況，結(jié)合我?！皩W(xué)本課堂”模式，我設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過程，分為六個(gè)環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：問題導(dǎo)學(xué) 自主學(xué)習(xí)

首先是課前預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)學(xué)案分為問題導(dǎo)學(xué)、典例精析、鞏固拓展三大部分。通過預(yù)習(xí)學(xué)案，可以幫助學(xué)生完成課前預(yù)習(xí)。設(shè)計(jì)意圖：通過預(yù)習(xí)學(xué)案讓學(xué)生預(yù)習(xí)新知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題，使學(xué)習(xí)更具針對(duì)性，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)與探索能力.第二環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入課題

進(jìn)入新課，引入課題采用問題情境的辦法。通過導(dǎo)彈的飛行方向和力的分解兩個(gè)實(shí)例，將問題類比，引入本節(jié)問題-向量的分解。為了幫助學(xué)生理解，提供了兩段直觀的視頻，直觀形象。設(shè)計(jì)意圖：借助實(shí)際與物理問題設(shè)置情境，引發(fā)學(xué)生思考與想象，將問題類比，引入本節(jié)課題。

第三環(huán)節(jié)：分組討論 合作探究

提出問題，進(jìn)入探究階段。采用分組討論，合作探究的方法，先讓學(xué)生回顧知識(shí)-向量加法的平行四邊形法則。進(jìn)入小組討論，共同討論兩個(gè)問題。

問題1：向量a與向量e1，e2共起點(diǎn)，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，e1與e2不共線，探究向量a與e1，e2之間的關(guān)系.問題2：向量e1與e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，探究向量a與e1，e2之間的關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖：各小組成員討論交流，合作學(xué)習(xí)，共同探討問題，尋求結(jié)果，展示結(jié)果.第四環(huán)節(jié)：成果展示 歸納總結(jié)

小組討論完畢，由幾個(gè)小組展示研究成果。結(jié)合小組展示成果，借助多媒體展示，由師生共同探究向量的分解。展示過程中，要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)平移共起點(diǎn)，借助平行四邊形法則解說分解過程，加深學(xué)生的直觀映像，完成向量的分解。通過向量的分解，由學(xué)生小組討論，共同歸納本節(jié)的核心知識(shí)—平面向量基本定理。在定理中重點(diǎn)補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)說明：（1）基底e1,e2不共線，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，實(shí)數(shù)?1，?2唯一；（3）?1e1??e2叫做向量a關(guān)于基底e1,e2的分解式.第五環(huán)節(jié)：問題解決 鞏固訓(xùn)練

引入定理后，應(yīng)用定理解決學(xué)案例題與練習(xí)。例題1重在考查基底的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考向量作為基底的條件，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的共線問題。講解完例題1之后，通過一個(gè)練習(xí)，鞏固所學(xué)。通過兩個(gè)問題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)理解基底的概念，把握基底的本質(zhì)，突出重點(diǎn)——平面向量基本定理的應(yīng)用。在例題2中繼續(xù)強(qiáng)化對(duì)基底概念的理解，采用分組討論，合作探究的教學(xué)方法，共同探討解法，并由小組板演解題過程，最后強(qiáng)調(diào)解題步驟；此后，給出例2的一個(gè)變式題，讓學(xué)生進(jìn)一步深刻理解基底，體會(huì)基底的重要作用。解決本節(jié)難點(diǎn)——平面向量基本定理的理解，通過例題3對(duì)平面向量基本定理綜合應(yīng)用，解決三點(diǎn)共線問題。采用先啟發(fā)引導(dǎo)后學(xué)生探究的方法，解決學(xué)生的困惑。例題講解完畢后，對(duì)本題結(jié)論適當(dāng)拓展，得到“當(dāng)t?11，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，OP=（OA?OB）”的重要結(jié)論。通過探究22本題，可以使學(xué)生深化對(duì)平面向量基本定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.為了加強(qiáng)對(duì)定理的應(yīng)用，在學(xué)案中設(shè)計(jì)了幾個(gè)鞏固練習(xí)，在課堂上當(dāng)場完成，并及時(shí)糾錯(cuò)，鞏固本節(jié)所學(xué)。

第六環(huán)節(jié)：拓展演練 反饋檢測

為了攻克難點(diǎn)，檢測效果，最后設(shè)計(jì)了幾道課后習(xí)題進(jìn)行拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。通過這些設(shè)計(jì)，可以增強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性，提高教學(xué)效果。在本節(jié)尾聲，讓學(xué)生回顧本節(jié)主要內(nèi)容，完成小結(jié)，并在小結(jié)中強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及方法。最后是布置課后作業(yè)及時(shí)間分配與板書設(shè)計(jì)。

六、評(píng)價(jià)感悟

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)在“學(xué)本課堂”的教學(xué)模式下，采用“問題導(dǎo)學(xué)—討論探究—展示演練”的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題，小組討論，合作探究，解決問題。在教學(xué)過程中，學(xué)生處于主體地位，教師充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，力求打造高效課堂。

以平面向量基本定理為主題，從預(yù)習(xí)知識(shí)到探究定理，學(xué)生始終參與學(xué)習(xí)，參與探究，主觀性與積極性得到了充分發(fā)揮，學(xué)習(xí)與探求知識(shí)的能力得到了極大的提升；應(yīng)用定理解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；通過學(xué)習(xí)定理，讓學(xué)生體會(huì)了轉(zhuǎn)化思想，提高了學(xué)習(xí)的綜合能力。

第二篇：平面向量基本定理(教學(xué)設(shè)計(jì))

平面向量基本定理

教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，讓學(xué)生有目標(biāo)性地學(xué)習(xí)． 教學(xué)目標(biāo)：

1．通過作圖法理解并掌握平面向量基本定理的內(nèi)容及含義．

2．深刻理解向量的基底表示的意義及作用，會(huì)將平面內(nèi)的任意一個(gè)向量用一組基底表示． 2．理解平面上兩個(gè)向量的夾角的概念及范圍，掌握平面內(nèi)兩個(gè)向量的位置關(guān)系． 3．會(huì)用平面向量基本定理解決向量相互表示的問題． 教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：平面向量基本定理的內(nèi)容，向量基底的意義及應(yīng)用； 難點(diǎn)：平面向量基本定理的應(yīng)用．

教學(xué)方法：CAI課件、圖形模擬法、形成性歸納與總結(jié)． 課時(shí)安排：1課時(shí)． 教學(xué)過程： Ⅰ 新課導(dǎo)入

【回顧】：向量數(shù)乘運(yùn)算．（重點(diǎn)回顧幾何意義及作圖方法）【圖片】：

幻燈片1

（展示生活中許多結(jié)構(gòu)與矢量的聯(lián)系）

【引入】：物理中力的合成與分解．

幻燈片2

（展示物理學(xué)中力的合成與分解）

?【問題】：力是物理學(xué)中的矢量，矢量也就是數(shù)學(xué)中的向量，那么平面內(nèi)的任一向量a能否都可?????以表示成?1e1??2e2的形式呢？

Ⅱ 新課講授

一、知識(shí)點(diǎn)精講 1．作圖分析

幻燈片3 幻燈片4 2．形成結(jié)論

幻燈片5 幻燈片6 3．練習(xí)

幻燈片7 Ⅲ 課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了平面向量的基本定理，注意基本定理的應(yīng)用與向量的互相表示，這是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)還是以后學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量的基礎(chǔ)． Ⅳ 課后作業(yè)

（兩個(gè)例題，鞏固練習(xí)）

（歸納整理向量夾角的定義）

（動(dòng)態(tài)展示向量的合成與分解）

（學(xué)生訓(xùn)練）

（歸納整理平面向量基本定理的內(nèi)容）

T3． 課本P102-Ⅴ 教學(xué)反思

第三篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ<0時(shí)λa與a方向相反；λ=0時(shí)λa=0

2．運(yùn)算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零??實(shí)數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？（2）對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個(gè)非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a,b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個(gè)非零向量的夾角時(shí)，必須先將這兩個(gè)向量的起點(diǎn)移至同一個(gè)點(diǎn)；但是當(dāng)兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個(gè)向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設(shè)計(jì)：略

第四篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過程,體會(huì)由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態(tài)度和價(jià)值觀

通過對(duì)平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性,增強(qiáng)學(xué)生向量的應(yīng)用意識(shí),并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).二、教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.三、教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.四、教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學(xué)過程：

（一）情境引課，板書課題

由導(dǎo)彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進(jìn)而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個(gè)不同方向的向量進(jìn)行分解呢？

（二）復(fù)習(xí)鋪路，漸進(jìn)新課

在共線向量定理的復(fù)習(xí)中，自然地、漸進(jìn)地融入到平面向量基本定理的師生互動(dòng)合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花，體驗(yàn)著學(xué)習(xí)的快樂。

（三）歸納總結(jié)，形成定理

讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點(diǎn)

反思平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實(shí)數(shù)對(duì)的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習(xí)，反饋測試

及時(shí)跟蹤練習(xí)，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結(jié)合，鞏固理解

即講即練定理的應(yīng)用，講練結(jié)合，進(jìn)一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點(diǎn)。再結(jié)合例題鞏固加深。

（八）課堂小結(jié)，畫龍點(diǎn)睛

回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法，老師的“教 ”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業(yè)布置，回味思考。

布置課后作業(yè)，檢驗(yàn)教學(xué)效果?；匚端伎迹永斫舛ɡ淼膶?shí)質(zhì)。

七、板書設(shè)計(jì)：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實(shí)數(shù)對(duì)

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實(shí)數(shù)對(duì)

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點(diǎn)；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結(jié)

5.作業(yè)

第五篇：《平面向量基本定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

《平面向量基本定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容：平面向量基本定理。

內(nèi)容解析：向量不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實(shí)際問題的重要工具。從問題中抽象出向量模型，再通過向量的代數(shù)運(yùn)算獲得問題的解決方案或結(jié)果，是利用向量解決問題的基本特征。（平面向量的概念、向量的運(yùn)算、平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示是平面向量的主要內(nèi)容。）平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示，進(jìn)而將向量的運(yùn)算（向量的加、減法，向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積等）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的數(shù)量運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，同時(shí)，它還是用基本要素（基底、元）表達(dá)和研究事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對(duì)象的集合）的典型范例，對(duì)于人們掌握認(rèn)識(shí)事物的方法，提高研究事物的水平，有著難以替代的重要作用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1．理解平面向量的基底的意義與作用，利用平面向量的幾何表示，正確地將平面上的向量用基底表示出來。

2．通過不同向量用同一基底表示的探究過程，得出并證明平面向量基本定理。

3．通過平面向量基本定理，認(rèn)識(shí)平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會(huì)“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合與二元有序數(shù)組的集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（這種對(duì)應(yīng)關(guān)系建立了非數(shù)對(duì)象與數(shù)（或數(shù)組）之間的一種映射），通過這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，由此達(dá)到簡化向量的運(yùn)算，這是數(shù)學(xué)的一種基本方法。

5．體會(huì)用基本要素（元）表示事物，或?qū)⑹挛锓纸獬苫疽兀ㄔ纱诉_(dá)到將對(duì)事物的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)基本要素（元）的研究，通過對(duì)基本要素的內(nèi)在聯(lián)系的研究達(dá)到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教學(xué)問題診斷分析

1．如何處理共線向量定理與平面向量定理之間的同異點(diǎn)及聯(lián)系是教學(xué)平面向量基本定理時(shí)的關(guān)鍵問題，也是理解不同維數(shù)的“向量空間”，體會(huì)高維空間向低維空間轉(zhuǎn)化的重要機(jī)會(huì)與途徑。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)該從共線向量定理的意義與作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）統(tǒng)一表示的方法。

2．利用向量加法的平行四邊形法則，將平面上任一向量用兩個(gè)不平行的確定向量（即基底）表示出來是教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的另一個(gè)關(guān)鍵問題。教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生聽教師講解是一種處理方法，如果能結(jié)合力的分解，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到用平行四邊形的加法法則進(jìn)行向量分解，可能會(huì)有更大的收獲。當(dāng)然，在進(jìn)行這個(gè)關(guān)鍵問題的教學(xué)時(shí)，可能會(huì)涉及平行投影等知識(shí)與方法，可根據(jù)不同的學(xué)生對(duì)象進(jìn)行取舍。

四、學(xué)生學(xué)習(xí)行為分析

1．學(xué)生對(duì)向量加、減法及數(shù)乘等運(yùn)算的意義與作用認(rèn)識(shí)不夠，容易將向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算混淆。

2．對(duì)于向量的加法、數(shù)乘等運(yùn)算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運(yùn)算的角度理解向量運(yùn)算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。

3．如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生是不會(huì)從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認(rèn)識(shí)這個(gè)定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。

五、教學(xué)支持條件分析

1．學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)：對(duì)平面向量與數(shù)量的“同異點(diǎn)及聯(lián)系”有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，會(huì)用有向線段表示向量，掌握了向量的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算。

2．教學(xué)設(shè)備：能反映向量加法與數(shù)乘運(yùn)算的計(jì)算機(jī)軟件或圖形計(jì)算器，盡可能準(zhǔn)備實(shí)物投影設(shè)備。

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 問題1：

任意找一首用簡譜譜寫的歌曲，你能找到用阿拉伯?dāng)?shù)字“8”表示的音符嗎？為什么？

意圖：關(guān)注依附于平面向量基本定理上的重要數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生明白任何一首曲子都可以用1~7這七個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為音符來譜寫，為用基底表示向量作鋪墊，并由此感受用“元”表達(dá)事物的思想。提出這個(gè)與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系不緊密的問題讓學(xué)生思考的另一個(gè)目的，是將將要學(xué)習(xí)的知識(shí)與思想寓于學(xué)生感興趣的問題中，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)欲望與熱情。

師生活動(dòng)：教師給出一些用簡譜譜寫的歌曲，提出問題讓學(xué)生思考，歸納總結(jié)出如下結(jié)論：任何一首用簡譜譜寫的曲子都找不出用阿拉伯?dāng)?shù)字“8”表示的音符，但都可以用1~7這七個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為音符譜寫出來。

問題2：

兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形之間有什么關(guān)系？你是如何得出這個(gè)關(guān)系的？你能從這個(gè)問題中得到一個(gè)怎樣的結(jié)論？

意圖：由此，使學(xué)生形成三角形的三條邊是三角形這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的三個(gè)類似于向量的“基底”的元認(rèn)知，明確有關(guān)三角形（忽略了位置）的問題均可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形的三條邊的問題。希望能將問題1中“事物元分解”的觀點(diǎn)遷移到數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)中來，并由此引出向量的分解與基底表示的探討。

師生活動(dòng)：讓學(xué)生思考討論，教師幫助學(xué)生總結(jié)出結(jié)論：“如果只考慮形狀大小，任何三角形都可由它的邊來確定，因此我們可以說邊是構(gòu)成三角形的要素（元），而三角形是三元對(duì)象”。任何數(shù)學(xué)對(duì)象都有確定它的基本要素（元），可以通過探究如何用這些要素表示數(shù)學(xué)對(duì)象，達(dá)到理解并把握這些數(shù)學(xué)對(duì)象的目的。

問題3：

取一個(gè)與數(shù)軸方向相同的向量記為a，那么與數(shù)軸平行的所有向量與向量a有什么關(guān)系？

意圖：回顧共線向量定理，體會(huì)共線向量的“基底”及用基底表示共線向量的方法，明確平行向量形成“一維空間”，形成對(duì)“一元數(shù)學(xué)對(duì)象”的認(rèn)識(shí)，并為探究平面向量基本定理作鋪墊。

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧共線向量定理，教師重新解析共線向量定理的意義與作用。

問題4：

取一個(gè)與數(shù)軸不平行的向量記為b，那么向量b可以表示怎樣的向量？ 意圖：明確任意一個(gè)方向上的全體向量均構(gòu)成“一維向量空間”，為探究選取兩個(gè)不同方向的向量作平面向量的基底作準(zhǔn)備。

師生活動(dòng)：學(xué)生思考問題4與問題3的同異點(diǎn)與聯(lián)系，教師解析這個(gè)問題的意義與作用。

問題5：

對(duì)平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個(gè)力？

意圖：由重力可以分解為下滑方向的力與垂直斜坡向里的力的和，體會(huì)向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）過渡。

師生活動(dòng)：學(xué)生說，教師引導(dǎo)并表述結(jié)論。

問題6：

取一個(gè)與向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出來嗎？

意圖：得出平面向量基本定理的內(nèi)容。

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立探究，教師在學(xué)生的探究所獲得的結(jié)論的基礎(chǔ)上，總結(jié)出平面向量基本定理。

問題7：

利用平面向量基本定理，你能解決下面問題嗎？

如圖在中, , 與相交于, 求證:.解析：設(shè)向量的終點(diǎn)共線，故有，則，同時(shí)，由三個(gè)

。所以，從而

所以。

意圖：這個(gè)問題是一個(gè)相當(dāng)簡單的問題，用相似三角形之間的比例關(guān)系就可以解決。這里的目的，是以這個(gè)熟悉而且簡單的問題，讓學(xué)生感受平面向量基本定理的重要作用，體會(huì)向量的應(yīng)用，加深對(duì)平面向量基本定理的認(rèn)識(shí)。

師生活動(dòng)：教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，給出解決這一問題的嚴(yán)謹(jǐn)過程，給學(xué)生一個(gè)利用向量解決問題的示范。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)上述解決問題的方法的步驟，一方面使學(xué)生明確這一方法與平面幾何方法的差異：由于數(shù)量及其運(yùn)算的引進(jìn)，使得我們的算法更容易表達(dá)和操作了；另一方面為今后學(xué)習(xí)算法留下案例，引導(dǎo)學(xué)生從算法的角度思考并解決問題。

此處要再配一些題目，訓(xùn)練學(xué)生以學(xué)會(huì)用基底表示非基底向量。

問題8：

如果一個(gè)問題中沒有向量（結(jié)合問題7中的平面幾何問題考慮），但可以考慮用向量來解決它，你會(huì)按怎樣的步驟來實(shí)現(xiàn)？

意圖：加深對(duì)平面向量基本定理的理解，將向量方法總結(jié)為一個(gè)算法。師生活動(dòng)：學(xué)生先思考，讓學(xué)生發(fā)表意見，教師總結(jié)出向量方法的算法步驟。

問題9：

你能結(jié)合問題

1、問題2與平面向量基本定理，談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)嗎？ 意圖：進(jìn)行本節(jié)課的小結(jié)。

師生活動(dòng)：學(xué)生先談，教師給出總結(jié)：

世界上具有某種共同屬性的事物總有決定它的基本要素，如果我們能找出這些要素并用它來表示這一類事物，那么我們就能通過研究這些基本要素來研究這一類事物，這是一種基本方法。平面向量基本定理為我們建立了一個(gè)示范，它告訴我們，今后利用向量研究問題，我們關(guān)注更多的是基底是什么，如何將有關(guān)向量用基底表示出來。當(dāng)向量用基底表示后，一個(gè)向量與其它向量的區(qū)別就在于基底前的系數(shù)的區(qū)別，這使問題中的各種關(guān)系在轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系后，又進(jìn)一步地轉(zhuǎn)化為有序數(shù)組之間的關(guān)系，從而可以利用數(shù)量的運(yùn)算來研究問題，使問題的解決更容易，更徹底。

七、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)：

1．如圖所示，D、E、F分別是的重心，請(qǐng)將有什么關(guān)系？ 的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，G是表示出來，并探究、、之間、、用、2．請(qǐng)用向量的方法，探究三角形內(nèi)部的其它一些特殊點(diǎn)的性質(zhì)