第一篇：正弦定理教學案例分析

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《正弦定理》教學案例分析

山東省萊蕪市第十七中學/田才林

一、教學內(nèi)容：

本節(jié)課主要通過對實際問題的探索，構(gòu)建數(shù)學模型，利用數(shù)學實驗猜想發(fā)現(xiàn)正弦定理，并從理論上加以證明，最后進行簡單的應用。

二、教材分析：

1、教材地位與作用：本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學必修5》（A版）第一章中，是在高二學生學習了三角等知識之后安排的，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，而定理本身的應用（定理應用放在下一節(jié)專門研究）又十分廣泛，因此做好該節(jié)內(nèi)容的教學，使學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“類比--猜想--證明”的科學研究問題的思路和方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數(shù)學地思考問題和研究問題的思想，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。

2、教學重點和難點：重點是正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明；難點是三角形外接圓法證明。

三、教學目標：

1、知識目標：

掌握正弦定理，理解證明過程。

2、能力目標：

（1）通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生數(shù)學地觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（2）增強學生的協(xié)作能力和數(shù)學交流能力。（3）發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

3、情感態(tài)度與價值觀：

（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。

（2）通過實例的社會意義，培養(yǎng)學生的愛國主義情感和為祖國努力學習的責任心。

四、教學設(shè)想：

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本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，以周圍世界和生活實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質(zhì)的深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。設(shè)計思路如下：

五、教學過程：

（一）創(chuàng)設(shè)問題情景

課前放映一些有關(guān)軍事題材的圖片，并在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執(zhí)行巡邏任務，突然發(fā)現(xiàn)其正東處有一敵艇B正以30海里/小時的速度朝北偏西40°方向航行。經(jīng)研究，決定向其發(fā)射魚雷給以威懾性打擊。已知魚雷的速度為60海里/小時，問怎樣確定發(fā)射角度可擊中敵艦？

[設(shè)計一個學生比較感興趣的實際問題，吸引學生注意力，使其立刻進入到研究者的角色中來！]

（二）啟發(fā)引導學生數(shù)學地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學模型。

用幾何畫板模擬演示魚雷及敵艦行蹤,在探討魚雷發(fā)射角度的過程中，抽象出一個解三角形問題：

1、考察角A的范圍，回憶“大邊對大角”的性質(zhì)

2、讓學生猜測角A的準確角度，由AC=2BC,從而B=2A 從而抽象出一個雛形:

3、測量角A的實際角度,與猜測有誤差,從而產(chǎn)生矛盾: 定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究? 《中學數(shù)學信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學數(shù)學信息網(wǎng)》

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4、進一步修正雛形中的公式,啟發(fā)學生大膽想象:以及

等

[直覺先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發(fā)學生積極的思維!]

（三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學規(guī)律。提出問題:

1、如何對以上等式進行檢驗呢?激發(fā)學生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進行研究，篩選出能成立的等式（）。

2、那這一結(jié)論對任意三角形都適用嗎？指導學生用刻度尺、圓規(guī)、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

3、讓學生總結(jié)實驗結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對的邊滿足關(guān)系[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學的研究思路！]

（四）讓學生進行各種嘗試，探尋理論證明的方法。提出問題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學生注意到猜想和定理的區(qū)別，強化學生思維的嚴密性。

2、怎樣進行理論證明呢？培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思想，通過作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進行證明。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗學生是否掌握了以上的研究思路。用幾何畫板動畫演示，找到比值，突破難點。

4、將猜想變?yōu)槎ɡ恚⒂靡越鉀Q課首提出的問題，并進行適當?shù)乃枷虢逃?。[學生成為發(fā)現(xiàn)者，成為創(chuàng)造者！讓學生享受成功的喜悅！] 《中學數(shù)學信息網(wǎng)》系列資料 004km.cn 版權(quán)所有@《中學數(shù)學信息網(wǎng)》

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（五）反思總結(jié)，布置作業(yè)

1、正弦定理具有對稱和諧美

2、“類比→實驗→猜想→證明”是一種常用的研究問題的思路和方法 課下思考：三角形中還有其它的邊角定量關(guān)系嗎？

六、板書設(shè)計：

正弦定理

問題：大邊對大角→邊角準確的量化關(guān)系？ 研究思路：特例→類比→實驗→猜想→證明 結(jié)論：在△ABC中，邊與所對角滿足關(guān)系：

七、課后反思

本節(jié)課授課對象為實驗班的學生，學習基礎(chǔ)較好。同時，考慮到這是一節(jié)探究課，授課前并沒有告訴學生授課內(nèi)容。學生在未經(jīng)預習不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預設(shè)的思路中，一步步發(fā)現(xiàn)了定理并證明了定理，感受到了創(chuàng)造的快樂，激發(fā)了學習數(shù)學的興趣。

（一）、通過創(chuàng)設(shè)教學情境，激活了學生思維。從認知的角度看，情境可視為一種信息載體，一種知識產(chǎn)生的背景。本節(jié)課數(shù)學情境的創(chuàng)設(shè)突出了以下兩點：

1．從有利于學生主動探索設(shè)計數(shù)學情境。新課標指出：學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，本教案緊緊地抓住高二學生的這一特征，利用“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”這一富有挑戰(zhàn)性和探索性的材料，精心設(shè)計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。

2.以問題為導向設(shè)計教學情境。“問題是數(shù)學的心臟”，本節(jié)課數(shù)學情境的設(shè)計處處以問題為導向：“怎樣調(diào)整發(fā)射角度呢？”、“我們的工作該怎樣進行呢？”、“我們的‘根據(jù)地’是什么？”、“對任意三角形都成立嗎？”??促使學生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題。

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（二）、創(chuàng)造性地使用了教材。數(shù)學教學的核心是學生的“再創(chuàng)造”，新課標提倡教師創(chuàng)造性地使用教材。本節(jié)課從問題情境的創(chuàng)造到數(shù)學實驗的操作，再到證明方法的發(fā)現(xiàn)，都對教材作了一定的調(diào)整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發(fā)展過程中展開思維，發(fā)展了學生的能力。

（三）數(shù)學實驗走進了課堂，這一樸實無華而又意義重大的科學研究的思路和方法給了學生成功的快樂；這一思維模式的養(yǎng)成也為學生的終身發(fā)展提供了有利的武器。

一些遺憾：由于這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平?jīng)]有達到足夠的提升。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。

一些感悟：輕松愉快的課堂是學生思維發(fā)展的天地，是合作交流、探索創(chuàng)新的主陣地，是思想教育的好場所。新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞臺！

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第二篇：《正弦定理》教學案例分析

《正弦定理》教學案例分析

劉文弟

一、教學內(nèi)容：

本節(jié)課主要通過對實際問題的探索，構(gòu)建數(shù)學模型，利用數(shù)學實驗猜想發(fā)現(xiàn)正弦定理，并從理論上加以證實，最后進行簡單的應用。

二、教材分析：

1、教材地位與作用：本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學必修5》（A版）第一章中，是在高二學生學習了三角等知識之后安排的，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，而定理本身的應用（定理應用放在下一節(jié)專門研究）又十分廣泛，因此做好該節(jié)內(nèi)容的教學，使學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證實，感受“類比--猜想--證實”的科學研究問題的思路和方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數(shù)學地思考問題和研究問題的思想，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。

2、教學重點和難點：重點是正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證實；難點是三角形外接圓法證實。

三、教學目標：

1、知識目標：

把握正弦定理，理解證實過程。

2、能力目標：

（1）通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生數(shù)學地觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（2）增強學生的協(xié)作能力和數(shù)學交流能力。（3）發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

3、情感態(tài)度與價值觀：

（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的愛好。（2）通過實例的社會意義，培養(yǎng)學生的愛國主義情感和為祖國努力學習的責任心。

四、教學設(shè)想：

本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，以四周世界和生活實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應用于對任意三角形性質(zhì)的深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。設(shè)計思路如下：

五、教學過程：

（一）創(chuàng)設(shè)問題情景

課前放映一些有關(guān)軍事題材的圖片，并在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執(zhí)行巡邏任務，忽然發(fā)現(xiàn)其正東處有一敵艇B正以30海里/小時的速度朝北偏西40°方向航行。經(jīng)研究，決定向其發(fā)射魚雷給以威懾性打擊。已知魚雷的速度為60海里/小時，問怎樣確定發(fā)射角度可擊中敵艦？

[設(shè)計一個學生比較感愛好的實際問題，吸引學生注重力，使其馬上進入到研究者的角色中來！]

（二）啟發(fā)引導學生數(shù)學地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學模型。

用幾何畫板模擬演示魚雷及敵艦行蹤,在探討魚雷發(fā)射角度的過程中，抽象出一個解三角形問題：

1、考察角A的范圍，回憶“大邊對大角”的性質(zhì)

2、讓學生猜測角A的準確角度，由AC=2BC,從而B=2A 從而抽象出一個雛形:

3、測量角A的實際角度,與猜測有誤差,從而產(chǎn)生矛盾: 定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究?

4、進一步修正雛形中的公式,啟發(fā)學生大膽想象:以及

等

[直覺先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發(fā)學生積極的思維!]

（三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學規(guī)律。提出問題:

1、如何對以上等式進行檢驗呢?激發(fā)學生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進行研究，篩選出能成立的等式（）。

2、那這一結(jié)論對任意三角形都適用嗎？指導學生用刻度尺、圓規(guī)、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

3、讓學生總堅固驗結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對的邊滿足關(guān)系

[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學的研究思路！]

（四）讓學生進行各種嘗試，探尋理論證實的方法。提出問題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學生注重到猜想和定理的區(qū)別，強化學生思維的嚴密性。

2、怎樣進行理論證實呢？培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思想，通過作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進行證實。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗學生是否把握了以上的研究思路。用幾何畫板動畫演示，找到比值，突破難點。

4、將猜想變?yōu)槎ɡ?，并用以解決課首提出的問題，并進行適當?shù)乃枷虢逃?。[學生成為發(fā)現(xiàn)者，成為創(chuàng)造者！讓學生享受成功的喜悅！]

（五）反思總結(jié)，布置作業(yè)

1、正弦定理具有對稱和諧美

2、“類比→實驗→猜想→證實”是一種常用的研究問題的思路和方法 課下思考：三角形中還有其它的邊角定量關(guān)系嗎？

六、板書設(shè)計： 正弦定理

問題：大邊對大角→邊角準確的量化關(guān)系？ 研究思路：特例→類比→實驗→猜想→證實 結(jié)論：在△ABC中，邊與所對角滿足關(guān)系：

七、課后反思 本節(jié)課授課對象為實驗班的學生，學習基礎(chǔ)較好。同時，考慮到這是一節(jié)探究課，授課前并沒有告訴學生授課內(nèi)容。學生在未經(jīng)預習不知正弦定理內(nèi)容和證實方法的前提下，在教師預設(shè)的思路中，一步步發(fā)現(xiàn)了定理并證實了定理，感受到了創(chuàng)造的快樂，激發(fā)了學習數(shù)學的愛好。

（一）、通過創(chuàng)設(shè)教學情境，激活了學生思維。從認知的角度看，情境可視為一種信息載體，一種知識產(chǎn)生的背景。本節(jié)課數(shù)學情境的創(chuàng)設(shè)突出了以下兩點：

1．從有利于學生主動探索設(shè)計數(shù)學情境。新課標指出：學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，本教案緊緊地抓住高二學生的這一特征，利用“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證實”這一富有挑戰(zhàn)性和探索性的材料，精心設(shè)計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。

2.以問題為導向設(shè)計教學情境。“問題是數(shù)學的心臟”，本節(jié)課數(shù)學情境的設(shè)計處處以問題為導向：“怎樣調(diào)整發(fā)射角度呢？”、“我們的工作該怎樣進行呢？”、“我們的‘根據(jù)地’是什么？”、“對任意三角形都成立嗎？”??促使學生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題。

（二）、創(chuàng)造性地使用了教材。數(shù)學教學的核心是學生的“再創(chuàng)造”，新課標提倡教師創(chuàng)造性地使用教材。本節(jié)課從問題情境的創(chuàng)造到數(shù)學實驗的操作，再到證實方法的發(fā)現(xiàn)，都對教材作了一定的調(diào)整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發(fā)展過程中展開思維，發(fā)展了學生的能力。

（三）數(shù)學實驗走進了課堂，這一樸實無華而又意義重大的科學研究的思路和方法給了學生成功的快樂；這一思維模式的養(yǎng)成也為學生的終身發(fā)展提供了有利的武器。

一些遺憾：由于這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平?jīng)]有達到足夠的提升。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。

一些感悟：輕松愉快的課堂是學生思維發(fā)展的天地，是合作交流、探索創(chuàng)新的主陣地，是思想教育的好場所。新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞臺！

第三篇：正弦定理教學案例

正弦定理教學案例

一、教學設(shè)計

1、教材分析

“正弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第一冊（下）的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之五，既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課是“正弦定理”教學的第一節(jié)課，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

為什么叫解斜三角形？解斜三角形必須要用正弦定理和余弦定理嗎？正弦定理和余弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關(guān)心的問題。

2、設(shè)計思路

為了回答上述問題我想到了“情境——問題”教學模式，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境——問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。根據(jù)上述精神，筆者具體做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一俱現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；②啟發(fā)、引導學生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性7問題時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數(shù)學實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導學生使用計算器對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。證明時，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點AC＋CB＝AB；二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，同時將三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只有兩個項的關(guān)系式，以揭示引入單位向量j和使用向量的數(shù)量積運算的合理性。④由學生獨立使用已證明的結(jié)論去解決②中所提出的問題。

二、教學過程

1、設(shè)置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d＝1km。因上游暴

發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭B處

或其下游1km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度

｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。

2、提出問題

師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學們設(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選了幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個問題：

⑴船應開往B處還是C處？

⑵船從A開到B、C分別需要多少時間？

⑶船從A到B、C的距離分別是多少？

⑷船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

⑸船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

師：大家講座一下，應該怎樣解決上述問題？

大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題⑴，需要解決問題⑵，要解決問題⑵，需要先解決問題⑶和⑷，問題用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題⑷，問題⑷與問題⑸是兩個相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題⑷和⑸。

師：請同學們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：般從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小｜v｜及v 1與v 2的夾角θ：

＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，還需求 及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數(shù)學實質(zhì)是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生3：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這四個元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生4：如果另一邊的對角已經(jīng)求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這四個元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。

生5：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這四個元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

3、解決問題

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：如圖4，請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這四個元素間有什么關(guān)系？

多數(shù)小組很快得出結(jié)論：

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結(jié)果。

幾分鐘后，多數(shù)小組報告結(jié)論成立，只有一個小組合 因測量和計算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生6：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進行解決。

生7：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？

學生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直

角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②

三角形同一邊上的高不變；③三角形外接圓直徑不變。在教師的建議

下，學生分別利用這3種關(guān)系作為基礎(chǔ)得出了如下三種證法：

證法一：如圖5，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則

有

AD＝b·sin∠BCA，BE＝c·sin∠CAB，CF＝a·sin∠ABC。

所以S△ABC＝a·b·csin∠BCA

＝b·c·sin∠CAB

＝c·a·sin∠

ABC.證法二：如圖5，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。

則有

AD＝b·sin∠BCA＝c·sin∠ABC，BE＝a·sin∠BCA＝c·sin∠CAB。

證法三：如圖6，設(shè)CD＝2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ADC。

師：據(jù)我所知，從AC＋CB＝AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請大家討論一下。

生8：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

生9：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

生10：還要想辦法將有三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。

生11：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量（如向量AC）垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。

師：請大家具體試一下，看還有什么問題？

眾學生：向量j與AB、CB的夾角與△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形有關(guān)，所以應分兩類情況分別證明。

教師讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

語法四：如圖7，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

因為AB＝AC＋CB，所以 j·AB＝j·（AC＋CB）＝j·AC＋j·CB.因為j·AC＝0，j·CB＝| j ||CB|cos（90°－∠C）＝a·sinC，j·AB＝| j ||AB|cos（90°－∠A）＝c·sinA

.4、反思應用

師：同學們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系，請大家考慮一下，正弦定理能夠解決哪些問題？

眾生：知三求一，即已知三角形的兩邊與一邊的對角，可求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一角的對邊，可求另一角的對邊；已知三角形中兩邊與它們的對角四個元素中的兩個元素，可研究另外兩個元素的關(guān)系。

師：請同學們用正弦定理解決本節(jié)課開始時大家提出的問題。

三、教學反思

本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。

創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境是“情境——問題”教學的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內(nèi)容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認知沖突型數(shù)學情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一?！罢叶ɡ怼本哂袕V泛的應用價值，故本課中從應用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學中所使用的數(shù)學情境。該情境源于教材第五章第十二節(jié)研究性課題的第二個問題，筆者將其加工成一個具有實際意義的決策型問題。實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發(fā)現(xiàn)教材中有不少可用的素材。在進行教學設(shè)計時，筆者曾考慮以“直角三角形”作為情境，考慮到學生據(jù)此不易形成目標問題，而且問題缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解決問題，故未采用這個方案。

“情境——問題”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關(guān)鍵，教學實驗表明，學生能否提出數(shù)學問題，不僅受其數(shù)學基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對學生提問的態(tài)度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。要引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發(fā)學生揭示問題的數(shù)學實質(zhì)，將提問綽向深入。

本課中，在教師的啟導下，學生首先提出的問題是：船應開往B處還是C處？答案取決于船從A到達B、C的時間；船從A到達B、C的時間，又取決于船從A到達B、C的距離和船的速度的大??；而船能否到達B、C，又取決于船的航向。這些都是具有實際意義的問題，去掉問題的實際意義得出過渡性數(shù)學問題，抓住過渡性問題的數(shù)學實質(zhì)，將其上升為一般性數(shù)學問題，即目標問題。學生還提出了一個超前性問題：三角形中三條邊與一個角之間有什么關(guān)系？這是筆者在設(shè)計教案時未想到的，筆者除了對提出此問題的學生給予表揚和肯定外，還要求同學們課后認真研究這個問題，這個問題已經(jīng)自然地成為教學“余弦定理”的情境。

使用計算器處理復雜、煩瑣的數(shù)字運算是新教材的一個重要特點。本課中通過使用計算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性試驗成為可能。這說明計算器在探索、檢驗規(guī)律方面也能發(fā)揮重要作用。在啟導學生證明正弦定理時，筆者沒有限制學生的思路，使學生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)了多種證法，其中每一種證法都比教材上給出的證法要簡單。但沒有能夠自然地啟發(fā)、引導學生發(fā)現(xiàn)和選擇向量方法，是一個遺憾。

第四篇：正弦定理教材分析

《正弦定理》教材分析

一、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

（1）正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章第一節(jié)第一部分的內(nèi)容。本節(jié)旨在基于高二已學的三角知識，通過對三角形邊

角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間數(shù)量關(guān)

系，引出正弦定理。

（2）一個三角形，有六個元素：三個角三條邊。知道其中的幾個元

素求其它元素的過程，即為解三角形。由于三角形內(nèi)角和為180

度，故而只需建立二邊二角的關(guān)系，就能解決所有解三角形的問題。而其中二邊二角的關(guān)系即為正弦定理。這個過程是對三

角知識的應用；也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸。

（3）教材證明正弦定理時，應用了前面所學“正弦函數(shù)定義”的知

識，很好的解決了“已知兩角一邊或兩邊一角求其他邊角”的問題。教材的編排循序漸進，有效的把所學知識融會貫通，使

學生更容易接收。

（4）正弦定理本身的應用十分廣泛，同學們在下一節(jié)中即將學習領(lǐng)

悟到。因此做好該節(jié)內(nèi)容的教學，使學生通過對任意三角形中

正余弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“類比--猜想--證明”的科學研究問題方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數(shù)

學思想，對于下一節(jié)內(nèi)容的學習有極大的幫助。

二、教學目標

1.知識與技能目標：

（1）引導學生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

（2）掌握簡單運用正弦定理解三角形、初步解決與測量與幾何計算

有關(guān)的實際問題的方法。

2.過程與方法目標：

（1）通過對正弦定理的探究，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的思維能力；

（2）通過對正弦定理的證明和應用，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合思想方

法的能力；

（3）通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生從數(shù)學角度觀察問題、提出

問題、分析問題、解決問題的能力；

3.情感態(tài)度與價值觀目標：

（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培

養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的品質(zhì)，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。

（2）通過本節(jié)學習和運用實踐，體會數(shù)學的科學價值、應用價值，學習用數(shù)學的思維方式解決問題、認識世界，進而領(lǐng)會數(shù)學的人文價值、美學價值。

三、地位與作用

《新課程標準》要求通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并

能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運用正弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計

算有關(guān)的生活實際問題。

利用正弦定理解三角形，可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，避免了許多繁雜的運算，從而使許多復雜的問題得以解決。

四、教學建議

1.創(chuàng)造性使用教材。

數(shù)學教學的核心是學生的“再創(chuàng)造”，新課標提倡教師創(chuàng)造性地使用教材。本節(jié)課的教學，應該從問題情境做引入，通過對數(shù)學實驗的操作，使學生領(lǐng)悟證明方法。教師可以對教材作一定程度的調(diào)整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發(fā)展過程中展開思維，發(fā)展了學生的能力。

2.深刻挖掘教材。

深刻挖掘教材中體現(xiàn)的數(shù)學思想。作為教師，首先一定要清楚正弦定理在解三角形思維體系中的地位與作用，引導學生發(fā)現(xiàn)三角形的6個元素知三求三的所有情況；使學生理解需要已知哪些量，就可以解決所有關(guān)于三角形的所有問題。

這樣做的好處是：

（1）使學生知道建立正弦定理的必要性、合理性和重要性，幫助學

生建構(gòu)數(shù)學知識；

（2）提煉數(shù)學思想，提高學生解決問題的能力；

（3）在解決三角形的實際問題時，讓學生知道要測量出什么量，才

能計算出所的要求的量實際問題。

3.從學生的角度出發(fā)設(shè)計課堂。

從學生的角度出發(fā)設(shè)計課堂，從有利于學生主動探索設(shè)計數(shù)學情境。新課標指出：學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，課堂設(shè)計要緊緊地抓住高二學生的這一特征，利用“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”這一富有挑戰(zhàn)性和探索性的材料，精心設(shè)計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。

第五篇：正弦定理教學設(shè)計

教學設(shè)計

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中課程標準實驗教科書必修5中第一章《解三角形》的學習內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學生聯(lián)想所學知識，運用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識作為工具，推導出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學生了解向量的工具性和知識間的相互聯(lián)系的的開端，對進一步學習任意三角形的求解、體會事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節(jié)課學習，培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的意識和自主、合作、探究能力。

二、目標及其解析

目標：（1）正弦定理的發(fā)現(xiàn)；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應用。解析：先通過直角三角形找出三邊與三角的關(guān)系，再依次對銳角三角形與鈍角三角形進行探

討，歸納總結(jié)出正弦定理，并能進行簡單的應用。

三、教學問題診斷分析

正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見、最重要的兩個定理之一，它準確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關(guān)系，對于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學生綜合運用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識解決幾何問題和實際應用問題，這些知識的掌握，有助于培養(yǎng)分析問題和解決問題能力，所以一向為數(shù)學教育所重視。

四、教學支持條件分析

學生在初中已學過有關(guān)直角三角形的一些知識和有關(guān)任意三角形的一些知識，學生在高中已學過必修4（包括三角函數(shù)與平面向量），學生已具備初步的數(shù)學建模能力，會從簡單的實際問題中抽象出數(shù)學模型完成教學目標，是切實可行的。

五、教學過程

（一）教學基本流程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

①在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 學生容易想到三角函數(shù)式子：（可能還有余弦、正

a切的式子）bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②這三個式子中都含有哪個邊長？

c

學生馬上看到，是c邊，因為 sinC?1?B C a c③那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？

abc ??

sinAsinBsinC

④得到的這個等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？（各邊和它所對角的正弦的比相等）⑥此關(guān)系式能不能推廣到任意三角形？

設(shè)計意圖: 以舊引新, 打破學生原有認知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài), 刺激學生認知結(jié)構(gòu)根據(jù)問題情境進行自我組織, 促進認知發(fā)展.從直角三角形邊角關(guān)系切入, 符合從特殊到一般的思維過程.（二）探究正弦定理

abc

?

?猜想：在任意的△ABC中, 各邊和它所對角的正弦的比相等, 即：

sinAsinBsinC

設(shè)計意圖:鼓勵學生模擬數(shù)學家的思維方式和思維過程, 大膽拓廣, 主動投入數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程,發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對于直角三角形，我們前面已經(jīng)推導出這個關(guān)系式是成立的，那么我們現(xiàn)在是否需要分情況來證明此關(guān)系式？ 設(shè)計意圖:及時總結(jié)，使方向更明確，并培養(yǎng)學生的分類意識

①那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證？ ——可以構(gòu)造直角三角形

②如何構(gòu)造直角三角形？

——作高線（例如：作CD⊥AB，則出現(xiàn)兩個直角三角形）

ab

?③將欲證的連等式分成兩個等式證明，若先證明，sinAsinB

那么如何將A、B、a、b聯(lián)系起來？

——在兩個直角三角形Rt△BCD與Rt△ACD中，CD是公共邊： 在Rt△BCD中，CD= asinB，在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab

??asinB?bsinA?

sinAsinBbcsinB ?sinC？ ——作高線AE⊥BC，同理可證.設(shè)計意圖:把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題, 引導啟發(fā)學生利用已有的知識解決新的問題.c?

??若△ABC為鈍角三角形，同理可證明：

sinAsinBsinC

（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，AC＝2620m，C 求AB.(精確到1米)

解：B＝180o－A－C＝ 180o－ 48.57o －101.87o ＝29.56o0

abc

bc由?得c?bsinC?2620?sin48.57?3982 sinBsinCsinBsin29.560

abc

???2R sinAsinBsinC

正弦定理推論（1）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

abc

B?正弦定理推論（2）sinA?，sin,sinC?

2R2R2R

正弦定理：

解決類型：（1）已知三角形的任意兩角與一邊，可求出另外一角和兩邊；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可求出另外一邊和兩角。

（四）目標檢測

1．一個三角形的兩個內(nèi)角分別是30和45，如果45角所對的邊長為8，那么30角所對邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

（五）小結(jié)

(1)在這節(jié)課中，學習了哪些知識？

正弦定理及其發(fā)現(xiàn)和證明，正弦定理的初步應用

(2)正弦定理如何表述？ a?b?c

sinAsinBsinC

（3）表達式反映了什么？

指出了任意三角形中，各邊與對應角的正弦之間的一個關(guān)系式

學案

1．1正弦定理

班級姓名學號

一、學習目標

（1）正弦定理的發(fā)現(xiàn)；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應用。

二、問題與例題

問題１：在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 問題２：這三個式子中都含有哪個邊長？？

問題３：那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？？

問題4：得到的這個等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關(guān)系？ 問題5：那么能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證？ 例１.（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，CAC＝2620m，求AB.(精確到1米)

三、目標檢測

1．一個三角形的兩個內(nèi)角分別是30和45，如果45角所對的邊長為8，那么30角所對邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1、在△ABC中，若a=，b=，A=300, 則c等于（）A、2B、C、25或D、以上結(jié)果都不對 2．在△ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 3.若

sinAcosBcosC

??則△ABC為abc

A．等邊三角形C．有一個內(nèi)角為30°的直角三角形

（）

B．等腰三角形

D．有一個內(nèi)角為30°的等腰三角形

4.△ABC中,∠A、∠B的對邊分別為a,b，且∠A=60°,a?（）A．有一個解B．有兩個解C．無解5.在△ABC中，a＝26,b?4,那么滿足條件的△ABC

D．不能確定，b＝22，B＝45°，則A等于6.在△ABC中，若c?2，C?60?，a?

3，則A? 3

二、鞏固題(B組)

7.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，則此三角形的最大邊長為 8.在銳角△ABC中，已知A?2B，則的9.在△ABC中，已知tanA?

a

取值范圍是． b

1，tanB?，則其最長邊與最短邊的比為． 2

310.已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是．

三、提高題(C組)

11．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b

12△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀。

13．為了測量上海東方明珠的高度，某人站在A處測得塔尖的仰角為75.5，前進38.5m后，到達B處測得塔尖的仰角為80.0.試計算東方明珠塔的高度（精確到1m）.?

?