銷售代理的開發(fā)與中斷

摘要

銷售代理的開發(fā)與中斷問題是一個(gè)非線性的優(yōu)化問題,即要求公司的開支最小。本文從公司每年分給各個(gè)代理的業(yè)務(wù)量為入題點(diǎn)進(jìn)行考慮，只要業(yè)務(wù)量一確定，相應(yīng)的年運(yùn)行費(fèi)用、一次性費(fèi)用、中斷費(fèi)用、恢復(fù)費(fèi)用等也就可以確定下來，進(jìn)而可以求得總開支。

問題一：

min，其中，取=0.0001,的值如下表：

年份

代理一

代理二

代理三

代理四

總計(jì)

350

0

0

400

350

150

0

0

500

350

250

0

0

600

350

250

0

700

350

250

0

200

800

此時(shí)

min(T)=313.5

問題二：

min，當(dāng)=0.005,的值如下表：

年份

代理一

代理二

代理三

代理四

總計(jì)

150

250

0

0

400

250

250

0

0

500

350

250

0

0

600

350

250

0

700

250

250

300

0

800

此時(shí)

min(T)=77.5

問題的重述

某公司正在某個(gè)城市開發(fā)些銷售代理業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)已確定了未來5年的業(yè)務(wù)量，分別為400，500，600，700，800。該公司已初步物色了4家銷售公司作為候選企業(yè)，下表給出該公司與每個(gè)候選企業(yè)代理關(guān)系的一次性費(fèi)用，以及每個(gè)候選企業(yè)每年所能承攬的最大業(yè)務(wù)量和年運(yùn)行費(fèi)用，該公司應(yīng)與哪些候選企業(yè)建立代理關(guān)系?

代理一

代理二

代理三

代理四

年最大業(yè)務(wù)量

350

250

300

200

一次性費(fèi)用

年運(yùn)行費(fèi)用

7.5

4.0

6.5

3.0

若該公司目前已經(jīng)與上述4個(gè)代理建立了關(guān)系，并且處于運(yùn)行狀態(tài)，但每年初可以臨時(shí)中斷或恢復(fù)代理關(guān)系，每次臨時(shí)中斷或重新恢復(fù)代理關(guān)系的費(fèi)用如下表，該公司應(yīng)如何對(duì)這些代理進(jìn)行業(yè)務(wù)調(diào)整?

代理一

代理二

代理三

代理四

中斷費(fèi)用

恢復(fù)費(fèi)用

模型假設(shè)

1.在一年內(nèi)只在年初進(jìn)行業(yè)務(wù)量分配，中途不能有業(yè)務(wù)分配、中斷、恢復(fù)；

2.只要某代理分得有業(yè)務(wù)量，公司就應(yīng)支付年運(yùn)行費(fèi)用和一次性費(fèi)用；

符號(hào)說明

：

5年里的總開支

：公司第年的業(yè)務(wù)量，：公司和代理的年最大業(yè)務(wù)量，：公司和代理建立代理關(guān)系的一次性費(fèi)用，：公司和代理建立代理關(guān)系的年運(yùn)行費(fèi)用，：公司和代理的中斷代理關(guān)系費(fèi)用，：公司和代理的恢復(fù)代理關(guān)系費(fèi)用，：公司在第年分給代理的業(yè)務(wù)量，；

：

公司在第年是否與代理建立代理關(guān)系，即公司在第年是否給代理分配業(yè)務(wù)量(=1，建立；=0，未建立)，；，當(dāng)>0,則=1；當(dāng)=0，則=0

：公司在第(-1)年到第年是否與代理有業(yè)務(wù)中斷關(guān)系，；

即：

：公司在第(-1)年到第年是否與代理有業(yè)務(wù)恢復(fù)關(guān)系，；

即：

模型的分析

從公司每年分給各個(gè)代理的業(yè)務(wù)量為入題點(diǎn)進(jìn)行考慮，只要業(yè)務(wù)量一確定，相應(yīng)的年運(yùn)行費(fèi)用、一次性費(fèi)用、中斷費(fèi)用、恢復(fù)費(fèi)用等也就可以確定下來，進(jìn)而可以求得總開支。

只要>0,則=1，=0，則=0，因此可以把和的關(guān)系表示為：。

就問題一而言，由題意可知：總開支

=總一次性費(fèi)用+總運(yùn)行費(fèi)用，一次性費(fèi)用為5年內(nèi)只要公司分給代理的業(yè)務(wù)量則就應(yīng)該支付一次性費(fèi)用；運(yùn)行費(fèi)用為只要?jiǎng)t就應(yīng)該支付運(yùn)行費(fèi)。用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：，即為總開支的目標(biāo)函數(shù)。約束條件為：。這便是第一問的模型。

問題二增加了中斷費(fèi)用和恢復(fù)費(fèi)用，少了一次性費(fèi)用,從而可知：總開支=總運(yùn)行費(fèi)用+總中斷費(fèi)用+總恢復(fù)費(fèi)用?？傔\(yùn)行費(fèi)用在第一問的分析中可以求得，現(xiàn)在我們來求總中斷費(fèi)用和總恢復(fù)費(fèi)用。

中斷費(fèi)用是代理由運(yùn)行狀態(tài)到中斷狀態(tài)而產(chǎn)生的，恢復(fù)費(fèi)用是代理由中斷狀態(tài)到運(yùn)行狀態(tài)而產(chǎn)生的。由此定義：為公司在第(-1)年到第年是否與代理有業(yè)務(wù)中斷關(guān)系，；；為公司在第(-1)年到第年是否與代理有業(yè)務(wù)恢復(fù)關(guān)系，。

顯然：，()，于是中斷費(fèi)用和恢復(fù)費(fèi)用便可以求得。目標(biāo)函數(shù)便可表示為：，約束條件也為：。這便是問題二的模型。

模型的建立與求解

問題一求解：

由以上分析可知問題一的模型為：

min

為了便于求解和減少?zèng)Q策變量的個(gè)數(shù)，將，(為非常小的一個(gè)常數(shù))替換目標(biāo)函數(shù)的和，此時(shí)決策變量只有，由Lingo10.0編程可求的結(jié)果如下表（取=0.0001）：

年份()

代理一

代理二

代理三

代理四

總計(jì)

350

0

0

400

350

150

0

0

500

350

250

0

0

600

350

250

0

700

350

250

0

200

800

此時(shí)

min(T)=313.5。程序及結(jié)果見附錄一。

問題二求解：

由分析可知問題二的模型為：

為了便于求解和減少?zèng)Q策變量的個(gè)數(shù)，將，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的，進(jìn)行替換，此時(shí)決策變量也只有。由Lingo10.0編程可求的結(jié)果如下表（取=0.0001）：

年份()

代理一

代理二

代理三

代理四

總計(jì)

150

250

0

0

400

250

250

0

0

500

350

250

0

0

600

350

250

0

700

250

250

300

0

800

此時(shí)

min(T)=77.5。程序及結(jié)果見附錄二。

模型的評(píng)價(jià)與分析

1.該模型的求解結(jié)果雖然為固定值，其實(shí)不然，應(yīng)該說是一個(gè)范圍。而上面的搜索只是確定選擇哪些代理來建立代理關(guān)系。如第一問的第一年的業(yè)務(wù)量分配選擇了代理一和代理二，求得結(jié)果為。其實(shí)只要滿足，且總開支也不會(huì)變。因此并不是的準(zhǔn)確值，而是確定代理的選擇。當(dāng)時(shí)表示選擇該代理；當(dāng)時(shí)表示不選擇該代理，文中的變量就說明了這點(diǎn)。

2.的取值也將會(huì)影響具體的求解結(jié)果。當(dāng)很小是在計(jì)算機(jī)中是一個(gè)非常大的數(shù)；當(dāng)在比較大時(shí)，在時(shí)，=0.5.因此在求解過程中應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)摹?/p>

附錄一:

Model:

Min=100*(x11+x21+x31+x41+x51)/(x11+x21+x31+x41+x51+d)+80*(x12+x22+x32+x42+x52)/(x12+x22+x32+x42+x52+d)+90*(x13+x23+x33+x43+x53)/(x13+x23+x33+x43+x53+d)+70*(x14+x24+x34+x44+x54)/(x14+x24+x34+x44+x54+d)+7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d));

x11<=350;

x21<=350;

x31<=350;

x41<=350;

x51<=350;

x12<=250;

x22<=250;

x32<=250;

x42<=250;

x52<=250;

x13<=300;

x23<=300;

x33<=300;

x43<=300;

x53<=300;

x14<=200;

x24<=200;

x34<=200;

x44<=200;

x54<=200;

x11+x12+x13+x14>=400;

x21+x22+x23+x24>=500;

x31+x32+x33+x34>=600;

x41+x42+x43+x44>=700;

x51+x52+x53+x54>=800;

d=0.00001;

end

結(jié)果:

Local

optimal

solution

found.Objective

value:

313.4999

Total

solver

iterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

X11

350.0000

0.000000

X21

350.0000

0.000000

X31

350.0000

0.000000

X41

350.0000

0.000000

X51

350.0000

0.000000

D

0.1000000E-03

0.000000

X12

50.00000

0.000000

X22

150.0000

0.000000

X32

250.0000

0.000000

X42

250.0000

0.000000

X52

250.0000

0.000000

X13

0.000000

965000.0

X23

0.000000

965000.0

X33

0.000000

965000.0

X43

0.000000

965000.0

X53

0.000000

965000.0

X14

0.000000

30000.00

X24

0.000000

30000.00

X34

0.000000

30000.00

X44

100.0000

0.000000

X54

200.0000

0.000000

附錄二:

Model:

Min=7.5*(x11/(x11+d)+x21/(x21+d)+x31/(x31+d)+x41/(x41+d)+x51/(x51+d))+4*(x12/(x12+d)+x22/(x22+d)+x32/(x32+d)+x42/(x42+d)+x52/(x52+d))+6.5*(x13/(x13+d)+x23/(x23+d)+x33/(x33+d)+x43/(x43+d)+x53/(x53+d))+3*(x14/(x14+d)+x24/(x24+d)+x34/(x34+d)+x44/(x44+d)+x54/(x54+d))+5*((1-x11/(x11+d)+1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)+1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)+1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)+1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)+1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+3*((1-x12/(x12+d)+1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)+1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)+1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)+1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)+1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+4*((1-x13/(x13+d)+1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)+1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)+1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)+1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)+1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+2*((1-x14/(x14+d)+1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)+1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)+1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)+1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)+1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2+5*((1-x11/(x11+d)-1)*(1-x11/(x11+d))+(x11/(x11+d)-x21/(x21+d)-1)*(x11/(x11+d)-x21/(x21+d))+(x21/(x21+d)-x31/(x31+d)-1)*(x21/(x21+d)-x31/(x31+d))+(x31/(x31+d)-x41/(x41+d)-1)*(x31/(x31+d)-x41/(x41+d))+(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)-1)*(x41/(x41+d)-x51/(x51+d)))/2+4*((1-x12/(x12+d)-1)*(1-x12/(x12+d))+(x12/(x12+d)-x22/(x22+d)-1)*(x12/(x12+d)-x22/(x22+d))+(x22/(x22+d)-x32/(x32+d)-1)*(x22/(x22+d)-x32/(x32+d))+(x32/(x32+d)-x42/(x42+d)-1)*(x32/(x32+d)-x42/(x42+d))+(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)-1)*(x42/(x42+d)-x52/(x52+d)))/2+1*((1-x13/(x13+d)-1)*(1-x13/(x13+d))+(x13/(x13+d)-x23/(x23+d)-1)*(x13/(x13+d)-x23/(x23+d))+(x23/(x23+d)-x33/(x33+d)-1)*(x23/(x23+d)-x33/(x33+d))+(x33/(x33+d)-x43/(x43+d)-1)*(x33/(x33+d)-x43/(x43+d))+(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)-1)*(x43/(x43+d)-x53/(x53+d)))/2+4*((1-x14/(x14+d)-1)*(1-x14/(x14+d))+(x14/(x14+d)-x24/(x24+d)-1)*(x14/(x14+d)-x24/(x24+d))+(x24/(x24+d)-x34/(x34+d)-1)*(x24/(x24+d)-x34/(x34+d))+(x34/(x34+d)-x44/(x44+d)-1)*(x34/(x34+d)-x44/(x44+d))+(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)-1)*(x44/(x44+d)-x54/(x54+d)))/2;

x11<=350;

x21<=350;

x31<=350;

x41<=350;

x51<=350;

x12<=250;

x22<=250;

x32<=250;

x42<=250;

x52<=250;

x13<=300;

x23<=300;

x33<=300;

x43<=300;

x53<=300;

x14<=200;

x24<=200;

x34<=200;

x44<=200;

x54<=200;

x11+x12+x13+x14>=400;

x21+x22+x23+x24>=500;

x31+x32+x33+x34>=600;

x41+x42+x43+x44>=700;

x51+x52+x53+x54>=800;

@

gin(x11);@

gin(x21);@

gin(x31);@

gin(x41);@

gin(x51);

@

gin(x12);@

gin(x22);@

gin(x32);@

gin(x42);@

gin(x52);

@

gin(x13);@

gin(x23);@

gin(x33);@

gin(x43);@

gin(x53);

@

gin(x14);@

gin(x24);@

gin(x34);@

gin(x44);@

gin(x54);

d=0.005;

end

結(jié)果：

Local

optimal

solution

found.Objective

value:

77.49817

Extended

solver

steps:

Total

solver

iterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

X11

150.0000

0.1666452E-05

D

0.5000000E-02

0.000000

X21

250.0000

0.5999821E-06

X31

350.0000

0.3061160E-06

X41

350.0000

0.3061160E-06

X51

250.0000

0.5999714E-06

X12

250.0000

0.3199760E-06

X22

250.0000

0.3199872E-06

X32

250.0000

0.3199872E-06

X42

250.0000

0.3199872E-06

X52

250.0000

0.3599856E-06

X13

0.000000

300.0000

X23

0.000000

1300.000

X33

0.000000

300.0500

X43

100.0000

0.5749217E-05

X53

300.0000

0.2777778E-06

X14

0.000000

-599.2804

X24

0.000000

599.7600

X34

0.000000

600.0000

X44

0.000000

600.0000

X54

0.000000

800.0000