第一篇：(3修改后)2010年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3答案

2011年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3

d(Anx,Anx1)

1、設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記an?sup

d(x,x1)x?z

若?an??，則映射A有唯一不動點。

n?1?（第七章：P216，#18）

證明 因?n?1?an??，則必有N，使aN?1。這樣對任意x, x1?X,若x?x1,則

d(ANx,Anx1)?aNd(x,x1)

NNNN這樣由壓縮映射原理A有不動點x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不動點。AN的不動點是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不動點。

若x’是A的任意一個不動點，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn?1x’=…= A x’= x’。這樣x’也是A的不動點，由于A的不動點是唯一的，因此x*= x’。即A的不動點也是唯一的。證畢。

2、按范數(shù)x?max?j，x???1,?2,??n?成賦范線性空間，問Rn的共軛空間是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 記R按范數(shù)x?max?i組成賦范線性空間為R，R按范數(shù)x?性空間為Y，我們來證明X? ? Y。

定義X? 到Y(jié)的映射。任意f?X?，Tf?f?e1?,?f?en?nnn??i?1ni組成賦范線

??，其中??ei??0,0,?1,0,?,0?i?1,2,?,n。???????i??對任意x???e，f?x????f?e???f?e?max?iinnniiii?Tfx

于是f?Tf

nni?1i?1i?1反之，對任意y???1??n??Y。定義f?X?：對任意x???e，f?x?????，則

iiiii?1i?1Tf?y。因此T是 X?到Y(jié)的映射 若y? ?0,?,0?，則顯然f?0，則Tf?f?0。若y???1??n? ? ?0,?,0?令x?n??sign??e，則

iii?1nx ?1

因此f ?f?x? ??i?1i?y?Tf。從而Tf?f。于是T是從X? 到Y(jié)的同構(gòu)映射。在同構(gòu)的意義下X??Y。證畢

3、設(shè)X是Hilbert空間，M?X，并且 M??，證明?M最小閉子集。（第九章：265，#6）

???是X中包含M的證明：X中包含M的最小X閉子集是Y，若y?Y，則存在xn?spanM，使xn?y??設(shè)x?M，則?y,x? ?lim?xn,x??0，因此y?Mn?????閉子空間，且M?Y，則Y ?M，從而M???，即Y?M?????又Y是X中

??????Y??= Y，所以Y??M??。證畢

4、設(shè)T為Hilbert空間X上正常算子，T?A?iB為T的笛卡兒分解，證明：

?1?T2?A2?B

22?2?T2?T。

（第九章：P265，#15）

證明：（1），因為

A?T?T?T?T?,B?22i及T?T?TT?，????得A2?B22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT442?，所以A?B?T?T?T。

?22?2?T22??T2?T2?T?T?T，即T2?T2。證畢。

45、設(shè)T是Hilbert空間X中的有界線性算子，T?1，證明：

?xTx?x???xT證明 若Tx?x，則x?x?x?。

2（第九章：P265,#12）

2?Tx,x?x,T?x ?x T?x ?x‘ 因此，x,Tx?xTx。由第一節(jié)引理1，Tx與x線性相關(guān)，設(shè)Tx??x。由????x,T?x?x,x，?可得

??1，即

T??x。這樣，?xTx?x???xTx?x???xT??x?x???xTx?x?。

?即xTx?x ?xTx?x。證畢 ????

6、用閉圖像定理證明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

證明

設(shè)T 為Banach空間X到Banach空間Y上的一對一的有界線性算子。

T?1的圖像G(T?1)?{(y,T?1y)y?Y}，若(yn,T?1yn)?(y0,x0)，則

yn?y0,T?1yn?x0(n??)。

設(shè)T?1yn?xn，則xn?x0，Txn?y0。因為T是連續(xù)的，所以Tx0?limTxn?y0，即

n??T?1y0?x0。這樣(y0,x0)?G(T?1)。于是我們證明了G(T?1)在Y×X中是閉集，故T?1是閉算子。再由閉圖像定理，T是有界的，證畢。

?

17、X為距離空間，A為X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.證明f(x)是X上

y?A連續(xù)函數(shù)。

（第七章：P215，#10）

證明

設(shè)d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?} 22?則E?O,F?G,且O?G??，事實上，若O?G??，則有

z?O?G??，所以

〈)存在E中的點x使d(x,z?2〈)，F(xiàn)中點y使d(y,z?2〈)?，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z??矛盾。證畢 此與d(x,y)?d（E，F(xiàn)）

8、設(shè)T1是 X1 到X2的全連續(xù)算子，T2是X2到X3的有界線性算子，則T2T1是X1 到X3的全連續(xù)算子。（第 十一章：P319，#10）

證明 設(shè){xn} 是X1 中有界點列。因為T1全連續(xù)，所以{T1xn}中必有收斂子列。我們記之為{T1xnk}。又因為T2有界，所以{T2T1xnk}也收斂，因此{T2T1xn}有收斂子列。這就證明了T2T1是全連續(xù)算子。證畢。

第二篇：2010年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3答案

2011年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3

d(Anx,Anx1)

1、設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記an?sup

d(x,x1)x?z

若?an??，則映射A有唯一不動點。

n?1?（第七章：P216，#18）

證明 因?n?1?an??，則必有N，使aN?1。這樣對任意x, x1?X,若x?x1,則

d(ANx,Anx1)?aNd(x,x1)

NNNN這樣由壓縮映射原理A有不動點x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不動點。AN的不動點是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不動點。

若x’是A的任意一個不動點，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn?1x’=…= A x’= x’。這樣x’也是A的不動點，由于A的不動點是唯一的，因此x*= x’。即A的不動點也是唯一的。證畢。

2、按范數(shù)x?max?j，x???1,?2,??n?成賦范線性空間，問Rn的共軛空間是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 記R按范數(shù)x?max?i組成賦范線性空間為R，R按范數(shù)x?性空間為Y，我們來證明X? ? Y。

定義X? 到Y(jié)的映射。任意f?X?，Tf?f?e1?,?f?en?nnn??i?1ni組成賦范線

??，其中??ei??0,0,?1,0,?,0?i?1,2,?,n。???????i??對任意x???e，f?x????f?e???f?e?max?iinnniiii?Tfx

于是f?Tf

nni?1i?1i?1反之，對任意y???1??n??Y。定義f?X?：對任意x???e，f?x?????，則

iiiii?1i?1Tf?y。因此T是 X?到Y(jié)的映射 若y? ?0,?,0?，則顯然f?0，則Tf?f?0。若y???1??n? ? ?0,?,0?令x?n??sign??e，則

iii?1nx ?1

因此f ?f?x? ??i?1i?y?Tf。從而Tf?f。于是T是從X? 到Y(jié)的同構(gòu)映射。在同構(gòu)的意義下X??Y。證畢

3、設(shè)X是Hilbert空間，M?X，并且 M??，證明?M最小閉子集。（第九章：265，#6）

???是X中包含M的證明：X中包含M的最小X閉子集是Y，若y?Y，則存在xn?spanM，使xn?y??設(shè)x?M，則?y,x? ?lim?xn,x??0，因此y?Mn?????閉子空間，且M?Y，則Y ?M，從而M???，即Y?M?????又Y是X中

??????Y??= Y，所以Y??M??。證畢

4、設(shè)T為Hilbert空間X上正常算子，T?A?iB為T的笛卡兒分解，證明：

?1?T2?A2?B

22?2?T2?T。

（第九章：P265，#15）

證明：（1），因為

A?T?T?T?T?,B?22i及T?T?TT?，????得A2?B22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT442?，所以A?B?T?T?T。

?22?2?T22??T2?T2?T?T?T，即T2?T2。證畢。

45、設(shè)T是Hilbert空間X中的有界線性算子，T?1，證明：

?xTx?x???xT證明 若Tx?x，則x?x?x?。

2（第九章：P265,#12）

2?Tx,x?x,T?x ?x T?x ?x‘ 因此，x,Tx?xTx。由第一節(jié)引理1，Tx與x線性相關(guān)，設(shè)Tx??x。由????x,T?x?x,x，?可得

??1，即

T??x。這樣，?xTx?x???xTx?x???xT??x?x???xTx?x?。

?即xTx?x ?xTx?x。證畢 ????

6、用閉圖像定理證明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

證明

設(shè)T 為Banach空間X到Banach空間Y上的一對一的有界線性算子。

T?1的圖像G(T?1)?{(y,T?1y)y?Y}，若(yn,T?1yn)?(y0,x0)，則

yn?y0,T?1yn?x0(n??)。

設(shè)T?1yn?xn，則xn?x0，Txn?y0。因為T是連續(xù)的，所以Tx0?limTxn?y0，即

n??T?1y0?x0。這樣(y0,x0)?G(T?1)。于是我們證明了G(T?1)在Y×X中是閉集，故T?1是閉算子。再由閉圖像定理，T是有界的，證畢。

?

17、X為距離空間，A為X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.證明f(x)是X上

y?A連續(xù)函數(shù)。

（第七章：P215，#10）

證明

設(shè)d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?} 22?則E?O,F?G,且O?G??，事實上，若O?G??，則有

z?O?G??，所以

〈)存在E中的點x使d(x,z?2〈)，F(xiàn)中點y使d(y,z?2〈)?，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z??矛盾。證畢 此與d(x,y)?d（E，F(xiàn)）

8、設(shè)T1是 X1 到X2的全連續(xù)算子，T2是X2到X3的有界線性算子，則T2T1是X1 到X3的全連續(xù)算子。（第 十一章：P319，#10）

證明 若x?(x1,x2,?xn,?)，定義An:Anx??(?xakj?1k?1n?jk)ej： 則An是有界秩算子，且

(A?An)x???2j?n?1k?1??xak??2jk

2k?j?n?1k?1?(?x?)(?ajk)

k?12jk?2?j?n?1??ak?1?2x

所以A?An?j?n?1??ak?1??2jk?0(n??)。

由本章§3定理2，A是全連續(xù)算子。證畢