第一篇：15高中數(shù)學(xué)競賽教材(共30講含詳細(xì)答案)——不等式的應(yīng)用

§15不等式的應(yīng)用

1．排序不等式（又稱排序原理）

設(shè)有兩個有序數(shù)組a1?a2???an及b1?b2???bn.則a1b1?a2b2???anbn（同序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a2bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1，2，…，n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時等號（對任一排列j1,j2,?,jn）成立.2．應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”： 設(shè)有n個正數(shù)a1,a2,?,an的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是

An? a1?a2???an和Gn?na1a2?an

n此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到）

Hn?n111????a1a2an，和平方平均（在統(tǒng)計學(xué)及誤差分析中用到）

22a12?a2???an*

這四個平均值有以下關(guān)系Hn?Gn?An?Qn.○Qn?n3．應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式，可用來證明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：設(shè)a1、a2、a3，…，an是任意實(shí)數(shù)，則

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn).等號當(dāng)且僅當(dāng)bi?kai(k為常數(shù)，i?1,2,?,n)時成立.4．利用排序不等式還可證明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若a1?a2???an，b1?b2???bn，則 a1b1?a2b2???anbna1?a2???anb1?b2???bn??.nnn 例題講解

.1．a(chǎn),b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

a?b?c32．a(chǎn),b,c?0，求證：aabbcc?(abc)

.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?R,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．設(shè)a1,a2,?,an?N，且各不相同，*求證：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.6．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?441.8

7．利用排序不等式證明Gn?An

8．證明：對于任意正整數(shù)R，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n?1 例題答案：

1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a?b?c?ab?bc?ca時，可將a?b

222221?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?R?，且

ab,，bca都大于等于1.caabbcc(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?

(a1a2?an)a1?a2???ann.abba

（3）本題還可用其他方法得證。因ab?ab，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另abc?abc，4式相乘即得證.（4）設(shè)a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4abcabc可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實(shí)上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個有序數(shù)組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如a,b,c?R?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc.3.思路分析：中間式子中每項(xiàng)均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.222 不妨設(shè)a?b?c,則a?b?c,222111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab?a2?111111?b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)abc33?a2?組a?b?c及3111??，仿上可證第二個不等式.bcacabai1?a?；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.ii2i24.分析：不等式右邊各項(xiàng)設(shè)b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.2232n2anbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數(shù)，?????b?????122222n2323n所以a1?故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?bnb2b311，原式得證.?????1????2222n23n評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續(xù)使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及22系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數(shù)式呢.要證a?b?441，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833 評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1?x2

11133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側(cè)的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，333+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當(dāng)然本題另有簡使證法.（2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,?an)

382調(diào)和平均Hn?n111????a1a2an

幾何平均Gn?na1?a2?an 算術(shù)平均An?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均Qn?

2這四個平均值有以下關(guān)系：Hn?Gn?An?Qn，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 Gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?Gn.GnGnGnn111，?,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn?An.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術(shù)平均.n?11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.

第二篇：高中數(shù)學(xué) 3.2.2 一元二次不等式的應(yīng)用教材分析與導(dǎo)入設(shè)計 北師大版必修5

3.2.2一元二次不等式的應(yīng)用 本節(jié)教材分析

一元二次不等式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面，一是在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用（例

9、例

10、例11），一是在實(shí)際中的應(yīng)用（例12）.這一節(jié)的設(shè)置，注重“轉(zhuǎn)化”思想的滲透，例10和例11均體現(xiàn)了知識之間的轉(zhuǎn)化.例12是一元二次不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和生活的緊密關(guān)系.三維目標(biāo)

1．知識與技能：鞏固一元二次不等式的解法；進(jìn)一步研究一元二次不等式的應(yīng)用。

2．過程與方法：培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；

3．情態(tài)與價值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不

同側(cè)面觀察同一事物思想

教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及簡單高次不等式的解法。教學(xué)難點(diǎn): 分式不等式及簡單高次不等式的解法的理解。

教學(xué)建議：

教學(xué)過程要充分體現(xiàn)教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，思維訓(xùn)練為主線的新課標(biāo)理念.要注重學(xué)生的探究，注重思想方法的提煉，課堂盡量設(shè)置成問題課堂，這樣可以最大限度的訓(xùn)練學(xué)生的思維能力.其次，可以利用信息技術(shù)加大知識容量.新課導(dǎo)入設(shè)計

導(dǎo)入一:[直接導(dǎo)入] 上一小節(jié)我們討論了一元二次不等式的解法，本小節(jié)我們進(jìn)一步研究一元二次不等式的應(yīng)用。

導(dǎo)入二：[問題導(dǎo)入]由于本節(jié)安排的第一個例題（即課本例9）體現(xiàn)了一元二次方程的解之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，與前面學(xué)習(xí)的“三個二次”之間的關(guān)系類似.因此，可從學(xué)生探究該例引入新課.用心 專心 愛心-1-