第一篇：教學課題§3.二元函數(shù)的連續(xù)性,有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質解讀

教學課題： § 3.二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質。

教學目的：掌握二元函數(shù)連續(xù)的定義及其性質，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質及其證明方法。教材重點：本節(jié)重點是二元函數(shù)連續(xù)的定義及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質，難點是二元函數(shù)連續(xù)性的討論。

教學過程：

一．二元函數(shù)連續(xù)的概念

1． 定義：設f在D?R上有定義，p0∈D（聚點或孤立點）。若???0,???0，當p?U(p0,?)?D時，有 f(p)?f(p0)??，稱f關于D在p0連續(xù)。在不致誤解的情況下，也稱f在p0連續(xù)。

若f在D上每一點都f關于D連續(xù)，稱f為D上的連續(xù)函數(shù)。說明：（1）。若p0為D的孤立點，f關于D在p0連續(xù)。

（2）。若p0為D的聚點，f關于D在p0連續(xù)?p?p0(p?D)2limf(p)?f(p0)。

（3）。若p0為D的聚點，f在p0不連續(xù)，稱p0為f的間斷點。特別，當f在p0 的極限存在但不等于在p0的函數(shù)值時，稱p0為f的可去間斷點。

?y222,x?y?0,?2例1． 設 f(x,y)??(x?y2)p

?0,x2?y2?0.?其中p>0。p取何值時，f在（0，0）連續(xù)？

?y2ln(x2?y2),x2?y2?0,例2．設 f(x,y)??

討論f在（0，0）的連續(xù)性。220,x?y?0?設 p0(x0,y0),p(x,y)?D.記?x?x?x0，?y?y?y0，?z?f(x,y)?f(x0,y0)

=f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)，稱?z為f在p0的全增量。也可應用全增量描述函數(shù)的連續(xù)性，即：f在p0連續(xù) ?(?x,?y)?(0,0)lim?z?0。

記 ?xz?f(x0??x,y0)?f(x0,y0),?yz?f(x0,y0??y)?f(x0,y0)，分別稱為f在p0關于x，y的偏增量。若lim?xz?0，則表示一元函數(shù)f(x,y0)在x0連續(xù)。同樣，?x?0?y?0lim?yz?0，則f(x0,y)在y0連續(xù)。若f(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù)，則f(x,y0)在x0連續(xù)且f(x0,y)在y0連續(xù)，反之不成立。

?1,xy?0,例3．f(x,y)?? 在（0，0）不連續(xù)，但f(0,y)= 0，f(x,0)= 0，分別0,xy?0?在 y= 0 及 x= 0 處連續(xù)。續(xù)函數(shù)的局部性質：若f在p0連續(xù)，則

（1）。???0,f在U(p0,?)中有界；（2）。若f(p0)?0,則???0,在U(p0,?)中f與f(p0)同號；（3）。若g在p0也連續(xù)，則 f±g，fg,續(xù)。下面證明復合函數(shù)的連續(xù)性。

定理7。設u??(x,y),v??(x,y)在U(p0)中有定義，在p0連續(xù)。f(u,v)在uv平面上點Q0(u0,v0)的某鄰域內有定義，在Q0連續(xù)，則f(?(x,y),?(x,y))在p0連續(xù)。其中，f(g(p0)?0)在p0也連gu0??(x0,y0),v0??(x0,y0)。

證明： f在Q0連續(xù), 由定義，???0,???0,當u?u0??,v?v0?? 時，有

f(u,v)?f(u0,v0)??。又 u??(x,y),v??(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù)，對上述??0，???0,當x?x0??,y?y0??時,u?u0??(x,y)??(x0,y0)??，v?v0??(x,y)??(x0,y0)??,故 f(?(x,y),?(x,y))?f(?(x0,y0),?(x0,y0)

以x，y為變量的基本初等函數(shù)，經有限次四則運算和有限次復合運算所得到的函數(shù)稱 為二元初等函數(shù)。與一元函數(shù)類似，二元初等函數(shù)在定義域內連續(xù)。二．有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質

1． 有界性與最值定理

定理8。若f在有界閉域D?R上連續(xù)，則f在D上有界，且能取到最大與最小值。證：先證有界性。用反證法。設f在D上無界，則?n,?pn?D,使f(pn)?n，于是得有界點列{pn}?D，且{pn}為無限點列。由致密性定理，{pn}有收斂子列{pnk}，設

limpnk?p0，則p0為D的聚點。而D為閉域，故p0?D。又由f在p0連續(xù)可知，k??p?p0limf(p)?f(p0)，因此 limf(pnk)?f(p0),這與f(pnk)?nk?k矛盾，所以f在k??D上有界。設M?supf(p),m?inff(p)。下證M，m 分別為f在D上的最大值與最p?Dp?D小值。若?p?D,f(p)?M.則1在D上連續(xù)，從而有界。存在G > 0 , 使

M?f(p)1?G,M?f(p)f(p)?M?1 , 這與M的定義矛盾。因此必存在p1?D，使 Gf(p1)?M。同理存在p2?D,使f(p2)?m。

2．一致連續(xù)性定理

定理9。若f在有界閉域D?R上連續(xù)，則f在D上一致連續(xù)。即 ???0,???0，2?p1,p2?D,只要?(p1,p2)??,就有f(p1)?f(p2)??。

證：若f在D上不一致連續(xù)，則??0?0,???0,?p?,p???D,使?(p?,p??)??，f(p?)?f(p??)??0。

?，pn???D，使?(pn?,pn??)?1/n，但是 取??1/n,n?1,2,?,則?pn??p0，由 ?}有收斂子列{pnk?}，記 limpnk?)?f(pn??)??0。由致密性定理，{pnf(pnk???,pnk??)?1/nk?1/k,知limpnk???p0。又，f在p0連續(xù)，因此有 ?(pnkk???)?f(pnk??))?f(p0)?f(p0)?0，?)?f(pnk??)??0 矛盾，lim(f(pnk與 f(pnk于是f在k??D上一致連續(xù)。

3．介值定理

定理10。設f在有界閉域D?R上連續(xù)，p1,p2?D,且f(p1)?f(p2),則

2??：f(p1)???f(p2),則必存在p0?D,使f(p0)??。

則F(p1)?0,F(p2)?0。在D內用有限條折線將p1,p2連接證。記F(p)?f(p)??，起來。（1），若有一個連接點?i，使F(?i)= 0，則取p0=?i即可。（2），若所有連接點?i，都有F(?i)≠ 0，則必有一直線段，F(xiàn)在它兩端點的函數(shù)值異號。不妨設此線段為p1?1，?x?x1?t(x??x1)且 p1(x1,y1),?1(x?,y?)，線段p1?1的方程：?t?[0,1]，則

?y?y?t(y?y)11?F(x,y)?F(x1?t(x??x1),y1?t(y??y1))?G(t)為[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且G(0)?F(p1)?0，G(1)?F(?1)?0。因此必存在t0?(0,1)，使

G(t0)?F(x1?t0(x??x1),y1?t0(y??y1))?0,記x0?x1?t0(x??x1)，?，則 p0?D,且F(p0)?0,即f(p0)??。y0?y1?t（）0y?y1