第一篇：二元函數(shù)連續(xù)可微偏導之間的關系解讀

一、引言

對于一元函數(shù)而言,函數(shù)y=f(x在點x0處連續(xù)、導數(shù)存在、可微這三個概念的關系是很清楚的,即可微一定連續(xù),但連續(xù)不一定可微,可微和導數(shù)存在是等價的。對多元函數(shù)而言,由于偏導數(shù)的出現(xiàn),使得他們之間的關系要復雜的多。下面以二元函數(shù)為例,探討其在點(x0,y0處連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微、偏導數(shù)連續(xù)之間的關系。二、二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微、偏導數(shù)連續(xù)之間的關系 1.可微與連續(xù)的關系

若函數(shù)f(x,y在點(x0,y0處可微,則在該點連續(xù),但反之不成立(同一元函數(shù)。證明:因為f(x,y在點(x0,y0處可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0，所以lim(△x,△y→(0,0

f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在 點(x0,y0處連續(xù)。反之不成立。例1.f(x,y= x2y x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $

在點(0,0處連續(xù), 但在該點不可微。2.偏導數(shù)存在與可微的關系

由定理17.1[1](可微的必要條件,函數(shù)f(x,y在點(x0,y0處可微,則f(x,y在點(x0,y0的偏導數(shù)一定存在;但反之不成立,如例1中函數(shù)f(x,y在點(0,0處偏導數(shù)存在,但在此點不可微。

3.偏導數(shù)連續(xù)與可微的關系

由定理17.2[2](可微的充分條件知,函數(shù)f(x,y在點(x0,y0處偏導數(shù)連續(xù),則f(x,y在點(x0,y0處可微;但反之不成立, 例2.f(x,y=(x2+y2sin1 x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= % ’ ’ ’ & ’ ’

’(0 在點(0,0處

可微,但偏導數(shù)在點(0,0不連續(xù)。4.連續(xù)與偏導數(shù)存在之間的關系

二元函數(shù)連續(xù)與偏導數(shù)存在之間沒有必然的聯(lián)系。例3f(x,y=x2+y2(圓錐在點(0,0連續(xù)但在該點不存在偏導數(shù)。更值得注意的是,即使函數(shù)在某點存在對所有自變量的偏導數(shù),也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。

例4.f(x,y xy x2+y2 ,x2+y2≠0 0,x2+y2= $ 在點(0,0不連續(xù),但 f y(0,0=lim △y→∞ 0-0

△y =0,f y(0,0=lim △y→∞ 0-0 △y =0。這是因為偏導數(shù)只是刻畫了函數(shù)沿x軸或y軸方向的變化特征,所以這個例子只能說明f(x,y在原點分別對x和對y連續(xù),但由此并不能保證f(x,y作為二元函數(shù)在原點連續(xù)。

5.連續(xù)與偏導數(shù)連續(xù)之間的關系。

由例4可知二元函數(shù)在某點連續(xù)時,偏導數(shù)不一定存在,當然更談不上偏導數(shù)連續(xù)了;反之若偏導數(shù)連續(xù)一定可微,從而可推出函數(shù)在該點一定連續(xù)。

三、可微性判別步驟

1.如果f在點(x0,y0處不連續(xù)或偏導數(shù)不存在,則f在點(x0,y0處不可微。2.如果f在點(x0,y0處連續(xù),存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,則f在點(x0,y0處可微的充分必要條件是滿足下列等價的任一式:(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0 =f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0 =f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2 其中ε→0(當△x→0△y→0時

(3△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0 =f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε1△x+ε2△y 其中ε1→0,ε2→0(當△x→0,△y→0時

四、結束語

從以上討論可以看出,二元函數(shù)連續(xù)、可微、偏導數(shù)之間的關系比一元函數(shù)連續(xù)、導數(shù)存在、可微之間的關系要復雜得多,究其原因主要在于二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限對自變量的要求更高、更為復雜。如對lim x→x f(x只要求

二元函數(shù)連續(xù)可微偏導之間的關系 □李聚玲河北保定華北電力大學數(shù)理系

[摘要]本文給出了二元函數(shù)在某點處連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微、偏導數(shù)連續(xù)之間的關系, 并進一步給出了可微的判別步驟。[關鍵詞]二元函數(shù)連續(xù)可微偏導數(shù) 下轉2頁 名教講壇 3 一種學習對另一種學習的影響不總是積極的,有時侯兩種知識之間會產(chǎn)生干擾,學生不能很好的辨別二者的本質區(qū)別,使得原有知識的學習阻礙了對新知識的正確

理解,形成負遷移。教師在教學是可以適時抓住學生的錯例,通過對比,制造認知沖突,再加以巧妙點撥,讓學生在明了二者區(qū)別的同時把握住函數(shù)的本質屬性。

案例:反函數(shù)是函數(shù)知識領域的一個難點,許多同學在理解反函數(shù)概念時容易產(chǎn)生困惑。老師可以這樣舉例:請大家分別作出f(x=2x+3和它的反函數(shù)的圖象。那么大

多數(shù)學生會把它等價于作y=2x+3和x=y-3 2 的圖象,而且

他們會認為這兩個式子并沒有本質的區(qū)別,因為他們把函數(shù)的反解與方程中的解未知數(shù)等同起來了,認為橫坐標上的值就代表x的值,而縱坐標的值就代表y值,于是作出的圖象是相同的。那么教師就要抓住函數(shù)與方程的本質區(qū)別,讓學生知道我們這里考慮的對象是函數(shù),它反映的是自變量與函數(shù)值的對應關系,在作反函數(shù)x=f-1(y的圖象時應該按照自變量的值作橫坐標、函數(shù)的值作縱坐標, 而與字母無關,因此在x=y-3 2 中的自變量是y而不是x, 那么它所反映的函數(shù)關系也就不一樣了,這樣畫出的圖象與原函數(shù)y=f(x的圖象是關于直線y=x對稱的。學生這時恍然大悟,困惑解開了,對函數(shù)概念也理解的更加透徹了。

學生出現(xiàn)問題的關鍵就在于把函數(shù)的反解與方程中的解未知數(shù)等同起來了,這是由于學習方程之后產(chǎn)生思維定勢,直接遷移到函數(shù)的學習中來。教師善于把握住學生的認識心理和理解問題的薄弱環(huán)節(jié),通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題的矛盾揭示出方

程與函數(shù)的本質區(qū)別,增強了知識的穩(wěn)定性和清晰性,實現(xiàn)了新知識的重組與優(yōu)化,有效的抑制了負遷移的發(fā)生。

三、巧妙設計變式訓練,促進靈活遷移

所謂“變式”,是指在教學中變化引用的材料內容和形式,從不同角度、用不同方法進行教學,使思維的“觸須”伸向不同方位和不向領域。因此,通過變式訓練可以實現(xiàn)知識的有效遷移。教師要充分運用“變式”教學,通過“一題多變”、“一圖多問”、“多題重組”等形式從多個方面構造問

題,使學生養(yǎng)成多角度、多方位處理問題的習慣。教師提出的問題越多,學生思維越發(fā)散,理解越深刻,并通過對所提問題的解答而達到靈活遷移的目的。例如,函數(shù)與方程、不等式的結合向來是中考或高考的熱點,教師可以通過設計變式訓練把三者結合的恰到好處: 原問題:要使關于x的方程kx2+(2k+1x+(k-1=0有實根,求k的取值范圍? 變式一:已知二次函數(shù)y=kx2+(2k+1x+(k-1的圖象與x 軸有兩個交點分別為(-1 3 ,0、(-2,0,求實數(shù)k的值? 變式二:已知二次不等式kx2+(2k+1x+(k-1>0對任意實數(shù)x都成立,求實數(shù)k的取值范圍? 變式三:已知關于x的方程kx2+(2k+1x+(k-1=0的兩實根介于-2和4之間,求實數(shù)k的取值范圍? 由原問題引出的三個問題圍繞同一個二次多項式,從函數(shù)、方程、不等式之間的內在聯(lián)系出發(fā),構造出不同的變式。問題一表面上是一個函數(shù)問題,實際上通過函

數(shù)值為0轉化成了方程的問題;問題二表面上是一個不等式問題,實際上利用了二次函數(shù)的圖象找到了數(shù)量關系;問題三則把函數(shù)、方程、不等式都包含了進來,達到了三者相互依賴的完美結合。教師通過設計這樣的變式訓練,由三個問題表面的相似度延伸出不同的知識內涵,學生通過一一對比,對三者的有機融合和遷移滲透有了深刻的認識。

知識與技能的遷移并不是簡單地將已有的知識、經(jīng)驗“移位”或機械地模仿,而是需要在面臨新的問題情境時能發(fā)現(xiàn)新舊知識之間的必然聯(lián)系和本質區(qū)別。變式訓練不僅可以幫助學生縮小函數(shù)與其它知識之間的距離,而且其靈活的變化形式很好的揭示了問題的本質,正所謂“以不變應萬變”。學生在感受教師示范遷移應用的具體實例中,逐漸形成自己運用遷移的調控技能,從而促進了靈活遷移。[參考文獻] [1]朱水根等:《中學數(shù)學教學導論》,教育科學出版社, 2001年6月;[2]曾國光:《中學生函數(shù)概念認知發(fā)展研究》,《數(shù)學教育學報》,2002年5月(11 [3]王尚志:《高中數(shù)學課程中的函數(shù)》,《中學數(shù)學教學參考》,2007(10 在x從x 0的左、右兩側趨向于x 時,f(x趨于同一值。而對 lim(x,yx→(x 0,y f(x,y要求點(x,y以任何方式趨向于時(x ,y , f(x,y都趨向于同一極限,任何方式包含了x與y的不同關系以及趨向時的不同途徑,從而導致二元函數(shù)產(chǎn)生了二重極限與累次極限的區(qū)別,正是由于二元函數(shù)極限的這種復雜性導致了二元函數(shù)諸多關系得復雜性。[參考文獻] [1]華東師范大學數(shù)學系。數(shù)學分析[M]。高等教育出版社, 2001 [2]B.吉米多維奇。數(shù)學分析習題集[M]。人民教育出版社, 1958 上接3頁 名教講壇2

第二篇：討論二元函數(shù)連續(xù)性_偏導存在性及可微性間的關系.

第23卷哈爾濱師范大學自然科學學報 Vol.23,No.22007 第2期

NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY 討論二元函數(shù)連續(xù)性、偏導存在性 及可微性間的關系 張 鴻

(哈爾濱師范大學阿城學院

門艷紅

(青島飛洋職業(yè)技術學院

【摘要】 通過具體實例對二元函數(shù)連續(xù)性、偏導存在性及可微性間的關系進行

討論.關鍵詞:連續(xù)性;偏導存在性;可微性 收稿日期:2006-11-08 0 引言

多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,因此它保留著一元函數(shù)的許多性質,但也有某些差異,這些差異

主要是由于多元函數(shù)的“多元”(即自變量由一個增加到多個而產(chǎn)生的.對于多元函數(shù)我們著重討論二元函數(shù),在掌握了二元函數(shù)的有關理論與研究方法之后,再將它推廣到一般的多元函數(shù)中去.本文將通過具體實例來討論二元函數(shù)連續(xù)性、偏導存在性及可微性間的關系.1 二元函數(shù)連續(xù)性與偏導存在性間 的關系

1.1 函數(shù)f(x,y 在點P 0(x 0,y 0連續(xù),但偏 導不一定存在.例1 證明函數(shù)f(x,y =x 2 +y 2 在點(0, 0連續(xù)偏導存在.證明 因為 li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0 x 2 +y 2

=0=f(0,0 故函數(shù)f(x,y =x 2+y 2 在點(0,0連續(xù).由偏導數(shù)定義: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx = li m Δx →x Δx 2

Δx = 1,Δx >0,-1,Δx <0.故f x(0,0不存在.同理可證f y(0,0也不存在.1.2 函數(shù)f(x,y 在點P 0(x 0,y 0偏導存在,但不 一定連續(xù) 例2 函數(shù)f(x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在點

(0,0處f x(0,0,f y(0,0存在,但不連續(xù).證明 由偏導數(shù)定義: f x(0,0=li m Δx →x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx

=li m Δx →x Δx =0，同理可求得f y(0,0=0.因為li m(x,y →(0,0 f(x,y = li m(x,y →(0,0(x 2+y 2 =0≠f(0,0=1 故函數(shù)f(x,y = x 2 +y 2 ,xy =0 1,xy ≠0 在點(0,0處 不連續(xù).綜上可見,二元的連續(xù)性與偏導存在性間不存在必然的聯(lián)系.2 二元函數(shù)的可微性與偏導存在性間的關系 2.1 可微與偏導存在

定理1(可微的必要條件 若二元函數(shù)f(x, y在其定義域內一點P0(x0,y0處可微,則f在該點關于每個自變量的偏導都存在,且d f|(x0,y0 = f x(x0,y0d x+f y(x0,y0d y.注1:定理1的逆命題不成立,即二元函數(shù)f(x,y在點P0(x0,y0處的偏導即使存在,也不一定可微.例

3f(x,y= xy x2+y2 ,x2+y2≠0, 0,x2+y2=0 在原點兩個偏導存在,但不可微.證明 由偏導數(shù)定義: f x(0,0=li m Δx→x f(0+Δx,0-f(0,0 Δx =li m Δx→x 0-0 Δx= 0, 同理可求得f y(0,0=0.下面利用可微的定義來證明其不可微,用反證法.若函數(shù)f在原點可微,則Δf-d f=[f(0+ Δx,0+Δy-f(0,0]-[f x(0,0d x+f y(0, 0d y]= ΔxΔy

Δx2+Δy2 ,應是較ρ=Δx2+Δy2的 高階無窮小量,為此考察極限 li m ρ→0Δf-d f ρ= li m ρ→0 ΔxΔy Δx2+Δy2

當動點(x,y沿直線y=m x趨于(0,0時,則 li m(x,y→(0,0 xy x2+y2 =li m(x,y→(0,0 y=m x m 1+m2 = m

1+m2 這一結果說明動點沿不同斜率m的直線趨于原點時,對應的極限值也不同,因此所討論的極限不存在.故函數(shù)f在原點不可微.2.2 偏導連續(xù)與可微

定理2(可微的充分條件 若二元函數(shù)z=f(x,y的偏導在點P0(x0,y0的某鄰域內存在, 且f x 與f y 在點P(x ,y0處連續(xù),則函數(shù)f(x,y 在點P(x ,y0可微.注2:偏導連續(xù)是函數(shù)可微的充分而非必要條件.例4 證明函數(shù) f(x,y=

(x2+y2sin 1 x2+y2 ,x2+y2≠0

0, x2+y2=0 在點(0,0處可微,但f x(x,y,f y(x,y在(0,0點卻間斷.證明 Π(x,y:x2+y2≠0,有 f x(x,y=2x sin 1 x2+y22y x2+y2 cos 1 x2+y2(1當y=x時,極限li m x→0 f x(x,x=li m x→0(2x sin 1 2x2-1 x

cos 1 2x2 不存在,則f x(x,y在(0,0點間 斷.同理可證f y(x,y在(0,0點間斷.(2因f x(0,0=li m x→0 f(x,0-f(0,0 x =li m x→0 x sin 1 x2 =0, f y(0,0=li m x→0

f(0,y-f(0,0 y =li m y→0 y sin 1 y2 =0 則d f=f x(0,0d x+f y(0,0d y=0, Δf=f(x,y-f(0,0=(x2+y2sin1 x2+y2 =ρ2sin 1 ρ2

(Π(x,y:x2+y2≠0 從而

li m ρ→0 Δf-d f ρ= li m ρ→0 ρ2sin1 ρ2 ρ= li m ρ→0 ρsin1 ρ2

=0,即函數(shù)f(x,y在點(0,0可微.3 二元函數(shù)的連續(xù)性與可微性間的 關系

類似于一元函數(shù)的連續(xù)性與可導性間的關 系,即二元函數(shù)f(x,y在點P(x ,y0可微,則必 連續(xù).反之不然.例5 證明函數(shù)f(x,y=|xy|在點(0, 0連續(xù),但它在點(0,0不可微.33 第2期

討論二元函數(shù)連續(xù)性、偏導存在性及可微性間的關系

證明(1因為li m x →0y →0 f(x,y =li m x →0y →0 |xy |= 0=f(0,0,故函數(shù)f(x,y =|xy |在點(0,0 連續(xù);(2因為Δf =f(0+Δx,0+Δy-f(0,0=|Δx ||Δy | d f =f ′x(0,0d x +f ′ y(0,0d y =0 所以 li m ρ→0Δf-d f ρ=li m Δx →0Δy →0

|Δx ||Δy |(Δx 2 +(Δy 2 =li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2 當動點(x,y 沿著直線y =x 趨于(0,時,有 li m Δx →0Δy →0 |Δx ||Δy |(Δx 2+(Δy 2= 1 2 ≠0即li m ρ→0Δf-d f ρ≠0,故f(x,y 在原點(0,0不可微.綜上所述二元函數(shù)連續(xù)性、偏導存在性及可微性間的關系如圖1所示.參 考 文 獻 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(三版.高等教育出版社，2004.5.2 吳良森,等.數(shù)學分析學習指導書.高等教育出版社,2004.9.3 劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學分析講義(三版.高等教育出版社, 2001.2.4 劉玉璉,等.數(shù)學分析講義學習輔導書(二版.高等教育出版 社,2004.7.D I SCUSS TH E RE LATI ONS O F THE CONTI NUI T Y,THE EXI STENCE OF PARTI AL DERI VATI ON AN D THE D I FFERENTI ABI L I T Y OF THE DUAL FUNCTI ON Zhang Hong(A Cheng I nstitute of Harbin Nor mal University

Men Yanhong(qingdao Feiyang Vocati onal and Techaial College ABSTRACT I n this paper,we discuss the relati ons of the continuity,the existence of partial derivati on and the differentiability of the dual functi on by the s pecific exa mp les.Keywords:Continuity;The existence of partial derivati on;D ifferentiability(責任編輯:李雙臻 3哈爾濱師范大學自然科學學報

2007年

第三篇：函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系教案

函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系教案

教學目的

1．使學生理解函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導的必要條件，但不是充分條件．

2．使學生了解左導數(shù)和右導數(shù)的概念．

教學重點和難點

掌握函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系．

教學過程

一、復習提問

1．導數(shù)的定義是什么？

2．函數(shù)在點x0處連續(xù)的定義是什么？

在學生回答定義基礎上，教師進一步強調函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù)必須具備以

∴f(x)在點x0處連續(xù)．

綜合(1)(2)原命題得證．

在復習以上三個問題基礎上，直接提出本節(jié)課題．先由學生回答函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系．

二、新課

1．如果函數(shù)f(x)在點x0處可導，那么f(x)在點x0處連續(xù)．

∴f(x)在點x0處連續(xù)．

提問：一個函數(shù)f(x)在某一點處連續(xù)，那么f(x)在點x0處一定可導嗎？為什么？若不可導，舉例說明．

如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，那么f(x)在該點不一定可導．

例如：函數(shù)y=|x|在點x＝0處連續(xù)，但在點x=0處不可導．從圖2－3看出，曲線y＝f(x)在點O(0，0)處沒有切線．

證明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，∴函數(shù)y=|x|在點x0處是連續(xù)的．

2．左導數(shù)與右導數(shù)的概念．

(2)左、右導數(shù)存在且相等是導數(shù)存在的充要條件(利用左右極限存在且相等是極限存在的充要條件，可以加以證明，本節(jié)不證明)．

(3)函數(shù)在一個閉區(qū)間上可導的定義．

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，在左端點x＝a處存在右導數(shù)，在右端點x＝b處存在左導數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可導．

三、小結

1．函數(shù)f(x)在x0處有定義是f(x)在x0處連續(xù)的必要而不充分條件．

2．函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處有極限的充分而不必要條件．

3．函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處可導的必要而不充分的條件．

四、布置作業(yè)

作業(yè)解答的提示：

=f(1)．

∴ f(x)在點x＝1處連續(xù)．

∴ f(x)在x=1處不可導．