第一篇：實(shí)變函數(shù)與泛函分析初步-江蘇教育考試院范文

高綱0871

江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱

0201

2實(shí)變與泛函分析初步

江蘇教育學(xué)院編

江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會辦公室

一 課程性質(zhì)及其設(shè)置目的與要求

（一）課程性質(zhì)與特點(diǎn)

實(shí)變函數(shù)論是19世紀(jì)末20世紀(jì)初形成的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的基本內(nèi)容已成為分析數(shù)學(xué)各個(gè)分支的普遍基礎(chǔ).實(shí)變函數(shù)主要指自變量取實(shí)數(shù)值的函數(shù)，而實(shí)變函數(shù)論就是研究一般實(shí)變函數(shù)的理論，如果說微積分所討論的函數(shù)都是性質(zhì)“良好”的函數(shù)，那么實(shí)變函數(shù)就是討論一般的函數(shù)，包括從微積分學(xué)來看性質(zhì)“不好”的函數(shù)，實(shí)變函數(shù)論是微積分深入與發(fā)展，函數(shù)的可積性是實(shí)變函數(shù)論中的主要內(nèi)容.總之，實(shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征.（二）設(shè)置目的與要求

課程內(nèi)容包括：本課程內(nèi)容包括集合及其運(yùn)算，對等與基數(shù)，可數(shù)集合，不可數(shù)集合；度量空間、n維歐氏空間，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)，開集、閉集、完備集，直線上開集、閉集和完備集的構(gòu)造；外測度，可測集及其性質(zhì)；可測函數(shù)的定義及其性質(zhì)，葉果洛夫定理，可測函數(shù)構(gòu)造，依測度收斂；勒貝格積分（L積分）的定義及性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分的極限定理。

本課程設(shè)置目的是使學(xué)生掌握勒貝格測度與勒貝格積分的基礎(chǔ)理論，了解一般度量空間上的測度理論，培養(yǎng)學(xué)生的分析學(xué)知識，加深學(xué)生對微積分和函數(shù)的認(rèn)識。

二 課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

第一章

集合

（一）課程內(nèi)容

集合的概念及運(yùn)算，對等與基數(shù)，可數(shù)集與不可數(shù)集。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等運(yùn)算的定義和性質(zhì)（包括無窮多個(gè)集的運(yùn)算）.2、掌握集列的上極限與下極限集的概念及它們用集列的交和并所表示的式子，能夠正確寫出具體集列的上、下極限集或極限.3、理解一一映照的概念，能夠正確寫出兩個(gè)集之間的一一映照.4、掌握對等和基數(shù)的定義及性質(zhì)，掌握基數(shù)大小的定義.掌握證明集合對等的兩個(gè)定理（兩個(gè)不交集列對等定理和伯恩斯坦定理），能夠應(yīng)用它們來證明集合對等.5、掌握可數(shù)集的概念及可數(shù)基數(shù)a概念.掌握可數(shù)基數(shù)a 的最小性，掌握可數(shù)集運(yùn)算后的基數(shù)定理及各種可數(shù)集的實(shí)例.6、掌握實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性及連續(xù)基數(shù)c，掌握各種具有連續(xù)基數(shù)的集.了解沒有最大基數(shù)的定理并能夠正確地證明之.第二章

點(diǎn)集

（一）課程內(nèi)容

度量空間與n 維歐氏空間，外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)，開集、閉集、完備集，直上開集、閉集、完備集的構(gòu)造.（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、理解n 維歐氏空間的概念，掌握鄰域概念及鄰域的性質(zhì).掌握點(diǎn)列收斂的描述（用距離d及用鄰域u來描述），掌握兩集之距離，一集之直徑及n維區(qū)間等概念.2、掌握內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)等概念（包括等價(jià)命題）.掌握開核、邊界、導(dǎo)集、閉包等概念，能夠正確寫出具體點(diǎn)集的開核、邊界、導(dǎo)集及閉包.3、掌握開集、閉集、自密集、完備集等概念（包括等價(jià)命題和關(guān)系式）并能夠?qū)唧w集合進(jìn)行判別.4、掌握開閉集的對偶性定理及保持開閉性的交并運(yùn)算定理.能夠應(yīng)用于判別具體實(shí)例.5、掌握直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造.6、掌握康托點(diǎn)集的構(gòu)造及性質(zhì)（包括非空性、完備性、無處稠密性、無內(nèi)點(diǎn)、基數(shù)為c、測度為零等）.第三章

測度論

（一）課程內(nèi)容

外測度，可測集，可測集類。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、掌握勒貝格外測度的定義（m* E）及其基本性質(zhì)（包括非負(fù)性，空集外測度規(guī)定、單調(diào)性和可次可加性等）.能夠根據(jù)勒貝格外測度的定義來證明性質(zhì)和驗(yàn)證零測度集.2、了解勒貝格內(nèi)測度（m* E）概念、勒貝格可測集的第一定義

**mE?mEm*（），理解對于區(qū)間I有I?|I|及mI?|I|的結(jié)論.了解不可測集的存在性.3、掌握勒貝格可測集的第二定義：

對任意點(diǎn)集T: m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)測集的第一、第二、定義的等價(jià)性.成立.能夠用第二定義證明某些集的可測性.了解可

4、掌握可測集的兩個(gè)充要條件定理.5、掌握兩可測集之并為可測集定理，可列個(gè)可測集之并為可測集定理，并能夠正確地證明它們.6、掌握兩可測集之交為可測集定理，可列個(gè)可測集之交為可測集定理.7、掌握遞增可測集列

{Sn}之極限可測定理及遞減可測集列{Sn}之極限可測定理.并能夠正確證明它們,還要能夠用反例說明后一個(gè)定理中mS1??的重要性.8、掌握波雷耳集,集,還是G?型集、F?型集等概念.能夠根據(jù)概念正確判別具體集合是G?型F?型集.G?型集、F?型集的關(guān)系.9、掌握可測集與開集及閉集的關(guān)系;可測集與

第四章

可測函數(shù)

（一）課程內(nèi)容

可測函數(shù)及性質(zhì)，葉果洛夫定理，可測函數(shù)的構(gòu)造，依測度收斂。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、掌握全體有限實(shí)數(shù)R上、下確界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}內(nèi)的四則運(yùn)算的意義及法則.2、掌握可測函數(shù)的定義及其等價(jià)性定理.3、掌握定義在任意點(diǎn)集E上連續(xù)函數(shù)的概念及連續(xù)函數(shù)可測性定理.掌握簡單函數(shù)的概念及其可測性敘述.4、掌握可測函數(shù)的性質(zhì)（包括可測子集上的可測性，并集上的可測性，函數(shù)四則運(yùn)算及取絕對值的可測性，可測函數(shù)列的上、下確界函數(shù)的可測性、上、下極限函數(shù)可測性、極限函數(shù)可測性等）

5、掌握可測函數(shù)與簡單函數(shù)關(guān)系定理.6、掌握葉果洛夫定理的引理.7、掌握葉果洛夫定理和魯津定理，能夠?qū)?yīng)地寫出與某些可測函數(shù)的“基本上”相等的連續(xù)函數(shù).8、掌握依測度收斂的概念，能夠用實(shí)例說明依測度收斂與收斂概念的不同性.9、掌握黎斯定理及勒貝格測度收斂定理.掌握依測度收斂在幾乎處處意義下的唯一性定理.能夠應(yīng)用相關(guān)定理證明一些簡單命題.第五章

積分論

（一）課程內(nèi)容

黎曼積分，勒貝格積分定義及性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分極限定理，富比尼定理。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、掌握可測分劃D，關(guān)于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函數(shù)F{x}在E上的上、下積分、在E上的（L）積分概念.掌握有界函數(shù)（L）可積的兩個(gè)充分條件定理.2、掌握有界函數(shù)F(x)在[a.b]上（R）可積時(shí)（L）積分與（R）積分相等的定理并且能夠正確地證明之.3、掌握有界函數(shù)的（L）積分的性質(zhì)（包括和、差、積、商、取絕對值的可積性、可測子集上函數(shù)可積性、線性、不等號性質(zhì)、絕對值放大性質(zhì)，被積函數(shù)幾乎處處為零的充分條件及絕對連續(xù)性.）

4、掌握一般非負(fù)函數(shù)（L）積分概念，一般函數(shù)（L）積分概念.掌握一般函數(shù)積分確定時(shí)或可積時(shí)的全部性質(zhì).能夠證明積分絕對連續(xù)性.5、掌握（L）可積函數(shù)是具有絕對可積性的結(jié)論，能夠用函數(shù)是否（R）絕對可積來判別其是否（L）可積的.6、掌握積分的極限定理（包括L-控制收斂定理和推論，列維定理，L-逐項(xiàng)積分定理，積分可數(shù)可加性定理，法都引理、積分號下求偏導(dǎo)定理）并能應(yīng)用這些定理證明題目.7、理解直積、截面和下方圖形等概念及性質(zhì).理解截面定理、直積測度定理、非負(fù)可測函數(shù)積分的幾何意義定理及其推論.8、掌握富比尼定理,能夠用富比尼定理來檢驗(yàn)函數(shù)的不可積性.三 有關(guān)說明

（一）教材：

自學(xué)教材：程其襄等編《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》,高等教育出版社,2003年。

（二）補(bǔ)充資料

自學(xué)和命題以考試大綱為主要依據(jù)，但考慮到本課程的定理證明較難，故對本課程參考課本中的主要定理證明不作要求，但定理結(jié)論的和定理結(jié)論本身的內(nèi)容必須掌握，并能利用定理來計(jì)算和判斷一些命題。故須補(bǔ)充一些定理應(yīng)用的例子和習(xí)題。具體內(nèi)容可以參考下列教材：

趙靜輝主編：《實(shí)變函數(shù)簡明教程》，華中理工大學(xué)出版社，1996版。

煙臺師范學(xué)院等九院校編著：《實(shí)變函數(shù)論簡明教程》，山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985版。

（三）自學(xué)方法的指導(dǎo)

本課程作為一門專業(yè)課程，邏輯性強(qiáng)，自學(xué)者在自學(xué)過程中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

1、學(xué)習(xí)前，應(yīng)仔細(xì)閱讀課程大綱的第一部分，了解課程的性質(zhì)、地位和任務(wù)，熟悉課程的基本要求，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。

2、所配教材只是一個(gè)參考，自學(xué)中應(yīng)結(jié)合本課程大綱、補(bǔ)充習(xí)題、多做練習(xí)，熟練掌握基本概念，能利用基本概念定理計(jì)算判斷，從而切實(shí)提高自身的數(shù)學(xué)分析問題能力和解決問題能力。

（四）對社會助學(xué)的要求

1、應(yīng)熟知考試大綱對課程所提出的總的要求和各章的知識點(diǎn)。

2、對應(yīng)考者進(jìn)行輔導(dǎo)時(shí)，除了以指定的教材為基礎(chǔ)外，應(yīng)以考試大綱為依據(jù)，注意補(bǔ)充練習(xí)，注重提高學(xué)生應(yīng)用概念定理分析問題、解決問題能力的發(fā)展。

（五）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定

1、本大綱各章所提到的考核要求中，各條細(xì)目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到章，適當(dāng)突出重點(diǎn)章節(jié)，加大重點(diǎn)內(nèi)容的覆蓋密度。

2、試題難度結(jié)構(gòu)要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。

3、本課程考試試卷可能采用的題型有：單項(xiàng)選擇題、填空題、簡答題、計(jì)算題、證明題等題型（見附錄題型示例）。

4、考試方式為閉卷筆試，考試時(shí)間為150分鐘，評分采用百分制，60分為及格。

附錄：題型舉例

選擇題 1．設(shè)是有理數(shù)，則下列正確的是（B）

A． 填空題： ?[0,1]； Ｂ．?[0,1]；

Ｃ．?[0,1]；

Ｄ．以上都不正確。

2．康托爾集P的測度為mP? 0。集合A?簡答題：

4．?dāng)⑹鋈~果洛夫定理？

[0,1]的測度為mA? 0。

參考答案： 設(shè)mE???,?fn?是E上一列幾乎處處收斂于一個(gè)幾乎處處有限的函數(shù)f的可測函數(shù)，則對任意??0，存在子集E??E,使得?fn?在E?上一致收斂，且m(EE?)??。計(jì)算題： ,?1,x?[1,2]5．設(shè)f(x)?? 求?f(x)dx？

[1,2]?0,x?[1,2].參考答案：由于m([1,2])?0，據(jù)L積分的可加性及絕對連續(xù)性可得

?證明題： [1,2]f(x)dx??0dx??[1,2]f(x)dx??[1,2]f(x)dx??[1,2][1,2]1dx?0。

??6．證明：E??a?2b|a,b??為可數(shù)集。

??參考答案：令?:a?2b(a,b)，其中a?2b?E,(a,b)??,顯然是單

??射，故E?a。另外，顯然，E?a。即E??a?2b|a,b??為可數(shù)集。

??

第二篇：實(shí)變函數(shù)與泛函分析-教學(xué)大綱

實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

適用專業(yè)：信息技術(shù)專業(yè) 課程編號： 教學(xué)時(shí)數(shù)：72學(xué)時(shí) 學(xué) 分：4 課程性質(zhì)：專業(yè)核心課

開課系部：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)院 使用教材：《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊）第2版 曹廣福.高等教育出版社 參考書

[1]夏道行《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，F(xiàn)unctional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強(qiáng)《實(shí)變函數(shù)論》第2版.北京大學(xué)出版社.二、課程介紹

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻碚J(rèn)識抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來研究、解決實(shí)際問題的能力。

三、考試形式

考試課程，考試成績由平時(shí)成績和期末考試組成，平時(shí)作業(yè)占百分之二十，期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點(diǎn)考察學(xué)生的解題能力和基礎(chǔ)理論。

四、課程教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配

第一章 集合與點(diǎn)集 要求

1、掌握集合的勢，可數(shù)集

2、熟悉歐氏空間上的拓?fù)?，Cauchy收斂原理

主要內(nèi)容

集合的勢，可數(shù)集，n維歐氏空間上的拓?fù)?，Canchy收斂原理

重點(diǎn)

集合的勢，可數(shù)集 課時(shí)安排（4學(xué)時(shí)）

1、集合的勢，可數(shù)集

2學(xué)時(shí)

2、歐氏空間上的拓?fù)洌珻auchy收斂原理

2學(xué)時(shí)

第二章 Lebesgue測度 要求

1、熟練掌握外測度、可測集以及它們的性質(zhì)

2、掌握可測函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測函數(shù)的構(gòu)造

3、熟練掌握可測函數(shù)的收斂性

主要內(nèi)容：

Lebesgue外測度，可測集（類），可測函數(shù)及其性質(zhì)，可測函數(shù)的收斂性

重點(diǎn)

外測度、可測集以及它們的性質(zhì)、可測函數(shù)的收斂性 課時(shí)安排（12學(xué)時(shí)）

1、外測度、可測集以及它們的性質(zhì)

4學(xué)時(shí)

2、可測函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測函數(shù)的構(gòu)造

4學(xué)時(shí)

3、可測函數(shù)的收斂性

4學(xué)時(shí)

第三章

Lebesgue積分 要求：

1、熟練掌握可測函數(shù)的積分及性質(zhì)

2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

3、弄清重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

主要內(nèi)容：

可測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

重點(diǎn)

可測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理 課時(shí)安排：（16學(xué)時(shí)）

1、可測函數(shù)的積分及性質(zhì)

6學(xué)時(shí)

2、Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

6學(xué)時(shí)

3、重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

4學(xué)時(shí)

第四章

L空間 要求：

1、熟練掌握L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性

2、熟悉L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基

3、了解卷積與Fourier變換 ppp主要內(nèi)容：

p

Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性，L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，卷積與Fourier變換

重點(diǎn)

Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性 課時(shí)安排（10學(xué)時(shí)）

1、L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性

4學(xué)時(shí)

2、L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交化方法

4學(xué)時(shí)

3、卷積與Fourier變換

2學(xué)時(shí) pp

第五章 Hilbert空間理論 要求：

1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性

3、熟悉共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜

主要內(nèi)容：

距離空間的定義，緊致性，Hilbert影算子，緊算子性質(zhì)及其譜。課時(shí)安排（16學(xué)時(shí)）

空間上線性算子的有界性和連續(xù)性，共軛算子、投

1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

4學(xué)時(shí)

2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性

6學(xué)時(shí)

3、共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜 6學(xué)時(shí)

第六章 Banach空間理論 要求：

1、掌握Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子

2、熟悉開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理

3、熟悉連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach定理

4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

主要內(nèi)容：

范數(shù)、Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子，開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

重點(diǎn)

Banach空間的定義、模等價(jià)、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂

課時(shí)安排（14學(xué)時(shí)）

1、Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子

4學(xué)時(shí)

2、開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理

6學(xué)時(shí)

3、連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach

4學(xué)時(shí)

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》考試大綱

院 系：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

課程名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析（第二學(xué)期）使用專業(yè)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)專業(yè)

學(xué) 時(shí)：72 其中，理論學(xué)時(shí)：72 實(shí)踐學(xué)時(shí)：0 學(xué) 分：4

一、設(shè)課目的：

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻碚J(rèn)識抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來研究、解決實(shí)際問題的能力.二、課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)：

通過本門課程的教學(xué)，使學(xué)生了解函數(shù)理論的基本體系，理解實(shí)變函數(shù)的基本概念、基本原理，使學(xué)生較好的掌握集合論基礎(chǔ)、Lebesgue測度與Lebesgue積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)中的一些專門理論，如函數(shù)論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調(diào)和分析等提供必要的測度和積分論基礎(chǔ)，為從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供知識儲備.三、課程考核的基本形式、內(nèi)容和要求：

本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試

（一）形成性考核

形成性考核部分分為：平時(shí)考勤（占20%）、作業(yè)（占70%）、課堂提問情況（占10%）這三個(gè)部分。要求隨時(shí)檢查學(xué)生考勤，批改作業(yè)，敦促學(xué)生邊學(xué)邊做。

學(xué)生應(yīng)按時(shí)完成各階段的平時(shí)作業(yè)。對于抄襲作業(yè)的或不按時(shí)完成的應(yīng)給予說服教育，嚴(yán)重者應(yīng)給予扣分處理。

（二）課程期末考試

期末考試采用筆試閉卷形式?？荚嚸}由教研室集體討論，任課教師可參與命題。本課程期末考試的命題依據(jù)是專業(yè)教學(xué)計(jì)劃、課程教學(xué)大綱以及使用教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關(guān)知識內(nèi)容及練習(xí)，其中重點(diǎn)內(nèi)容為：集合的勢，可數(shù)集；外測度、可測集以及它們的性質(zhì)、可測函數(shù)的收斂性；可測函

p數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理；L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性，共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜；Banach空間的定義、模等價(jià)、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：

本課程的平時(shí)作業(yè)由任課教師根據(jù)學(xué)生完成情況進(jìn)行批閱、評分。課程期末考試教研室統(tǒng)一組織，以集體流水作業(yè)的方式進(jìn)行批閱。根據(jù)班級學(xué)生的學(xué)習(xí)情況形成性考核成績可占總成績的30%，期末考試成績可占總成績的70%。

五、教材

[1]夏道行《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，F(xiàn)unctional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強(qiáng)《實(shí)變函數(shù)論》第2版.北京大學(xué)出版社.六、其他有關(guān)說明或要求

第三篇：《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》第二版 程其襄泛函知識點(diǎn)期末總結(jié)

泛函知識點(diǎn)期末總結(jié)

一、關(guān)于有界線性算子，算子范數(shù)等

1、設(shè) x?X?C[a,b]，定義X上的線性算子

T：若f?C[a,b],(Tf)(t)?x(t)f(t),t?[a,b]。

求證：T有界，并求||T||。

2、設(shè) X?C[a,b],t0?[a,b]。定義X上的線性泛函f：若x?X,f(x)?x(t0)。求證：f有界，并求||f||。

3、設(shè) X?C[a,b],t1,t2，tn?[a,b],?1,?2,n,?3?C（全體復(fù)數(shù)集），定義X上的線性泛函f: 若x?X,f(x)???ix(ti)，f有界，并求||f||。

i?1

二、關(guān)于共軛空間的定義及其求解

三、內(nèi)積空間的定義及內(nèi)積空間與賦范空間的關(guān)系，常見的內(nèi)積空間

四、變分引理 極小化向量定理P245定理1及推論，P247引理1，P251引理1

五、投影定理，投影算子及其性質(zhì)，六、Hilbert空間的連續(xù)線性泛函，共軛算子，自伴算子，正常算子，酉算子

七、完全規(guī)范正交基及其判定定理

八、Banach空間的基本定理及其應(yīng)用

九、Banach共軛算子的定義及其求法

十、逆算子定理與閉圖像定理之間的關(guān)系與證明

十一、強(qiáng)收斂，弱收斂，弱星收斂，一致收斂及其關(guān)系

十二、完備度量空間的定義及其應(yīng)用

十三、壓縮映射原理及其應(yīng)用

十四、h?lder 不等式，Minkowski不等式，Schwarz不等式

十五、稠密，可分，完備，柯西序列

十六、度量空間定義及其常見度量空間，賦范線性空間的定義及其常見賦范線性

空間

第四篇：2010年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3答案

2011年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3

d(Anx,Anx1)

1、設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記an?sup

d(x,x1)x?z

若?an??，則映射A有唯一不動點(diǎn)。

n?1?（第七章：P216，#18）

證明 因?n?1?an??，則必有N，使aN?1。這樣對任意x, x1?X,若x?x1,則

d(ANx,Anx1)?aNd(x,x1)

NNNN這樣由壓縮映射原理A有不動點(diǎn)x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不動點(diǎn)。AN的不動點(diǎn)是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不動點(diǎn)。

若x’是A的任意一個(gè)不動點(diǎn)，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn?1x’=…= A x’= x’。這樣x’也是A的不動點(diǎn)，由于A的不動點(diǎn)是唯一的，因此x*= x’。即A的不動點(diǎn)也是唯一的。證畢。

2、按范數(shù)x?max?j，x???1,?2,??n?成賦范線性空間，問Rn的共軛空間是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 記R按范數(shù)x?max?i組成賦范線性空間為R，R按范數(shù)x?性空間為Y，我們來證明X? ? Y。

定義X? 到Y(jié)的映射。任意f?X?，Tf?f?e1?,?f?en?nnn??i?1ni組成賦范線

??，其中??ei??0,0,?1,0,?,0?i?1,2,?,n。???????i??對任意x???e，f?x????f?e???f?e?max?iinnniiii?Tfx

于是f?Tf

nni?1i?1i?1反之，對任意y???1??n??Y。定義f?X?：對任意x???e，f?x?????，則

iiiii?1i?1Tf?y。因此T是 X?到Y(jié)的映射 若y? ?0,?,0?，則顯然f?0，則Tf?f?0。若y???1??n? ? ?0,?,0?令x?n??sign??e，則

iii?1nx ?1

因此f ?f?x? ??i?1i?y?Tf。從而Tf?f。于是T是從X? 到Y(jié)的同構(gòu)映射。在同構(gòu)的意義下X??Y。證畢

3、設(shè)X是Hilbert空間，M?X，并且 M??，證明?M最小閉子集。（第九章：265，#6）

???是X中包含M的證明：X中包含M的最小X閉子集是Y，若y?Y，則存在xn?spanM，使xn?y??設(shè)x?M，則?y,x? ?lim?xn,x??0，因此y?Mn?????閉子空間，且M?Y，則Y ?M，從而M???，即Y?M?????又Y是X中

??????Y??= Y，所以Y??M??。證畢

4、設(shè)T為Hilbert空間X上正常算子，T?A?iB為T的笛卡兒分解，證明：

?1?T2?A2?B

22?2?T2?T。

（第九章：P265，#15）

證明：（1），因?yàn)?/p>

A?T?T?T?T?,B?22i及T?T?TT?，????得A2?B22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT442?，所以A?B?T?T?T。

?22?2?T22??T2?T2?T?T?T，即T2?T2。證畢。

45、設(shè)T是Hilbert空間X中的有界線性算子，T?1，證明：

?xTx?x???xT證明 若Tx?x，則x?x?x?。

2（第九章：P265,#12）

2?Tx,x?x,T?x ?x T?x ?x‘ 因此，x,Tx?xTx。由第一節(jié)引理1，Tx與x線性相關(guān)，設(shè)Tx??x。由????x,T?x?x,x，?可得

??1，即

T??x。這樣，?xTx?x???xTx?x???xT??x?x???xTx?x?。

?即xTx?x ?xTx?x。證畢 ????

6、用閉圖像定理證明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

證明

設(shè)T 為Banach空間X到Banach空間Y上的一對一的有界線性算子。

T?1的圖像G(T?1)?{(y,T?1y)y?Y}，若(yn,T?1yn)?(y0,x0)，則

yn?y0,T?1yn?x0(n??)。

設(shè)T?1yn?xn，則xn?x0，Txn?y0。因?yàn)門是連續(xù)的，所以Tx0?limTxn?y0，即

n??T?1y0?x0。這樣(y0,x0)?G(T?1)。于是我們證明了G(T?1)在Y×X中是閉集，故T?1是閉算子。再由閉圖像定理，T是有界的，證畢。

?

17、X為距離空間，A為X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.證明f(x)是X上

y?A連續(xù)函數(shù)。

（第七章：P215，#10）

證明

設(shè)d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?} 22?則E?O,F?G,且O?G??，事實(shí)上，若O?G??，則有

z?O?G??，所以

〈)存在E中的點(diǎn)x使d(x,z?2〈)，F(xiàn)中點(diǎn)y使d(y,z?2〈)?，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z??矛盾。證畢 此與d(x,y)?d（E，F(xiàn)）

8、設(shè)T1是 X1 到X2的全連續(xù)算子，T2是X2到X3的有界線性算子，則T2T1是X1 到X3的全連續(xù)算子。（第 十一章：P319，#10）

證明 若x?(x1,x2,?xn,?)，定義An:Anx??(?xakj?1k?1n?jk)ej： 則An是有界秩算子，且

(A?An)x???2j?n?1k?1??xak??2jk

2k?j?n?1k?1?(?x?)(?ajk)

k?12jk?2?j?n?1??ak?1?2x

所以A?An?j?n?1??ak?1??2jk?0(n??)。

由本章§3定理2，A是全連續(xù)算子。證畢

第五篇：(3修改后)2010年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3答案

2011年下學(xué)期數(shù)學(xué)院研究生《泛函分析》復(fù)習(xí)與練習(xí)3

d(Anx,Anx1)

1、設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記an?sup

d(x,x1)x?z

若?an??，則映射A有唯一不動點(diǎn)。

n?1?（第七章：P216，#18）

證明 因?n?1?an??，則必有N，使aN?1。這樣對任意x, x1?X,若x?x1,則

d(ANx,Anx1)?aNd(x,x1)

NNNN這樣由壓縮映射原理A有不動點(diǎn)x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不動點(diǎn)。AN的不動點(diǎn)是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不動點(diǎn)。

若x’是A的任意一個(gè)不動點(diǎn)，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn?1x’=…= A x’= x’。這樣x’也是A的不動點(diǎn)，由于A的不動點(diǎn)是唯一的，因此x*= x’。即A的不動點(diǎn)也是唯一的。證畢。

2、按范數(shù)x?max?j，x???1,?2,??n?成賦范線性空間，問Rn的共軛空間是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 記R按范數(shù)x?max?i組成賦范線性空間為R，R按范數(shù)x?性空間為Y，我們來證明X? ? Y。

定義X? 到Y(jié)的映射。任意f?X?，Tf?f?e1?,?f?en?nnn??i?1ni組成賦范線

??，其中??ei??0,0,?1,0,?,0?i?1,2,?,n。???????i??對任意x???e，f?x????f?e???f?e?max?iinnniiii?Tfx

于是f?Tf

nni?1i?1i?1反之，對任意y???1??n??Y。定義f?X?：對任意x???e，f?x?????，則

iiiii?1i?1Tf?y。因此T是 X?到Y(jié)的映射 若y? ?0,?,0?，則顯然f?0，則Tf?f?0。若y???1??n? ? ?0,?,0?令x?n??sign??e，則

iii?1nx ?1

因此f ?f?x? ??i?1i?y?Tf。從而Tf?f。于是T是從X? 到Y(jié)的同構(gòu)映射。在同構(gòu)的意義下X??Y。證畢

3、設(shè)X是Hilbert空間，M?X，并且 M??，證明?M最小閉子集。（第九章：265，#6）

???是X中包含M的證明：X中包含M的最小X閉子集是Y，若y?Y，則存在xn?spanM，使xn?y??設(shè)x?M，則?y,x? ?lim?xn,x??0，因此y?Mn?????閉子空間，且M?Y，則Y ?M，從而M???，即Y?M?????又Y是X中

??????Y??= Y，所以Y??M??。證畢

4、設(shè)T為Hilbert空間X上正常算子，T?A?iB為T的笛卡兒分解，證明：

?1?T2?A2?B

22?2?T2?T。

（第九章：P265，#15）

證明：（1），因?yàn)?/p>

A?T?T?T?T?,B?22i及T?T?TT?，????得A2?B22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT442?，所以A?B?T?T?T。

?22?2?T22??T2?T2?T?T?T，即T2?T2。證畢。

45、設(shè)T是Hilbert空間X中的有界線性算子，T?1，證明：

?xTx?x???xT證明 若Tx?x，則x?x?x?。

2（第九章：P265,#12）

2?Tx,x?x,T?x ?x T?x ?x‘ 因此，x,Tx?xTx。由第一節(jié)引理1，Tx與x線性相關(guān)，設(shè)Tx??x。由????x,T?x?x,x，?可得

??1，即

T??x。這樣，?xTx?x???xTx?x???xT??x?x???xTx?x?。

?即xTx?x ?xTx?x。證畢 ????

6、用閉圖像定理證明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

證明

設(shè)T 為Banach空間X到Banach空間Y上的一對一的有界線性算子。

T?1的圖像G(T?1)?{(y,T?1y)y?Y}，若(yn,T?1yn)?(y0,x0)，則

yn?y0,T?1yn?x0(n??)。

設(shè)T?1yn?xn，則xn?x0，Txn?y0。因?yàn)門是連續(xù)的，所以Tx0?limTxn?y0，即

n??T?1y0?x0。這樣(y0,x0)?G(T?1)。于是我們證明了G(T?1)在Y×X中是閉集，故T?1是閉算子。再由閉圖像定理，T是有界的，證畢。

?

17、X為距離空間，A為X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.證明f(x)是X上

y?A連續(xù)函數(shù)。

（第七章：P215，#10）

證明

設(shè)d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?} 22?則E?O,F?G,且O?G??，事實(shí)上，若O?G??，則有

z?O?G??，所以

〈)存在E中的點(diǎn)x使d(x,z?2〈)，F(xiàn)中點(diǎn)y使d(y,z?2〈)?，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z??矛盾。證畢 此與d(x,y)?d（E，F(xiàn)）

8、設(shè)T1是 X1 到X2的全連續(xù)算子，T2是X2到X3的有界線性算子，則T2T1是X1 到X3的全連續(xù)算子。（第 十一章：P319，#10）

證明 設(shè){xn} 是X1 中有界點(diǎn)列。因?yàn)門1全連續(xù)，所以{T1xn}中必有收斂子列。我們記之為{T1xnk}。又因?yàn)門2有界，所以{T2T1xnk}也收斂，因此{(lán)T2T1xn}有收斂子列。這就證明了T2T1是全連續(xù)算子。證畢。