第一篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

導(dǎo)數(shù)之構(gòu)造函數(shù)法證明不等式

1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有

1?

【解】f?(x)?1?ln(x?1)?x x?11x?1?? x?1x?1∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)

當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù) 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)

于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證）現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?111x?1，則g?(x)? ??22x?1x?1(x?1)(x?1)當(dāng)x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?111?1?ln(x?1)?x ∴l(xiāng)n(x?1)?1?，綜上可知，當(dāng)x??1時,有x?1x?1∴當(dāng)x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?

2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?12x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)? 23x的圖象的下方； 32312x?x?lnx，32【解】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?1(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?=

xx21

(x?1)(2x2?x?1)當(dāng)x?1時，F(xiàn)?(x)=

x從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?∴當(dāng)x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(只需令

1?0 623x的圖象的下方。3111?1)?2?3 都成立.nnn1?x n32【解】令h(x)?x?x?ln(x?1)，13x3?(x?1)2?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?12所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x?x 對任意正整數(shù)n，取x?32231111?(0,??)，則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。'?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

5、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

x例．已知函數(shù)f(x)?ae?12x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對ｘ∈Ｒ恒成立，-ｘ即ａ≥ｘｅ對ｘ∈Ｒ恒成立 記ｇ（ｘ）＝ｘｅ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1-x)e，當(dāng)ｘ＞１時，ｇ′（ｘ）＜０，當(dāng)ｘ＜１時，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù), ∴g(x)在x=1時,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范圍是[1/e, + ∞)

x(2)記F(X)=f(x)－(1+x)=e?x-ｘ-ｘ-ｘ-x

12x?1?x(x?0)2則F′(x)=e-1-x, xx令h(x)= F′(x)=e-1-x,則h′(x)=e-1 當(dāng)x>0時, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù), 又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)>h(0)=0 即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．

6.對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時,(1?x)1?1x?e1?x2

7.構(gòu)造形似函數(shù)

例：證明當(dāng)b?a?e,證明a?b

例：已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n,證明：(1?m)?(1?n)

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

求證：當(dāng)x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1

nmba3

2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且2b? 52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2x，求證：對任意的正數(shù)a、b，1?x3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?恒有l(wèi)na?lnb?1?

b.a

4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

mx2 5．設(shè)函數(shù)f（x）=e+x﹣mx．

（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．

6、已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，證明：對任意.7．已知函數(shù)f（x）=x+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2（2）令g（x）=f（x）﹣x，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時，證明：

．

8．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)范圍；（Ⅲ）求證：

．

在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值

29.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）

（1）若關(guān)于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）證明不等式：

10．已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．

（n∈N）．

*（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對任意的正整數(shù)m，n，不等式

恒成立．

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣

﹣bx（Ⅰ）當(dāng)a=b=時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+

＜x≤3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

12.已知函數(shù)f（x）=x+2ax﹣alnx﹣1（1）a≠0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

13.已知函數(shù)f(x)=ln

221?x.1－x(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)（0，f(0)）處的切線方程；

x3(Ⅱ)求證：當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)≥2(x+);

3x3(Ⅲ)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>k(x+)對x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.35

bex?114.設(shè)函數(shù)f(x)=aelnx+,曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處切線方程為y=e(x-1)+2.xx(Ⅰ)求a,b；

(Ⅱ)證明：f(x)>1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

x－xee15.已知函數(shù)f(x)=--2x.(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性

(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時，g(x)>0,求b的最大值；

16.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

17.已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,ax(a>1)討論f(x)的單調(diào)性 x?aπ]，求證：f(x)≤0； 218、已知函數(shù),，其中R.（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)總有 , 當(dāng)成立，求實(shí)數(shù)

時，若存在，對于任意的，的取值范圍．

19、已知函數(shù)

.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20、設(shè)函數(shù)表示的導(dǎo)函數(shù)，（其中）（1）求成立，求實(shí)數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若對任意的的取值范圍，都有

21、已知函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若,當(dāng)求實(shí)數(shù) 的取值范圍． ,，其中R．（Ⅰ）討論

在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)

時，若，的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，總有

成立，22、已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線，若對任意

在處切線的斜率；(Ⅱ)求，均存在的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，使得，求的取值范圍。

第二篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。

解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何

2、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例2】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有1?1?ln(x?1)?x x?11?1，從其導(dǎo)數(shù)入手即x?1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g(x)?ln(x?1)?可證明。根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

1、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【變式1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式f(x)>f?(x)，且y?f(x)?1為奇函數(shù).求不等式f(x)x2.求不等式(x?2015)2f(x?2015)?4f(?2)?0的解集.3、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例3】已知函數(shù)f(x)?12x2?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?23x3的圖象的下方； 分析：函數(shù)f(x)圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，設(shè)F(x)?g(x)?f(x)

4、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(1n?1)?11n2?n3 都成立.分析：本題是山東卷的

5、對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例5】證明當(dāng)x?0時,(1?x)1?1x?e1?x2

6、構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】證明當(dāng)b?a?e,證明ab?ba7、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 【例7】已知函數(shù)f(x)?aex?12x2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x

8、主元法構(gòu)造函數(shù)

【例8】（全國）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g(a?b2)?(b?a)ln2.【思維挑戰(zhàn)】

1、（2007年，陜西）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a

（A）af(b)≤bf(a)（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)

2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x2?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?52a2?3a2lna，求證：f(x)?g(x)

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x1?x，求證：對任意的正數(shù)a、b, 恒有l(wèi)na?lnb?1?ba.

第三篇：構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法

導(dǎo)數(shù)專題：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。

2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：

1、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有1?1?ln(x?1)?x x?

12、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?

3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

5、主元法構(gòu)造函數(shù)

1223x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x23的圖象的下方；

111?1)?2?3 都成立.nnn1?x)?x,g(x)?xlnx 例．（全國）已知函數(shù)f(x)?ln((1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g（6、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 例．已知函數(shù)f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2.212x 2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)若a=1,求證:x＞0時,f(x)>1+x

7.對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x?0時,(1?x)

8.構(gòu)造形似函數(shù)

例：證明當(dāng)b?a?e,證明ab?ba

【思維挑戰(zhàn)】

1、（2007年，安徽卷）設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

22求證：當(dāng)x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1，1?1x?e1?x2

2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)

f(x)?

52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，求證：f(x)?g(x)

22xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)na?lnb?1?.1?xa3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

第四篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法[最終版]

構(gòu)造函數(shù)證明不等式的八種方法

一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

例：

1、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，但有1?

2、已知函數(shù)f(x)?ae?x1?ln(x?1)?x 1?x12x（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍。

2（2）若a=1，求證：x?0時，f(x)?1?x

二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明

1例：

1、已知函數(shù)f(x)?x2?lnx，求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)

22g(x)?x3的圖象下方。

3思想：抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題

2、已知函數(shù)f(x)?n?lnx的圖象在點(diǎn)P(m,f(x))處的切線方程為y=x，設(shè)

n（1）求證：當(dāng)x?1時，g(x)?0恒成立；（2）試討論關(guān)于x的方g(x)?mx??2lnx，x

n程mx??g(x)?x3?2ex2?tx根的個數(shù)。x3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

例：

1、證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

2、證明：對任意的正整n，不等式ln(?1)?

3、已知函數(shù)f(x)?ln(ax?1)?x?x?ax，（1）若321n11?，都成立。n2n31n11?3都成立。2nn2為y?f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a

3的值；（2）若y?f(x)在[1,??)上增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（3）若a=-1時，方程f(1?x)?(1?x)3?b有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。x4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

例1 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf(x)??f(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足'

a?b，求證：af(a)?bf(b)

5、主元法構(gòu)造函數(shù)

例1.已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx，（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2g（a?b)?(b?a)ln2

26、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

例1：已知函數(shù)f(x)?ae?x12（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍； x，2（2）若a=1，求證：x?0時，f(x)?1?x7、對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）

例1：證明當(dāng)x?0時，(1?x)1?

1x?e1?x8、構(gòu)造形似函數(shù)

例1：證明當(dāng)b?a?e，證明a?b2、已知m、n都是正整數(shù)，且1?m?n，證明：(1?m)?(1?n)

思維挑戰(zhàn)

1、設(shè)a?0，f(x)?x?1?lnx?2alnx，求證：當(dāng)x?1時，恒有x?lnx?2alnx?

12、已知定義在正實(shí)數(shù)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?

且b?

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

4、f(x)是定義在(0,??)上的非負(fù)可導(dǎo)數(shù)，且滿足xf(x)?f(x)?0，對任意正數(shù)a、b，若a?b，則必有（）

A.af(x)?bf(a)B.bf(a)?af(b)C.af(a)?f(b)D.bf(b)?f(a)

-'2nmba212x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0，252a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2xb，求證：對任意的正數(shù)a、b恒有l(wèi)na?lnb?1? 1?xa

第五篇：構(gòu)造法證明函數(shù)不等式

構(gòu)造法證明函數(shù)不等式

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．

2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．

一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有1?1?ln(x?1)?x． x?

1二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明

【例2】已知函數(shù)f(x)?的圖象的下方．

2312x?lnx，求證：在區(qū)間(1 ,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x

32三、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】（2007年山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（111?1)?2?3都成立． nnn

四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf'(x)??f(x)恒成立，常數(shù)a、b滿足a?b，求證：af(a)?bf(b)．

五、主元法構(gòu)造函數(shù)

1?x)?x，g(x)?xlnx． 【例5】已知函數(shù)f(x)?ln(（1）求函數(shù)f(x)的最大值；

（2）設(shè)0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2g（a?b)?(b?a)ln2．

2六、構(gòu)造二階導(dǎo)函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導(dǎo)）

【例6】已知函數(shù)f(x)?ae?x12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若a?1，求證：當(dāng)x?0時，f(x)?1?x．

七、對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）

【例7】證明：當(dāng)x?0時，(1?x)1?x?e1?2．

1、（2007年，安徽卷）設(shè)a?0，f(x)?x?1?ln2x?2alnx．

求證：當(dāng)x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1．

2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?1x12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中2a?0，且b? 52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)．

23、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)? xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)na?lnb?1?． 1?xa4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , ??)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf'(x)?f(x)?0，對任意正數(shù)a、b，若a?b，則必有（）

A．a(chǎn)f(b)?bf(a)

B．bf(a)?af(b)

C．a(chǎn)f(a)?f(b)

D．bf(b)?f(a)例1【分析】 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)1?1，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明． x?11x?1??【解析】由題意得：f?(x)?，∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?1x?1g(x)?ln(x?1)?x?(?1 , 0)上為增函數(shù)；當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0 , ??)上為減函數(shù)；故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1 , 0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0 , ??)；于是函數(shù)f(x)在(?1 , ??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證）．現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1???1，則g?(x)?22，x?1(x?1)(x?1)x?1當(dāng)x?(?1 , 0)時，g'(x)?0；當(dāng)x?(0 , ??)時，g'(x)?0，即g(x)在x?(?1 , 0)上為減函數(shù)，在x?(0 , ??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1 , ??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0，x?111?1?ln(x?1)?x． ∴l(xiāng)n(x?1)?1?．綜上可知：當(dāng)x??1時，有x?1x?1∴當(dāng)x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?【點(diǎn)評】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（?。┲担瑒t有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．

例2．【分析】函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)在(1 ,??)上恒成12212x?lnx?x3，只需證明在區(qū)間(1,??)上，恒有x2?lnx?x3成立，23231設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，x?(1 , ??)，考慮到F(1)??0，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?/p>

6立問題，即當(dāng)x?1時，F(xiàn)(x)?F(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1 ,??)是增函數(shù)即可． 【解析】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?22312x?x?lnx，321(x?1)(2x2?x?1)(x?1)(2x2?x?1)則F'(x)?2x?x??；當(dāng)x?1時，F(xiàn)'(x)??0，從xxx而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?

1?0，∴當(dāng)x?1時，g(x)?f(x)?0，即6f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?23x的圖象的下方． 3【點(diǎn)評】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式．讀者也可以設(shè)F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法． 例3．【分析】本題是山東卷的第（2）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令

1?x，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x?0n時，恒有l(wèi)n(x?1)?x2?x3成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h(x)?x3?x2?ln(x?1)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明．

13x3?(x?1)2 【解析】 令h(x)?x?x?ln(x?1)，則h?(x)?3x?2x??x?1x?1322在x?(0 , ??)上恒正，∴函數(shù)h(x)在(0 , ??)上單調(diào)遞增，∴x?(0 , ??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x3?x2?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x2?x3，對任意正整數(shù)n，取x?1111?(0 , ??)，則有l(wèi)n(?1)?2?3． nnnn【點(diǎn)評】我們知道，當(dāng)F(x)在[a , b]上單調(diào)遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?0即可．

例4．【解析】由已知：xf'(x)?f(x)?0，∴構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，則F'(x)?xf'(x)?f(x)?0，從而F(x)在R上為增函數(shù)，∵a?b，∴F(a)?F(b)，即af(a)?bf(b)．

【點(diǎn)評】由條件移項(xiàng)后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明．若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項(xiàng)后xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)．

例5．【分析】 對于第（2）小問，絕大部分的學(xué)生都會望而生畏．學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上．如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的．（2）對g(x)?xlnx求導(dǎo)，則g'(x)?lnx?1．在g(a)?g(b)?2g(數(shù)，設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?b)中以b為主變元構(gòu)造函2a?xa?xa?x)，則F'(x)?g'(x)?2[g()]'?lnx?ln． 222當(dāng)0?x?a時，F(xiàn)'(x)?0，因此F(x)在(0 , a)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x?a時，F(xiàn)'(x)?0，因此F(x)在(a , ??)上為增函數(shù)．從而當(dāng)x?a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)，∵F(a)?0，b?a，∴F(b)?0，即g(a)?g(b)?2g(a?b)?0．又設(shè)G(x)?F(x)?(x?a)ln2，則2G'(x)?lnx?lna?xG'(x)?0．?ln2?lnx?ln(a?x)；當(dāng)x?0時，因此G(x)在(0 , ??)2a?b)?(b?a)ln2． 2上為減函數(shù)，∵G(a)?0，b?a，∴G(b)?0，即g(a)?g(b)?2g(例6．【解析】（1）f'(x)?aex?x，∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴f'(x)?0對x?R恒成立，即a?xe?x對x?R恒成立；記g(x)?xe?x，則g'(x)?e?x?xe?x?(1?x)e?x；

當(dāng)x?1時，g'(x)?0；當(dāng)x?1時，g'(x)?0．知g(x)在(?? , 1)上為增函數(shù)，在(1 , ??)上為減函數(shù)，∴g(x)在x?1時，取得最大值，即g(x)max?g(1)?（2）記F(x)?f(x)?(1?x)?e?x111，∴a?，即a的取值范圍是[ , ??)．

eee12x?x?1（x?0），則F'(x)?ex?x?1，2令h(x)?F'(x)?ex?x?1，則h'(x)?ex?1；當(dāng)x?0時，h'(x)?0，∴h(x)在(0 , ??)上為增函數(shù)，又h(x)在x?0處連續(xù)，∴h(x)?h(0)?0，即F'(x)?0，∴F(x)在(0 , ??)上為增函數(shù)，又F(x)在x?0處連續(xù)，∴F(x)?F(0)?0，即f(x)?1?x．【點(diǎn)評】當(dāng)函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m?f(x)（或m?f(x)）恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最 值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．

例7．【解析】 對不等式兩邊取對數(shù)得(1?)ln(1?x)?1?1xx，化簡為2(1?x)ln(1?x)?2x?x2，2(l1?x)，設(shè)輔助函數(shù)f(x)?2x?x2?2(1?x)ln(，f'(x)?2x?2n1?x)（x?0）又f''(x)?2x?0（x?0），易知f'(x)在(0 , ??)上嚴(yán)格單調(diào)增加，從而f'(x)?f'(0)?01?x（x?0），又由f(x)在[0 , ??)上連續(xù)，且f'(x)?0，得f(x)在[0 , ??)上嚴(yán)格單調(diào)增加，∴f(x)?f(0)?0（x?0），即2x?x2?2(1?x)ln(1?x)?0，2x?x2?2(1?x)ln(1?x)，故(1?x)1?1x?e1?x2（x?0）．

1、【解析】f?(x)?1?2lnx2a2lnx??1，∴f?(x)?0，即f(x)，當(dāng)x?1，a?0時，不難證明xxx 在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x?1時，f(x)?f(1)?0，∴當(dāng)x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1．

2、【解析】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)?12x?2ax?3a2lnx?b，則23a2(x?a)(x?3a)（x?0），∵a?0，∴當(dāng)x?a時，F(xiàn)'(x)?0，F(xiàn)'(x)?x?2a??xx故F(x)在(0 , a)上為減函數(shù)，在(a , ??)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0 , ??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當(dāng)x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)．

3、【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1 , ??)，f'(x)?11x??，∴當(dāng)?1?x?01?x(1?x)2(1?x)2時，f'(x)?0，即f(x)在x?(?1 , 0)上為減函數(shù)；當(dāng)x?0時，f'(x)?0，即f(x)在x?(0 , ??)上為增函數(shù)；因此在x?0時，f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值，于是f(x)?f(0)?0，從而ln(1?x)?1xa1b?1?，于是，即ln(1?x)?1?，令1?x??0，則1?1?x1?xbx?1aabbf(x)xf'(x)?f(x)ln?1?，因此lna?lnb?1?．

4、?0，故【解析】F(x)?，F(xiàn)'(x)?baaxx2f(x)f(a)f(b)?af(b)?bf(a)，故選A． F(x)??在(0 , ??)上是減函數(shù)，由a?b有xab8