第一篇：考研高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)解讀：中值定理就得這么學(xué)_斃考題

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考研高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)解讀：中值定理就得這么學(xué)

中值定理是考研數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，考查考生的邏輯推理能力，在考研數(shù)學(xué)中以證明題形式出現(xiàn)，難度相對(duì)較大。在31年考研真題中數(shù)一查過16次，數(shù)二考查過18次，數(shù)學(xué)三考過14次，考查的重點(diǎn)是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理。雖然中值定理是一大難點(diǎn)，但卻有規(guī)律可循，為了方便考生復(fù)習(xí)，邊一老師就中值定理給考生們做出詳細(xì)解讀，為你們暑期正確復(fù)習(xí)本章做好鋪墊。

針對(duì)高數(shù)中的這一難點(diǎn)，我們2018年的考生在暑期的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意以下：

研究真題總結(jié)出題規(guī)律

中值定理可以通過研究考研數(shù)學(xué)真題總結(jié)出解題規(guī)律，做完真題之后要總結(jié)一下，要找大量不同的題做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻課本。真題至少要做三遍以上。只要做了，做錯(cuò)的地方一定要反復(fù)看，如果后期有時(shí)間我建議大家再看看全書，切忌沒有仔細(xì)研讀課本直接看復(fù)習(xí)全書的孩子們。

做過的題一定要會(huì)

對(duì)于數(shù)學(xué)，大量做題是必不可少的，但是更重的是做過的題一定要會(huì)，這就需要反復(fù)做錯(cuò)的題，做錯(cuò)題的過程很痛苦，很打擊你的積極性，但是你一定要不斷的提醒自己，做錯(cuò)題才是讓自己的復(fù)習(xí)升華的王道。考生在備考時(shí)還要多做講義例題，而不僅僅是練習(xí)題。做例題時(shí)應(yīng)遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先認(rèn)真做;無論做出與否都要把自己的思路詳記于空白處，尤其是做不出的，一定把自己真實(shí)的思考方式記錄在案，留待日后分析，而不是對(duì)了答案就萬事大吉，這樣做可以迅速的找到做題的感覺。

注重解題思路與技巧培養(yǎng)

總之，考生在做題目時(shí)，要養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣，做一個(gè)有心人，認(rèn)真地將遇到的解答中好的或者陌生的解題思路以及自己的思考記錄下來，平時(shí)翻看，久而久之，自己的解題能力就會(huì)有所提高。對(duì)于那些具有很強(qiáng)的典型性、靈活性、啟發(fā)性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，其知識(shí)結(jié)構(gòu)卻基本相同，題型也相對(duì)固定，往往存在明顯的解題套路，熟練掌握后既能提高解中值定理題的針對(duì)性，又能提高中值定理解題速度和正確率。

鞏固基礎(chǔ)，熟悉自己的解題體系

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當(dāng)然，一味的靠做題來提高中值定理的數(shù)學(xué)能力也是不足取的。曾有一個(gè)考生，平時(shí)的解題能力很高，但最后的考試成績(jī)卻不是很理想，談到自己失利的原因時(shí)，他說，自己平時(shí)幾乎全部靠做題來提高水平，而對(duì)知識(shí)點(diǎn)缺乏更高層次上的把握和運(yùn)用，導(dǎo)致遇到陌生的題目時(shí)，得分率嚴(yán)重下降。所以考生不能為做題而做題，要在做題時(shí)鞏固基礎(chǔ)，提高自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)更高層次上的把握和運(yùn)用。要善于歸納總結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題最好能形成自己熟悉的解題體系，也就是對(duì)各種題型都能找到相應(yīng)的解題思路，從而在最后的實(shí)考中面對(duì)陌生的試題時(shí)能把握主動(dòng)，從而將考研數(shù)學(xué)中的中值定理這個(gè)難點(diǎn)拿下來。

以上是跨考數(shù)學(xué)教研室對(duì)考生暑期熟悉中值定理考點(diǎn)的建議，希望大家引以為鑒。

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第二篇：2018考研數(shù)學(xué)之高數(shù)考點(diǎn)預(yù)測(cè)：中值定理證明_斃考題

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2018考研數(shù)學(xué)之高數(shù)考點(diǎn)預(yù)測(cè)：中值定理證明

中值定理證明是高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)，今年很有可能會(huì)考到，沖刺時(shí)間不多，小編帶大家來把這些考點(diǎn)回顧鞏固下： 中值定理是考研數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，這一類型的問題，從待證的結(jié)論入手，首先看結(jié)論中有無導(dǎo)數(shù)，若無導(dǎo)數(shù)則采用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)來證明(介值或零點(diǎn)定理)，若有導(dǎo)數(shù)則采用微分中值定理來證明(羅爾、拉格朗日、柯西定理)，這個(gè)大方向首先要弄準(zhǔn)確，接下來就待證結(jié)論中有無導(dǎo)數(shù)分兩塊來講述。

一、結(jié)論中無導(dǎo)數(shù)的情況

結(jié)論中無導(dǎo)數(shù)，接下來看要證明的結(jié)論中所在的區(qū)間是閉區(qū)間還是開區(qū)間，若為閉區(qū)間則考慮用介值定理來證明，若為開區(qū)間則考慮用零點(diǎn)定理來證明。

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第三篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費(fèi)馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點(diǎn)x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點(diǎn)處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點(diǎn)函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點(diǎn)的具體位置和計(jì)算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點(diǎn)的弦是水平的，則曲線上至少有一點(diǎn)的切線是水平的。⑷兩個(gè)推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時(shí)較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時(shí)該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準(zhǔn)確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當(dāng)?x?0時(shí)dy表示?y的誤差才趨于零。但在實(shí)際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個(gè)函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個(gè)值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對(duì)

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

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f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項(xiàng)（與誤差估計(jì)有關(guān)）。其中當(dāng)x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時(shí)的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項(xiàng)的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

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⑵帶有Lagrange余項(xiàng)的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

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??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

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n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項(xiàng)的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

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⑵帶有Langrange余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurin）展式：

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n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計(jì)算，誤差估計(jì)。⑶與冪級(jí)數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時(shí)，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對(duì)未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對(duì)數(shù)方法求極限時(shí)還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時(shí)，就改用其它方法計(jì)算。

第四篇：2018考研高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)先后順序_斃考題

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2018考研高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)先后順序

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難度大，考生最好早點(diǎn)開始復(fù)習(xí)。怎么復(fù)習(xí)？先看什么？小編來聊聊高數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)的先后順序，大家參考：

首先按照考試大綱劃分復(fù)習(xí)范圍。在熟悉大綱的基礎(chǔ)上對(duì)考試必備的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，了解考研數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)和特點(diǎn)。

其次按照大綱對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念、基本方法和基本定理準(zhǔn)確把握。高等數(shù)學(xué)考查還是以考查考生的基本知識(shí)和基本技能為住，考卷中偏題和怪題不是很多，所以考生先要從基礎(chǔ)學(xué)起，先把教材中的一些概念、定理、公式復(fù)習(xí)好，牢牢地記住，并在此基礎(chǔ)上選擇一些題目進(jìn)行強(qiáng)化。如果基礎(chǔ)不是非常好，我建議暑期或者秋季報(bào)個(gè)考研輔導(dǎo)班，在老師的帶領(lǐng)下將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化鞏固。

最后基本功扎實(shí)后，就要大量做題。數(shù)學(xué)只有通過做大量的題目才能有質(zhì)的飛躍。基礎(chǔ)階段高數(shù)主要做教材上的習(xí)題及課后練習(xí)題，做一本書盡量好做詳細(xì)的計(jì)劃，當(dāng)然做計(jì)劃也是有技巧的：每天完成一章。因?yàn)槊恳徽碌膬?nèi)容多少和難度不同，不能一概而論，否則就會(huì)出現(xiàn)某一章一會(huì)就做完了，另外一章卻做了一天也沒結(jié)束，這樣還容易打亂你其他科目的復(fù)習(xí)計(jì)劃，畢竟考研不是只考數(shù)學(xué)。小編建議：比如第一章，感覺一下這章對(duì)于自己而言的難度，一共有多少頁，自己計(jì)劃幾天完成，然后定好每天完成多少頁，計(jì)劃要定的稍微寬裕一天，以防出現(xiàn)突然有事，或者這章難度超出預(yù)料。不要覺得這費(fèi)時(shí)間，一本書定個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃一個(gè)小時(shí)足夠了吧，而一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃會(huì)讓自己效率提高很多。

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是要保證熟練度的，平時(shí)應(yīng)該多訓(xùn)練，應(yīng)該一抓到底，經(jīng)常練習(xí)，一天至少保證三個(gè)小時(shí)。把一些基本概念、定理、公式復(fù)習(xí)好，牢牢地記住。同時(shí)數(shù)學(xué)還是一種基本技能的訓(xùn)練，像騎自行車一樣。盡管你原來騎得非常好，但是長(zhǎng)時(shí)間不騎，再騎總有點(diǎn)不習(xí)慣。所以考生們經(jīng)常練習(xí)是很重要的，天天做、天天看，一直到考試的那一天。這樣的話，就絕對(duì)不會(huì)生疏了，解題速度就能夠跟上去。

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第五篇：考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)解析--有關(guān)微分中值定理的證明

考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)解析—有關(guān)微分中值定理的證明

萬學(xué)教育?海文考研 王丹

2013年考研數(shù)學(xué)大綱于2012年9月14日正式出爐，數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)

二、數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考試內(nèi)容和考試要求包含標(biāo)點(diǎn)符號(hào)在內(nèi)均沒有任何的變化；而線性代數(shù)部分，由原來的“線性方程組的克萊姆法則”改為“線性方程組的克拉默法則”，只是名稱的改變，內(nèi)容沒有變化；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，數(shù)學(xué)一沒有任何變化，而數(shù)學(xué)三“多維隨機(jī)變量的分布這一章”考試內(nèi)容和考試要求的難度都降低了，具體變化為將考試內(nèi)容中“兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的分布”增加了兩個(gè)字“簡(jiǎn)單”，即“兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布”；相應(yīng)的考試內(nèi)容中“會(huì)根據(jù)多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布”改為“會(huì)根據(jù)多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其簡(jiǎn)單函數(shù)的分布”。

有了考試大綱，就有了我們復(fù)習(xí)的依據(jù)，通過對(duì)歷年考研命題規(guī)律的分析，我們得出與中值定理有關(guān)的證明題是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)且是難點(diǎn)，每年必考有關(guān)中值定理的一道證明題10分．所以大家一定要引起重視，對(duì)于解這類題目,首先要確定證明的結(jié)論,然后聯(lián)想與之相關(guān)的定理、結(jié)論和方法以及所需要的條件,再看題設(shè)中是否給出條件,若都沒有直接給出,考慮如何由題設(shè)條件推出這些所需的條件,最后證明．其中,當(dāng)要證明存在某些點(diǎn)使得它們的函數(shù)值或者高階導(dǎo)數(shù)滿足某些等式關(guān)系或者其他特性時(shí),用中值定理所求的點(diǎn)常常是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)．下面我就有關(guān)中值等式的證明總結(jié)幾種方法，并且通過例題加強(qiáng)對(duì)此類問題方法的理解和把握。

一、有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)等式的證明主要有以下幾種方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零點(diǎn)定理直接證明,適用于證明存在??[a,b],使得G(?,f(?))?0．

(2)間接法．構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)(其中F(x)的構(gòu)造方法可參照重要題型五),然后驗(yàn)證F(x)滿足中值定理的條件,最后由相應(yīng)的中值定理得出命題的證明．

二、證明存在一點(diǎn)?使得關(guān)于a,b,f(a),f(b)或?,f(?),f?(?),?,f(n)(?)的等式成立．常用證法：

(1)對(duì)于這類等式的證明問題,可以通過移項(xiàng)使等式一端為0,轉(zhuǎn)化為重要題型五中證明存在一點(diǎn)?使得G(?,f(?),f'(?))?0的問題.(2)利用拉格朗日中值定理直接進(jìn)行證明．

現(xiàn)舉例題如下

例題1：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，試證明???(a,b)，使得

'f(b)?f(a)22f(?)?(a?ab?b)2b?a3?

分析本題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)．對(duì)于關(guān)系式中顯含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,將含介值的項(xiàng)全部右移,再將左端分子、分母中的a,b分離,然后直接觀察即可得到所需輔助函數(shù)．

'f(b)?f(a)f(b)?f(a)f'(?)22f(?)?(a?ab?b)??222b?a3?b?a(a?ab?b)3?2

f(b)?f(a)f'(?)即.?a3?b33?2

證令g(x)?x3，則f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x?0時(shí)，g'(x)?0，f(b)?f(a)f'(?)f(b)?f(a)f'(?)則由柯西中值定理有，所以，?'?332g(a)?g(b)g(?)a?b3?

'f(b)?f(a)22f(?)即，得證.?(a?ab?b)b?a3?2

例題2 設(shè)函數(shù)f(x)在?0,3?上連續(xù)，在?0,3?內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2f(0?)?fx(d)?x02f(?2)f，(3)

(I)證明：存在??(0,2)使f(?)?f(0);(II)證明存在??(0,3)，使f??(?)?0 證明：(I)?2f(0)??f(x)dx，又?f?x?在?0,2?上連續(xù) 02

?由積分中值定理得，至少有一點(diǎn)???0,2?，使得?f?x?dx?f?????2?0? 02

?2f?0??2f???，?存在???0,2?使得f????f?0?。

(Ⅱ)?f?2??f?3??2f?0?，即f?2??f?3??f?0? 2

又?f?x?在?2,3?上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)?1??2,3?使得f??1??f?0? ?f?x?在?0,2?上連續(xù)，在?0,2?上可導(dǎo)，且f?0??f?2?

?由羅爾中值定理知，??1??0,2?，有f???1??0

又?f?x?在?2,?1?上連續(xù)，在?2,?1?上可導(dǎo)，且f?2??f?0??f??1? ?由羅爾中值定理知，??2??2,?1?，有f??2??0

又?f?x?在??1,?2?上二階可導(dǎo)，且f?(?1)?f?(?2)?0

?由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)????1,?2?，使得f??(?)?0.