第一篇：2014年初中數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí) 知識(shí)梳理+例題精講 第十一講 代數(shù)式的恒等變形(拔高篇,適合八年級(jí)使用)

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代數(shù)式的恒等變形

【知識(shí)梳理】

1、恒等式的意義

兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等。

2、代數(shù)式的恒等變形

把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。

3、基本思路

（1）由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；（3）證明：左邊?右邊?0，或

4、基本方法

在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】

【例1】已知abc?1，求證：

左邊?1，此時(shí)右邊?0。右邊abc???1。

ab?a?1bc?b?1ac?c?1思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊。

【鞏固】已知x、y、z為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x?111?y??z?，求證： x2y2z2?1。yzx1 文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

【拓展】若x?y?z?0，a?xy?z，b?yzx?z，c?x?y，aba?1?b?1?cc?1?1。

【例2】證明：xyz1ax?a2?ay?a2?113az?a2?x?a?y?a?z?a?a。思路點(diǎn)撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)行證明。

求證：2 文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

2221??1??1?1??1??1???【鞏固】

1、求證?a????b????ab???4??a???b???ab??。

a??b??ab?a??b??ab???

2、求證：

【拓

展

】

求

證

：bcdb?c?d???。

a?a?b??a?b??a?b?c??a?b?c??a?b?c?d?a?a?b?c?d?24620111111??????????

?x?10??x?1?x2?1x2?4x2?9x2?100?x?1??x?10??x?2??x?9?

文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【例3】已知

x?a?ba?b，y?b?cb?c，z?c?ac?a，求證?1?x??1?y??1?z???1?x??1?y??1?z?

思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。

aca222【鞏固】已知b?d?3，求證：?c2b2?d2?a?b???c?d?a?c?b?d?a?b?c?d。

【拓展】已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足

11a?b?1c?1a?b?c，求證： 1a2n?1?1b2n?1?1c2n?1?1a2n?1?b2n?1?c2n?1，其中n是正整數(shù)。

：文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【例4】已知

ax3?by3?cz3，且

111???1，求證：xyz3ax2?by2?cz2?3a?3b?3c。

【鞏固】

1、已

知

ABCD???xyzt，求證：Ax?By?Cz?Dt?

2、設(shè)

?A?B?C?D??x?y?z?t?

aa1a2a3?????n?a1，a2，?，an，b1，b2，?，an都是整數(shù)?。b1b2b3bna2b2?a3b3???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn 求證：a1b1?文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

【拓展】設(shè)2005x3?2006y3?2007z3，xyz?0，222且32005x?2006y?2007z?32005?32006?32007，求證：

111???1。xyz

【例5】已知正數(shù)a，b滿足a1?b2?b1?a2?1，求證：a?b?1。

22思路點(diǎn)撥：本題采用綜合法。所謂綜合法就是從條件開始進(jìn)行推理，一步一步地推到我們所要證明的結(jié)論，就是我們平時(shí)說(shuō)的“正面突破”。

第二篇：2014初中數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+例題精講 第一講 如何做幾何證明題(拔高篇,適合八年級(jí)使用,無(wú)答案)

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如何做幾何證明題

【知識(shí)梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。

2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。【例題精講】

【專題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。【例1】已知：如圖所示，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。ABC 求證：DE＝DF

AEDCFB文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【鞏固】如圖所示，已知?為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)ABCCE、DE。

求證：EC＝ED

【例2】已知：如圖所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F

【專題二】證明直線平行或垂直

FBCAEBCAEDD 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證?！纠?】如圖所示，設(shè)BP、CQ是?的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。ABC 求證：KH∥BC

BCQKAPHA?90?，AE?BF，BD?DC【例4】已知：如圖所示，AB＝AC，∠。文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 求證：FD⊥ED

【專題三】證明線段和的問(wèn)題

BFAEDC

（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）【例5】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°； 求證：BC＝AD＋AE

【鞏固】已知：如圖，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。ABCB?60? 求證：AC＝AE＋CD

（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）

ADEBCBEAODC文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【例6】 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，?EAF??45。

求證：EF＝BE＋DF

AD

F

B EC

【專題四】證明幾何不等式：

【例7】已知：如圖所示，在?ABC中，AD平分∠BAC，AB?AC。

求證：BD?DC

A

BDC

【拓展】?ABC中，?BAC??90，AD?BC于D，求證：AD?14?AB?AC?BC?

A

BDC 4

第三篇：2014年初中數(shù)學(xué)奧賽專題復(fù)習(xí)精講學(xué)案(拔高篇,適合八年級(jí)使用)：第十二講 相似三角形(知識(shí)梳理+例題精講)

第十二講：專題復(fù)習(xí)：相似三角形

【知識(shí)梳理】

1、比例線段的有關(guān)概念：

ac 在比例式??(a：bc：d)中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，bdb、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。

2、平行線分線段成比例定理：

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。

ABDEABDEBCEF

則?，?，?，… BCEFACDFACDF

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

4、相似三角形的判定：

①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似 ③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似

④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似

5、相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

③相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 ④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方

3、常見三角形相似的基本圖形、基本條件和基本結(jié)論：

（1）如圖1，當(dāng)

時(shí)，?ABC∽?ADE

（2）如圖2，當(dāng)

時(shí)，?ABC∽ ?AED。（3）如圖3，當(dāng)

時(shí)，?ABC∽ ?ACD。

AA

D DED E

BBCCCB 圖1圖2圖3

（4）如圖4，如圖1，當(dāng)AB∥ED時(shí)，則△

∽△。

（5）如圖5，當(dāng)

時(shí)，則△

∽△。

A

ACBA'C'E'EDD'AB'圖4

圖5（6）如右圖，特殊圖形（雙垂直模型）∵∠BAC＝90° AD?BC∴

? ADC

∽

? BDA

∽

? BAC

【例題精講】

BDC【例1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AE⊥BD，交BC于點(diǎn)E，求證：BE=2EC。

DA

【鞏固】如圖，△ABC是一個(gè)等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分線交AC于D且BC=BD+AD，設(shè)∠A=c°，求c的值。

【例2】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC（AD

ADBCADBEC?6S梯形DCBA25，O

【鞏固】

1、如圖，在□ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE:CE=2:3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則S?DEF:S?EBF:S?ABF?（）

A.4:10:25

B.4:9:25

C.2:3:5

D.2:5:25

2、如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S?D0E:S?COB?9:16，則AD:DB=____________。

【例3】已知如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E為AC中點(diǎn)，求證：

BDOCEAADFBECAB?AF?AC?DF。

A

【鞏固】已知如圖，AE為△ABC的角平分線，D為AB上一點(diǎn)，并且∠ACD=∠B，CD交

BDFECCEAE于F，求證：CE?CF?FD?BE。

【例4】如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，過(guò)D作AB、AC的垂線，垂足分別為E、F，求證：DE+DF的長(zhǎng)是定值。

BED圖1FCA

【鞏固】如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D?在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)D?作AB、AC的垂線，垂足分別為M、N，求證：D?M?D?N的長(zhǎng)是定值。

【例5】如圖，在△ABC中，D為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，P為AD上任意一點(diǎn)，連結(jié)

B圖2NMCD'AAPB、PC，求證：

S?ABPBD。?S?APCDC【鞏固】用面積法證明下述定理：

（1）在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，求證：AB:AC=BD:DC。

（2）（賽瓦定理）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC、AB上，連結(jié)AD、BE、CF交于點(diǎn)O，求證：

（3）（梅內(nèi)勞斯定理）如圖，一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，BA（或其延長(zhǎng)線）分別交于D，E，F(xiàn)。求證：

BFOEBDCEAF???1。DCAEFBADCBDCEAF???1。DCEAFBAEBDC

【拓展】如圖，在△ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，G是AD（不包括A、D兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，BG、CG的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)F、E。（1）求證：AEAF?； EBFCAS?S?CGFAE?x，用含x的代數(shù)式表示?BGE（2）設(shè)，EBS?ABC并求出它的最大值。

BEGFDC