第一篇：[教案精品]新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修四全冊教案2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及含義

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：（1）兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，ａ與ｂ同向；（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，ａ與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝?時(shí)，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?（2）兩向量共線的判定（3）練習(xí)

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（B）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.二、講解新課：1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.?探究：

1、向量數(shù)量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數(shù)量？它的符號什么時(shí)候?yàn)檎?？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？

2、兩個(gè)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，1 也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|? a?b = b?c 但a ? c(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值； 當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)?為直角時(shí)投影為0； 當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|； 當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.3．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，1、a?b ? a?b = 0

2、當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =探究：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設(shè)a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a

2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，2a?b

|a||b| 2 若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?

2∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性質(zhì)：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、講解范例：

例1．證明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

????例2．已知|a|=12，|b|=9，a?b??542，求a與b的夾角。

例3．已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|與|a-b|.（利用 |a|?oa?a）

例4．已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直.四、課堂練習(xí)：

1．P106面1、2、3題。

2．下列敘述不正確的是（）

A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律 C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.a·b是一個(gè)實(shí)數(shù) 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b與a-b的位置關(guān)系為（）44A.平行 B.垂直 C.夾角為

? D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a與b的夾角.五、小結(jié)：

1．平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律； 3．向量垂直的條件.六、作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)二十三。

第二篇：2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(教學(xué)設(shè)計(jì))

SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義（教學(xué)設(shè)計(jì)）

[教學(xué)目標(biāo)]

一、知識與能力：

1． 掌握平面向量的數(shù)量積的物理背景及幾何意義； 2． 掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律；

二、過程與方法：

滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力；借助物理背景，感知數(shù)學(xué)問題，探究知識的來龍去脈；培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)對現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題；樹立學(xué)科之間相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的辯證唯物主義觀點(diǎn).[教學(xué)重點(diǎn)] 向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)． [教學(xué)難點(diǎn)]

對向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用．

一、復(fù)習(xí)回顧，新課引入

????1． 向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使b=λa.2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2 3．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj，把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

?????5．a(chǎn)∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點(diǎn)及λ

P1，P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1，P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，使 =λP1PPP2，λ叫做點(diǎn)P分

P1P2所成的比，有三種情況：SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

λ>0(內(nèi)分)

(外分)λ<0(λ<-1)

(外分)λ<0(-1<λ<0)問題：如圖一個(gè)力F作用于一個(gè)物體上，使該物體位移S，（1）如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？W=|S||F|cos?.（2）如何從數(shù)學(xué)的角度來理解這個(gè)公式呢？

1?的意義是什么？ ○2|F|cos?的意義是什么？○3|S|cos? 的意義是什么？

○

二、師生互動(dòng)，新課講解：

1．兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，ａ與ｂ同向；

（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，ａ與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝?時(shí)，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?

C

2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為?，我們把數(shù)量|a|·|b|·cos?叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。記作：a·b

即：a·b=|a|·|b|·cos?

（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c

但a ? c

(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

a = c SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)?為直角時(shí)投影為0；當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|；當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則： 1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b| 例1（課本P104例1）已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角?=120?，求a?b.解：a?b=|a||b|cos?=5?4?cos120?=-10.變式訓(xùn)練1：向量|a|=6，a與b的夾角為120?，求a在b方向上的投影.（-3）

3． 數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a?b= b?a；

（2）(?a)?b=?(a?b)=a?(?b)；（3）(a+b)?c=a?c+b?c

例2（課本P105例2）對于任意向量a，b證明（1）(a+b)2=a2+2 a?b+b2；（2）(a+b)?(a-b)=a2-b2.SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：（1）(a+b)2=(a+b)?(a+b)

=a?a+a?b+b?a+b?b

=a2+2a?b+b2；

（2）(a+b)(a-b)=a?a-a?b+b?a-b?b=a2-b2.變式訓(xùn)練2：判斷下列說法是否正確：

（1）若a=0，則對于任一向量b，有a?b=0.(?)（2）若a?0，則對任一非零向量b，有a?b?0.(?)（3）若a?0，a?b=0，則b=0.(?)（4）若a?b=0，則a，b至少有一個(gè)為零.(?)（5）若a?0，a?b=a?c，則b=c.(?)（6）若a?b=a?c，則b=c，當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)成立.(?)（7）對任意向量a、b、c，有(a?b)?c?a?(b?c).(?)（8）對任意向量a，有a2=|a|2.(?)例3（課本P105例3）已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60?，求(a+2b)?(a-3b).解：(a+2b)?(a-3b)=a?a-a?b-6b?b

=|a|2-a?b-6|b|

2=|a|2-|a||b|cos?-6|b|2

=-72.變式訓(xùn)練3：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時(shí)，分別求ａ·ｂ.解：①當(dāng)ａ∥ｂ時(shí)，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當(dāng)ａ⊥ｂ時(shí)，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60°時(shí)，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝9 例4（課本P105例4）已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直？ 解：a+kb與a-kb互相垂直的條件是(a+kb)?(a-kb)=0，12SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

即a2-k2b2=0，∵ a2=32=9，b2=42=16，∴ 9-16k2=9，∴k=?.變式訓(xùn)練4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b與ka-b垂直，求實(shí)數(shù)k的值.解：(ka+b)?(ka-b)=0 ?k2a2-b2=0 ?k2|a|2-|b|2=0 ?4k2-16=0 ?k=?2.課堂練習(xí)（課本P106練習(xí)NO：1；2；3）

三、課堂小結(jié)，鞏固反思：

1．平面向量的數(shù)量積的物理背景及幾何意義； 2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.四、課時(shí)必記：

1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，2、|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.3、設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，?是a與e的夾角，則：

1）e?a?a?e?|a|cos? 2）a?b?a?b?0

3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a?a 4）cos??a?b|a|?|b| 5）|a·b|?|a|·|b|

五、分層作業(yè)： A組：

1、（課本P108習(xí)題2.4 A組：NO：2）

2、（課本P108習(xí)題2.4 A組：NO：6）SCH高中數(shù)學(xué)（南極數(shù)學(xué)）同步教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、（課本P108習(xí)題2.4 A組：NO：7）

4、.已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

5、已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則(a+2b-c)＝______.B組：

1、已知|a|=1，|b|=2，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夾角為６0°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.2、設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.C組：

1、(tb1225172)已知：(a?3b)垂直于(7a?5b)、(a?4b)垂直于(7a?2b)，求a與b的夾角?。

（答：

２?）

32、(tb1225577)設(shè)e1和e2是兩個(gè)單位向量，其夾角為600，試求向量a=2e1+e2和b=-3e1+2e2的夾角。（答：1200）

第三篇：[教案精品]新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(二)

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

二、講解新課：

?1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

?????思考1：已知：a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，你能得出a?b、a?b、?a的坐標(biāo)嗎？設(shè)基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2)（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.（2）若a?(x,y)和實(shí)數(shù)?，則?a?(?x,?y).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

?思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎樣求AB的坐標(biāo)？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

AB=OB?OA=(x2，y2)?(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).思考3：你能標(biāo)出坐標(biāo)為(x2? x1，y2? y1)的P點(diǎn)嗎？

向量AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)是相同的。

三、講解范例：

????????例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo).例2 已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，由AB?DC得D1=(2，2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，得D2=(4，6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，得D3=(?6，0)例3已知三個(gè)力F1(3，4)，F(xiàn)2(2，?5)，F(xiàn)3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標(biāo).解：由題設(shè)F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)即：??3?2?x?0?x??5 ∴? ∴F3(?5，1)?4?5?y?0?y?

1四、課堂練習(xí)：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點(diǎn)的坐標(biāo) 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點(diǎn)A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結(jié)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

六、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)二十

第四篇：平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)反思

1.1 教材的地位與作用

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的概念和向量的加法、減法、數(shù)乘向量等線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上，探索向量的又一種新的運(yùn)算，它既是前面所學(xué)知識和方法的延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)解三角形、解析幾何以及空間向量等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的重要作用.1.2 學(xué)情分析

（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)、向量的概念和線性運(yùn)算等知識.（2）學(xué)生對向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關(guān)知識.（3）學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數(shù)學(xué)概念.2 教學(xué)目標(biāo)分析

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和以上分析，制定本節(jié)課的三維目標(biāo)如下：

知識與技能目標(biāo)

通過物理中“功”的實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì).過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括，類比遷移的能力；經(jīng)歷通過不同的方式探究、發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積性質(zhì)的過程，體會(huì)從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)

通過師生互動(dòng)，生生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)過程，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識，體會(huì)各學(xué)科之間的密切聯(lián)系，感受知識的形成過程，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成獨(dú)立自主的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度.3 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)以及學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn).重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).難點(diǎn)：向量在軸上的正射影的概念的理解和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).在教學(xué)中，注意遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從學(xué)生感興趣的物理實(shí)例入手，通過層層分析，形成數(shù)量積的概念，并經(jīng)歷概念辨析、深化理解、學(xué)以致用等過程，來突出重點(diǎn).通過練習(xí)和探究問題的設(shè)計(jì)，將五個(gè)性質(zhì)分散開來，通過課件動(dòng)畫、問題引領(lǐng)、自主探究、合作交流等手段，從理性認(rèn)識到實(shí)踐練習(xí)，再到應(yīng)用，使性質(zhì)自然呈現(xiàn)，既突出了重點(diǎn)，又突破了難點(diǎn).教學(xué)策略分析

基于數(shù)量積的知識特點(diǎn)及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用啟發(fā)式和問題探究相結(jié)合的教學(xué)方法.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.因此，指導(dǎo)學(xué)生采用發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法.在課堂上堅(jiān)持以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時(shí)，為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，采用多媒體和自編學(xué)案輔助教學(xué).5 教學(xué)過程分析

本節(jié)課的教學(xué)流程如下：

具體分析如下：

5.1 創(chuàng)設(shè)情境 展示背景

教師錄像展示“大力士拉車”的情境實(shí)例，提出物理問題.問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動(dòng)的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，通過熟悉的生活實(shí)例，創(chuàng)設(shè)數(shù)量積的物理背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.5.2 分析背景 形成概念

該環(huán)節(jié)，依據(jù)本套教材的特點(diǎn)，以物理背景作為總的抓手，通過抽象、概括、歸納，形成了兩個(gè)向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數(shù)量積定義三個(gè)概念.第一步：背景的初次分析

問題2 決定功的大小的量有哪幾個(gè)？它們是標(biāo)量還是矢量？當(dāng)力和位移的大小一定時(shí)，功的大小取決于那個(gè)量？

問題3 這個(gè)夾角抽象到我們數(shù)學(xué)中，就是今天我們要學(xué)習(xí)的兩個(gè)向量的夾角，把力F、位移s換作數(shù)學(xué)中任意兩個(gè)非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過力做功的幾個(gè)因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個(gè)向量夾角的概念.1.兩個(gè)向量的夾角

已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什么角？

設(shè)計(jì)意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學(xué)生直觀感知夾角的范圍，幫助學(xué)生理解夾角范圍規(guī)定的合理性.規(guī)定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特別的：當(dāng)〈a，b〉=π2時(shí)，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.問題5 請回顧：0的方向是怎樣規(guī)定的？

規(guī)定：0與任意向量垂直.前面曾規(guī)定：0與任意向量平行.設(shè)計(jì)意圖 概念呈現(xiàn)后，注意與前面所學(xué)知識進(jìn)行對比，便于學(xué)生理解，記憶.圖

1練習(xí)： 如圖1，正△ABC中，求

（1）AC與AB的夾角；

（2）AB與BC的夾角.注：確定兩向量的夾角的關(guān)鍵是：通過平移使兩向量共起點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖 及時(shí)鞏固所學(xué)概念，強(qiáng)調(diào)確定兩向量夾角的一般方法.第二步：背景的再次分析

問題6 真正使汽車前進(jìn)的力是什么？它的大小是多少？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生借助已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數(shù)量的概念.從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，突破難點(diǎn).2.向量在軸上的正射影

已知向量a和軸l，作OA=a，過點(diǎn)O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.向量在軸上的正射影的數(shù)量

該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量.OA=a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數(shù)量有什么區(qū)別？

問題8 向量在軸上的正射影的數(shù)量一定是正實(shí)數(shù)嗎？

注： a在軸l上的正射影的數(shù)量是個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零.向量a在b方向上的正射影及數(shù)量

如果向量b在軸l上且與軸同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數(shù)量是acos.設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生理解正射影及其數(shù)量的含義，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數(shù)量，為數(shù)量積的概念的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備

第五篇：[教案精品]新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(三)

2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的：（1）理解平面向量共線的坐標(biāo)表示；（2）掌握平面上兩點(diǎn)間的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及定點(diǎn)坐標(biāo)公式；（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量公線的坐標(biāo)表示及定點(diǎn)坐標(biāo)公式，教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量2．平面向量的坐標(biāo)表示

?分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差..實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).1

向量AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)是相同的。3．練習(xí)：1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點(diǎn)的坐標(biāo)22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點(diǎn)A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求證：四邊形ABCD是梯形.？

二、講解新課：

1、思考：（1）兩個(gè)向量共線的條件是什么？（2）如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？

????設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)?? 消去λ，x1y2-x2y1=0

?y1??y2???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ時(shí)能不能兩式相除？

?（不能 ∵y1，y2有可能為0，∵b?0 ∴x2，y2中至少有一個(gè)不為0）

（2）能不能寫成y1y2 ？（不能?！選1，x2有可能為0）?x1x2a??b

x1y2?x2y1?0???(3)向量共線有哪兩種形式？ a∥b(b?0)?

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.思考：你還有其它方法嗎？

??例3若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x ??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線 ∴(-1)×2-x?(-x)=0

?? ∴x=±2 ∵a與b方向相同 ∴x=2

例4 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 例5設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).思考：（1）中 P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=?如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)？

四、課堂練習(xí)：P101面4、5、6、7題。

五、小結(jié) ：（1）平面向量共線的坐標(biāo)表示；

（2）平面上兩點(diǎn)間的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及定點(diǎn)坐標(biāo)公式；（3）向量共線的坐標(biāo)表示.六、課后作業(yè)：《習(xí)案》二十二。思考：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（B） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（B）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y= 3.3

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為26.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x= 5