第一篇：高中數(shù)學(xué)史資料集 人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一素材（推薦）

人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一：勾股定理

（浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)外語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 315200）

著名網(wǎng)絡(luò)科普作家塔米姆·安薩利在其近著中，提出了對(duì)社會(huì)有重大影響的10大科學(xué)發(fā)現(xiàn),現(xiàn)行初中教材中的幾何里介紹了一個(gè)廣為人知的定理：勾股定理。就是被列為“發(fā)現(xiàn)之一”。它是初等幾何中的一個(gè)基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）(圖1）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)很好的證明。(圖2為歐幾里得和他的證明圖)畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?(圖1)歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）和他的證明圖(圖2)

中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：周公問(wèn)：

“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地?cái)?shù)據(jù)呢？” 商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵?！比绻f(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱(chēng)為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書(shū)中（約在公元50至100年間）（圖3），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》

說(shuō)；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦?！??！毒耪滤阈g(shù)》系 統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢以來(lái)的數(shù)學(xué)成就，共收集 了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題和各個(gè)問(wèn)題的解法，列為 九章，可能是所有中國(guó)數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。

圖3 中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，巧妙地證明了勾股定理（圖4）。他把三角形涂成紅色，其面積叫“朱實(shí)”，中間正方形涂成黃色叫做“中黃實(shí)”，也叫“差實(shí)”。他寫(xiě)道︰“按 弦圖”，又可勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦稱(chēng)弦實(shí)。若用現(xiàn)在的話說(shuō)，分別用a、b、c記勾、股、弦之長(zhǎng)，趙爽所述即在這幅“勾股圓 方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為于是便可得如下的式子： 4×

ab2；中間的小正方形邊長(zhǎng)為b?a，則面積為?b?a?。2 ab2＋?b?a?＝c2 2BCD勾(a)弦(c)股(b)2ab＋?b?a?2＝c2

化簡(jiǎn)后便可得：a?b?c

趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用222AE圖4 幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。

以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(lái)(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入)，結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問(wèn)題。（圖5）

5000年前的埃及人，也知道這一定理的特例，也就是勾

3、股

4、弦5，并用它來(lái)測(cè)定直角。以后才漸漸推廣到普遍的情況。

金字塔的底部，四正四方，正對(duì)準(zhǔn)東西南北，可見(jiàn)方向測(cè)得很準(zhǔn)，四角又是嚴(yán)格的直角。而要量得直角，當(dāng)然可以采用作垂直線的方法，但是如果將勾股定理反過(guò)來(lái)，也就是說(shuō)：只要三角形的三邊是3、4、5，或者符合的公式，那么弦邊對(duì)面的角一定是直角。

到了公元前540年，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯注意到了直角三角形三邊是3、4、5，或者是5、12、13的時(shí)候，有這么個(gè)關(guān)系。他想：是不是所有直角三角形的三邊都符合這個(gè)規(guī)律？反過(guò)來(lái)，三邊符合這個(gè)規(guī)律的，是不是直角三角形？他搜集了許多例子，結(jié)果都對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題作了肯定的回答。他高興非常，殺了一百頭牛來(lái)祝賀。

以后，西方人就將這個(gè)定理稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理。

目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，連美國(guó)第20屆總統(tǒng)伽菲爾德于1881年也提供了一面積證法.他是這樣分析的，如圖所示： ∵S梯形ABCD＝11(a?b)2＝(a2?2ab?b2)22DC又∵S梯形ABCD＝S?AED?S?EBC?S?CED

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