第一篇：2018年高考沖刺圓錐曲線

2018年高考沖刺圓錐曲線

一．選擇題（共13小題）

1．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和點M（5，t），若圓C上存在兩點A，B，使得MA⊥MB，則實數(shù)t的取值范圍為（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]

C．[2，6] D．[3，5]

2．已知圓x2+y2=1，點A（1，0），△ABC內(nèi)接于圓，且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）

D．x2+y2=（x＜）

3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為（）A．a(chǎn)=1或a=﹣2 B．a(chǎn)=2或a=﹣1

C．a(chǎn)=﹣1

D．a(chǎn)=2

4．從直線x﹣y+3=0上的點向圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切線，則切線長的最小值為（）A． B． C．

D．

﹣1

5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所確定的圓中，最大面積是（）A．π B．π C．3π D．不存在

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線6．已知雙曲線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（）A． B．

C．

D．

7．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．10 8．已知橢圓C：

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）

第1頁（共16頁）

A． B． C． D．

=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，9．設(shè)A，B是橢圓C：+則m的取值范圍是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C．（0，1]∪[4，+∞）10．設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k＞0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=（）A． B．1 C． D．2

+

=1（a＞b＞0）的左焦點，A，B分11．已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）A． B． C． D．

12．設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）A． B． C．

D．1

13．已知拋物線y2=8x的焦點為F，直線y=k（x﹣2）與此拋物線相交于P，Q兩點，則+=（）C．2

D．4 A． B．1

二．填空題（共2小題）

14．過點M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：

+

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于

． 15．已知雙曲線﹣

=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2=2py

第2頁（共16頁）

（p＞0）的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的漸近線方程為

．

第3頁（共16頁）

2018年高考沖刺圓錐曲線

參考答案與試題解析

一．選擇題（共13小題）

1．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和點M（5，t），若圓C上存在兩點A，B，使得MA⊥MB，則實數(shù)t的取值范圍為（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]

C．[2，6] D．[3，5]，即可求出實數(shù)t的取值范圍．，【分析】由題意，|CM|≤【解答】解：由題意，|CM|≤∴（5﹣1）2+（t﹣4）2≤20，∴2≤t≤6，故選C．

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．

2．已知圓x2+y2=1，點A（1，0），△ABC內(nèi)接于圓，且∠BAC=60°，當(dāng)B、C在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）

D．x2+y2=（x＜）

【分析】將圓周角為定值轉(zhuǎn)化為圓心角為定值，結(jié)合圓心距構(gòu)成的直角三角形得OD=，從而得BC中點的軌跡方程． 【解答】解：設(shè)BC中點是D，∵圓心角等于圓周角的一半，∴∠BOD=60°，在直角三角形BOD中，有OD=OB=，故中點D的軌跡方程是：x2+y2=，如圖，由角BAC的極限位置可得，x＜，故選D．

第4頁（共16頁）

【點評】本題主要考查求軌跡方程，解決與平面幾何有關(guān)的軌跡問題時，要充分考慮到圖形的幾何性質(zhì)，這樣會使問題的解決簡便些．

3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為（）A．a(chǎn)=1或a=﹣2 B．a(chǎn)=2或a=﹣1

C．a(chǎn)=﹣1

D．a(chǎn)=2

【分析】由二次項額系數(shù)相等不等于0，且化為一般式后滿足D2+E2﹣4F＞0聯(lián)立求解a的取值范圍．

【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則，解得a=﹣1．

故選C．

【點評】本題考查了二元二次方程表示圓的條件，解答的關(guān)鍵是充分理解圓的一般式方程，是基礎(chǔ)題．

4．從直線x﹣y+3=0上的點向圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切線，則切線長的最小值為（）A． B． C．

D．

﹣1

【分析】由題意畫出圖形，求出圓心到直線x﹣y+3=0的距離，再由勾股定理求得切線長的最小值．

【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化為（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，圓心為C（2，2），半徑為1，如圖，第5頁（共16頁）

直線x﹣y+3=0上的點向圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切線，要使切線長的最小，則直線上的點與圓心的距離最小，由點到直線的距離公式可得，|PC|=∴切線長的最小值為故選：B．

【點評】本題考查圓的切線方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所確定的圓中，最大面積是（）A．π B．π C．3π D．不存在

．

．

【分析】圓的方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，表示出圓心坐標(biāo)和半徑的平方，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求出半徑的最大值時k的值，此時圓的面積最大，即可得出結(jié)論．

【解答】解：將方程配方，得（x+）2+（y+∴r2max=，此時m=﹣1． ∴最大面積是故選：B．

【點評】此題考查學(xué)生會將圓的方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握二次函數(shù)求最大值的方法是關(guān)鍵．

6．已知雙曲線﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線．）2=

．

上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（）

第6頁（共16頁）

A． B． C． D．

【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b關(guān)系，通過c=2，求解a，b，然后等到雙曲線的方程． 【解答】解：雙曲線

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），可得c=2，即，解得a=1，b=故選：D．，雙曲線的焦點坐標(biāo)在x軸，所得雙曲線方程為：．

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．

7．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．10

【分析】方法一：根據(jù)題意可判斷當(dāng)A與D，B，E關(guān)于x軸對稱，即直線DE的斜率為1，|AB|+|DE|最小，根據(jù)弦長公式計算即可． 方法二：設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為 式分別表示出|AB|，|DE|，整理求得答案

【解答】解：如圖，l1⊥l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B，E關(guān)于x軸對稱，即直線DE的斜率為1，又直線l2過點（1，0），則直線l2的方程為y=x﹣1，聯(lián)立方程組，則y2﹣4y﹣4=0，+θ，利用焦點弦的弦長公

第7頁（共16頁）

∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=?|y1﹣y2|=

×

=8，∴|AB|+|DE|的最小值為2|DE|=16，方法二：設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為 根據(jù)焦點弦長公式可得|AB|=|DE|==

=

=

+θ，∴|AB|+|DE|=∵0＜sin22θ≤1，+==，∴當(dāng)θ=45°時，|AB|+|DE|的最小，最小為16，故選：A

【點評】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍屬于中檔題．

8．已知橢圓C：

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段

第8頁（共16頁）

A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C．

D．

【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，可得原點到直線的距離=a，化簡即可得出．

【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，∴原點到直線的距離

=a，化為：a2=3b2．

∴橢圓C的離心率e==故選：A．

=．

【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

9．設(shè)A，B是橢圓C：+

=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C．（0，1]∪[4，+∞）【分析】分類討論，由要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，當(dāng)假設(shè)橢圓的焦點在x軸上，tan∠AMO=得橢圓的焦點在y軸上時，m＞3，tan∠AMO=取值范圍．

【解答】解：假設(shè)橢圓的焦點在x軸上，則0＜m＜3時，設(shè)橢圓的方程為：y＞0，則a2﹣x2=

≥tan60°，當(dāng)即可求，即可求得m的≥tan60°=

（a＞b＞0），設(shè)A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），第9頁（共16頁）

∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=，tanβ=，=﹣

=﹣則tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=﹣=﹣，∴tanγ=﹣，當(dāng)y最大時，即y=b時，∠AMB取最大值，∴M位于短軸的端點時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=解得：0＜m≤1；

≥tan60°=，當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，m＞3，當(dāng)M位于短軸的端點時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=∴m的取值范圍是（0，1]∪[9，+∞）故選A．

≥tan60°=，解得：m≥9，第10頁（共16頁）

【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，特殊角的三角函數(shù)值，考查分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．

10．設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k＞0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=（）A． B．1 C． D．2

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出P點坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得k值．

【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點F為（1，0），曲線y=（k＞0）與C交于點P在第一象限，由PF⊥x軸得：P點橫坐標(biāo)為1，代入C得：P點縱坐標(biāo)為2，故k=2，故選：D

【點評】本題考查的知識點是拋物線的簡單性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，難度中檔．

11．已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：

+

=1（a＞b＞0）的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF

第11頁（共16頁）

交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）A． B． C． D．

【分析】由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為y=k（x+a），分別令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運用三點共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)直線AE的方程為y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點為H，可得H（0，），由B，H，M三點共線，可得kBH=kBM，即為=，=，即為a=3c，化簡可得可得e==． 故選：A．

【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．

12．設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）A． B． C．

D．1，y0），要求kOM的最大值，設(shè)y0＞0，【分析】由題意可得F（，0），設(shè)P（運用向量的加減運算可得=+=（+，），再由直線的斜率公式，結(jié)合基本不等式，可得最大值．

第12頁（共16頁）

【解答】解：由題意可得F（，0），設(shè)P（顯然當(dāng)y0＜0，kOM＜0；當(dāng)y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，設(shè)y0＞0，則=+=+

=

+（﹣），y0），=+=（+，），可得kOM==≤=，當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2，取得等號． 故選：C．

【點評】本題考查拋物線的方程及運用，考查直線的斜率的最大值，注意運用基本不等式和向量的加減運算，考查運算能力，屬于中檔題．

13．已知拋物線y2=8x的焦點為F，直線y=k（x﹣2）與此拋物線相交于P，Q兩點，則+=（）C．2

D．4 A． B．1 【分析】由拋物線y2=8x可得焦點F（2，0），因此直線y=k（x﹣2）過焦點．把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出． 【解答】解：由拋物線y2=8x可得焦點F（2，0），因此直線y=k（x﹣2）過焦點． 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．，則聯(lián)立，|FQ|=x2+2．

．化為k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．

∵△＞0，∴，x1x2=4．

第13頁（共16頁）

∴+====．

故選A．

【點評】本題考查了拋物線的焦點弦問題，屬于中檔題．

二．填空題（共2小題）

14．過點M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：

+

=1（a＞b＞0）相交

． 于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于

【分析】利用點差法，結(jié)合M是線段AB的中點，斜率為﹣，即可求出橢圓C的離心率．

【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則∵M是線段AB的中點，∴=1，=1，①，②，∵直線AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵過點M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：A，B兩點，M是線段AB的中點，∴①②兩式相減可得∴a=∴∴e==b，=b，．

第14頁（共16頁）

+=1（a＞b＞0）相交于，即，故答案為：．

【點評】本題考查橢圓的離心率，考查學(xué)生的計算能力，正確運用點差法是關(guān)鍵．

15．已知雙曲線﹣

=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的漸近線方程為 y=±x ．

【分析】求出雙曲線的右頂點A（a，0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點及準(zhǔn)線方程，根據(jù)已知條件得出線的漸近線方程為：y=±x． 【解答】解：∵右頂點為A，∴A（a，0），∵F為拋物線x2=2py（p＞0）的焦點，F(xiàn)，及，求出a=b，得雙曲∵|FA|=c，∴

拋物線的準(zhǔn)線方程為由得，由①②，得∵c2=a2+b2，∴a=b，∴雙曲線的漸近線方程為：y=±x，故答案為：y=±x．

【點評】熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

第15頁（共16頁）

=2c，即c2=2a2，第16頁（共16頁）

第二篇：高考沖刺

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第三篇：高考圓錐曲線題型歸類總結(jié)50

高考圓錐曲線題型歸類總結(jié)50 高考圓錐曲線的七種題型；題型一：定義的應(yīng)用；

1、圓錐曲線的定義：；（1）橢圓；（2）橢圓；（3）橢圓；

2、定義的應(yīng)用；（1）尋找符合條件的等量關(guān)系；（2）等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合；

3、定義的適用條件：；典型例題；例

1、動圓M與圓C1:(x+1)+y=36內(nèi)切,；例

2、方程；題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程；

1、橢圓：由

2、雙曲線：由，分母的大小決高考圓錐曲線的七種題型

題型一：定義的應(yīng)用

1、圓錐曲線的定義：（1）橢圓（2）橢圓（3）橢圓

2、定義的應(yīng)用

（1）尋找符合條件的等量關(guān)系（2）等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合

3、定義的適用條件： 典型例題

例

1、動圓M與圓C1:(x+1)+y=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

例

2、方程

題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：

1、橢圓：由

2、雙曲線：由，分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上； 表示的曲線是 2222

3、拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。典型例題 x2y2 例

1、已知方程??1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 m?12?m x2y2 ??1的曲線： 例

2、k為何值時,方程9?k5?k(1)是橢圓;(2)是雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題

1、橢圓焦點三角形面積S?btan2? 2 ；雙曲線焦點三角形面積S?bcot2? 2

2、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解

3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用； 典型例題

22xy例

1、橢圓22?，求1(a?b?0)上一點P與兩個焦點FFPF?1，2的張角∠F12?ab 證：△F1PF2的面積為btan2?。2 例

2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且

．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法

1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的值；，2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍；

3、注重數(shù)形結(jié)合思想不等式解法 典型例題 x2y2 例

1、已知F1、F2是雙曲線2?2?1（a?0,b?0）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正ab 三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A.4?2 B.?1 C.?1 D.?1 2 x2y2 例

2、雙曲線2?2?1（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,ab 則雙曲線離心率的取值范圍為 A.(1,3)B.?1,3? C.(3,+?)D.?3,??? x2y2 例

3、橢圓G：2?2?1(a?b?0)的兩焦點為F1(?c,0),F2(c,0)，橢圓上存在 ab 點M使F1M?F2M?0.求橢圓離心率e的取值范圍； ?? x2y2 例

4、已知雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60?的直線 ab 與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,??)（D）(2,??)題型五：點、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷

1、點與橢圓的位置關(guān)系 x2y2 點在橢圓內(nèi)?2?2?1 ab x2y2 點在橢圓上?2?2?1 ab x2y2 點在橢圓外?2?2?1 ab

2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題： ?>0?相交

?=0?相切（需要注意二次項系數(shù)為0的情況）?<0?相離

3、弦長公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka

4、圓錐曲線的中點弦問題：

1、偉達定理：

2、點差法：

（1）帶點進圓錐曲線方程，做差化簡

（2）得到中點坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系 典型例題

例

1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例

2、已知中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線L:x+y=1交于A,B兩點，C是AB的中點，若|AB|=22，O為坐標(biāo)原點，OC的斜率為2/2，求橢圓的方程。

題型六：動點軌跡方程：

1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；

2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系； 例

1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線 的距離之和等于4，求P的軌跡方程．

（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。

例

2、如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；

例

3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=60，則動點0P的軌跡方程為

例

4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線 例

5、一動圓與兩圓⊙M： 的軌跡為

(4)代入轉(zhuǎn)移法：動點

在某已知曲線上，則可先用跡方程: 例

6、如動點P是拋物線則M的軌跡方程為__________(5)參數(shù)法：當(dāng)動點 慮將

例

7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考上任一點，定點為,點M分所成的比為2，依賴于另一動點 的代數(shù)式表示的變化而變化，并且，再將又和⊙N：都外切，則動圓圓心的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ 代入已知曲線得要求的軌均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。程是

題型七：（直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法）

一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時分斜率存在與；

二、設(shè)交點坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出；

三、聯(lián)立方程組；；

四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線；

五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：；①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是；?OA?OB?K1?K2??1?；②“點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”；?“直角、銳角、鈍角問題

一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時分斜率存在與不存在；②設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別）

二、設(shè)交點坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出它,即“設(shè)而不求”）

三、聯(lián)立方程組；

四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）

五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：

①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在）?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0 ②“點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”

?“直角、銳角、鈍角問題” ?“向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” ?x1x2?y1y2>0；

③“等角、角平分、角互補問題” ?斜率關(guān)系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共線問題”

（如：AQ??QB ?數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：A、O、B三點共線?直線OA與OB斜率相等）； ⑤“點、線對稱問題” ?坐標(biāo)與斜率關(guān)系； ⑥“弦長、面積問題”

?轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）；

六、化簡與計算；

七、細節(jié)問題不忽略；

①判別式是否已經(jīng)考慮；②拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0.基本解題思想：

1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；

2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；

3、證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無

關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。

4、處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明

5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；

6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗；

7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實、準(zhǔn)確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。

典型例題：

例

1、已知點F?0,1?，直線l：y??1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）已知圓M過定點D?0,2?，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設(shè)DA?l1，DB?l2，求

例

2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為 線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上 運動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； l1l2?的最大值． l2l1(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設(shè) 求λ的取值范圍.DM=λ，DN x2y2 例

3、設(shè)F1、F2分別是橢圓C：2?2?1(a?b?0)的左右焦點。ab（1）設(shè)橢圓C 上點到兩點F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF1的中點B的軌跡方程；（3）設(shè)點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當(dāng)直線

PM，PN 的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPM?KPN的值是否與點P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。

例

4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l:y?kx?m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

例

5、已知橢圓兩焦點F1、F2在y 軸上，短軸長為，P是橢圓在第一 2 ?象限弧上一點，且PF1?PF2?1，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓

于A、B兩點。（1）求P點坐標(biāo)；

（2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題： 例

1、由①、②解得，x?a?2． 不妨設(shè)A?a?2,0?，B?a?2,0?，∴ l1? l2?．

l1l2l12?l222∴???l2l1l1l2 ? ? ③ l1l2?? ? l2l1 當(dāng)a? 0時，由③得，當(dāng)且僅當(dāng)a?? 當(dāng)a?0時，由③得，l1l2?? 2． l2l1 故當(dāng)a??l1l2?的最大值為 l 2l1 例

2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222；設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=；x22；∴曲線C的方程為+y=1.；(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,；x2222；代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=；Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞；DMx13；?.由圖可知=λDNx25；20k?；x?x??122??1? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?2＞|AB|=4.∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=5,c=2,b=1.x22 ∴曲線C的方程為+y=1.5(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2, x2222 代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.5 Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞ 2 2 2 DMx13 ?.由圖可知=λ DNx25 20k? x?x??122??1?5k由韋達定理得? 15?x?x? 12?1?5k2? 將x1=λx2代入得 ?400k222 ?(1??)x2??(1?5k2)2 ? ??x2?15 2?1?5k2?(1??)2400k280兩式相除得 ??2?15(1?5k)3(5?)k2 3151208016 ?k2?,?0?2?,?5?2?,即4?? 1533kk?533(2?5)k(1??)216DM1?4??,0,?解得???3 ?3DN3 ① ② ??? x1DM?,M在D、N中間，∴λ＜1 x2DN 又∵當(dāng)k不存在時，顯然λ=綜合得：1/3 ≤λ＜1.DM1 ?(此時直線l與y軸重合)DN3 例

3、解：（1）由于點? 2 2 ?1b2 得2a=4, ?2分 x2y2 ??1橢圓C的方程為 43x2y2??1把K的坐標(biāo)代入橢圓43，焦點坐標(biāo)分別為(?1,0),(1,0)??4分

（2）設(shè)KF1的中點為B（x, y）則點K(2x?1,2y)?5分(2x?1)2(2y)2 ??1中得 43 ?7分 12y2 ?1線段KF1的中點B的軌跡方程為(x?)?2 4 設(shè)M(x0,y0)N(?x0,?y0), ?8分

（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 p(x,y), x02y02x2y2 M,N,P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得2?2?12?2?1 ??10分 ababb2y?y0y?y0y2?y02 =?2 ???13分 kPM?KPN=??2 2 ax?x0x?x0x?x0 故：kPM?KPN的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)，??14分 x2y2 ??1．（5分）例

4、解：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為43（Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，?y?kx?m，?222 聯(lián)立?x2y2得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，?1.?? 43? ? ???64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，則? 8mk? x?x??，?122 3?4k? ?4(m2?3).?x1?x2? 3?4k2? 3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，2 3?4k 2 2 0)，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點D(2，?kADkBD??1，即 y1y 2??1，x1?2x2?2 3(m2?4k2)4(m2?3)16mk ???4?0，?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，? 3?4k23?4k23?4k2 ?9m2?16mk?4k2?0． 解得：m1??2k，m2?? 2k22，且均滿足3?4k?m?0，7

1、當(dāng)m1??2k時，l的方程為y?k(x?2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m2??

2、2k2??2?? 時，l的方程為y?k?x??，直線過定點?，0?． 77??7?? 所以，直線l過定點，定點坐標(biāo)為?，0?．（14分）?2 ?7?? y2x2 ??1例

5、解（1）F1F2(0,，設(shè)P(x0,y0)(x0?0,y0?0)42。

??22則PF1?PF2?x0?(2?y0)?1 1?(?x0y0),PF2?(?x0,y0), ?PF 222 x0y04?y02 ?1.?x0? ?點P(x0,y0)在曲線上，則? 2422 4?y02 ?(2?y0)? 1，得y0?P 的坐標(biāo)為 從而2（2）由（1）知PF1//x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為k(k?0)，?y?k(x?1)? 則PB 的直線方程為：y?k(x?1)由?x2y2得 ?1?? ?24(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 2k(k?k2??2 ?1?設(shè)B(xB,y B),則xB? 22 2?k2?kx?x? 同理可得xA?，則AB(xA?1)?k(x1 yA?yB??kB? 所以：AB 的斜率kAB? 8k 2 2?k yA?yB ? xA?xB sin? 4例

6、解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??tsin?，2 分

得tan??4.3分 t ?4?t?43?1?tan?[0,?] ∴夾角?的取值范圍是（?? ,）??643（2）設(shè)P(x0,y0),則(x0?c,y0),?(c,0).?OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?1)c2 ?1???S?OFP?|OF|?|y0|?y0?2?x08分

?|OP|?10分 ∴當(dāng)且僅當(dāng)3c? 4,即c?2時,|OP|取最小值26,此時,OP?(23,?23)c ?? 3(2,23)?(0,1)?(2,3)33 或?(2,?23)?(0,1)?(2,?1)12分 橢圓長軸 2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8 ?a?4,b2?12 或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1??a? 1?21? ,b? 22 x2y2 ??1.或x2?y2?1 14分 故所求橢圓方程為 16129?1?2 2

第四篇：高考數(shù)學(xué)-圓錐曲線簡化計算技巧

圓錐曲線計算技巧

——整理自有道精品課關(guān)旭老師公開課“新高三圓錐曲線專項”

給定一個橢圓和一條直線：

橢圓方程：x2a2+y2b2=1

直線方程：y=kx+b

一般做法：

1)

聯(lián)立方程組

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

將直線方程帶入橢圓方程中

x2a2+kx+m2b2=1

3)

通分

b2+a2k2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0

4)

求判別式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)

5)

當(dāng)Δ>0，用韋達定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=2a2kmb2+a2k2

x1x2=

a2m2-a2b2b2+a2k2

上面的運算數(shù)不是有點復(fù)雜呢，那接著往下看看關(guān)旭老師提供的計算技巧吧：

巧運算

1)

聯(lián)立方程組

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

將直線方程帶入橢圓方程中

x2a2+kx+m2b2=1

不用通分！

上式可換做：

1a2+k2b2x2+2kmb2x+m2b2-1=0

記x2的系數(shù)為A,x的系數(shù)為B,常數(shù)項為C

則上式可記為：Ax2+Bx+C=0

3)

求判別式

Δ=（2km/b2）2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2

這個式子展開后有五項，然而有兩項是可以消掉的，所以只剩三項。

4)

當(dāng)Δ>0，用韋達定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=-BA

x1x2=

CA

（這樣子運算是不是簡單了很多呢！）

此外，常用的兩個結(jié)論還有：

一、直線交橢圓的弦長：L=1+k2ΔA

（因為只要聯(lián)立了方程組，就一定要求判別式，將判別式代入這個式子求弦長會比一般做法簡單很多）

二、y1+y2=k(x1+x2)+2m

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

用此方法可大幅節(jié)省運算時間，圓錐曲線是不是簡單了不少呢？

這里給出了兩道非常簡單的例題，快用簡潔的方法算一算吧。

1、.若橢圓與直線y=2x+5相切，求橢圓方程。

2、.若直線y=kx+與橢圓．交于不同的兩點A、B，O為坐標(biāo)原點，且?>2，求k的取值范圍？

答案:1.a=9

2.1/4

備注：數(shù)學(xué)公式真的好難輸入QAQ,有點擔(dān)心排版的時候公式復(fù)制過去會亂，所以把那些數(shù)學(xué)式子截成了小圖片附在這里：

第五篇：圓錐曲線教案

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點

使學(xué)生掌握與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問題等．

(二)能力訓(xùn)練點

通過對圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用圓錐曲線知識的能力．(三)學(xué)科滲透點

通過與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，使學(xué)生掌握一些相關(guān)學(xué)科中的類似問題的處理方法．

二、教材分析

1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題．

(解決辦法：先介紹基礎(chǔ)知識，再講解應(yīng)用．)2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．

(解決辦法：要提醒學(xué)生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題．

(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．)

三、活動設(shè)計

演板、講解、練習(xí)、分析、提問．

四、教學(xué)過程(一)引入

與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見到，為了讓大家對這方面的知識有一個比較系統(tǒng)的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”．

(二)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長求法

設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：

(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長公式易解． 由學(xué)生演板完成．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)． 設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結(jié)果，由學(xué)生課外完成．

2．與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問題

在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(biāo)(x，y)的取值范圍．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)：

將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

當(dāng)y=0時，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．與圓錐曲線有關(guān)的證明問題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．

例3 在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：

(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；

證明：

(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1．

∴ A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1＝y(tǒng)1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設(shè)∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題解決的關(guān)鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)．

4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題

直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”

與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“△≥0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)．

實數(shù)a的取值范圍．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知：

(三)鞏固練習(xí)(用一小黑板事先寫出．)

2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個公共點，求P的取值范圍．

頂點．

請三個學(xué)生演板，其他同學(xué)作課堂練習(xí)，教師巡視．解答為： 1．設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則

2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)．

四個交點為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個頂點．

五、布置作業(yè)

1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動圓C2∶(x-a)2+y2=1沒有公共點，求a的范圍．

2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點P的坐標(biāo)． 3．證明：從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長． 作業(yè)答案：

1．當(dāng)x≤1時，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則

似證明．

六、板書設(shè)計