第一篇：切比雪夫不等式解析,度量誤差及推論

切比雪夫不等式解析，度量誤差及推論

摘要：切比雪夫不等式表征了素數(shù)定理的計算誤差極限，在孿生素數(shù)個數(shù)及偶數(shù)表為兩個奇素數(shù)之和的表法個數(shù)的漸近函數(shù)誤差估計中，可類比得到對應(yīng)的表達(dá)式。

（1）切比雪夫不等式解析 由a?lim6?a，x??xlnx5x??，則必有 lnx?(x)設(shè)：?(x)??(x)?x?(x)??(x)?，??，?1??1??a，lnxxlnxxlnxxlnxxlnx已知a?0?92129，由切比雪夫不等式推知：

lnx對x的一維度量誤差率的下極限是同理 設(shè)：?(x)??xlnx?a?1??0?07871。

x???，則必有 lnx?(x)??(x)??6x?(x)???1??a，???，?1?xlnx5lnxxlnxxlnxxlnx已知a?0?92129，由切比雪夫不等式推知：

lnx對x的一維度量誤差率的上極限是

??xlnx?0?105548。

另：因為lnx對x的一維度量誤差極限是

60?92129???(0?92129)，5

則二維度量誤差極限是

0?848775264??2?1?22223638

（2）一個推論

由偶數(shù)Ne?6表示為兩個奇素數(shù)之和的表法個數(shù)r2(Ne)，1?3202Ne及其漸近函數(shù)r2?(Ne)?ln2Nes(Ne)i?2?(pi?1)，可與切比雪夫不等式類比。首先 pi?2?(Ne)??，設(shè)：r2(Ne)?r2r2(Ne)r(N)???1?，2e?1?。

r2?(Ne)r2?(Ne)r2?(Ne)r2?(Ne)s(Ne)i?2因誤差?是由ln(Ne)對1?3202Nes(Ne)2?(pi?1)二維度量產(chǎn)生的，所以可表 pi?2p?11?3202?(i)NNi?2pi?2r2?(Ne)?()(e)。顯然，由切比雪夫不等式可知，e是lnNe對lnNelnNelnNe1?3202?(i?2s(Ne)偶數(shù)Ne的一維度量，產(chǎn)生的誤差率的下極限是?0?07871。s(Ne)i?2pi?1)pi?2lnNe也是一維度量，而1?3202?(pi?1)?Ne，產(chǎn)生的誤差率絕對值必然?0?07871。pi?2由此推知，二維度量產(chǎn)生的總誤差率的下極限

2。?(1?0?07871)2?0?92129?a2?0?84877526同理可得，二維度量產(chǎn)生的總誤差率的上極限為

636?(1?0?105548)2?()2(0?92129)2?()a2?1?22223638。

525（3）結(jié)論：

0?84877526?lim

參參考文獻(xiàn)：

1初等數(shù)論：潘承洞

潘承彪著

1997,6月 北京大學(xué)出版社 2組合數(shù)學(xué)：屈婉玲

著

1997，9月

北京大學(xué)出版社 3王元論哥德巴赫猜想：李文林

1999,9月

山東教育出版社 4數(shù)學(xué)與猜想一，二卷：G·波利亞

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科學(xué)出版社

5數(shù)論導(dǎo)引：G·H·Hardy，E·M·Wright 2008,10

人民郵電出版社 6華羅庚文集：（數(shù)論卷二）2010,5月

科學(xué)出版社

7代數(shù)數(shù)論：馮克勤

著

2000,7月

科學(xué)出版社

r2(Ne)?1?22223638

Ne??r?(N)2e

第二篇：切比雪夫不等式教學(xué)

★★★1．設(shè)

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三邊長，s是半周長。求證：Vn∈N，下式成立

解答或提示

．不妨令

由切比雪夫不等式

當(dāng)且僅當(dāng)

．設(shè)a≥b≥

c,則a+b≥a+c≥b+c,（）

第三篇：切比雪夫不等式及其應(yīng)用(摘要)

天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文

切比雪夫不等式及其應(yīng)用

摘要

切比雪夫不等式是概率論中重要的不等式之一。尤其在分布未知時，估計某些事件的概率的上下界時，常用到切比雪夫不等式。另外，大數(shù)定律是概率論極限理論的基礎(chǔ)，而切比雪夫不等式又是證明大數(shù)定律的重要途徑。如今，在切比雪夫不等式的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一系列不等式都是研究中心極限定理的有力工具。作為一個理論工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介紹了切比雪夫不等式的一些基本理論，引出其概率形式，用現(xiàn)代概率方法證明了切比雪夫不等式并給出了其等號成立的充要條件。其次，從三大方面闡述了其在概率論中的應(yīng)用，并且給出了切比雪夫大數(shù)定律和伯努利大數(shù)定律的證明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的應(yīng)用，并且用切比雪夫不等式評價了IRR的概率風(fēng)險分析。

關(guān)鍵詞:切比雪夫不等式大數(shù)定律IRR

The Chebyster’s Inequality and Its Applications

ABSTRACT

In probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities.In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability.In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability.The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it.Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem.As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability.Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文

Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers.After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s InequalityLaw Of Large NumbersIRR

第四篇：切比雪夫不等式證明

切比雪夫不等式證明

一、試?yán)们斜妊┓虿坏仁阶C明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗,因此

1000次試驗中出現(xiàn)正面H的次數(shù)服從二項分布.解:設(shè)X表示1000次試驗中出現(xiàn)正面H的次數(shù),則X是一個隨機變量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

211000=×==npEX,250)

2答題完畢，祝你開心!

11（2

1000)1(=××==pnpDX,而所求的概率為

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=EXXp

}100{<=EXXp

975.0

=≥

DX

.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式

對于任一隨機變量X,若EX與DX均存在,則對任意ε>0,恒有p{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或p{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式說明，DX越小，則p{|X-EX|>=ε}

越小，p{|X-EX|<ε}越大，也就是說，隨機變量X取值基本上集中在EX附近，這進一步說明了方差的意義。

同時當(dāng)EX和DX已知時，切比雪夫不等式給出了概率p{|X-EX|>=ε}的一個上界，該上界并不涉及隨機變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機變數(shù)的「幾乎所有」值都會「接近」平均。這個不等式以數(shù)量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/4

與平均相差3個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9

與平均相差4個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16

……

與平均相差k個標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/K^2

舉例說，若一班有36個學(xué)生，而在一次考試中，平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分，我們便可得出結(jié)論：少于50分(與平均相差3個標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人，數(shù)目不多于4個(=36*1/9)。

設(shè)(X,Σ,μ)為一測度空間，f為定義在X上的廣義實值可測函數(shù)。對於任意實數(shù)t>0，一般而言，若g是非負(fù)廣義實值可測函數(shù)，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說法

設(shè)X為隨機變數(shù)，期望值為μ，方差為σ2。對于任何實數(shù)k>0，改進

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進?？紤]下面例子：

這個分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1/k，μ=0。

當(dāng)只求其中一邊的值的時候，有Cantelli不等式：

證明

定義，設(shè)為集的指標(biāo)函數(shù)，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變數(shù)Y和正數(shù)a有pr(|Y|leopeatorname{E}(|Y|)/a。取Y=(X?μ)2及a=(kσ)2。

亦可從概率論的原理和定義開始證明。

第五篇：應(yīng)用切比雪夫

應(yīng)用切比雪夫不等式解題

切比雪夫不等式是解決不等式問題的強力武器之一.本文對該不等式及其應(yīng)用進行簡單的介紹.一、切比雪夫不等式及其推論

1?ai?bi n②若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.則有?aibi??ai?bi（切比雪夫不等式）n①若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.則有?aibi?

常見的方法是運用排序不等式，但最簡單的證法是通過恒等變形.證明1：①式左邊為順序和，記為S，則

S?a1b1?a2b2?????anbn,S?a1b2?a2b3?????anb1,S?a1b3?a2b4?????anb2,??????,S?a1bn?a2b1?????anbn?1.將上面n個式子相加，并按列求和即得結(jié)論.②證明同上（左邊反序和不等號反向即可）.證明2：

推論1設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，實數(shù)p,q均不為零.則

⑴當(dāng)p,q同號時，?x

i?

1nnp?qi1npnq??xi??xi ni?1i?11npnq??xi??xi.ni?1i?1⑵當(dāng)p,q異號時，?xi?1p?qi

該推論直接應(yīng)用切比雪夫不等式即證.推論2設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，ns則x?1,r?s?0.x?x?i?i.?iri?1i?1i?1nnn1nnn1nr?sns1r?snss證明：事實上，?xi??xi?xi??n(?xi)??xi??xi ni?1ni?1i?1i?1i?1i?1r

推論3設(shè)a1,a2,???,an,b1,b2,???,bn?R且a1?a2?????an,b1?b2?????bn 或a1?a2?????an,b1?b2?????bn，mi?R?(i?1,2,???,n)

則?m??mab??ma??mb iiiiiiii

i?1i?1i?1i?1nnnn

1nn

證明：事實上，?mi??miaibi??miai??mibi???mimj(ai?aj)(bi?bj)?0.2i?1j?1i?1i?1i?1i?1

推論3是切比雪夫不等式的加權(quán)形式.顯然，當(dāng)m1?m2?????mn時，就是切比雪夫不等式.nnnn

注意：切比雪夫與推論3等號成立的條件均為a1?a2?????an,b1?b2?????bn中至少一組成立.二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

1、構(gòu)造兩組數(shù)證明不等式.此類問題最關(guān)鍵、也是最難的步驟就是構(gòu)造，選擇兩組數(shù)時往往需要很強的技巧.例

1、已知0?a?b?c?d?e,例

2、設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，n

n

?(n?1)i?

1ad?cd?cb?be?ea?.求證：.a?1?

5?x

i?1

n

i

?1

求證：

i?1

例

3、設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，k?1.n

1n1nxik?

1求證：?（2006，女子數(shù)學(xué)奧林匹克）xi??k???1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i

n2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往當(dāng)變量排序后，分式的值也可以排序.一般的，當(dāng)分母的值與分式的值都能排序時，可考慮用這種方法.ak

3?（第四屆中國東南）例

4、設(shè)a,b,c?0,abc?1.求證：對整數(shù)k(k?2),?

b?c

2例

5、設(shè)a,b,c?0,a?b?c?1.求證：

?

1bc?a?

1a

?

（2008，塞爾維亞）

31例

6、a,b,c?0，?a?b?1?1.求證：a?b?c?ab?bc?ca（2007，羅馬尼亞）

123、極值問題中的化簡作用.在多元極值問題中，恰當(dāng)?shù)剡\用切比雪夫不等式可以將代數(shù)式簡化，有助于問題的解決.例

7、給定實數(shù)c?(,1).求最小的常數(shù)M，使得対任意的整數(shù)n?2及實數(shù)

nnm

1n

只要滿足?kak?c?ak，總有?ak?M?ak，其中，0?a1?a2?????an，m??cn?

nk?1k?1k?1k?

1為不超過實數(shù)cn的最大整數(shù).（2002，中國數(shù)學(xué)奧林匹克）.例

8、給定正整數(shù)r,s,t，滿足1?r?s?t，對滿足條件

xjxj?

1?1?

s?t

(j?1,2,???,n)的所j?t

?j(j?1)???(j?s?1)x

有正實數(shù)x1,x2,???,xn，求M?

n

j

?(j?r)???(j?s?1)x

j?1

j?1n的最小值.j

練習(xí)題

x331、設(shè)x,y,z?R?,xyz?1.求證：??（第39屆IMO預(yù)選題）

(1?y)(1?z)

4（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推論）

2、設(shè)設(shè)為u，v，w正實數(shù)，滿足條件u?vwu??1，試求u+v+w的最小值．（2004 第三屆女子 五）

（提示：由切比雪夫不等式得

3、設(shè)a,b,c?0,??

u?.?

3a???a,a?b?c求證：ab2c3?

11222cba23222c（提示：abc?abc??abc(??)由切比雪夫得 a3abc

1222cba12221111

2abc(??)?abc(c?a?b)(??)?(ab?bc?ca)）3abc9abc94、設(shè)k是給定的非負(fù)整數(shù).求證：對所有滿足x?y?z?1的正實數(shù)x,y,z，不等式

xk?

21??xk?1?yk?zk7成立，并給出等號成立的條件.（2007塞爾維亞數(shù)學(xué)奧林匹克）

（提示：當(dāng)k?0時易證.當(dāng)k?1時，不妨設(shè)x?y?z，則不難得到

xk?2yk?2zk?2?k?1k?k?1k

k?1kkkx?y?zy?z?xz?x?yk，xk?1?yk?zk?yk?1?zk?xk?zk?1?xk?yk由切比雪夫及其推論可證）

5、設(shè)x1,x2,???,xn是n(n?2,n?N?)個非負(fù)實數(shù)，且求x1?4x2?????nxn的最大值.（提示：設(shè)Si?

?x

i?1

n

i

?n,?ixi?2n?2

i?1

n

?x

j?i

n

j

.則x1?4x2?????nxn?S1?3S2?????(2n?1)Sn由切比雪夫得

(n2?1)(S2?????Sn).所以，最大值為n2?2 n?1

n?2n?2,x2?x3?????xn?1?0,xn?當(dāng)x1?n?時，取得等號）n?1n?13S2?????(2n?1)Sn?

（補）在銳角三角形中，證明：

?sinA??sin2A