第一篇：2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)常考知識(shí)點(diǎn)分享

2018考研數(shù)學(xué)三復(fù)習(xí)之高等數(shù)學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)

來源：智閱網(wǎng)

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)三中很重要的學(xué)科，也是考研數(shù)學(xué)三中?？嫉膬?nèi)容。所以，就讓我們一起來了解一下高等數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)吧！

1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計(jì)算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點(diǎn)類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個(gè)數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關(guān)的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟(jì)等方面實(shí)際應(yīng)用;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計(jì)算;變上限積分的求導(dǎo)、極限等;積分中值定理和積分性質(zhì)的證明;定積分的應(yīng)用，如計(jì)算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。

4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會(huì)計(jì)算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

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第二篇：2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)介紹

2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)介紹

來源：智閱網(wǎng)

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)三中很重要的學(xué)科，所以，就讓大家一起來了解一下高等數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)吧！

1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計(jì)算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點(diǎn)類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個(gè)數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關(guān)的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟(jì)等方面實(shí)際應(yīng)用;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計(jì)算;變上限積分的求導(dǎo)、極限等;積分中值定理和積分性質(zhì)的證明;定積分的應(yīng)用，如計(jì)算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。

4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會(huì)計(jì)算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

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第三篇：2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考點(diǎn)知多少

2018考研數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考點(diǎn)知多少

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高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)三中很重要的學(xué)科，所以，就讓大家一起來了解一下高等數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)吧！

1.函數(shù)、極限與連續(xù)：主要考查極限的計(jì)算或已知極限確定原式中的常數(shù);討論函數(shù)連續(xù)性和判斷間斷點(diǎn)類型;無窮小階的比較;討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或確定方程在給定區(qū)間上有無實(shí)根。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：主要考查導(dǎo)數(shù)與微分的定義;各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算;利用洛比達(dá)法則求不定式極限;函數(shù)極值;方程的的個(gè)數(shù);證明函數(shù)不等式;與中值定理相關(guān)的證明;最大值、最小值在物理、經(jīng)濟(jì)等方面實(shí)際應(yīng)用;用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖形;求曲線漸近線。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計(jì)算;變上限積分的求導(dǎo)、極限等;積分中值定理和積分性質(zhì)的證明;定積分的應(yīng)用，如計(jì)算旋轉(zhuǎn)面面積、旋轉(zhuǎn)體體積、變力作功等。

4.多元函數(shù)微分學(xué)：主要考查偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的判斷;多元函數(shù)和隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)極值或條件極值在與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用;二元連續(xù)函數(shù)在有界平面區(qū)域上的最大值和最小值。此外，數(shù)學(xué)一還要求會(huì)計(jì)算方向?qū)?shù)、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

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第四篇：2018考研政治常考知識(shí)點(diǎn)分析——整風(fēng)運(yùn)動(dòng)

凱程考研，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)生引路！

2018考研政治?？贾R(shí)點(diǎn)分析——整風(fēng)

運(yùn)動(dòng)

整風(fēng)運(yùn)動(dòng)

1941年5月，毛澤東作了《改造我們的學(xué)習(xí)》的報(bào)告，整風(fēng)運(yùn)動(dòng)首先在黨的高級(jí)干部中進(jìn)行。1942年2月，毛澤東先后作了《整頓黨的作風(fēng)》和《反對(duì)黨八股》的講演，整風(fēng)運(yùn)動(dòng)在全黨范圍普遍展開。

整風(fēng)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容

從1942 年春天起，中國(guó)共產(chǎn)黨在全黨范圍內(nèi)開展了整風(fēng)運(yùn)動(dòng)。1941 年5 月，毛澤東在延安干部會(huì)議上作《改造我們的學(xué)習(xí)》的報(bào)告。高級(jí)干部的整風(fēng)學(xué)習(xí)普遍開展起來。1942年2 月，毛澤東先后作了《整頓黨的作風(fēng)》和《反對(duì)黨八股》的講演。此后，整風(fēng)學(xué)習(xí)在全體干部和黨員中普遍進(jìn)行。整風(fēng)運(yùn)動(dòng)的主要內(nèi)容是：反對(duì)主觀主義以整頓學(xué)風(fēng);反對(duì)宗派主義以整頓黨風(fēng);反對(duì)黨八股以整頓文風(fēng)。其中，以反對(duì)主觀主義為中心內(nèi)容。主觀主義的實(shí)質(zhì)是理論脫離實(shí)際，它顛倒了認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的關(guān)系，是實(shí)際工作中的唯心主義。當(dāng)時(shí)它的主要表現(xiàn)形式是教條主義和經(jīng)驗(yàn)主義，尤其是教條主義。這是中國(guó)共產(chǎn)黨內(nèi)反復(fù)出現(xiàn)“左”、右傾錯(cuò)誤的思想認(rèn)識(shí)根源。教條主義常常以馬克思主義的“本本”嚇唬人，具有更大的欺騙性和危險(xiǎn)性。宗派主義是主觀主義在組織關(guān)系上的表現(xiàn)。黨八股是主觀主義在文風(fēng)上的體現(xiàn)?？朔饔^主義，必須以科學(xué)的態(tài)度對(duì)待馬克思主義，必須發(fā)揚(yáng)理論聯(lián)系實(shí)際的馬克思主義的學(xué)風(fēng)，一切從實(shí)際出發(fā)，實(shí)事求是。整風(fēng)運(yùn)動(dòng)的方針和方法是“懲前毖后，治病救人”。通過“團(tuán)結(jié)一批評(píng)一團(tuán)結(jié)”，達(dá)到既弄清思想，又團(tuán)結(jié)同志的目的。

整風(fēng)運(yùn)動(dòng)的意義

(1)這是一次全黨范圍的普遍的馬克思主義的思想教育運(yùn)動(dòng)，它破除了中共黨內(nèi)把馬克思主義教條化、把共產(chǎn)國(guó)際決議和蘇聯(lián)經(jīng)驗(yàn)神圣化的錯(cuò)誤傾向。

(2)普遍提高了中共黨員、干部特別是高級(jí)干部的馬克思主義思想理論水平，確立了一切從實(shí)際出發(fā)，理論聯(lián)系實(shí)際，實(shí)事求是的馬克思主義思想路線，使中國(guó)共產(chǎn)黨在思想、政治、組織上達(dá)到了空前的鞏固和團(tuán)結(jié)并進(jìn)一步成熟起來。

如何調(diào)節(jié)考研的心態(tài) 穩(wěn)定的心態(tài)：在考研的復(fù)習(xí)中存在著這樣一種現(xiàn)象，那就是自己總是看著別人的復(fù)習(xí)進(jìn)度，這樣往往自己的復(fù)習(xí)計(jì)劃被打亂?？粗鴦e人復(fù)習(xí)的進(jìn)度比自己快了，心里就會(huì)很焦急，進(jìn)而產(chǎn)生煩躁的情緒。對(duì)于這種情況。凱程老師建議考生按照自己事先制定的計(jì)劃來，按部就班的復(fù)習(xí)。對(duì)于別人的復(fù)習(xí)進(jìn)度，可以參考和借鑒，但是千萬不能照搬照抄，要有自己的原則。如果考生在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)一段時(shí)間看不進(jìn)去書的狀態(tài)，拿起書來就感到非常煩躁。出現(xiàn)這樣的情況，凱程老師建議考生在感到煩躁時(shí)，可以由這門課換為另一門。如果還是不管用，干脆，合起書本，找到要好的知心的朋友，一起到校園里走一走，聊一些大家都開心的事，看看校園中匆忙的身影，心情自然就會(huì)好起來。大概半個(gè)小時(shí)左右，就可以緩解這種狀況。

其實(shí)只要做到全力以赴，然后中間不徘徊、不彷徨，認(rèn)定目標(biāo)，心態(tài)基本上都是穩(wěn)定的，成功的學(xué)生，除了剛開始糾結(jié)于考不考得上這個(gè)問題緊張心緒不穩(wěn)定之外，后來都挺穩(wěn)定的，至少?gòu)谋砻嫔峡瓷先ナ沁@樣的，或許內(nèi)心深處還是不太穩(wěn)定的，而且偶爾還是會(huì)出現(xiàn)抓狂的情況，不過很快就好了。只要堅(jiān)持到考研的最后的一刻，堅(jiān)信自己一定會(huì)成功，那么你就一定會(huì)成成功。

效率與時(shí)間：要記住效率

凱程考研，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)生引路！

時(shí)間，不要每天十幾個(gè)小時(shí)，基本都是渾渾噩噩地過去的，那還不如幾小時(shí)高效率的復(fù)習(xí)，大家看高效的學(xué)生，每天都是六點(diǎn)半醒，其實(shí)這到后面已經(jīng)是一種習(xí)慣，都不給自己設(shè)置鬧鈴，自然醒，不過也不是每天都能這么早醒來，偶爾也會(huì)出現(xiàn)一次那種睡到八九點(diǎn)的情況，我想這是身體的需要的，所以從來也不刻意強(qiáng)制自己每天都準(zhǔn)時(shí)起來，這是我的想法，還有就是當(dāng)你坐在桌前感覺學(xué)不動(dòng)的時(shí)候,出去聽聽歌或者看看財(cái)經(jīng)新聞啥的放松放松。

堅(jiān)定的意志：考研是場(chǎng)耗體力、耗腦力又耗心力的拉鋸戰(zhàn)，所以保持心態(tài)的慢跑，不要讓心態(tài)坐上“過山車”，學(xué)著調(diào)節(jié)心態(tài)的奔跑速度和節(jié)奏，能幫助你練就一顆堅(jiān)定的心?？佳锌嫉牟粌H是知識(shí)，更是一場(chǎng)心理素質(zhì)之戰(zhàn)，在這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)中，你要時(shí)刻警醒，不然隨時(shí)都會(huì)有倒下的可能。而且對(duì)于自己的復(fù)習(xí)成果要經(jīng)?？隙ǎ孕?疲憊時(shí)，多和朋友聊天，以積極的態(tài)度彼此鼓勵(lì)。當(dāng)你在對(duì)別人給予鼓勵(lì)和信任時(shí)，也會(huì)對(duì)自己產(chǎn)生明顯的激勵(lì)作用。此外也可以運(yùn)用自我暗示法，調(diào)整人的情緒狀態(tài)。這一方法是通過語言這個(gè)第二信號(hào)系統(tǒng)來調(diào)節(jié)中樞神經(jīng)系統(tǒng)的興奮性，從而使交感神經(jīng)與副交感神經(jīng)的機(jī)能得到改善。如感到自己緊張不安時(shí)，可反復(fù)地暗示自己：“我很平靜”“我對(duì)考試充滿了信心”“我能堅(jiān)持下去”等。當(dāng)感到?jīng)]有學(xué)習(xí)的熱情時(shí)，想一下自己當(dāng)初考研的動(dòng)力是什么，要不言敗，不放棄，要持之以恒堅(jiān)持到成功，否則之前的努力都將白費(fèi)，可以在自己的手機(jī)音樂播放器里存一些特別勵(lì)志的歌曲，休息期間可以聽聽，讓自己疲憊下來的心理瞬間又滿血復(fù)活。在凱程，不斷有測(cè)試，有排名，你就知道自己處于什么位置，找到差距，就能充足能量繼續(xù)復(fù)習(xí)。

最后，無論以何種方法復(fù)習(xí)，考生都要全身心投入，這樣才能取得好成績(jī)。凱程考研祝大家考研順利!

第五篇：高等數(shù)學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5

@第五講 中值定理的證明技巧

一、考試要求

1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

2、理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理。掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（經(jīng)濟(jì)）。

3、了解定積分中值定理。

二、內(nèi)容提要

1、介值定理（根的存在性定理）

（1）介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 與最小值m之間的任何值.（2）零點(diǎn)定理

設(shè)f(x)在[a、b]連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點(diǎn),c?(a、b)，使得f(c)=0

2、羅爾定理

若函數(shù)f(x)滿足：

（1）f(x)在?a,b?上連續(xù)（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）f(a)?f(b)

則一定存在??(a,b)使得f'(?)?0

3、拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)滿足：

（1）f(x)在?a,b?上連續(xù)（2）f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

則一定存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

4、柯西中值定理

若函數(shù)f(x),g(x)滿足:（1）在?a,b?上連續(xù)（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）g'(x)?0

f(b)?f(a)f'(?)?g'(?)則至少有一點(diǎn)??(a,b)使得g(b)?g(a)

5、泰勒公式

x如果函數(shù)f(x)在含有0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n?1階導(dǎo)數(shù)? 則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時(shí)? f(x)可以表示為x?x的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和，即

0f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2? ? ? ? ?1f(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)2!n!

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1x(n?1)!其中(?介于0與x之間)?

在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：

1．展開的基點(diǎn)； 2．展開的階數(shù)；

3．余項(xiàng)的形式．

其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式．

而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定．

6、積分中值定理

若f(x)在[a、b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)c∈[a、b]，使得

?baf(x)dx=f(c)(b-a)

三、典型題型與例題

題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題（證明存在?使f(?)?0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理 f(x)滿足：在[a,b]上連續(xù)；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法

2）間接法或輔助函數(shù)法

例

1、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，a?x1?x2???xn?b,ci?0(i?1,2,?,n)，證明存在??[a,b]，使得

f(?)?c1f(x1)?c2f(x2)???cnf(xn)

c1?c2???cn例

2、設(shè)b?a?0,f(x)在[a,b]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且f(x)?0，證明存在??(a,b)

使得

a2f(b)?b2f(a)?2?2f(?)

*例

3、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)且f(x)?0，證明存在??(a,b)使得

??af(x)dx??f(x)dx??b1bf(x)dx。2?a

.例

4、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，證明存在??(a,b)使得

例

5、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(x)<1.證明：2x??f(t)dt?1在(0,1)內(nèi)有且僅

0xg(?)?f(x)dx?f(?)?g(x)dx

a?b?有一個(gè)實(shí)根。例

6、設(shè)實(shí)數(shù)a1,a2,?,an滿足關(guān)系式a1?ana2???(?1)n?1?0，證明方程 32n?1?

a1coxs?a2co3sx???ancos2(n?1)x?0，在(0,)內(nèi)至少有一實(shí)根。

2例

7、（0234，6分）

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)>0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)??[a,b]使得

題型

二、驗(yàn)證滿足某中值定理

?3?x2,x?1??2例

8、驗(yàn)證函數(shù)f(x)??，在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，并求

1?,x?1??x滿足定理的?

?baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab題型

三、證明存在?, 使f(n)(?)?0(n=1,2,…)

方法：

1、用費(fèi)馬定理

2、用羅爾定理（或多次用羅爾定理）

3、用泰勒公式

思路：可考慮函數(shù)f(n?1)(x)

例

9、設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)且f??(a)f??(b)?0，證明至少存在一個(gè)

??(a,b)使得f?(?)?0

例

10、設(shè)f(x)在[0,3]上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1，證明存在一個(gè)??(0,3)使得f?(?)?0

*例

11、設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0，2）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且

1f(x)lim?0,2?1f(x)dx?f(2)，證明存在??(0,2)使得f??(?)?0 12x?cos?x2 題型

四、證明存在?, 使G(?,f(?),f?(?))?0

方法：1）用羅爾定理（原函數(shù)法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分離）

思路：1）?換為x

2）恒等變形，便于積分 3）積分或解微分方程

4）分離常數(shù)：F(x,f(x))?C F(x,f(x))即為輔助函數(shù)(1)用羅爾定理 1)原函數(shù)法:

步驟：將?換為x;

恒等變形，便于積分；

求原函數(shù)，取c=0； 移項(xiàng)，得F(x).例

12、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g?(x)?0(x?(a,b))，求證

f(a)?f(?)f?(?)?存在??(a,b)使得

?g(?)?g(b)g(?)

例

13、（0134）設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(1)?k?xe1?xf(x)dx,k?1

證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?, 使 f?(?)?(1???1)f(?).1k0例

14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)>0,f(a)?f(在[a,b]上連續(xù)，試證對(duì)???(a,b),使得f?(?)?g(?)f(?)..a?b)?0, g(x)2*例

15、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)一階可導(dǎo)，且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?0.0011試證：???(0,1),使得 f?(?)?(1???1)f(?)..2)常微分方程法:

適用: ??,f?(?)??(?,f(?))

步驟：??x,f?(x)??(x,f(x))

解方程 G(x,f(x))?c

令 F(x)?G(x,f(x))

例

16、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)??，證明存在??(a,b)使得f?(?)?f(?)??*例

17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0，f(1)=1, 證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)?,必存在??（0，1), 使得f?(?)??[f(?)??]?

1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在??(a,b)，使得

bf(b)?af(a)?f?(?)??f(?)

b?a

例

19、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在??(a,b)，使得

bn1b?af(a)anf(b)??n?1[nf(?)??f?(?)],n?1

例20、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b)，求證存在??(a,b)，b使得 f(b)?f(a)??lnf?(?)

a例

21、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b)，求證存在??(a,b)，f(b)?f(a)f?(?)使得

?(a2?ab?b2)2b?a3?

題型

5、含有f??(?)(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問題

方法：1）原函數(shù)法（對(duì)f?(x)仍用微分中值定理:羅爾定理，拉格朗日，柯 西中值定理）；

2）泰勒公式

例

22、設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1), 試證至少存在一個(gè)??(0,1), 使

2f?(?)f??(?)?

1??

例

23、（012，8分）設(shè)f(x)在[?a,a](a?0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1)寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2)證明在[?a,a]上至少存在一個(gè)?使得

af??(?)?3?f(x)dx

?a3a例

24、設(shè)f(x)在[－1, 1]上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0, f(1)=1, f?(0)=0, 證明: 在(-1,1)內(nèi)存在一點(diǎn)?，使得f???(?)?3..例

25、（103）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0, 3]上連續(xù), 在開區(qū)間(0, 3)內(nèi)二階可導(dǎo), 且 f(0)=?20f(x)dx= f(2)+ f(3).(I)證明存在 ? ?(0, 2), 使得f(?)= f(0);(II)證明存在 ? ?(0, 3), 使得 f??(?)=0..題型

6、雙介值問題F(?,?,?)?0

方法：1）同時(shí)兩次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理 2）用一次后再用一次中值定理

例

26、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，求證存在?,??(a,b)使f?(?)得f?(?)?(a?b)

2?

例

27、（051，12分）已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1

證明：（1）存在??(0,1)，使得f(?)?1??

（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?,??(0,1)使得f?(?)f?(?)?1 題型

7、綜合題

*例

29、（011，7分）

設(shè)函數(shù)f(x)在（-1,1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f??(x)?0，試證（1）對(duì)于(-1,1)內(nèi)的任意x?0,存在唯一的?(x)?(0,1)使得

?f

f(x)?f(0?)x?((x成立)x

1（2）lim?(x)?

x?0

2例29、試證明若f(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，且f?(a)?f?(b)?0，則存在4??(a,b)使得f??(?)?f(b)?f(a)2(b?a)*例30、設(shè)e

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