第一篇：高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。

⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，則：

.推

論

：在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡單的函數(shù)來求極限。

例題：求

解答：

例題：求

此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

解答：

注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。

函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則

學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。

我們先來看一個(gè)例子：

例：符號(hào)函數(shù)為

對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。

定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記：

與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)

當(dāng)

與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)時(shí)的右極限.記：注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有極限

準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有那末≤≤，且，存在，且等于A 注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個(gè)重要的極限

一：

...注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.7***045

二：

注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們.例題：求

解答：令，則x=-2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，則

注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量 無窮大量

我們先來看一個(gè)例子：

已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)

時(shí)，記為：

成立，則稱函數(shù)當(dāng)

時(shí)為無窮大量。

（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的）

無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大

時(shí)，同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無窮大量，記為：無窮小量

以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)

(或

當(dāng)(或)的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式M)，使得對(duì)于適合不等式，則稱函數(shù)記作：

(或x→∞)時(shí) 為無窮小量.)

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