第一篇：2019屆蘇教版(文科數(shù)學(xué)) 導(dǎo)數(shù)法妙解極值、最值問題 單元測試

2019屆蘇教版（文科數(shù)學(xué)）

導(dǎo)數(shù)法妙解極值、最值問題

單元測試

1．【遼寧省丹東市2018年高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試

（二）】已知函數(shù)值10，則，在處取得極A． 4或-

3B． 4或-1

1C． 4

D．-3 【答案】C

∴．

故選C．

點睛：（1）導(dǎo)函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點，所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點．

（2）對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件，因此在根據(jù)函數(shù)的極值點或極值求得參數(shù)的值后需要進(jìn)行驗證，舍掉不符合題意的值．

2．【新疆烏魯木齊市2018屆高三第三次診斷性測驗】若函數(shù)是（）A．

B． 【答案】C

C．

D．

有極大值，則實數(shù)的取值范圍①∴時，令是，解得：，時，時，的極小值點，時，即∴一定存在，使時，即，∴，符合題意；

②時，，時，，遞減，在，故∴③在遞增，故不存在極大值，不符合題意； 時，若，時，時，時，∴在上遞增，函數(shù)一定沒有極大值，綜上可得只有C選項符合題意.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，有一定難度.3．已知函數(shù)A． C． 【答案】D 有兩個極值點，則下列結(jié)論正確的是

B．

D．

4．【江西省景德鎮(zhèn)市第一中 等盟校2018屆高三第二次聯(lián)考】若函數(shù)個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．

有兩【答案】B 【解析】分析：函數(shù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系求解即可.詳解：，有兩個根，設(shè)，則關(guān)于的方程

有兩個正根，有兩個極值點，有兩個極值點，等價于

有兩個根，換元后利用可得，實數(shù)的取值范圍是，故選B.點睛：對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見解法有三個：一是對于發(fā)方程的解為不做限制的題型可以直接運(yùn)用判別式解答；二是已知根的符號，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合判別式列不等式組求解；三是方程的解在區(qū)間上的題型，一般采取列不等式組（主要考慮判別式、對稱軸、的符號）的方法解答.，則（）5．【山東省濰坊市2018屆高三第二次高考模擬考試】已知函數(shù)A． 有個零點

B．

在上為減函數(shù) C． 【答案】B 的圖象關(guān)于點對稱

D． 有個極值點

6．【河北省定州中 2018屆高三下 期第一次月考】已知函數(shù)唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是（），若是函數(shù)的A． 【答案】A 【解析】

B．

C．

D．

分析：首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合題意利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，最后利用排除法即可求得最終結(jié)果.詳解：函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)，且：∵x=2是函數(shù)f(x)的唯一一個極值點當(dāng)時，很明顯滿足題意., 的唯一極值點，結(jié)合選項，只有A選項符合題意.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，排除法解答選擇題等知識，意在考查 生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7．【湖北省華中師范大 第一附屬中 2018屆高三5月押題考試】若曲線：

與曲線：

（其中無理數(shù)…）存在公切線，則整數(shù)的最值情況為（）

A． 最大值為2，沒有最小值

B． 最小值為2，沒有最大值 C． 既沒有最大值也沒有最小值

D． 最小值為1，最大值為2 【答案】C

或a<0.故答案為：C 點睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查 生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出，再研究函數(shù)的最值得解.8．【河北省唐山市2017—2018 年度高三年級第三次模擬考試】已知，則A．（），若的最小值為

B．

C．

D．

【答案】A 點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)在；(3)解方程

極值的步驟：

求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查

在處取極大值，如果左負(fù)右正的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點值的函數(shù)值與極值的大小.9．【湖北省部分重點中 2018-2019 年度上 期新高三開 考試】己知函數(shù) 恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（），若關(guān)于的方程A． 【答案】C

B．

C．

D． 又當(dāng) 時，因此畫出函數(shù)圖像如下圖所示：

令，則方程

恰有3個不同的實數(shù)解化為

有兩個不同實數(shù)根，所以所以所以選C 【點睛】，即

本題考查了通過導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，需要靈活掌握函數(shù)求導(dǎo)及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題。

10．【江蘇省鹽城中 2018屆高三全仿真模擬檢測】已知函數(shù)(I)若(Ⅱ)若，求函數(shù)存在極小值點，且可作多少條直線與的單調(diào)區(qū)間；，其中，求證:

；，.(Ⅲ)試問過點的圖像相切?并說明理由.；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)答案見解析.【答案】(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為(2)，存在極小值點，則.，則，所以則(3)，又時，有1條切線；

代入，所以時，有2條切線.所以；

，設(shè)切點坐標(biāo)是，依題意：

即設(shè)故函數(shù)在，化簡得：，上零點個數(shù)，即是曲線切線的條數(shù).，①當(dāng)②當(dāng)時，時，在在上恰有一個零點1； 上恒成立，在故當(dāng)③故在時，時，在上單調(diào)遞減，且上有且只有一個零點，在在，]

上恰有個零點； 上遞減，在上遞增，，此時 至多有兩個零點，且在單調(diào)遞增，且值域是，使又函數(shù)故對任意實數(shù)，必存在

由于函數(shù)在，上必有一零點；

]

綜上時，又當(dāng)綜上：，時，在，所以在上有兩個零點

時，有2條切線.，所以

必有一零點.，故

時，有1條切線；

點睛：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點中的作用

(1)研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點，歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等．(2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決． 11．【河北省石家莊二中2018屆高三三?！吭O(shè)函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)（Ⅱ）若，極值點的個數(shù)，并說明理由；

成立，求的取值范圍.，其中

.【答案】（1）見解析（2）所以當(dāng)當(dāng)同理當(dāng)當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)，單調(diào)遞減；

有兩個極值點；，單調(diào)遞增； 的兩個不相等的實數(shù)根，且，單調(diào)遞減，當(dāng)，所以函數(shù)只有一個極值點.綜上可知當(dāng)時的無極值點；當(dāng)

時

有一個極值點；當(dāng)

時，的有兩個極值點.12．【2018屆四省名校高三第三次大聯(lián)考】已知函數(shù).（1）當(dāng)（2）若時，判斷函數(shù)有兩個極值點的單調(diào)性；

.①求實數(shù)的取值范圍； ②證明：【答案】(1).在上單調(diào)遞減；(2)①.；②.證明見解析.（2）①∵有兩個極值點，有兩個根，則，，∴關(guān)于的方程設(shè)當(dāng)即∴當(dāng)由∴且當(dāng)要使必有∴實數(shù)的取值范圍是.即時，在上單調(diào)遞減，最多有一根，不合題意 時，由，得在區(qū)間時，得，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，當(dāng)

時，上單調(diào)遞減.有兩個不同的根，解得

②∵∴，又∴令則∴∴在區(qū)間，∴，上單調(diào)遞減，.又∴，.，點睛：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵。13．【江蘇省蘇州市第五中 2018屆高三上 期期初考試】已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過點，求的值；

．

（2）是否存在負(fù)整數(shù)，使函數(shù)理由． 【答案】（1）；（2）不存在 的極大值為正值？若存在，求出所有負(fù)整數(shù)的值；若不存在，請說明【詳解】

（1）∵ ∴, ∴函數(shù)∴在處的切線方程為：，解得：，又直線過點

（2）若當(dāng)當(dāng)，時，時，恒成立，函數(shù)在恒成立，函數(shù)在上無極值； 上無極值；

在上，若在處取得符合條件的極大值，則，則，由（3）得：，代入（2）得：，結(jié)合（1）可解得：，再由得：，設(shè)，則，當(dāng)時，即是增函數(shù)，所以又，故當(dāng)極大值為正數(shù)時，從而不存在負(fù)整數(shù)滿足條件．

14．【江西省新余市第四中 2018屆高三適應(yīng)性考試】已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處的切線與直線在區(qū)間

上最大值；，求證：

.平行，求實數(shù)的值；

（2）試討論函數(shù)（3）若時，函數(shù)恰有兩個零點【答案】（1）n=6（2）見解析（3）見解析（2）f′（x）=，（x＞0），由f′（x）＜0時，x＞n；f′（x）＞0時，x＜n，所以①當(dāng)n≤1時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=m﹣n；

②當(dāng)n＞1，f（x）在[1，n）上單調(diào)遞增，在（n，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（n）=m﹣1﹣lnn；

（3）證明：n=1時，f（x）恰有兩個零點x1，x2，（0＜x1＜x2），由，f（x2）=，得，∴，設(shè)t=＞1，lnt=，x1=，故x1+x2=x1（t+1）=，∴，記函數(shù)，因，∴h（t）在（1，+∞）遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，又lnt＞0，故x1+x2＞2成立

【點睛】

(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查 生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有三點，其一是求出的關(guān)系，其二是換元t=＞1得到于零.15．【山西省太原市2018屆高三第三次模擬考試】已知函數(shù)（1）若關(guān)于的方程（2）當(dāng)時，證明函數(shù)的兩個實數(shù)根為

在函數(shù)，求證：，其三是求

最小值大的最大值為

；

.的最小零點處取得極小值.【答案】(1)見解析;(2)見解析.∴設(shè)所以，在，∴，則上單調(diào)遞增，∴，則，因，故在區(qū)間

在，所以；

時，，（2）由（1）可知，易知，單調(diào)遞增，又

遞增，∴，且時，；時，當(dāng)于是時，時，，

第二篇：天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值、最值中的應(yīng)用 課堂驗收(教師版)

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值、最值中的應(yīng)用

解答下列各題。（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

1、若函數(shù)f(x)?ax3?bx2?cx?d在x??1時有極大值5，在x?1時有極小值1，試確定函數(shù)f(x)的解析式。

學(xué)案P1142、設(shè)a?0，f(x)?

（1）求a的值；

（2）證明f(x)在(0,??)是增函數(shù)。

學(xué)案P1083、設(shè)a?0，求函數(shù)f(x)?x2?

學(xué)案P114

ax(x?1)的單調(diào)區(qū)間，并在有極值時，求出極值。exa?aex是R上的偶函數(shù)。

第三篇：2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、優(yōu)化問題、方程與不等式》理

[第15講 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、優(yōu)化問題、方程與不等式]

(時間：45分鐘 分值：100分)

基礎(chǔ)熱身

x1．[2013·韶關(guān)調(diào)研] 函數(shù)y＝xe的最小值是()

1A．－1B．－eC．不存在 e

322．f(x)＝x－3x＋2在區(qū)間[－1，1]上的最大值是()

A．－2B．0C．2D．4

3．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間

1332629關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－t－t＋36t則在這段時間內(nèi)，通過該路段用844

時最多的時刻是()

A．6時B．7時C．8時D．9時

4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y13＝－x＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()3

A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件

能力提升

5．一矩形鐵皮的長為8 cm，寬為5 cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，盒子容積的最大值是()

3333A．12 cmB．15 cmC．18 cmD．16 cm

26．[2013·湖南卷] 設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝lnx的圖象分別交于點M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為()

152A．1B.D.222

37．[2013·全國卷] 已知函數(shù)y＝x－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c＝()

A．－2或2B．－9或3

C．－1或1D．－3或1

8．已知正四棱錐S－ABCD中，SA＝23，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為()

A．1B.3C．2D．3

9．[2013·遼寧卷] 若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恒成立的是()

1112x2A．e≤1＋x＋xB.1－x＋x 241＋x

1212C．cosx≥1D．ln(1＋x)≥x－ 2810．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為

________．

ex＋1ex

11．[2013·廈門質(zhì)檢] 設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝x，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，xe

g（x1）f（x2）不等式k的取值范圍是________．

kk＋1

12．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為P元，則銷售

量Q(單位：件)與零售價P(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170P－P.則該商品零售價定為________時，毛利潤L最大，最大毛利潤是________(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)．

13．將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，（梯形的周長）記S＝S的最小值是________．

梯形的面積

14．(10分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位： cm)滿足關(guān)系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用3x＋5

與20年的能源消耗費用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．

15．(13分)[2013·河北重點中學(xué)聯(lián)考] 已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x＋ax－2.(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若函數(shù)y＝f(x)＋g(x)有兩個不同的極值點x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求實數(shù)a的取值范圍．

難點突破

16．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－(1)當(dāng)a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；

ax

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為a的值；

(3)試求實數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)y＝x的圖象恒在函數(shù)f(x)的圖象的上方．

課時作業(yè)(十五)

【基礎(chǔ)熱身】

x

1．C [解析] y′＝(x＋1)e，令y′＝0，得x＝－1.因為x<－1時y′<0；x>－1時

y′>0，所以x＝－1時，ymine

2．C [解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，當(dāng)－1≤x<0時，f′(x)>0，當(dāng)0

3．C [解析] y－＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)

828

或t＝8，當(dāng)6≤t<8時，y′>0，當(dāng)8

4．C [解析] 因為y′＝－x＋81，所以當(dāng)x>9時，y′<0；當(dāng)00，所以

函數(shù)y＝－＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0，9)上單調(diào)遞增，所以x＝9是函

數(shù)的極大值點．又因為函數(shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值．

【能力提升】

5．C [解析] 設(shè)小正方形的邊長為x cm，則盒子底面長為8－2x，寬為5－2x.V＝(8

5?10?322

－2x)(5－2x)x＝4x－26x＋40x?0

2?3?

(舍去)，則V極大值＝V(1)＝18，且在定義域內(nèi)僅有一個極大值，∴V最大值＝18.6．D [解析] 用轉(zhuǎn)化的思想：直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝lnx圖象分別交于M，N，而|MN|的最小值，實際是函數(shù)F(t)＝t2－lnt(t>0)時的最小值．

122

令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－舍去)．

t2222

F(t)＝t－lnt有最小值，即|MN|達(dá)到最小值，故選D.2

7．A [解析] 由f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)＝0?x＝±1，結(jié)合f(x)的圖象可知只要f(－1)＝0或f(1)＝0即可，故解得c＝－2或2，故選A.1?2?22

8．C [解析] 設(shè)底面邊長為a，則高h(yuǎn)＝SA－?a?＝12－2，所以體積V

2?2?

故t＝121

＝h＝33

164

12a－a.21643535

設(shè)y＝12a－a，則y′＝48a－3a，當(dāng)y取最值時，y′＝48a－3a＝0，解得a＝0(舍

212

12－a＝2.332

9．C [解析] 驗證A，當(dāng)x＝3時，e>2.7＝19.68>1＋3＋3＝13，故排除A；驗證B，去)或a＝4，故a＝4時體積最大，此時h＝

當(dāng)x＝2

6111113391 5211 536166而1＋＝＝故排除B；

***3

1＋

驗證C，令g(x)＝cosx－1＋x，g′(x)＝－sinx＋x，g″(x)＝1－cosx，顯然g″(x)>0

恒成立，所以當(dāng)x∈[0，＋∞)時，g′(x)≥g′(0)＝0，所以x∈[0，＋∞)時，g(x)＝cosx－11212

＋為增函數(shù)，所以g(x)≥g(0)＝0恒成立，即cosx≥1－恒成立；驗證D，令h(x)＝22

121xx（x－3）

ln(1＋x)－x＋x，h′(x)＝1h′(x)<0，解得0

8x＋144（x＋1）

0

10.4V [解析] 設(shè)底面邊長為x，則高為h＝∴Sx＋2×x＝22

4x3x3x＋32，2

43V3

∴S′＝－23x，令S′＝0，得x＝4V.x

333

當(dāng)04V時，S′>0，故當(dāng)x＝4V時，S取得最小值． 11．k≥1 [解析] ∵k為正數(shù)，g（x1）f（x2）?g（x）≤f（x）?∴對任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立???kk＋1?k?max?k＋1?

.min

x＋2

e（1－x）

由g′(x)＝＝0得x＝1.e

x∈(0，1)，g′(x)>0，x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，?g（x）＝g（1）＝e∴?kk?k?max

ex－11

同理f′(x)＝0?x＝，2

xe

?1?1?x∈?0，f′(x)<0，x∈??，f′(x)>0，?e??e?

?1?f??

?f（x）＝?e?2ee2e，k>0?k≥1.∴?kk＋1?k＋1?mink＋1k＋1

12．30 23 000 [解析] 由題意知L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)

＝(8 300－170P－P)(P－20)

＝－P－150P＋11 700P－166 000，∴L′(P)＝－3P－300P＋11 700.令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．

因為在P＝30附近的左側(cè)L′(P)>0，右側(cè)L′(P)<0，∴L(30)是極大值．

根據(jù)實際意義知，L(30)是最大值，此時L(30)＝23 000.即零售價定為每件30元時，有最大毛利潤為23 000元．

323 [解析] 設(shè)DE＝x，由ED∥BC，△ABC為正三角形，AD＝DE＝AE＝x，BD＝EC

－x)，梯形的周長為BD＋DE＋EC＋BC＝3－x，梯形的面2

＝1－x.過D作DF⊥BC，DF＝

133（3－x）2

積為(x＋1)×(1－x)＝－x)．S＝(0<

x<1)．

22432

（1－x）4

24（2x－6）（1－x）－（34（2x－6）（1－3x）S，2222

（1－x）（1－x）331

令S′＝0，解得x＝3(舍去)，311132300，∴x＝時，Smin.3333

14．解：(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝3x＋5

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x＋5

而建造費用為C1(x)＝6x.所以隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

40800

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋54002 400

(2)f′(x)＝6－f′(x)＝0，即6.（3x＋5）（3x＋5）25

解得x＝5或x＝－(舍去)．

當(dāng)00，故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)

800的最小值為f(5)＝6×5＋＝70.15＋5

故當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時，總費用達(dá)到最小值為70萬元．

15．解：(1)由題意f′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝.e

1?1??1?①當(dāng)0

1?1此時函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上的最小值為f?.e?e?

②當(dāng)t≥時，函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，e

此時函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上的最小值為f(t)＝tlnt.(2)由題意y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x＋ax＋2，則y′＝lnx－2x＋a＋1，知y′＝lnx－2x＋a＋1＝0有兩個不同的實根x1，x2，等價于a＝－lnx＋2x－1有兩個不同的實根x1，x2，等價于直線y＝a與函數(shù)G(x)＝－lnx＋2x－1的圖象有兩個不同的交點．

1?1?1?由G′(x)＋2，知G(x)在?0上單調(diào)遞減，在??上單調(diào)遞增，x?2??2?

畫出函數(shù)G(x)圖象的大致形狀如圖，k

?1由圖易知，當(dāng)a>G(x)min＝G?＝ln2時，?2?

x1，x2存在，且x2－x1的值隨a的增大而增大． 而當(dāng)x2－x1＝ln2時，??lnx1－2x1＋a＋1＝0，由題意得?

?lnx2－2x2＋a＋1＝0.?

兩式相減可得ln2(x2－x1)＝2ln2，得x2＝4x1，4

代入x2－x1＝ln2得x2＝4x1，2?ln2此時實數(shù)aln2－ln?－1，3?3?

2?ln2所以實數(shù)a的取值范圍為a>ln2－ln?－1.3?3?

【難點突破】

1ax＋a

16．解：(1)f′(x)＋22(x>0)．

x2x1

xxx

當(dāng)a>0時，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．(2)由f′(x)＝0得x＝－a.①當(dāng)a≥－1時，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，33

f(x)min＝f(1)＝－a＝a＝－(舍)．

②當(dāng)a≤－e時，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，a3e

則f(x)min＝f(e)＝1－＝a(舍)．

e22

③當(dāng)－e0，f(x)在(x0，e)上為增函數(shù)．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－e，2綜上知，ae.(3)由題意得x>lnx－在(1，＋∞)上恒成立，即a>xlnx－x在(1，＋∞)上恒成立．

設(shè)g(x)＝xlnx－x(x>1)，則g′(x)＝lnx－3x＋1.12

令h(x)＝lnx－3x＋1，則h′(x)＝6x，32

ax

x

當(dāng)x>1時，h′(x)<0恒成立．

∴h(x)＝g′(x)＝lnx－3x＋1在(1，＋∞)上為減函數(shù)，則g′(x)

第四篇：2013屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)(14)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值與生活中的優(yōu)化問題舉例

課時作業(yè)(十四)

第14講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值與生活中的優(yōu)化問題舉例

[時間：35分鐘分值：80分]

lnx1．函數(shù)y＝()x

B．eC．e2D.e

32．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，則x2y的最大值為()

A．36B．18C．25D．

423．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間

13629關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y3－t2＋36t－.則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時844

最多的時刻是()

A．6時B．7時C．8時D．9時

4．設(shè)正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()1334VB．2VC.4VD.2

能力提升

1－x1?5．已知函數(shù)f(x)＝＋lnx，則f(x)在??2，2?上的最大值和最小值之和是()x

A．0B．1－ln2C．ln2－1D．1＋ln2

32??2x＋3x＋1?x≤0?，6．[2011·哈三中三模]函數(shù)f(x)＝?ax在[－2,2]上的最大值為2，則?e?x>0??

a的取值范圍是()

ln2ln2?B.?0 A.?2?2??

ln2 C．(－∞，0]D.?2?

7．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10 km時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，則使行駛每千米的費用總和最小時，此輪船的航行速度為()

A．20 km/hB．25 km/h

C．19 km/hD．km/h 基礎(chǔ)熱身

圖K14－

18．[2011·江蘇四市聯(lián)考]今有一塊邊長為a的正三角形的厚紙，從這塊厚紙的三個角，按圖K14－1那樣切下三個全等的四邊形后，做成一個無蓋的盒子，要使這個盒子容積最大，x值應(yīng)為()

2aaaA．a(chǎn)B.C.D.326

9．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品的價格p(元/t)之間的1關(guān)系式為：p＝24 200－x2，且生產(chǎn)x t的成本為R＝50 000＋200x(元)．則該廠每月生產(chǎn)

5________ t產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大．(利潤＝收入－成本)

10．[2011·潮州模擬]在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開_______時它的面積最大．

圖K14－2

11．[2011·寧化模擬]如圖K14－2，用半徑為R的圓鐵皮，剪一個圓心角為a的扇形，制成一個圓錐形的漏斗，則圓心角a取________時，漏斗的容積最大．

12．(13分)[2011·無錫模擬]甲、乙兩村合用一個變壓器，如圖K14－3所示，若兩村用同型號線架設(shè)輸電線路，問：變壓器設(shè)在輸電干線何處時，所需電線最短？

難點突破

13．(12分)[2011·長沙模擬]廣東某民營企業(yè)主要從事美國的某品牌運(yùn)動鞋的加工生產(chǎn)，按國際慣例以美元為結(jié)算貨幣，依據(jù)以往加工生產(chǎn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，若加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬美元，可獲得的加工費近似地為x＋1)萬美元，受美聯(lián)儲貨幣政策的影響，美元貶值，由于生產(chǎn)加工簽約和成品交付要經(jīng)歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx萬

美元(其中m為該時段美元的貶值指數(shù)，m∈(0,1))，從而實際所得的加工費為f(x)ln(2x＋

1)－mx(萬美元)．

(1)若某時期美元貶值指數(shù)m＝，為確保企業(yè)實際所得加工費隨x的增加而增加，該

200

企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產(chǎn)成本為x萬美元，已知該

企業(yè)加工生產(chǎn)能力為x∈[10,20](其中x為產(chǎn)品訂單的金額)，試問美元的貶值指數(shù)m在何范圍時，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損．

課時作業(yè)(十四)

【基礎(chǔ)熱身】

?lnx?′x－lnx·x′1－lnx

1．A [解析] 令y＝0，得x＝e，當(dāng)x>e時，y′<0；當(dāng)xx11

x0，故y極大值＝f(e)＝，在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax＝.ee

x

3－，x∈[0,9]，令f′(x)＝6x－x2＝0，得x＝0或x＝6，2．A [解析] 令f(x)＝x2y＝x2??3可以驗證x＝6時f(x)有最大值36.333

3．C [解析] y′＝－2－＋36t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，828

當(dāng)6≤t<8時，y′>0，當(dāng)8

4V

4．C [解析] 設(shè)底面邊長為x，則高為h＝

3x2

4V4V∴S表＝3×x＋2×2＝x2，2·4x23x

4V∴S′表＝－3x，令S′表＝0，得x＝4V.x

經(jīng)檢驗知，當(dāng)x＝4V時S表取得最小值． 【能力提升】

x－1

5．B [解析] 對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝.x

1?

(1)若x∈??2，1?，則f′(x)<0；(2)若x∈(1,2]，則f′(x)>0，1?

故x＝1是函數(shù)f(x)在區(qū)間??2，2?上的唯一的極小值點，也就是最小值點，故f(x)min＝f(1)＝0；

11又f?＝1－ln2，f(2)＝－ln2，?22

1?lne3－ln163?所以f?2?－f(2)＝－2ln2＝，22

因為e3>2.73＝19.683>16，1?所以f??2?－f(2)>0，1即f??2>f(2)，1?12上最大值是f?.即函數(shù)f(x)在區(qū)間??2??21?1，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f(x)在?2?上的最大綜上知函數(shù)f(x)在區(qū)間??2??2?

值和最小值之和是1－ln2.6．D [解析] 當(dāng)x≤0時，f′(x)＝6x2＋6x，函數(shù)的極大值點是x＝－1，極小值點是x＝0，當(dāng)x＝－1時，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即ln2ln2a≤(0,2]上恒成立，故a≤.x2

7．A [解析] 設(shè)船速度為x(x>0)時，燃料費用為Q元，則Q＝kx3，由6＝k×103可得33

k＝，∴Q3，500500

331396696x＋96?x2＋，∴總費用y＝?y′＝x－令y′＝0得x＝20，當(dāng)x∈(0,20)?500?x500x500x時，y′<0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(20，＋∞)時，y′>0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝20時，y取得最小值，∴此輪船以20 km/h的速度行駛每千米的費用總和最?。?/p>

a30

x，設(shè)容積為V，則

V＝Sh＝(a－2x)2x，23

2a

＝x3－ax2＋x，a22

V′＝3x－2ax＋，4aaaaa

令V′＝0得x＝或x＝舍去)，當(dāng)00；當(dāng)

aaaa4aa∴xV最大＝＋6216362421654

9．200 [解析] 每月生產(chǎn)x噸時的利潤為f(x)＝24 200－2x－(50 000＋200x)＝－x3

＋24 000x－50 000(x≥0)．

由f′(x)＝－x2＋24 000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去負(fù)值．f(x)在[0，＋∞)內(nèi)有唯

一的極大值點，也是最大值點．

R [解析] 設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x，高為h，那么h＝RR－x，解2

得

x2＝h(2R－h(huán))，于是內(nèi)接三角形的面積為 S＝x·h＝?2Rh－h(huán)?·h＝2Rh－h(huán)，1從而S′＝Rh3－h(huán)4)－Rh3－h(huán)4)′

h2?3R－2h?113423

＝(2Rh－h(huán))－Rh－4h)＝ 22?2R－h(huán)?h3

令S′＝0，解得h＝，由于不考慮不存在的情況，所以在區(qū)間(0,2R)上列表如下：

由此表可知，當(dāng)x＝時，等腰三角形面積最大．

2611.[解析] 解法一：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么由r2＋h2＝

R2，Ra＝2πr，2R3121Ra2a24?代入V＝πrh，得V＝π·2πR－?2π＝a－，3312π4π

65a3a

再令T(a)＝a4T′(a)＝4a3－T′(a)＝0.4π2π5

2633a即4a－＝0，求得a＝，2π3

222檢驗，當(dāng)00；當(dāng)a<2π時，T′(a)<0，所以當(dāng)a＝π時，333

T(a)取得極大值，并且這個極大值就是最大值，且T(a)取得最大值時，V也就取得最大值，2所以當(dāng)a＝π時，漏斗的容積最大．

解法二：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r2＋h2＝R2，因此V(r)＝r2h

＝πr2R－r＝πr－r(0

再令T′(r)＝0，即4R2r3－6r5＝0，求得r＝，可以檢驗當(dāng)r＝R時，T(r)取得最大值，33

66226

也就是當(dāng)r＝時，V(r)取得最大值．再把rR代入Ra＝2πr得a＝所以當(dāng)a＝

3333

π時，漏斗的容積最大．

12．[解答] 設(shè)CD＝x(km)，則CE＝3－x(km)．

由題意知所需輸電線的長l為：l＝AC＋BC＝1＋x＋1.5＋?3－x?(0≤x≤3)，－2?3－x?2x

l′＝，1＋x21.5＋?3－x?3－xx

令l′＝0，得＝0，1＋x1.5＋?3－x?3－xx

即，1＋x1.5＋?3－x?

?3－x?2x，1＋x1.5＋?3－x?1．52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2，1．52x2＝(3－x)2,1.5x＝3－x，2．5x＝3，x＝1.2，故當(dāng)CD＝1.2(km)時所需輸電線最短． 【難點突破】

13．[解答](1)由已知m＝，200

1x

f(x)ln(2x＋1)x>0，2200

199－2x11

∴f′(x)＝＝2x＋1200200?2x＋1?

由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0

(2)依題設(shè)，企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10,20]時，都有l(wèi)n(2x＋1)－mx≥x，220

ln?2x＋1?111

由ln(2x＋1)－mx≥x，得＋m≤220202x

ln?2x＋1?

令g(x)＝x∈[10,20]，2x2x－ln?2x＋1?2x＋1

則g′(x)＝

2x2x－?2x＋1?ln?2x＋1?＝.2x?2x＋1?

令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，2??2ln?2x＋1?＋?2x＋1?則h′(x)＝2－2x＋1?＝－2ln(2x＋1)<0，?

可知h(x)在[10,20]上單調(diào)遞減． 從而h(20)≤h(x)≤h(10)，又h(10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0.故可知g(x)在[10,20]上單調(diào)遞減，ln41ln411

因此g(x)min＝m404020

ln41－2?

故當(dāng)美元的貶值指數(shù)m∈?0時，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會虧損．

40??