第一篇：第十一章組合變形(講稿)材料力學(xué)教案(顧志榮).

第十一章 組 合 變 形

同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮

一、教學(xué)目標(biāo)

1、掌握組合變形的概念。

2、掌握斜彎曲、彎扭、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）等組合變形形式的概念和區(qū)分、危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的確定、應(yīng)力計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算、變形計(jì)算、中性軸的確定等。

3、正確區(qū)分斜彎曲和平面彎曲。

4、了解截面核心的概念、常見截面的截面核心計(jì)算。

二、教學(xué)內(nèi)容

1、講解組合變形的概念及組合變形的一般計(jì)算方法：疊加法。

2、舉例介紹斜彎曲和平面彎曲的區(qū)別。

3、講解斜彎曲的應(yīng)力計(jì)算、中性軸位置的確定、危險(xiǎn)點(diǎn)的確立、強(qiáng)度計(jì)算、變形計(jì)算。

4、講解彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形內(nèi)力計(jì)算，確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)，強(qiáng)度計(jì)算。

5、講解拉伸(壓縮)和彎曲組合變形的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)分析、強(qiáng)度計(jì)算。

6、講解偏心拉伸(壓縮)組合變形的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)分析、應(yīng)力計(jì)算、強(qiáng)度計(jì)算。

7、簡單介紹截面核心的概念和計(jì)算。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：斜彎曲、彎扭、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）等組合變形形式的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。

難點(diǎn)：

1、解決組合變形問題最關(guān)鍵的一步是將組合變形分解為兩種或兩種以上的基本變形：

斜彎曲——分解為兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的平面彎曲； 彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形——分解為平面彎曲和扭轉(zhuǎn)；

拉伸（壓縮）和彎曲組合變形——分解為軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲（因剪力較小通常忽略不計(jì)）；

偏心拉伸（壓縮）組合變形——單向偏心拉伸（壓縮）時(shí)，分解為軸向拉伸（壓縮）和一個(gè)平面彎曲，雙向偏心拉伸（壓縮）時(shí)，分解為軸向拉伸（壓縮）和兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的平面彎曲。

2、組合變形的強(qiáng)度計(jì)算，可歸納為兩類：

⑴危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)：斜彎曲、拉（壓）彎、偏心拉伸（壓縮）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)只需求出危險(xiǎn)點(diǎn)的最大正應(yīng)力并與材料的許用正應(yīng)力比較即可； ⑵危險(xiǎn)點(diǎn)為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：彎扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，必須考慮強(qiáng)度理論。

四、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。

五、計(jì)劃學(xué)時(shí)

5學(xué)時(shí)

六、講課提綱

(一)斜彎曲

引言： *何謂平面彎曲？

梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的這種彎曲稱為平面彎曲（或者說：梁的撓曲線是形心主慣性平面內(nèi)的一條平面曲線）

**平面彎曲與斜彎曲的比較(a)

(b)

(c)項(xiàng)目 受力特點(diǎn)

平面彎曲

斜彎曲

Fp平面過形心(這里也是彎心)Fp平面與過y軸(形心主 慣性軸)的縱平面重合 中性軸與Fp平面垂直 且在Fp平面內(nèi)。

但不與過y軸的縱平面重合。中性軸與Fp平面不垂直

Fp平面內(nèi)。中性軸特點(diǎn)

變形特點(diǎn) 撓曲平面與中性軸垂直，撓曲平面與中性軸垂直，但偏離***斜彎曲的定義

圖11-1 梁的彎曲平面不與外力作用平面相重合的這種彎曲稱為斜彎曲（或者說，梁的撓曲線不在外力作用平面內(nèi)，通常把這種彎曲稱為斜彎曲）。

1、外力分析

（兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)，該點(diǎn)既是形心，又是彎心），F(xiàn)p通過截面的形心O，垂直桿軸x，但并不作用在形心主軸平面內(nèi)，而與形心主軸有一個(gè)夾角?。為了利用基本變形的應(yīng)力計(jì)算公式，必須將此外力Fp向兩個(gè)形心主慣性平面分解，即

?Fpy?Fp?cos?—在xoy平面內(nèi)產(chǎn)生平面彎曲Fp?

F?F?sin?—在xoz平面內(nèi)產(chǎn)生平面彎曲p?pz2、內(nèi)力分析

將Fp力分解后，任意截面（l-x面）上的內(nèi)力（不考慮FQ）：

MZ?FPy(l?x)My?FPZ(l?x)

3、應(yīng)力分析

任意截面（l-x面）上任意點(diǎn)（C點(diǎn)）的正應(yīng)力?c

?c'MZ?MZy——（壓應(yīng)力）IZ?c''My?MyzIy——（壓應(yīng)力）

MZyMyz——（壓應(yīng)力）

⑴ ?IZIy?c??c'MZ??c''My?正應(yīng)力正、負(fù)號(hào)根據(jù)彎矩矢量引起的變形情況確定

4、中性軸位置 ⑴中性軸方程

上述⑴式尚不能計(jì)算?的值，因?yàn)橹行暂S的位置尚未確定 ∵中性軸上的應(yīng)力=0，∴⑴式可以寫成

MZyMyz??0

⑵ IZIy⑵中性軸是一條通過截面形心的直線

要使⑵式滿足，必須y,z同時(shí)=0，可見中性軸是一條通過形心的直線。⑶中性軸位置的確定

過形心可作無數(shù)垂直線，那么中性軸位置如何確定？令中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為yo、zo。（見圖2），中性軸與Z軸的夾角為?，根據(jù)⑵式寫成下式：

tg??yoz?Iz?My

oIyMZ

圖11-2 從⑶式可以討論以下幾點(diǎn)；即中性軸取決于： ①載荷Fp作用的位置，即?隨?變化

由任意截面（l-x面）上的彎矩矢量可見（見圖3）

My?M?sin? MZ?M?cos?

則⑶式為

tg??IzI?Msin?cos??IzI?tg? yMy

⑶ 6

圖11-3

（l-x截面）

②截面的形狀和尺寸

若 Iz?Iy（過形心的軸都是主軸），則???，中性軸與Fp平面垂直，即為平面彎曲。

若 Iz?Iy，則???，中性軸不與Fp平面垂直，即為斜彎曲。

5、任意截面（l-x面）上的最大正應(yīng)力（見圖1）

?a?MzymaxMyZmax——（拉應(yīng)力）?IzIyMzymaxMyZmax——（壓應(yīng)力）?b??IzIy6、危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算（見圖1）

Amax⑴正應(yīng)力：?B??min??(MzmaxymaxMymaxZmax?)IzIyMzmaxMymax ??(?)

WzWy⑵應(yīng)力狀態(tài)

圖11-4 ⑶強(qiáng)度條件：

?maxminMzmaxMymax??????

⑷ WzWycos?sin?ymax?Zmax)IzIymax或?min?Mmax(?Mmax(cos?sin??)WzWy?MmaxW(cos??zsin?)?[?]

4' WzWy??

副題：斜彎曲梁的變形計(jì)算 仍以矩形截面的懸臂梁為例：

圖11-5(a)

(b)

1、解題思路及計(jì)算公式

將Fp力分解為兩個(gè)在形心主慣性平面的分力Fpy和Fpz后（見圖11-5，b），分別計(jì)算梁在平面彎曲下自由端處的撓度?y和?z：

?y?Fpyl33EIz?Fpcos?l33EIz┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoy平面內(nèi)的撓度

?z?Fpzl33EIy?Fpsin?l33EIy┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈xoz平面內(nèi)的撓度

2、總撓度及其方位

自由端B點(diǎn)的總撓度?是上述兩個(gè)撓度的幾何和，即 ⑴總撓度值計(jì)算：???y2??z2

⑵總撓度方位計(jì)算，即總撓度與y軸的夾角?的計(jì)算。將z軸方向的撓度除以y軸方向的撓度，即可得：

Fpsin?l3tg??3EIy?zsin?IzIz????tg?

(a)3?yFpcos?lcos?IyIy3EIz⑶確定總撓度方位：

∵M(jìn)z?Mcos?

My?Msin? 代入⑶式，即

tg??yoIzMsin?Iz????tg?

(b)zoIyMcos?Iy比較(a)、(b)兩式，可見：

中性軸與z軸的夾角?=總撓度與y軸的夾角?。即：斜彎曲時(shí)，總撓度?發(fā)生垂直于中性軸的平面內(nèi)。

在前面已經(jīng)分析過，在一般情況下，梁的兩個(gè)形心主慣性矩并不相等，即Iz?Iy則???，說明斜彎曲梁的變形（撓曲平面）不發(fā)生在外力作用平面內(nèi)。如果Iz?Iy，則???，即為平面彎曲，例如正方形、圓形等截面。

3、剛度條件 ?l??l

例題11-1 跨度為l=3m的矩形截面木桁條，受均布荷載q=800N/m 作用，木桁條的容許應(yīng)力[σ]=12MPa.容許撓度

1?=，材料的彈性模量200l9 E=9?103MPa,試選擇木桁條的截面尺寸，并作剛度校核。

圖11-6 解：⑴先將q分解為qy?qcos??800?cos26?34'?716.8N/mq?800?sin26?34'?355.2N/m z?qsin?⑵求Mqyl2zmax?8?716.8?32/8?806.4N?mMq zl2ymax?8?355.2?32/8?399.6N?m⑶設(shè)截面的高寬比為hb?1.5。則根據(jù)強(qiáng)度條件

??Mzmax?Mymax?806.4399.66maxW2?2/6?12?10 zWybh/6hb解得72363.75b3?12?106, 72363.75?12?106?b3 ??b?5.44?10?2m?h?1.5?5.44?10?2?8.16?10?2m 取b=60mm，h=90mm ⑷校核剛度

I?bh30.06?0.12?093z12?364.5?10?8m4

Ibh30.09?0.063y?12?12?162?10?8m4

?5?716.8?34?y384?9?109?364.5?10?8?0.023m?23mm

5?355.2?34?z??0.026m?26mm

384?9?109?162?10?8梁跨中的總撓度???y2??z2?232?262?34.7mm

?l?34.71.22.41??? 3000100200200剛度條件不滿足，必須增大截面尺寸，然后再校核剛度。若b=80mm，h=120mm 0.08?0.123Iz??1152?10?8m4

120.12?0.083Iy??512?10?8m4

125?716.8?34?y??7.29mm 9?8384?9?10?1152?105?355.2?34?z??8.13mm

384?9?109?512?10?8??7.292?8.132?10.9mm

?l?34.70.360.721??? 3000100200200滿足剛度條件，截面尺寸應(yīng)取b=80mm，h=120mm

例題11-2 簡支梁由200mm?200mm?20mm的等邊角鋼制成，其截面幾何性質(zhì)為Wzo?322.06?10?6m3，Wyo?146.55?10?6m3（對(duì)于c點(diǎn)），Izo?4554.55?10?8m4，Iyo?1180.04?10?8m4，試?yán)L最大彎矩截面上的正應(yīng)力分布圖。

圖 11-7

解：M4max?25?4?25KN?m M?yomax?MZomax?25?cos45?17.7KN?m

?A??MZomaxWZo?MyomaxIyo?61?10?317.7?10317.7?103?3????61?10 322.06?10?61180.04?10?8??55?106?91.5?106??146.5MPa?B??MZomaxWZo?MyomaxIyo?61?10?3

?55?106?91.5?106??36.5MPa?C?MyomaxWyo17.7?103??120.8MPa 146.55?10?6中性軸位置：

IzoMyo4554.55?10?817.7tg??????3.8597

IyoMZo1180.04?10?817.7??75.47?

(二)拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形 結(jié)構(gòu)受力情況如圖所示：

圖11-8 梁AB上除作用橫向力外，還有軸向拉（壓）力，則桿件將發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形。

1、內(nèi)力分析

圖11-9

2、應(yīng)力分析：桿件內(nèi)有軸力FN、彎矩M產(chǎn)生正應(yīng)力

圖11-10

3、強(qiáng)度條件?Nmax?FA?MmaxW?[?] Z

4、縱橫彎曲的概念

圖11-11 ⑴何謂縱橫彎曲？

Fp、Fp1共同作用，F(xiàn)p1在Fp作用下產(chǎn)生的?上引起的梁的附加彎矩這個(gè)附加彎矩M1又反過來增大梁的撓度，這時(shí)的桿件變形已不是M1?Fp1?，荷載的線性函數(shù)。像這類變形通常稱為縱橫彎曲。

⑵分兩種情況討論：

EI較大，?與截面尺寸比較顯得很小，可不考慮附加彎矩的影響，用疊加法計(jì)算橫截面上的應(yīng)力。

EI較小,?較大，附加彎矩的影響不可能不考慮，內(nèi)力與荷載不是線性函數(shù)關(guān)系。

(三)偏心壓縮

1、偏心壓縮的概念

軸向壓縮

單向偏心壓縮

雙向偏心壓縮

圖11-12

2、外力的簡化與分解

圖11-13

3、內(nèi)力

??Mz?mz?Fp?ey?

∴偏心壓縮=軸向壓縮+彎曲（FQ=0）My?my?Fp?ez??FN?Fp4、應(yīng)力計(jì)算

⑴單向偏心壓縮時(shí)的應(yīng)力計(jì)算

圖11-14 結(jié)論：距荷載Fp較近的邊緣總是壓應(yīng)力。⑵雙向偏心壓縮時(shí)的應(yīng)力計(jì)算

圖11-15 任意點(diǎn)（E）處的應(yīng)力計(jì)算

???FNA?MyI?z?My?y??Fp?Fp?ez?z?Fp?ey?yyIzAIyIz??F

pA(1?A?ez?zI?A?ey?yI)yz∵iyzy?IA , iz?IA ∴ 上式可寫成

???Fpz?zy?yA(1?ei2?eyi2)──────任意點(diǎn)（E）處的應(yīng)力計(jì)算式

z5、中性軸 ⑴中性軸方程 由 ???FpA(1?ez?zey?yi2?yi2)?0

z得中性軸方程

1?ez?zoey?yoi2?0（直線方程）

yi2?z式中：zo，yo代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)。

ez，ey代表偏心力Fp 的作用點(diǎn)位置（坐標(biāo)）。

注意；形心yo?0z0不能滿足中性軸方程，即中性軸不通過形心。o?由此可見，中性軸的特征之一：中性軸是一條不通過形心的直線。⑵中性軸位置的確定

方法是通過計(jì)算中性軸在坐標(biāo)軸上的截距az，ay來確定； 根據(jù)中性軸方程：

yo?0時(shí)，az?zi2yo??當(dāng)ez2 z?yizo?o時(shí)，ayo??ey

圖11-16

ez2由此得到中性軸截距計(jì)算式

iz

ay??ey注意：截距azayaz??iy2與偏心距恒相反。

根據(jù)此計(jì)算式可見，中性軸的特征之二：中性軸與偏心壓力Fp的作用點(diǎn)(ey , ez)分別居于截面形心（坐標(biāo)原點(diǎn)）的兩側(cè)。

中性軸的特征之三：中性軸的位置隨偏心壓力Fp的作用點(diǎn)位置(ey , ez)的改變而變化 ①當(dāng)ey =0,即Fp作用在Z軸上時(shí)，則ay=∞, ∴中性軸與y軸平行（見圖11-17(a)）

圖11-17(a)當(dāng)ez =0,即Fp 在作用在y軸上時(shí)，則az=∞

則中性軸與Z軸平行（見圖11-17(b)）

圖11-17(b)ezaz②偏心矩越小，則中性軸截距越大，即中性軸距形心越遠(yuǎn)（見圖eyay 11-18）。

圖11-18 顯然，當(dāng)中性軸與截面的周界相切或截到截面以外時(shí)，整個(gè)截面上只有壓應(yīng)力而不出現(xiàn)拉應(yīng)力。

③一條中性軸（ay，az）對(duì)應(yīng)一個(gè)偏心壓力的作用點(diǎn)。因此，若已知（ay，az）,則偏心壓力作用點(diǎn)坐標(biāo)就可以確定：

iey??zay2────────────偏心壓力作用點(diǎn)位置計(jì)算式 iyez??az圖11-19 中性軸的特征之四:當(dāng)中性軸繞一定點(diǎn)K（yo,zo）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，偏心壓力的作用點(diǎn)在一條直線上移動(dòng)。（這一特征很重要，是繪制截面核心的主要根據(jù)！）20 因?yàn)椋??ez?zoiy2?ey?yoiz2?0

當(dāng)yo,zo為定值時(shí)，該方程就是ey和ez的直線方程，即為偏心壓力作用點(diǎn)坐標(biāo)的直線方程

圖11-20 應(yīng)用中性軸的這一性質(zhì)即可繪制截面形心。

5、截面核心 ⑴問題的提出

對(duì)于磚、石、混凝土等一類建筑材料，其抗壓能力較強(qiáng)，而抗拉能力很差。當(dāng)這類構(gòu)件承受偏心壓力時(shí)，為避免截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力，該偏心壓力的作用位置必須受到限制。

⑵截面核心的概念

當(dāng)偏心壓力作用在截面的某個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，中性軸才將在截面之外或與截面周邊相切，截面上只是產(chǎn)生壓應(yīng)力，通常把偏心壓力在截面上的這個(gè)作用 范圍稱為截面核心。

由截面核心的定義可知：

①偏心壓力作用在截面核心內(nèi)時(shí)，中性軸不與截面相割。----截面內(nèi)不出現(xiàn)拉應(yīng)力。

圖11-21 ②偏心壓力作用在截面核心外時(shí)，中性軸與截面相割。----截面內(nèi)分為受拉和受壓兩個(gè)區(qū)域。

圖11-22 ③偏心壓力作用在截面核心的周界上，中性軸與截面的周邊相切。----截面內(nèi)不出現(xiàn)拉應(yīng)力。

圖11-23 當(dāng)偏心壓力的作用點(diǎn)在截面核心的周界上移動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的中性軸也隨之改變，但總是與截面的周邊相切。

──利用中性軸與截面周邊相切的這種特定位置反過來求偏心壓力作用點(diǎn)的位置，從而確定截面核心的周界。

⑶截面核心的繪制 ①繪制截面核心的步驟

a.首先應(yīng)該選擇截面的形心主軸oy,oz為坐標(biāo)軸；

b.選擇一組中性軸與截面的周邊相切，并分別求出每一根中性軸在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截矩ayi,azi;c.將ayi,azi分別代入偏心壓力作用點(diǎn)位置計(jì)算式，求出與之對(duì)應(yīng)的偏心壓力作用點(diǎn)坐標(biāo)；

d.連接這一組偏心壓力作用點(diǎn)就得到在截面形心附近的一個(gè)閉合區(qū)域——截面核心。

②繪制截面核心的注意要點(diǎn): a.中性軸與偏心壓力作用點(diǎn)分別居與截面形心的兩側(cè)；

b.中性軸與y軸平行，偏心壓力作用點(diǎn)在z軸上

中性軸與z軸平行，偏心壓力作用點(diǎn)在y軸上

c.中性軸繞一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，偏心壓力作用點(diǎn)在一條直線上夠動(dòng)。

圖11-24 e.截面的周邊有一部分或全部為曲線，則截面核心的周界亦有一部分或全部為曲線。

f.如截面的周邊有“凹入”部分，則中性軸應(yīng)滑過周邊的“凹入”部分，即中性軸不能與截面相割。

圖11-25 ⑷幾種常見截面的截面核心(四)彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形

圖示受力構(gòu)件的應(yīng)力和強(qiáng)度如何計(jì)算？

圖11-26 BC桿問題簡單，容易解決。

1、受力特點(diǎn)

圖11-27 經(jīng)簡化：Fp垂直桿軸（在xoy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲）?m作用在橫截面內(nèi)（在yoz平面內(nèi)發(fā)生扭轉(zhuǎn)）??彎扭組合

2、內(nèi)力分析 作AB桿的內(nèi)力圖

任一截面m-m上的內(nèi)力

圖11-28

3、應(yīng)力狀態(tài)

⑴任一橫截面上的應(yīng)力情況：

圖13-29 ⑵危險(xiǎn)截面上應(yīng)力情況

圖11-30

4、強(qiáng)度條件

對(duì)于彎扭聯(lián)合作用下的機(jī)軸，一般用塑性材料制成，通常用第三、四強(qiáng)度理論，即

?r3??M2?4?n2?[?]─────────────────────⑴ ?r4??M2?3?n2?[?]─────────────────────⑵

∵?M?MM,?n?n WWn又∵圓截面的抗扭截面系是抗彎截面系數(shù)的二倍，Wn=2W

?r3?M2?MnW2?[?]─────────────────────⑶

2?r4?M2?0.75MnW?[?] ───────────────────⑷

運(yùn)用上述兩個(gè)公式時(shí)請(qǐng)注意: ⑴對(duì)于⑶、⑷式，只是用與彎扭組合變形圓軸，其它截面只能用⑴、⑵。⑵若桿件受拉伸+彎曲+扭轉(zhuǎn)，只能用⑴、⑵式 ⑶實(shí)際問題中，圓截面桿往往在互相垂直的兩個(gè)平面內(nèi)同時(shí)存在彎矩MZ,My。則M?Mz?My，代入⑶、⑷式即可

例題11-3 一鋼制圓軸上裝有兩膠帶輪A、B,兩輪的直徑DA?DB?1m,兩輪自重P?5KN，膠帶的張力大小和方向如圖所示。設(shè)圓軸材料的[σ]=80MPa.試按第三強(qiáng)度理論求軸所需要的直徑d=？

圖11-31 解：

1、作軸的計(jì)算簡圖（受力圖）

2、扭矩圖

3、彎矩圖

（水平平面內(nèi)）（xoz平面）

（垂直平面內(nèi)）（xoy平面內(nèi)）

圖11-32

4、計(jì)算B、C截面處的合成彎矩；

MB??Mz?2??M2y???1.05?2??2.25?2?2.49KN?mMC??2.1?2??1.5?2?2.58KN?m

5、確定Mmax截面

?MC?MB，Mmax?MC

6、確定d=? 按第三強(qiáng)度理論：?MC?2??Mn?2W?[?]

代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)：

?2.58?103?2??1.5?103?20.1d3?80?106

由此得所需的直徑為d=72mm。

(五)組合變形的一般情況

對(duì)于一些受到復(fù)雜外力（空間力系）作用的桿件，其危險(xiǎn)截面上最多可能出現(xiàn)六個(gè)內(nèi)力分量

圖11-33 FQ影響較小，一般略去

因此，只要計(jì)算出內(nèi)力FN、Mn、My??M就可進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。Mz?例題11-4 已知鋼圓桿A?80?10?4m2，W?100?10?6m3，Wn?200?10?6m3，[?]?134MPa，試校核此桿強(qiáng)度

圖11-34 解：

1、固端截面上有哪些內(nèi)力？

圖11-35

2、危險(xiǎn)截面在何處？（作內(nèi)力圖分析）、該處有哪些內(nèi)力？ 危險(xiǎn)截面在距固端1m處，該處的內(nèi)力有：FN?20KN，Mn?4KN?m，My?8KN?m22?M?My?Mz?12.8N

My?10KN?m

圖11-36

3、危險(xiǎn)點(diǎn)位置及應(yīng)力單元體

圖11-37 ?FNMAW?20?10380?10?4?12.8?103x??N??M??100?10?6?2.5?106?128?106?130.5MPa?Mn4?103x?W?200?10?6?20MPa

n4、強(qiáng)度校核：

?r3??2x?4?2x?130.52?4?202?136.5MPa?[?]?134MPa

?2r4??2x?3?x?130.52?3?202?135MPa?[?]

夠不夠？

136.5?134134?100%?1.87%?5% 仍然認(rèn)為強(qiáng)度滿足要求。

第二篇：第六章彎曲內(nèi)力(講稿)材料力學(xué)教案(顧志榮)

第六章 彎曲內(nèi)力

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

1、教學(xué)目標(biāo)

⑴掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念； ⑵熟練掌握用截面法求彎曲內(nèi)力；

⑶熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖； ⑷利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖；⑸掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

2、教學(xué)內(nèi)容

⑴平面彎曲等基本概念； ⑵截面法及簡便方法求彎曲內(nèi)力；

⑶剪力方程和彎矩方程、繪制剪力圖和彎矩圖；

⑷用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖； ⑸疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

1、平面彎曲的概念；

2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)規(guī)則；

3、剪力圖和彎矩圖；

4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系；

5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。

四、建議學(xué)時(shí) 7學(xué)時(shí)

五、實(shí)施學(xué)時(shí)

六、講課提綱

1、平面彎曲的概念及梁的種類 ⑴平面彎曲的概念

簡單回顧 軸向拉、壓：

圖6-1 受力：Fp作用在橫截面上，作用線與桿軸線重合。

變形；沿軸線方向的伸長或縮短。

剪切：

圖6-2 受力：Fp作用在桿的兩側(cè)面上，作用線⊥軸線。

變形：兩相鄰截面（力作用部位，二力之間）發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。

扭轉(zhuǎn)：

圖6-3

受力：T作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)（橫截面內(nèi)）。變形：相鄰截面發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

彎曲：討論桿的彎曲暫時(shí)限制在如下的范圍；

①桿的橫截面至少有一根對(duì)稱軸（一個(gè)對(duì)稱面）

圖6-4 ②載荷作用在對(duì)稱平面內(nèi)

在此前提下，可討論桿件彎曲的 受力特點(diǎn)：所有外力都作用在通過桿件軸線的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)：

圖6-5

變形特點(diǎn)：桿件軸線在載荷作用平面內(nèi)彎成一條曲線。受力、變形具有上述特點(diǎn)的彎曲稱為平面彎曲。

⑵何謂梁？

凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。

⑶梁的種類： ①簡支梁

圖6-6 ②懸臂梁

圖6-7

③外伸梁

圖6-8 ④多跨靜定梁

圖6-9 ⑤超靜定梁

圖6-10

2、梁的內(nèi)力及其求法 ⑴梁的內(nèi)力—剪力與彎矩 ①確定約束反力

圖6-11 ②內(nèi)力分析

用截面法沿m-m截面截開（任取一段）

圖6-12 按平衡的概念標(biāo)上FQ,M。

FQ--與橫截面相切—剪力

M—內(nèi)力偶矩—彎矩

③內(nèi)力值的確定 用靜力平衡條件：?Fy?0 FA?FQ?0 得 FQ?FA

?Mo?0 FA?a?M?0 得 M?FA?a

（O--截面形心）

⑵剪力、彎矩的正、負(fù)號(hào)規(guī)定：

剪力：當(dāng)截面上的FQ使該截面鄰近微段有做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)為正，反之為負(fù)。

圖6-13 彎矩：當(dāng)截面上的彎矩使該截面的鄰近微段下部受拉，上部受壓為正（即凹向上時(shí)為正），反之為負(fù)。

圖6-14 ⑶求指定截面上的剪力和彎矩

圖6-15 求圖示梁截面 A、C的內(nèi)力： 解：①求反力： FA?5kN，F(xiàn)B?4kN

校核：?Fy?0 Fp?q?6?FA?FB?0

3?1?6?5?4?0(無誤)②求指定截面上的內(nèi)力： 截面A左（不截到FA）：

?Fy?0 Fp?FQA左?0

FQA左??FP??3kN

（使該段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)）?MO?0

Fp?2?MA左?0

圖6-16 MA左??3?2??6kN?m

（上拉下壓）

截面A右（截到FA）：

?y?0

?Fp?FQA左?FA?0 F?5?3?2kN

圖6-17 截面C左（不截到M1）：

圖6-18 截面C右（截到M1）：

圖6-19

QA左?MO?0

Fp?2?MA右?0

MA右??3?2??6kN?m

?Fy?0

FA?FP?q?2?FQC左?0

FQC左?5?3?2?0

?MO?0

Fp?4?FA?2?q?2?1?MC左?0

MC左??3?4?5?2?1?2?1 ??4kN?m

?Fy?0

FA?FP?q?2?FQC右?0

FQC右?5?3?2?0

?MO?0

Fp?4?FA?2?q?2?1?M1?MC右?0MC右??3?4?5?2?1?2?1?2

??6kN?m ⑷小結(jié)

基本規(guī)律 ①求指定截面上的內(nèi)力時(shí)，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計(jì)算結(jié)果一致（方向、轉(zhuǎn)向相反）。一般取外力比較簡單的一段進(jìn)行分析。

②在解題時(shí)，一般在需要內(nèi)力的截面上把內(nèi)力（FQ、M）假設(shè)為正號(hào)。最后計(jì)算結(jié)果是正，則表示假設(shè)的內(nèi)力方向（轉(zhuǎn)向）是正確的，解得的FQ、M即為正的剪力和彎矩。若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負(fù)的，其方向（轉(zhuǎn)向）應(yīng)與所假設(shè)的相反（但不必再把脫離體圖上假設(shè)的內(nèi)力方向改過來）。

③梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時(shí)，在此段梁上所有向上的外力會(huì)使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的剪力，而所有向下的外力會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的剪力。

④梁內(nèi)任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對(duì)于這個(gè)截面形心的力矩的代數(shù)和。若考慮左段為脫離體時(shí)，在此段梁上所有向上的力使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的彎矩，而所有向下的力會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的彎矩。

另外，若考慮左段梁為脫離體時(shí)，在此段梁上所有順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶會(huì)使該截面上產(chǎn)生正號(hào)的彎矩，而所有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶會(huì)使該截面上產(chǎn)生負(fù)號(hào)的彎矩。

3、剪力圖和彎矩圖

為了知道FQ、M沿梁軸線的變化規(guī)律，只知道指定截面上的FQ、M是不夠的，并能找到FQmax、Mmax的值及其所在截面，以便對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度，剛度計(jì)算，我們必須作梁的剪力圖和彎矩圖。

⑴剪力方程和彎矩方程

梁內(nèi)各截面上的FQ、M一般隨橫截面的位臵不同而變化，橫截面位臵若用沿梁軸線的坐標(biāo) x來表示，則梁內(nèi)各橫截面上的FQ、M都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即

FQ?FQ(x)剪力方程

M?M(x)彎矩方程

在建立 F Q(x)、M(x)時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端。

⑵剪力圖和彎矩圖 根據(jù)FQ(x)、M(x)，我們可方便地將FQ、M沿梁軸線的變化情況形象地表現(xiàn)出來，其方法是

橫坐標(biāo)x---橫截面位臵

縱坐標(biāo)F或M---按比例表示梁的內(nèi)力

Q?FQ、?M?FQ畫在橫坐標(biāo)的上邊、?M畫在橫坐標(biāo)的下邊

⑶剪力圖、彎矩圖的特點(diǎn)：（舉例說明）例題6-1：

圖6-20 解：⑴求約束反力

整體平衡，求出約束反力：

FFPFPA?l；FB?l 注意；約束反力的校核

⑵分段列FQ(x)、M(x)

注意：三定 ①定坐標(biāo)原點(diǎn)及正向 原點(diǎn)：一般設(shè)在梁的左端； 正向：自左向右為正向。②定方程區(qū)間 即找出分段點(diǎn)；

分段的原則：載荷有突變之處即為分段點(diǎn)。③定內(nèi)力正負(fù)號(hào)

截面上總設(shè)正號(hào)的剪力、彎矩。三定后即可建立FQ(x)、M(x)

列FQ(x1)、M(x1)：

AC段：（根據(jù) 圖b列方程）

FQ(xPb1)?FA?Fl（0

FQ(x2)?FA?FP?FPbl?FP（a

?FPbl?x2?FP(x2?a)（a≤x2≤l）⑶繪FQ、M圖

據(jù)式⑴、⑶作FQ圖，如圖（d）所示。

⑴

⑵

⑶

⑷

據(jù)式⑵、⑷作M 圖，如圖（e）所示。⑷確定FQmax、Mmax

?FPal 據(jù)FQ圖可見，當(dāng)a>b時(shí)，F(xiàn)Q據(jù)M圖可見，c截面處有，Mmax

max?FPablFPl4若a=b=l/2,則Mmax?

特點(diǎn)之一： 在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變（不連續(xù)），突變的絕對(duì)值等于該集中力的大??；FPbl??FPal?FPl(a?b)?FP；圖有一轉(zhuǎn)折點(diǎn)，形成尖角。（M

圖的切線斜率有突然變化）

例題6-2

圖6-21 AC段：

FQ(x1)?FA?MOl（0

OM(x2)?FA?x2?M

?MlO?x2?M（a

O若a>b,則集中力偶左側(cè)截面上有最大彎矩

M?MOalmax

特點(diǎn)之二： 在集中力偶作用下，彎矩圖發(fā)生突變（不連續(xù)），突變的絕對(duì)值等于該集中力偶矩的大??；

MOal??MObl?MO；但剪力圖沒有突變。（FQ圖連續(xù)，并不改變斜率）。例題6-3

圖6-22 FQ(x)?FA?qx?ql22?qx（0

?qx22 M(x)?FA?x?qx2?qlx2（0≤x≤l）⑵

由FQ、M圖可見： 支座處：FQmax?ql2

2FQ=0處：M特點(diǎn)之三： max?ql8

從例題8-1（集中力）、例題8-2（集中力偶）、例題8-3（均布荷載）可以看到：在梁端的鉸支座上，剪力等于該支座的約束反力。如果在端點(diǎn)鉸支座上沒有集中力偶的作用，則鉸支座處的彎矩等于零。例題6-4

圖6-23 FQ(x)??qx（0≤x≤l）⑴ M(x)??qx2（0≤x≤l）⑵

max在固定端處：FQM?qlql2

2max?

特點(diǎn)之四： 在梁的外伸自由端點(diǎn)處，如果沒有集中力偶的作用，則端點(diǎn)處的彎矩等于零；如果沒有集中力的作用，則剪力等于零。特點(diǎn)之五： 在固定端處，剪力和彎矩分別等于該支座處的支座反力和約束力偶矩。

特點(diǎn)之六： 最大剪力、最大彎矩及其位臵。

最大剪力發(fā)生位臵：梁的支座處及集中力作用處有FQmax，例題6-3及6-4 最大彎矩一般發(fā)生在下列部位； ①集中力作用的截面處 例題6-1 ②集中力偶作用的截面處 例題6-2 ③FQ=0處，M有極值 例題6-3 ④懸臂梁的固定端處 例題6-4（外伸梁的支座處往往也有Mmax）例題6-5

圖6-24 特點(diǎn)之七： 在梁的中間鉸上如果沒有集中力偶作用，則中間鉸處彎矩必等于零，而剪力圖在此截面處不發(fā)生突變。

例題6-6 再分析例題6-1；集中作用在l/2處

圖6-26 再分析例題6-3：簡支梁承受均布載荷

圖6-27 特點(diǎn)之八： 對(duì)稱結(jié)構(gòu)、對(duì)稱載荷，F(xiàn)Q圖反對(duì)稱，M圖對(duì)稱，據(jù)此特點(diǎn)，下面這道題即可方便作出 FQ、M圖（只要列出一半的剪力、彎矩方程即可作圖）

圖6-25 q(x)10x?2

q(x)?5x

AC段：F1Q(x)?FA?2?5x?x?10?2.5x2（0

⑴

⑵ 例題6-7

圖6-26 特點(diǎn)之九： 對(duì)稱結(jié)構(gòu)，反對(duì)稱載荷，F(xiàn)Q圖對(duì)稱，M圖反對(duì)稱。

特點(diǎn)之十： 梁中正、負(fù)彎矩的分界點(diǎn)稱為反彎點(diǎn)，反彎點(diǎn)處 M=0，構(gòu)件設(shè)計(jì)中確定反彎點(diǎn)的位臵具有實(shí)際意義。

4、q(x)、FQ(x)、M(x)之間的微分和積分關(guān)系。

留心例題6-1到例題6-4；特別是例題6-

3、例題6-4，可以發(fā)現(xiàn)：dM(x)dx?FQ(x)，dFQ(x)dx?q(x)。是否普遍存在著這樣的關(guān)系？

⑴q(x)、F

Q(x)、M(x)之間的微分關(guān)系。

圖6-27 取 dx一段討論，任設(shè)F

?Fy?0Q(x)、M(x)均為正值。

FQ(x)?q(x)dx?[FQ(x)?dFQ(x)]?0

dFQ(x)dx?q(x)⑴

Q式⑴的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力FdFQ(x)dx(x)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)，等于該截面處作用在梁上的分布荷載集度q(x)。

式⑴的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度q(x)，就是剪力圖上相 關(guān)點(diǎn)處的斜率。

?MO?0

?M(x)?FQ(x)dx?q(x)dx?dx2?M(x)?dM(x)?0

略去高階微量

dM(x)dx?FQ(x)⑵

dM(x)dx式⑵的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩M(x)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面上的剪力FQ，(x)。

(x)，就是彎矩圖上相關(guān)點(diǎn)處的式⑵的幾何意義：任一橫截面處的剪力F斜率。

對(duì)⑵式的兩邊求導(dǎo)，則

dM(x)dx22Q?dFQ(x)dx?q(x)⑶

式⑶的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩M(x)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)dM(x)dx22，等于同一截面處作用在梁上的分布荷載集度q(x)

數(shù)學(xué)上：二階導(dǎo)數(shù)可用來判定曲線的凹向，因此：

式⑶的幾何意義：可以根據(jù) M(x)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)來定出M(x)圖的凹向。

⑵根據(jù)q(x)、F①若q(x)=0 ∵dFQ(x)dxQQ(x)、M(x)之間的微分關(guān)系所得出的一些規(guī)律：

=q(x)=0，即FQ(x)=常數(shù)

∴F圖為一水平直線； 又∵dM(x)dx?FQ(x)=常數(shù)，即

M圖的斜率為一常數(shù)

∴ M圖為一斜直線。并且 當(dāng)FQ?0?0時(shí)，M圖為上升的斜直線（/）； 時(shí)，M圖為下降的斜直線（）.當(dāng)FQ②若q(x)?0（即分布荷載向下）∵dFQ(x)dxQ=q<0 ∴F圖為一下降的斜直線（）又∵dM(x)dx?FQ?0

∴ M圖下降。再∵dM(x)dx22?q?0

∴ M圖為一凹向下的曲線（∩）③若q(x)?0（即分布荷載向上）∵dFQ(x)dxQ=q?0 ∴F圖為一上升的斜直線（/）又∵dM(x)dx?FQ?0

∴ M圖上增。再∵dM(x)dx22?q?0

∴ M圖為一凹向上的曲線（∪）④若dM(x)dx?FQ(x)?0（即懸臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶

M,而梁上又無q、FP作用）則 M圖的斜率為零，M圖為一水平直線。若dM(x)dx?FQ?0，M圖在該處的斜率為零時(shí)，則在此截面上M 為一極值。⑤若dM(x)dx??FQ??FQ 或

dM(x)dxQ??FQ??FQ

（即分段列內(nèi)力方程的分段點(diǎn)，F(xiàn)變號(hào)）

則M在該處必有極值。當(dāng)?F當(dāng)?F ⑶q(x)、F∵dM(x)dxQQ??FQ??FQ時(shí)，M有極大值； 時(shí)，M有極小值。

Q(x)、M(x)之間的積分關(guān)系

?q(x)

∴FQ(x)??q(x)dx

若梁上任有兩點(diǎn)：a和b，則

?FQ?FQ?FQb??aq(x)dxab

幾何意義；任何兩截面（b，a）上的剪力之差，等于此兩截面間梁段上的荷載圖的面積；

又∵dM(x)dx?q(x)

∴M(x)??FQ(x)dxba

?M?Mb?M??aFQ(x)dx幾何意義；任何兩截面上的彎矩之差，等于此兩截面間的剪力圖的面積。⑷q(x)、F Q(x)、M(x)之間的微分關(guān)系和積分關(guān)系的應(yīng)用 作內(nèi)力圖既快又正確的三句話：

抓住“關(guān)系”； 注意突變； 定點(diǎn)控制。

利用q(x)、FQ(x)、M(x)間的微分關(guān)系和積分關(guān)系作FQ、M圖

例題6-8

圖6-28 例題6-9

例題6-10

圖6-29

圖6-30 例題6-11

圖6-31

5、用疊加法繪制梁的剪力圖和彎矩圖 ⑴疊加法的基本思想

當(dāng)梁在外力作用下的變形微小時(shí)，梁上若干外力對(duì)某一截面引起的內(nèi)力等于各個(gè)力單獨(dú)作用下對(duì)該截面引起的內(nèi)力的代數(shù)和。

⑵疊加法①同號(hào)圖形的疊加

圖6-32 ②異號(hào)圖形的疊加

圖6-33 疊加法的三句話： ①截面相對(duì)應(yīng)，同號(hào)只管加。

②異號(hào)重疊處，不用去管它；抓住控制面，一一相減加。

③圖形必須歸整，反彎點(diǎn)要對(duì)準(zhǔn)；控制截面須對(duì)應(yīng)，正負(fù)一定要分清。

第三篇：第十三章動(dòng)荷載(講稿)材料力學(xué)教案(顧志榮)

第十五章 動(dòng)荷載

一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容

1、教學(xué)目標(biāo)

通過本章學(xué)習(xí)，喚起學(xué)生對(duì)動(dòng)荷載問題的注意。

讓學(xué)生知道動(dòng)荷載問題的兩個(gè)方面，目前應(yīng)當(dāng)掌握在較簡單的工程問題中，動(dòng)荷載引起桿件的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的計(jì)算。對(duì)于材料在動(dòng)荷載下的力學(xué)行為，以后根據(jù)工作的需要再進(jìn)一步補(bǔ)充學(xué)習(xí)。

讓學(xué)生掌握動(dòng)荷載問題的基本知識(shí)，如桿件作等加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算，作等速旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力分析，簡單的自由落體沖擊和水平?jīng)_擊，以及循環(huán)應(yīng)力問題的有關(guān)概念。

能夠深刻認(rèn)識(shí)動(dòng)荷系數(shù)概念，并能夠熟練地進(jìn)行桿件作等加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算，作等速旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力分析，完成簡單的自由落體沖擊和水平?jīng)_擊的計(jì)算。

2、教學(xué)內(nèi)容

介紹桿件作等加速運(yùn)動(dòng)拉伸、壓縮及彎曲時(shí)的應(yīng)力計(jì)算。介紹等角速度旋轉(zhuǎn)的動(dòng)荷應(yīng)力計(jì)算。

講解簡單沖擊時(shí)，能量守恒的基本方程，分別導(dǎo)出自由落體沖擊和水平?jīng)_擊時(shí)的動(dòng)荷系數(shù)公式，及桿件經(jīng)受沖擊時(shí)的應(yīng)力計(jì)算公式。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：建立三類動(dòng)荷載概念。

掌握桿件作等加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算。作等速旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力分析。

簡單的自由落體沖擊和水平?jīng)_擊問題的計(jì)算 難點(diǎn)：對(duì)動(dòng)靜法和動(dòng)荷系數(shù)的理解。

對(duì)于動(dòng)荷載問題與靜荷載問題的聯(lián)系與區(qū)別。在簡單沖擊問題中，被沖擊桿件沖擊點(diǎn)的相應(yīng)靜荷位移的理解和計(jì)算，特別是水平?jīng)_擊時(shí)的靜荷位移的理解和計(jì)算。

三、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。

四、建議學(xué)時(shí) 3學(xué)時(shí)

五、實(shí)施學(xué)時(shí)

六、講課提綱

(一)概念（動(dòng)荷載的概念）

1、靜荷載：

作用在構(gòu)件上的荷載由零開始，逐漸（平緩、慢慢）地增長到最終值，以致在加載過程中，構(gòu)件各點(diǎn)的加速度很小，可以不計(jì)；荷載加到最終值保持不變或變動(dòng)的不顯著的荷載，稱之為靜荷載。

2、動(dòng)荷載：

如果構(gòu)件本身處于加速度運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（高層、超高層建筑施工時(shí)起吊重物；這些建筑物中運(yùn)行的電梯—慣性力問題）；或者靜止的構(gòu)件承受處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體作用（落錘打樁，錘頭猛烈沖擊砼樁頂—沖擊問題）；地震波引起建筑物晃動(dòng)(構(gòu)件在振動(dòng)狀態(tài)下工作—振動(dòng)問題)；機(jī)械零件在周期性變化的荷載下工作(交變應(yīng)力疲勞問題)，則構(gòu)件受到荷載就是動(dòng)荷載。

3、動(dòng)荷載與靜荷載的區(qū)別

靜荷載：構(gòu)件在靜止?fàn)顟B(tài)下承受靜荷載作用。由零開始，逐漸緩慢加載，加到終值后變化不大、加速度很小，可以略去不計(jì)。動(dòng)荷載：在動(dòng)荷載作用下，構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)均有速度改變，即發(fā)生了加速度，且這樣的加速度不可忽略。

區(qū)別：加速度可忽略與不可忽略。

4、虎克定律的適用問題

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，只要應(yīng)力不超過比例極限，虎克定律仍適用于動(dòng)荷載的應(yīng)力、應(yīng)變的計(jì)算，彈性模量與靜荷載的數(shù)值相同。

5、本章討論的問題

⑴慣性力問題：構(gòu)件在加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算；構(gòu)件在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)應(yīng)力計(jì)算（構(gòu)件上各點(diǎn)有向心加速度）。

⑵沖擊問題：垂直沖擊；水平?jīng)_擊。(二)慣性力問題

1、慣性力的大小與方向

對(duì)于加速度為a的質(zhì)點(diǎn)，慣性力等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與其加速度a的乘積，即慣性力大小。

FI?m?a ─────────────(a)若構(gòu)件的重量為G,重力加速度為g，則質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量

m?G ─────────────(b)g 則質(zhì)點(diǎn)的慣性力

FI?G?a

─────────────(c)g慣性力的方向與加速度a的方向相反。

2、動(dòng)靜法——達(dá)朗貝爾原理。

達(dá)朗貝爾原理指出，對(duì)作加速度的質(zhì)點(diǎn)系，若假想地在每一質(zhì)點(diǎn)上加上慣性力，則質(zhì)點(diǎn)系上的原力系與慣性力系組成平衡力系。這樣，就可把動(dòng)力學(xué)問題在形式上作為靜力學(xué)問題來處理。這就是動(dòng)靜法。

3、構(gòu)件在加速度直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算。⑴動(dòng)荷載系數(shù)Kd

例如有一繩索提升重量為G的重物（如下圖）。

圖13-1 則?Fy?0

FNd?G?Gg?a?0 FGaNd?G?g?a?G(1?g)所以，繩索中出現(xiàn)的動(dòng)應(yīng)力為

?FNdd?A?GA(1?ag)???ast(1g)────────────⑴式中的?Gst?A是靜力平衡時(shí)繩索中的靜應(yīng)力。若令⑴式括號(hào)內(nèi)1?ag為Kd，那么⑴式即為

?d?kd??st────────────────────⑵

式中的kd稱為動(dòng)荷系數(shù)

⑵式表明：繩索中的動(dòng)應(yīng)力?d=靜應(yīng)力?st乘以動(dòng)荷載系數(shù)kd。同理：繩索中的靜伸長?lst乘以動(dòng)荷載系數(shù)kd=繩索的動(dòng)伸長?ld，即

?ld?Kd??lst────────────────────⑶

同理：

?d?Kd??st─────────────────────⑷

⑵勻加速直線運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的應(yīng)力計(jì)算

一直桿AB以勻加速a向上提升（見下圖）；設(shè)桿長為l,橫截面積為A，材料的容重為r，求桿內(nèi)的動(dòng)應(yīng)力?d??

圖13-2 解：①用截面法截出桿的下段 ②設(shè)截面上的軸向力為FNd ③該段在FrAxNd、自重rAx和慣性力g?a作用下形成平衡力系（圖b）由靜力平衡條件得：

FrAxNd?rAx?g?a?rAx(1?ag)

若用?FNdd?A代表橫截面上的正應(yīng)力，則 ?ad?rx(1?g)──────────────────(A)∵靜應(yīng)力?ast?rAx/A?rx ∴?d??st(1?g)?Kd?st

由(A)式可知，桿內(nèi)的正應(yīng)力沿桿長按直線規(guī)律變化，見圖c

4、構(gòu)件在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力計(jì)算

當(dāng)構(gòu)件作定點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，構(gòu)件上各點(diǎn)有向心加速度

an?R?2

式中的R為質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離（圓環(huán)的平均半徑）圖13-3 離心慣性力沿圓環(huán)中心線均勻分布，其集度為

qd?ArArArD2?an??R?2??? ggg2則環(huán)向應(yīng)力

ArD2????DqoDrD2g2???????2─────────────⑴

2A2A4g∵線速度V?D? 2∴環(huán)向應(yīng)力計(jì)算式也可寫成： ???r??2───────────⑵ grD22其強(qiáng)度條件：??????[?]────────────────⑶

4g???r2???[?]─────────────────⑷ g由⑶式可求轉(zhuǎn)速，∵??2?n，則⑶式可寫成

n??1[?]?g───────────────⑸ ?2??Dr由⑷式可求容許線速度

[?]?[?]?g──────────────────⑹ r

例題13-1 在AB軸的B端有一個(gè)質(zhì)量很大的飛輪（如下圖）。與飛輪相比，軸的質(zhì)量可忽略不計(jì)。軸的另一端A裝有剎車離合器。飛輪的轉(zhuǎn)速為n?100r/min，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ix?0.5KN?M?S2。軸的直徑d?100mm，剎車時(shí)使軸在10秒內(nèi)均勻減速停止。求軸內(nèi)最大動(dòng)應(yīng)力。

圖13-4 解：⑴飛輪與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為?o?2?n??10010???rad/s 60303⑵當(dāng)飛輪與軸同時(shí)做均勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其角加速度為

???1??ot0??10?3???rad/s2(其中負(fù)號(hào)表示?與?的方向相反，如上圖)o103⑶按動(dòng)靜法，在飛機(jī)上加上方向與?相反的慣性力偶矩Md，且

?0.5?Md??Ix???0.5(?)?KN?m

33⑷設(shè)作用于軸上的摩擦力矩為Mt，由平衡方程?Mx?0，設(shè)：

Mt?Md?0.5?KN?m 3⑸AB軸由于摩擦力矩Mt和慣性力偶矩Md引起扭轉(zhuǎn)變形，橫截面上的扭矩為MT，則

MT?Md?0.5?KM?m 3⑹橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為

?max?Mr??2.67?106Pa?2.67MPa ?Wp(100?10?3)2160.5??1033

??40/s，例題13-2 圖示結(jié)構(gòu)中的軸AB及桿CD，其直徑均為d=80mm，材料的[?]?70MPa，鋼的容重??76.4KN/m3，試校核AB、CD軸的強(qiáng)度。

解法之一： 解：

1、校核AB軸的強(qiáng)度（AB軸的彎曲是由于CD桿慣性力引起的，因?yàn)镃D桿的向心加速度引起了慣性力）

圖13-5 ⑴CD桿的質(zhì)量：m?GA?r?lg?CDg ⑵CD桿的加速度：a??2?RCD ⑶CD桿引起的慣性力FI；

??0.082?103?0.6FI?m?a?4?76.49.8?402?0.62?11.28KN ⑷AB軸的M?FIl11.28?103?1dmax4?.24?3.38kN?M ⑸AB軸的?Mdmax3.38?d?W?103??67.3MPa?[?] ?0.083322、校核CD桿的強(qiáng)度（FNd?FI受拉，危險(xiǎn)截面在C）

FNdFI11.28?103?d????2.25MPa?[?] 3??0.08AA4解法之二： 圖13-6 解：沿CD桿軸線單位長度上的慣性力（如圖b所示）為

(?0.082?76.4?103)lCDqd(x)?4?402?x?614?103xN/m

lCD?當(dāng)x?0時(shí)，qd?0

當(dāng)x?0.04m時(shí)（c截面處），qd?24.6?103N/m 當(dāng)x?0.6m時(shí)，qd?368.5?103N/m CD桿危險(xiǎn)面C上軸力和正應(yīng)力分別為

1?FNdmax?[(24.6?103?368.5?103)?(0.6?0.04)]?[?0.082?(0.6?0.04)?76.4?103] 24?110.1?0.2?110.3KN?dmaxFNmax110.3?103???21.9MPa

?A?0.0824(三)沖擊荷載

落錘打樁、汽錘鍛打鋼坯、沖床沖壓零件，轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪突然制動(dòng)、車輛緊急剎車都屬于沖擊荷載問題。

1、垂直沖擊（沖擊物為自由落體）

圖13-6 設(shè)有一重物Q從高處為H處自由落下（如圖），沖擊到被沖擊物體的頂面上，則其動(dòng)荷載系數(shù)Kd?1?1?式中的?st??l?2H?st

FNlQl? ─────構(gòu)件在靜荷載作用時(shí)的靜位移。EAEA⑴若H=0時(shí)（即突加荷載——荷載由零突然加到Q值），則Kd?2 ?d?Kd?st?2?st ?d?Kd?st?2?st

即突加荷載作用下，構(gòu)件的應(yīng)力與變形比靜荷載（由0?逐漸???Q值）時(shí)要大一倍。

⑵若2H?st?10時(shí)，則

Kd?1?2H?st

⑶若2H?st?100時(shí) 2HKd??st

2H⑷若已知在沖擊開始時(shí)沖擊物自己落體的速度V，則Kd?1??st中的高度可用V2H2g來代替，即K1?V2d?1?g?

st2、水平?jīng)_擊

水平?jīng)_擊時(shí)（圖a、b所示）的動(dòng)荷系數(shù)

KVd?g?─────────────────⑺ st

圖13-7

3、沖擊荷載作用下的動(dòng)位移、動(dòng)應(yīng)變、動(dòng)應(yīng)力

?d?Kd?st ?d?Kd?st ?d?Kd?st

4、受沖擊時(shí)構(gòu)件的強(qiáng)度條件：

?d?Kd?st?[?]

例題13-3 試校核圖示梁在承受水平?jīng)_擊荷載作用時(shí)的強(qiáng)度。已知，沖擊物的重量Q=500KN,沖擊荷載Q與彈簧接觸時(shí)的水平速度V?0.35m/s；彈簧的剛度k?100?106N/m，沖擊荷載及彈簧作用在梁的中點(diǎn)處，梁的抗彎截面系數(shù)W?10?10?3m3，截面對(duì)中性軸的慣性矩 I?5?10?3m4，鋼的E?200GPa，[?]?160MPa。

圖13-7 解：

1、當(dāng)Q?500N以靜載方式從水平方向作用在彈簧、梁的跨中時(shí)，跨中截面的水平位移為

Ql3Q?st??

48EIK 500?103?83500?103?0.00533?0.005?0.01m ??48?200?109?5?10?3100?1062、動(dòng)荷載系數(shù)Kd

Kd?V0.350.35???1.12

0.313g?st9.8?0.013、最大彎矩(Mmax)d

500?103?8(Mmax)d?kd(Mmax)st?1.12??1120?103N?m

44、強(qiáng)度校核

(Mmax)d1120?103(?max)d???112MPa?[?] ?3W10?105、結(jié)論：強(qiáng)度夠

例題13-4 圖a所示結(jié)構(gòu)，梁長l?2m，其寬度b?75mm。高h(yuǎn)?25mm；材料的E?200GPa；彈簧的剛度K?10kN/m。今有重量Q?250N的重物從高度H?50mm處自由下落，試求被沖擊時(shí)梁內(nèi)的最大正應(yīng)力。若將彈簧置于梁的上邊（圖b），則受沖擊時(shí)梁內(nèi)的最大正應(yīng)力又為何值？

圖13-8 解：第一種情況（圖a）

由彈簧支承B處的變形協(xié)調(diào)方程：

（Q?F3B)l48EI?FBK 解出FQB??250?19.61?48EI48?200?109?1N ?75?253?10?12kl31?1210?103?23B截面的靜位移?F19.6st?BK?10?103?1.96?10?3m 動(dòng)荷載系數(shù)Kd?1?1?2H?2?5?10?3??1?1st1.96?10?3?8.21 梁內(nèi)的最大正應(yīng)力為

1(Q?F)l1B(250?19.6)?2?d?Kd??st?Kd?4W?8.21?41?121MPa

?75?25?10?96第二種情況（圖b）

重物Q以靜載方式作用于彈簧頂部時(shí)的靜位移為

?Ql3Q250?23250st?48EI?K???27.13?10?13m48?200?109?1?75?253?10?1210?10312動(dòng)荷載系數(shù)KH?1?1?2?50?10?3d?1?1?2?st27.13?10?3?3.16

梁內(nèi)的最大正應(yīng)力為

1Ql1?d?Kd??st?Kd?4W?3.16?14?250?2?50.6MPa

?75?252?10?9615

第四篇：第五章平面圖形幾何性質(zhì)(講稿)材料力學(xué)教案(顧志榮)

第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮

材料力學(xué)的研究對(duì)象為桿件，桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。

桿件的承載能力與其橫截面圖形的一些幾何特性有密切的關(guān)系。（小實(shí)驗(yàn)）

研究平面圖形幾何性質(zhì)的方法：化特殊為一般 圖5-27。實(shí)際桿件的橫截面： 抽象為：

特殊 一般

圖5-27

1、靜矩 形心位置（１）靜矩 圖5-28：

圖5-28

微面積dA與Z軸、Y軸間距離的乘積ydA,zdA分別稱為微面積dA對(duì)Z軸、Y軸的靜矩。

整個(gè)截面對(duì)Z軸、Y軸的靜矩可用下式來定義：

（若把A看作力）

ydA?S?定義：截面A對(duì)Z軸：

?ZdA?SAAZ???（４-1）y??截面A對(duì)Y軸：

計(jì)算：①對(duì)（４-1）式直接積分：

②若已知截面的形心位置C，則SZ,Sy可以寫成：

SY?AZc??（４-2）

SZ?AYc?（２）形心的位置：

YC?SZ??A??（４-3）Sy?ZC?A??性質(zhì)：①截面對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必通過形心。②截面對(duì)通過形心的軸的靜矩恒等于零，即： SZC?0;

SYC?0

決定因素：靜矩與截面尺寸、形狀、軸的位置有關(guān)。數(shù)值范圍：可以為正、或負(fù)、或等于零。單位：mm3,cm3,m3（３）組合截面的靜矩：

S?nz??A?iYii?1??? S?ny??AiZi?i?1??即組合截面的整個(gè)圖形對(duì)于某一軸的靜矩，等于各組部分對(duì)于同一軸靜矩代數(shù)和。

（４）組合截面的形心位置：

?n?AyiY?i?c?S?zi?1A??n?A?ii?1????zS?n Ac?y?iZi?i?1?A??n?Ai?i?1??例題5-7 求圖5-29所示截面圖形的形心。（４-4）（4-5）

圖5-29 解：把T形看成為由矩形Ⅰ和Ⅱ組成 ∵y軸是對(duì)稱軸 ∴形心必在y軸上

?① 求SZ'??

AI?80?20?1600mm2 AⅡ=120?20?2400mm2 yc??10mm（到Z′軸）ycⅡ=60+20=80mm ?n則：sz'??AiYii?1?1600?10?2400?80?20800mm3

②求yc＝？

AiYi??s208000?＝＝52mm yc＝z＝i?1n80?20?120?20A?Aii?1n?

2、慣性矩（形心主慣性矩）慣性半徑 極慣性矩

圖5-30 定義：（1）慣性矩

IZ?Iy2y?AdA???（4-6）2??ZdA?A?定義為截面對(duì)z軸,y軸的慣性矩。

（2）形心主慣性矩——若Z軸經(jīng)過截面的形心，并取得最大或最小慣性矩，則該軸稱為形心主慣性軸。截面對(duì)該軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，用Izc，Iyc表示（3）慣性半徑

iy?iz?Iy??A??（4-7）Iz?A??

對(duì)于圓形截面 i=（4）極慣性矩：

Ip???2dA（4-8）

AId? A

4定義為截面對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩?！?2?y2?z

2∴Ip?Iy?Iz 計(jì)算方法：直接積分 例題5-8：慣性矩的計(jì)算

①求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸（即形心軸）y、z的慣性矩？

圖5-31 解：Iz??AydA??y2(bdy)2h2h2by3 ＝32h2bh3＝ ?h122 Iy＝?AZdA＝?Z2(hdZ)

hZ32hb3 ＝＝

3?b122bb2b?2

②三角形 求其IZ??

圖5-32 解：DyyD＝h?h D＝

h?yyh?D

dA＝Dy?dy I2hh?yz??AydA??0y2h?D?dy =Dh312

③圓形（扇形、1／4圓、1／2圓、全圓）（1）扇形 求其IZ??

圖5-33

解：IZ??Ay2dA

dA??d??d? y???sin?

Iz??(?sin?)2???d??d?

AR4=(a?sin?cos?)（A）8

（2）1／4圓 IZ??

圖5-34 解；∵???2

代入（A）式即得 Iz??R416

（3）1／2圓 IZ??

圖5-35 解：∵???，代入式（A）得

Iz??R48

（4）全圓 IZ??

圖5-36

解： ∵??2? 代入（A）式即得 Iz??R44??D464 Ip?Iz?Iy?2Iz??D432

性質(zhì)：（1）同一截面對(duì)不同的坐標(biāo)軸的慣性矩是不相同的。

（2）截面對(duì)任意一對(duì)互相垂直軸的慣性矩之和，恒等于它對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩（∵p2?y2?z2）決定因素：截面形狀、尺寸、軸的位置。

數(shù)值范圍：慣性矩、慣性半徑和極慣性矩的數(shù)值恒為正。

單位：慣性矩、極慣性矩的單位相同、均為：mm4,cm4,m4,慣性半徑：mm,cm,m

3、平行移軸公式

圖5-37 已知：Iz、Iy ；Izc、Iyc yc∥y，Zc∥Z（兩坐標(biāo)軸互相平行）

y?yc?b;Z?Zc?a

求：Iz、Iy ； Izc、Iyc的關(guān)系。解：Iz??Ay2dA =?A(yc?b)2dA??A(yc2?2ycb?b2)dA =?Ayc2dA?2b?AycdA?b2?AdA =Izc?0?b2A?Izc?b2A

由此可見：圖形對(duì)任意軸的慣性矩Iz?圖形對(duì)于與該軸平行的形心軸的慣性矩Izc?圖形面積與兩軸間距離平方的乘積。同理可得：

Iy?Iyc?a2A

平行移軸公式的運(yùn)用：

例題5-9 求圖示圖形的 Izc,Iz2??

圖5-38 解：求Izc

因IZ1?Izc?b2A，即：

Dh3?h?Dh ?Izc????122?3?IzcDh3h2DhDh3???? 1292362（2）求Iz2?? ∵Iz2而應(yīng)該：

Iz2Dh3Dh?Iz1?dA??d2?（錯(cuò)?。?/p>

1222h???Izc??d??A

3??2注意：移軸一定要對(duì)截面形心

第五篇：第十二章壓桿穩(wěn)定(講稿)材料力學(xué)教案(顧志榮)

第十二章 壓 桿 穩(wěn) 定

同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮

一、教學(xué)目標(biāo)

深入理解彈性平衡穩(wěn)定性的概念

熟練應(yīng)用壓桿的臨界力公式，掌握桿端約束對(duì)臨界力的影響 壓桿的分類與臨界應(yīng)力曲線 掌握壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的方法

二、教學(xué)內(nèi)容

穩(wěn)定的概念

兩端鉸支細(xì)長壓桿的歐拉臨界力 桿端約束的影響 臨界應(yīng)力總圖 壓桿穩(wěn)定性計(jì)算

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算 難點(diǎn)：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算

四、教學(xué)方式

采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。

五、計(jì)劃學(xué)時(shí) 3學(xué)時(shí)

六、實(shí)施學(xué)時(shí)

七、講課提綱 ★壓桿穩(wěn)定問題的提出 鋼尺：

(a)(b)(c)圖12-1(a),鋼尺，桿長l?2cm，屬于強(qiáng)度問題

A?1?26?26mm2

?s?240MPa

F6s??s?A?240?10?26?10?6?6240N?624kg

圖14-1(b),鋼尺,桿長l?30cm，按歐拉公式計(jì)算臨界力。?2?110.026?0.0013F?2EI2?10?cr?12(?l)2?（1?0.3)2

??2?2?1011?2.6?10110.09?181N?18.1kg圖14-1(c), 鋼尺,桿長l?1m，按歐拉公式計(jì)算臨界力。F?2?2?1011?2.6?1011cr?（1?1)2?51N?5.1kg

若l?2m，則F?2?2?1011?2.6?1011cr?（1?2)2?12.8N?1.28kg

12-1

圖

(一)穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的概念

1、穩(wěn)定平衡

(a)(b)(c)圖12-2 壓桿在力F的作用下，其軸線與F的作用線重合，這種狀態(tài)稱為壓桿的直線形狀的平衡狀態(tài)，如圖12-2(a)所示。

在圖12-2(a)的基礎(chǔ)上，在橫向施加一個(gè)微小的干擾力，使壓桿脫離原來直線形狀的平衡狀態(tài)，（見圖12-2(b)虛線所示）

從圖12-2(b)上除去橫向干擾力，如果壓桿能恢復(fù)到原有圖12-2(a)的直線形狀的平衡狀態(tài)，則壓桿原來直線形狀的平衡（圖12-2(a)）稱為穩(wěn)定平衡。

2、不穩(wěn)定平衡

見圖12-2(c)，即：在圖12-2(b)上除去干擾力，壓桿不能恢復(fù)到原來圖12-2(a)的直線形狀的平衡狀態(tài)（虛線位置），即在彎曲狀態(tài)下保持平衡，則原來的直線形狀的平衡12-2(c)稱為不穩(wěn)定平衡。(二)壓桿的失穩(wěn)與臨界力

1、當(dāng)壓桿所承受的壓力F小于某一確定的值Fcr。即F < Fcr 時(shí)，壓桿能保持原有直線形狀的平衡狀態(tài)，則壓桿是穩(wěn)定的；

2、當(dāng)壓桿承受的壓力F 超過這一確定的值Fcr，即F >Fcr時(shí)，壓桿不再維持原有直線形狀的平衡狀態(tài)，即直線形狀下的平衡狀態(tài)喪失了穩(wěn)定性,稱為壓桿失穩(wěn)。

3、顯然，上述這一確定的值Fcr，是壓桿從穩(wěn)定過度到失穩(wěn)的臨界力。注意：臨界力是一個(gè)數(shù)值，它既不是外力，也不是內(nèi)力，它是壓桿保持直線形狀穩(wěn)定平衡所能承受的最大的壓力（再大一點(diǎn)壓桿就失穩(wěn)）；或者說，它是壓桿喪失直線形狀穩(wěn)定平衡所需要的最小壓力（再小一點(diǎn)就不再失穩(wěn)）。

在小變形和材料服從虎克定律的條件下，計(jì)算壓桿臨界壓力的歐拉公式?2EI為： Fcr? ─────────────────(A)（?l)2式中I 為喪失穩(wěn)定方向壓桿橫截面的慣性矩，l為壓桿的長度，長度系數(shù)?與壓桿兩端的約束條件有關(guān)：

兩端固定：??0.5 一端固定，另一端鉸支：??0.7 兩端鉸支：??1 一端固定，另一端自由：??2(三)臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖

1、臨界應(yīng)力

在臨界力作用下，壓桿橫截面上的平均應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力。歐拉臨界應(yīng)力計(jì)算式: Fcr?2EI?cr??? 2A(?l)A ∵I?i ──────稱為截面的慣性半徑。

A∴I?i2

A?l?2E? 令??稱為壓桿的柔度，它反映：① 壓桿的長度l； ?l2i②支承形式?；()i③截面幾何性質(zhì)i。

?2E?

2?注意：只有當(dāng)壓桿內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，用歐拉公式計(jì)算

?2E臨界力才是正確的，即?cr?2??p

?則???E??p──────壓桿材料的柔度極限值；

?pA3鋼：E?200GPa，?p?200MPa，?p?100

2、臨界應(yīng)力總圖 ⑴何謂臨界應(yīng)力總圖？

根據(jù)壓桿臨界應(yīng)力在比例極限內(nèi)的歐拉公式，以及超過比例極限的經(jīng)驗(yàn)公式，將臨界應(yīng)力?cr與柔度?的函數(shù)關(guān)系用曲線表示，得到的函數(shù)曲線稱為臨界應(yīng)力總圖。

⑵臨界應(yīng)力總圖

圖12-3 由圖12-3可見：臨界應(yīng)力總圖就是表示?cr隨?變化的規(guī)律，對(duì)于不同范圍的?，其計(jì)算?cr的公式也不同。

圖12-3中：AD段屬于強(qiáng)度問題。CD段是以經(jīng)驗(yàn)公式?cr?a?b?繪制的?2E斜直線；CB段是以歐拉公式?cr?2繪出的曲線。

?這三段曲線：D點(diǎn)是強(qiáng)度問題和穩(wěn)定問題的分界點(diǎn)，C點(diǎn)是求臨界應(yīng)力的歐拉公式與經(jīng)驗(yàn)公式的分界點(diǎn)。

①???p的壓桿

這類桿件稱為大柔度桿或細(xì)長桿，其失穩(wěn)為彈性穩(wěn)定問題。臨界應(yīng)力由歐拉公式計(jì)算；

?2E?cr?2 ───────────────(B)?②?o????p的壓桿

這類桿件稱為中柔度桿，其失穩(wěn)為超過比例極限的穩(wěn)定問題。臨界應(yīng)力由直線形式的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：

?cr?a?b?───────────────(C)式中的a、b是與材料有關(guān)的常數(shù)。

注意：?o是應(yīng)用直線公式時(shí)的?最低值。?o所對(duì)應(yīng)的臨界應(yīng)力等于材料?塑?o???s的極限應(yīng)力?。?o?脆????bo

即：?cr?a?b?o??o

a??o則?o?b?a?304MPa A3鋼??b?1.12MPa

??o???235MPas??o?61.6 ③???0的壓桿

這類桿件稱為小柔度桿，主要為強(qiáng)度問題。其臨界應(yīng)力等于材料的極限應(yīng)力?o。

對(duì)于塑性材料：?cr??o??s 對(duì)于脆性材料：?cr??o??b

例題12-1： 長度為l?3m的壓桿如圖示，由A3鋼制成，橫截面有四種，面積均為A?3.2?103mm2。已知：E?200GPa，?s?235MPa，?cr?304?1.12?，?p?100,?o?61.4。試計(jì)算圖12-4所示截面壓桿的臨界荷載。

圖12-4 解：

1、矩形截面：∵A?b?2b?3.2?103 ∴b?40mm

Imin?A2b?b312?11.55mm 2b2慣性半徑i?0.5?3?103壓桿的柔度????130??p

i11.55?l?2E3.2?103??2?200?103則Fcr?A??cr?A?2??375kN

?1302

2、正方形截面：∵A?a2?3.2?103 ∴a?56.5mm

a4i?I?123Aa2?16.3mm ???li?0.5?3?1016.3?92

?o????p

∴Fcr??cr?A?(304?1.12?)?A?(304?1.12?92)?3.2?103?644kN

3、圓形截面 ∵A??d24?3.2?103 ∴d?63.8mm

i?IA?d4?15.95 ???l0.5i??3?10315.95?94 ∴Fcr??cr?A?(304?1.12?94)?3.2?103?635kN

4、空心圓截面

∵A?md（21?0.72)4?3.2?103 ∴D?89.3mm

?D4(1?0.7)4i?I?64A?D2?27.2

24(1?0.7)???l0.5?3?103i?27。2?55.1

???o屬小柔度桿，其臨界荷載應(yīng)按強(qiáng)度計(jì)算：

∴Fcr??cr?A?235?106?3.2?103?752kN

可見，在面積相同情況下，空心圓截面壓桿的臨界荷載最高，即承載能力最強(qiáng)。(四)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算

1、安全系數(shù)法 壓桿的穩(wěn)定條件：F?[Fcr]?Fcr[n]s [n]s───規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)

?cr[n]s上式用應(yīng)力形式表示為：??[?cr]?工程上常用的穩(wěn)定條件：n?關(guān)鍵：臨界力Fcr的計(jì)算

Fcr?cr??[n]s n──壓桿工作時(shí)的實(shí)際安全系數(shù) F?例題12-2 圖12-5所示壓桿，若在繞y軸失穩(wěn)時(shí)，兩端可視為鉸支；若在繞z軸失穩(wěn)時(shí)，則兩端可看作為固定支座。壓桿的材料為A3鋼，E=200MPa,?p?200MPa, ?s?240MPa,l?2m。截面為：t?h?40?65mm。已知[n]s?2，a?304MPa，b?1.12MPa。試校核壓桿的穩(wěn)定性。

解：

1、計(jì)算立柱在繞y軸失穩(wěn)時(shí)的臨界力 ∵在繞y軸失穩(wěn)時(shí)，可視為兩端鉸支；∴?y?1

th31Iy???40?653?10?12?9.15?10?7m4

1212A?th?40?65?10?6?2.6?10?3m2

iy?Iy9.15?10?7??1.88?10?2m ?3A2.6?10?y??yliy?E1?2?106 ?21.88?10200?109???99 圖12-5

200?1069 ?p???p ∴?y??p 屬大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算(Fcr)y：

F?2EIy?2?200?106?9.15?10?7(cr)y?(?)2?(1?2)2?4.51kN yl2、計(jì)算立柱在繞z軸失穩(wěn)時(shí)的臨界力

∵在繞z軸失穩(wěn)時(shí)，可視為兩端固定，∴?z?0.5

I1ht3z??1?65?403?10?12?3.47?10?71212m4 i?IzA?3.47?10?72.6?10?3?1.16?10?2m4z ??zl.5?2z?i?0z126?10?2?86

?o??s?a??sb?304?2401.12?57 ∵?o??z??p

∴該桿在在繞z軸失穩(wěn)時(shí)屬于中柔度桿，其臨界力由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：（?cr)z?a?b??304?1.12?86?208MPa

（F6cr)z?(?cr)z?A?208?10?2.6?10?3?540KN

3、結(jié)論

該桿的臨界力Fcr?(Fcr)y?451KN，則其工作安全系數(shù)n?Fcr451F??2.51?[n]s?2 p180故壓桿的穩(wěn)定性符合規(guī)定要求。10

2、折減系數(shù)法

壓桿的穩(wěn)定條件：??[?cr]??[??]

?───工作應(yīng)力，[??]───許用壓應(yīng)力，?是一個(gè)小于1的系數(shù)，稱為折減系數(shù)，其數(shù)值與壓桿的材料及柔度有關(guān)。

注意：若給定[n]s，則按安全系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定校核； 若給定[??]而未給出[n]s時(shí)，則按折減系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定校核。

[?]?11MPa，例題12-3 圖12-6所示托架，撐桿AB為圓木桿。兩端鉸支，試求AB桿的直徑d 解：

1、求lAB?？

tg30??x 2.4m∴x?1.38m

lAB?1.382?2.42?2.77m

2、求FNAB??

?Mc?0

FNAB?sin30??2.4?q?3.2?1.6?0 圖12-6 FNAB?213KN

3、求d??

FNAB213?103⑴設(shè)?1?0.5，則A???387?10?4m2 6?1[?]0.5?11?10?d24 ?387?10?4 d?0.222m i?d4?5.55?10?2m ???li?1?2.775.55?10?2?50 查???表，?1'?0.767與假設(shè)相距甚遠(yuǎn)。⑵設(shè)?1??1'?0.7672??2?0.52?0.63 A?FNAB213??]??1030.63?11?106?307?10?4m2 2[d?FNAB307?10?4?4???19.8?10?2m2 2[?]?d19.8?10?2i?4??l4?4.95?10?2m ??i?1?2.774.95?10?2?56查???表，?2'?0.708 ⑶設(shè)??2??2'.63?0.7083?2?02?0.67 A?FNAB?]?213?1030.67?11?106?289?10?4m2 3[?F?4d?NAB?]?289?10?4??19.2?10?2?m 3[i?d4?19.2?10?24?4.8?10?2m ???l1?2.77i?4.8?10?2?58 查???表，?3'?0.688 ⑷設(shè)?.67?0.6884?02?0.68 A?285?10?4m2 d?19?10?2m i?4.75?10?2m ??0.583

?4'?0.685 ?4??4'

則d?19?10?2m?190mm

(五)極限荷載、容許荷載的概念。

圖12-7 例題12-4 鋼結(jié)構(gòu)受力如圖12-8所示，AB桿為剛桿，桿件①和桿件②材料的彈性模量E?210GPa，比例極限?p?210MPa，屈服極限?s?210MPa，a?304MPa，b?1.12MPa，桿長，容許應(yīng)力[?]?170MPa，試：

1、求結(jié)構(gòu)所能承受的極限荷載Fmax及其作用位置。

2、求結(jié)構(gòu)所能承受的最大的容許荷載[F]及其作用位置。注：只需考慮紙平面內(nèi)的穩(wěn)定問題。解：

1、計(jì)算?p，?1，?2

?p??E

?p210?109???99.3 6210?10d?1cm?0.01m;?1?1； 4桿①：i1??1? ?1l1i1?1?1.5?150??p，即桿①為細(xì)長桿。圖12-8 0.0113 桿②：i2??2??2l2i2?a412?a?4?1.15cm?0.0115m；?2?0.7 2a1212a??s304?2350.7?1.5??61.6，?91.3 ?s?b1.120.0115∵?s??2??p ∴桿①為中長桿。

2、求Fmax及其作用位置 桿①： Fcr1??EI?(?1l1)22?2?210?109??64(1?1.5)2?(4?10?2)4?115.6KN

?2E?2?210?109或?cr1?2??92MPa 2150?1Fcr1??cr1?A1?92?106??42?(4?10?2）?115.6KN

桿②：?cr2?a?b?2?304?1.12?91.3?202MPa

2Fcr2??cr2?A2?202?106?(4?10?2）?323KN

?Fy?0，F(xiàn)max?Fcr1?Fcr2?115.6?323?438.6KN

323?2?1.472m 438.6?mA?0，得x?

3、求[F]及其作用位置

桿①：?1=150，?1=0.306 [?cr1]??1[?]=0.306×170=52.02MPa [Fcr1]?[?cr1]?A1?52.02?106??4?(4?10-2)2?65.3kN

桿②：?2?91.3，?2?0.663

[?cr2]??2[?]?0.663?170?112.7MPa

[Fcr2]?[?cr2]?A2?112.7?106?(4?10-2)2?180kN

?Fy?0,[Fp]?[Fcr1]?[Fcr2]?65.3?180?245.3KN

180?2?1.467m 245.314 ?mA?0,得x? 例題12-5 試求圖12-9所示結(jié)構(gòu)的極限荷載。已知AB、AC兩桿均為圓形截面，其直徑D?80mm。材料為A3鋼，其：?p?200MPa，E?200GPa，?s?260MPa，a?304MPa，b?1.12MPa。

圖12-9 解：

1、壓桿長度及材料的極限柔度計(jì)算：

lABcos60??l?ACcos30lAB?3.46ml?ABcos30?lACcos60??4m聯(lián)立此兩方程，解出：

lAC?2m

?p??E???200?109p200?106?99.3

?a??ss?b?304?2601.12?39.3

2、計(jì)算臨界力

??lAB1?3.46AB?i?1?173??p4?80?10?3??lACAC?i?1?2均為細(xì)長桿，則 1?100???80?10?342?2?200?109??（F?EIcr）AB?64?804?10?12(?l2?AB)(1?3.46)2?331KN

?2EI?2?200?109???804?10?12（Fcr）AC?64(?l2?AC)(1?2)2?991KN

3、計(jì)算FNAB、FNAC與F之間的關(guān)系：

?x?0，F(xiàn)NABcos30??FNACcos60?F??NABcos60?FNACcos30?F聯(lián)立此兩方程，解出：FFNAB?2 ────────────⑴ FNAC?0.866F────────────⑵

4、計(jì)算極限荷載Fmax： 若AB桿先失穩(wěn)：FNAB?(Fcr)AB?331KN 代入⑴式，則得Fmax?2(Fcr)AB?2?331?662KN 若AC桿先失穩(wěn)：FNAC?(Fcr)AC?991KN 代入⑵式，則得Fmax?(Fcr)AC0.866?9910.866?1144KN