第一篇：山東省舜耕中學(xué)2012屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料 第七編 不等式 7.4 基本不等式(教案)理

高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案 第七編 不等式 總第34期§7.4 基本不等式:基礎(chǔ)自測(cè) 1.已知a＞0,b＞0，答案 7+26ab≤

a?b2

1a+=1，則a+2b的最小值為.b3

+2.（2009·常州武進(jìn)區(qū)四校高三期中聯(lián)考）若x,y∈R，且x+4y=1,則x·y的最大值是.答案 116

?a?b?cd23.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則是.答案 4 xy4.x+3y-2=0，則3+27+1的最小值為.答案 7 5.（2008·江蘇，11）x,y,z∈R，x-2y+3z=0,答案 3 例題精講

例1 已知x＞0,y＞0,z＞0.求證：?證明 ∵x＞0,y＞0,z＞0,∴?y?xz??x?yx+的最小值

y2xz的最小值是.?y?x?z??x??xz??xy????????y?yzz????xy≥8.xzy+

zx≥

2xyz＞0, +

zy≥

2＞0.xz+

yz≥

2xyz＞0, ∴???xz???yy???xy??????z???z≥8yz?xz?xyzxy=8.（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立）

例2（1）已知x＞0,y＞0，且51x+

9y=1,求x+y的最小值；

14x?5（2）已知x＜,求函數(shù)y=4x-2+4的最大值；

（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）∵x＞0,y＞0,當(dāng)且僅當(dāng)yx1x+9y=1,∴x+y=(x+y)??1x?1?x?9??y?? =

yx+

9xy+10≥6+10=16.=9xy時(shí)，上式等號(hào)成立，又+

9y=1,∴x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16.用心

愛心

專心 208

（2）∵x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+4514x?5=-??5?4x????5?4x?1+3≤-2+3=1, 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=15?4x,即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1.2y(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴=10+2???4y?x?x??y??+

8x=1,∴x+y=(x+y)??4yx?8?x?2??y??=10+

8yx+

2xy

≥10+2×2×4yx?xy=18,當(dāng)且僅當(dāng)=

xy,即x=2y時(shí)取等號(hào)，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴當(dāng)x=12,y=6時(shí)，x+y取最小值18.例3某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí) 污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建 造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造 單價(jià)為80元/米，水池所有墻的厚度忽略不計(jì).（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；

（2）若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).解（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長(zhǎng)為×2x+80×162 =1 296x+1296?100x

2162x米.則總造價(jià)f(x)=400×?2x???2?162??x?+248+12 960=1 296?x???100??x?+12 960≥1 296×2

x?100x+12 960=38 880（元），當(dāng)且僅當(dāng)x=100x(x＞0),即x=10時(shí)取等號(hào).∴當(dāng)長(zhǎng)為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元.?0?x?16?（2）由限制條件知?162?16?0?x?,∴10≤x≤16.設(shè)g(x)=x+

81162x1100?1??x?16??10x?8?.g（x）在?10??1?,16?8?上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=10時(shí)(此時(shí)

8??18?800??81?=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×?101+12 960=38 882(元).∴當(dāng)長(zhǎng)為16米，寬為10米時(shí)，總造價(jià)最低，為38 882元.8鞏固練習(xí)

1.已知,a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：

1a++≥9.bc11用心

愛心

專心 209

證明 1a++= bc11a?b?ca+a?b?cb+

a?b?cc=3+??b?a?a??b?+??c?a?a??c?+??c?b?b??c?

≥3+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào).312.若-4＜x＜1,求解 x2x2?2x?22x?2的最大值.?1?2x?22x?2=·21?x?1?2x?1=

1?1???x?1???2?x?1?=-

?11????x?1?????x?1??2?????x?1??1

∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,-?11????x?1?????x?1??2?1??x?1?＞0.從而???x?1????≥2 ≤-1當(dāng)且僅當(dāng)-(x-1)=

1??x?1?，即x=2（舍）或x=0時(shí)取等號(hào).?x2?2x?2??即???2x?2??max=-1.3.甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元.（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v(千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

解（1）建模：依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本

vs為y=(a+bv)=sb?v?v?2s?a??bv?,v∈（0,c］.??a??bv?（2）依題意，有s,b,a,v都是正數(shù).因此y=sb?v?①若②若abab≥2s

ab;≤c,則當(dāng)且僅當(dāng)v=abv?v=

ab時(shí),y取到最小值.≥c,則y在（0，c］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)v=c時(shí)，y取到最小值.ab綜上所述，為了使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)當(dāng)ab≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)該為v=

ab；

≥c時(shí)，行駛速度應(yīng)該為v=c.回顧總結(jié) 知識(shí) 方法 思想

用心

愛心

專心

210

課后作業(yè)

一、填空題

21.若不等式x+ax+4≥0對(duì)一切x∈（0，1］恒成立，則a的取值范圍是.答案 a≥-5 2.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,則2a+b+c的最小值為..答案 23-2 3.已知0＜x＜1，則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為.答案

214.（2008·栟茶中學(xué)模擬）若直線2ax+by-2=0（a,b∈R）平分圓x+y-2x-4y-6=0，則的最小值是.答案 3+22+2

22a+

1b

5.函數(shù)y=log2x+logx(2x)的值域是.答案（-∞，-1］∪［3，+∞）

6.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x= 噸.答案 20 7.（2008·徐州調(diào)研）若實(shí)數(shù)a,b滿足ab-4a-b+1=0(a＞1),則(a+1)(b+2)的最小值為.答案 27 8.若a,b是正常數(shù)，a≠b,x,y∈(0,+∞)，則號(hào).利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)=最小值時(shí)x的值為.答案 25

512xa2x+

b2y9≥

?a?b?2x?y,當(dāng)且僅當(dāng)

???????ax=

by時(shí)上式取等

+

??1?x??0,1?2x??2?的最小值為，取

二、解答題

9.（1）已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值；

34（2）點(diǎn)(x,y)在直線x+2y=3上移動(dòng)，求2+4的最小值.解（1）已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤332323411?3x?4?3x???23??432xy

=

34當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x=時(shí)“=”成立.∴當(dāng)x=時(shí)，x(4-3x）的最大值為.（2）已知點(diǎn)(x,y)在直線x+2y=3上移動(dòng)，所以x+2y=3.∴2+4≥用心

愛心

專心

211

x

y

224xy=22x?2y=2y23=42.343234x

y當(dāng)且僅當(dāng)???2x?4，即x=,y=時(shí)“=”成立.∴當(dāng)x=,y=時(shí)，2+4的最小值為4232.??x?2y?310.已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求證：(1)a+b≥;(2)22211a2+1b21??≥8;(3)?a??a??21??+ ?b??b??2≥

252;(4)??a??1??1???b??a??b?≥

254.?a?b?ab,?證明 由?2 a、b∈（0，+∞），得?a?b?1,?ab≤

12?ab≤

14?1ab≥4.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)）

21(1)∵a+b=(a+b)-2ab=1-2ab≥1-2×=，∴a+b≥.42222

21122

1(2)∵1a2+1b2≥2ab≥8,∴1a2+

1b22≥8.1??+ ?b??b??21??(3)由(1)、(2)的結(jié)論，知?a??a??1??∴?a??a??2=a+b+4+

1a2+

1b2≥+4+8=

21252, 1??+ ?b??b??2≥ba252.ab1abba1??1??(4)?a???b??a??b??=++ab+=+

?+??b?a1ab??ab???21??+2≥2+?2??2??2+2=

254.11.設(shè)a＞0,b＞0,a+b=1.（1）證明：ab+1ab≥4;41(2)探索猜想，并將結(jié)果填在以下括號(hào)內(nèi)： ab+221ab22≥（）；ab+

1ab33≥（）；

（3）由（1）（2）歸納出更一般的結(jié)論，并加以證明.（1）證明 方法一 ab+∵ab=(立，故ab+1abab1ab≥4

14?4ab-17ab+4≥0?(4ab-1)(ab-4)≥0.122)2?a?b?≤???2?2=,∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,因此（4ab-1）(ab-4)≥0成441≥4.41用心

愛心

專心 212

方法二 ab+1ab=ab+4112+4152?ab?a?b?，∵ab≤???2??ab2=，∴

411ab≥4，∴

4152≥

154.?ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).又ab+2142≥2

ab?412=，21ab1?ab1?ab當(dāng)且僅當(dāng)ab=412，即11ab=4,a=b=時(shí)取等號(hào).故ab+

2≥+

42154=4

41?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立）.2（2）解 猜想：當(dāng)a=b=時(shí)，21不等式ab+64164221ab22≥()與ab+

1ab33≥()取等號(hào)，故在括號(hào)內(nèi)分別填16

116與.nn（3）解 由此得到更一般性的結(jié)論： ab+證明如下：

?a?b?∵ab≤???2?21abnn≥4+

n

14n.=,∴4111ab≥4.∴ab+?1nn

1abnn=ab+

4nn

12n?abnn+

442n2n?1nn

11?ab≥2abnn?42n?abnn+42n42n×4=

24n+

42n?1n=4+

n

14n，當(dāng)且僅當(dāng)ab=,即a=b=時(shí)取等

424號(hào).*12.某工廠統(tǒng)計(jì)資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x(單位：件，x∈N，1≤x≤96)的關(guān)系如下：

又知每生產(chǎn)一件正品盈利a(a為正常數(shù))元，每生產(chǎn)一件次品就損失（注：次品率p=次品個(gè)數(shù)產(chǎn)品總數(shù)a3元.×100%，正品率=1-p)（1）將該廠日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？ 解（1）依題意可知：p=x-px件，日盈利額T=a(x-px)-a33100?x(1≤x≤96,x∈N),日產(chǎn)量x件中次品有xp件，正品有

*px=a?x?????100?x?4x.213 用心

愛心

專心

(2)∵T=a?x?????100?x?4x=a?x???4?x?100??400??100?x?=a?x???4???100?x?400?=a?104??100??x????100?x?400

≤a(104-2400)=64a，所以當(dāng)100-x=20，即x=80時(shí)，T最大.因此日產(chǎn)量為80件時(shí)，取最大值.用心

愛心

專心 214 日盈利額T

第二篇：2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、優(yōu)化問題、方程與不等式》理

[第15講 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、優(yōu)化問題、方程與不等式]

(時(shí)間：45分鐘 分值：100分)

基礎(chǔ)熱身

x1．[2013·韶關(guān)調(diào)研] 函數(shù)y＝xe的最小值是()

1A．－1B．－eC．不存在 e

322．f(x)＝x－3x＋2在區(qū)間[－1，1]上的最大值是()

A．－2B．0C．2D．4

3．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時(shí)到9時(shí)，車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間

1332629關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－t－t＋36t則在這段時(shí)間內(nèi)，通過該路段用844

時(shí)最多的時(shí)刻是()

A．6時(shí)B．7時(shí)C．8時(shí)D．9時(shí)

4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y13＝－x＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()3

A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件

能力提升

5．一矩形鐵皮的長(zhǎng)為8 cm，寬為5 cm，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無蓋的小盒子，盒子容積的最大值是()

3333A．12 cmB．15 cmC．18 cmD．16 cm

26．[2013·湖南卷] 設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為()

152A．1B.D.222

37．[2013·全國卷] 已知函數(shù)y＝x－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝()

A．－2或2B．－9或3

C．－1或1D．－3或1

8．已知正四棱錐S－ABCD中，SA＝23，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為()

A．1B.3C．2D．3

9．[2013·遼寧卷] 若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恒成立的是()

1112x2A．e≤1＋x＋xB.1－x＋x 241＋x

1212C．cosx≥1D．ln(1＋x)≥x－ 2810．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為

________．

ex＋1ex

11．[2013·廈門質(zhì)檢] 設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝x，對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，xe

g（x1）f（x2）不等式k的取值范圍是________．

kk＋1

12．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為P元，則銷售

量Q(單位：件)與零售價(jià)P(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170P－P.則該商品零售價(jià)定為________時(shí)，毛利潤(rùn)L最大，最大毛利潤(rùn)是________(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)．

13．將邊長(zhǎng)為1的正三角形薄片，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，（梯形的周長(zhǎng)）記S＝S的最小值是________．

梯形的面積

14．(10分)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位： cm)滿足關(guān)系：C(x)＝

k

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用3x＋5

與20年的能源消耗費(fèi)用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．

15．(13分)[2013·河北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考] 已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x＋ax－2.(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

(2)若函數(shù)y＝f(x)＋g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2(x1＜x2)且x2－x1＞ln2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

難點(diǎn)突破

16．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－(1)當(dāng)a>0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；

ax

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為a的值；

(3)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)y＝x的圖象恒在函數(shù)f(x)的圖象的上方．

課時(shí)作業(yè)(十五)

【基礎(chǔ)熱身】

x

1．C [解析] y′＝(x＋1)e，令y′＝0，得x＝－1.因?yàn)閤<－1時(shí)y′<0；x>－1時(shí)

y′>0，所以x＝－1時(shí)，ymine

2．C [解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或2(舍去)，當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0

3．C [解析] y－＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)

828

或t＝8，當(dāng)6≤t<8時(shí)，y′>0，當(dāng)8

4．C [解析] 因?yàn)閥′＝－x＋81，所以當(dāng)x>9時(shí)，y′<0；當(dāng)00，所以

函數(shù)y＝－＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0，9)上單調(diào)遞增，所以x＝9是函

數(shù)的極大值點(diǎn)．又因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值．

【能力提升】

5．C [解析] 設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x cm，則盒子底面長(zhǎng)為8－2x，寬為5－2x.V＝(8

5?10?322

－2x)(5－2x)x＝4x－26x＋40x?0

2?3?

(舍去)，則V極大值＝V(1)＝18，且在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極大值，∴V最大值＝18.6．D [解析] 用轉(zhuǎn)化的思想：直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝lnx圖象分別交于M，N，而|MN|的最小值，實(shí)際是函數(shù)F(t)＝t2－lnt(t>0)時(shí)的最小值．

122

令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－舍去)．

t2222

F(t)＝t－lnt有最小值，即|MN|達(dá)到最小值，故選D.2

7．A [解析] 由f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)＝0?x＝±1，結(jié)合f(x)的圖象可知只要f(－1)＝0或f(1)＝0即可，故解得c＝－2或2，故選A.1?2?22

8．C [解析] 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高h(yuǎn)＝SA－?a?＝12－2，所以體積V

2?2?

故t＝121

＝h＝33

164

12a－a.21643535

設(shè)y＝12a－a，則y′＝48a－3a，當(dāng)y取最值時(shí)，y′＝48a－3a＝0，解得a＝0(舍

212

12－a＝2.332

9．C [解析] 驗(yàn)證A，當(dāng)x＝3時(shí)，e>2.7＝19.68>1＋3＋3＝13，故排除A；驗(yàn)證B，去)或a＝4，故a＝4時(shí)體積最大，此時(shí)h＝

當(dāng)x＝2

6111113391 5211 536166而1＋＝＝故排除B；

***3

1＋

驗(yàn)證C，令g(x)＝cosx－1＋x，g′(x)＝－sinx＋x，g″(x)＝1－cosx，顯然g″(x)>0

恒成立，所以當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，g′(x)≥g′(0)＝0，所以x∈[0，＋∞)時(shí)，g(x)＝cosx－11212

＋為增函數(shù)，所以g(x)≥g(0)＝0恒成立，即cosx≥1－恒成立；驗(yàn)證D，令h(x)＝22

121xx（x－3）

ln(1＋x)－x＋x，h′(x)＝1h′(x)<0，解得0

8x＋144（x＋1）

0

10.4V [解析] 設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則高為h＝∴Sx＋2×x＝22

4x3x3x＋32，2

43V3

∴S′＝－23x，令S′＝0，得x＝4V.x

333

當(dāng)04V時(shí)，S′>0，故當(dāng)x＝4V時(shí)，S取得最小值． 11．k≥1 [解析] ∵k為正數(shù)，g（x1）f（x2）?g（x）≤f（x）?∴對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立???kk＋1?k?max?k＋1?

.min

x＋2

e（1－x）

由g′(x)＝＝0得x＝1.e

x∈(0，1)，g′(x)>0，x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，?g（x）＝g（1）＝e∴?kk?k?max

ex－11

同理f′(x)＝0?x＝，2

xe

?1?1?x∈?0，f′(x)<0，x∈??，f′(x)>0，?e??e?

?1?f??

?f（x）＝?e?2ee2e，k>0?k≥1.∴?kk＋1?k＋1?mink＋1k＋1

12．30 23 000 [解析] 由題意知L(P)＝P·Q－20Q＝Q(P－20)

＝(8 300－170P－P)(P－20)

＝－P－150P＋11 700P－166 000，∴L′(P)＝－3P－300P＋11 700.令L′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍)．

因?yàn)樵赑＝30附近的左側(cè)L′(P)>0，右側(cè)L′(P)<0，∴L(30)是極大值．

根據(jù)實(shí)際意義知，L(30)是最大值，此時(shí)L(30)＝23 000.即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，有最大毛利潤(rùn)為23 000元．

323 [解析] 設(shè)DE＝x，由ED∥BC，△ABC為正三角形，AD＝DE＝AE＝x，BD＝EC

－x)，梯形的周長(zhǎng)為BD＋DE＋EC＋BC＝3－x，梯形的面2

＝1－x.過D作DF⊥BC，DF＝

133（3－x）2

積為(x＋1)×(1－x)＝－x)．S＝(0<

x<1)．

22432

（1－x）4

24（2x－6）（1－x）－（34（2x－6）（1－3x）S，2222

（1－x）（1－x）331

令S′＝0，解得x＝3(舍去)，311132300，∴x＝時(shí)，Smin.3333

14．解：(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝3x＋5

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x＋5

而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.所以隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為

40800

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋54002 400

(2)f′(x)＝6－f′(x)＝0，即6.（3x＋5）（3x＋5）25

解得x＝5或x＝－(舍去)．

當(dāng)00，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)

800的最小值為f(5)＝6×5＋＝70.15＋5

故當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元．

15．解：(1)由題意f′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝.e

1?1??1?①當(dāng)0

1?1此時(shí)函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上的最小值為f?.e?e?

②當(dāng)t≥時(shí)，函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，e

此時(shí)函數(shù)f(x)在[t，t＋2]上的最小值為f(t)＝tlnt.(2)由題意y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x＋ax＋2，則y′＝lnx－2x＋a＋1，知y′＝lnx－2x＋a＋1＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，等價(jià)于a＝－lnx＋2x－1有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，等價(jià)于直線y＝a與函數(shù)G(x)＝－lnx＋2x－1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

1?1?1?由G′(x)＋2，知G(x)在?0上單調(diào)遞減，在??上單調(diào)遞增，x?2??2?

畫出函數(shù)G(x)圖象的大致形狀如圖，k

?1由圖易知，當(dāng)a>G(x)min＝G?＝ln2時(shí)，?2?

x1，x2存在，且x2－x1的值隨a的增大而增大． 而當(dāng)x2－x1＝ln2時(shí)，??lnx1－2x1＋a＋1＝0，由題意得?

?lnx2－2x2＋a＋1＝0.?

兩式相減可得ln2(x2－x1)＝2ln2，得x2＝4x1，4

代入x2－x1＝ln2得x2＝4x1，2?ln2此時(shí)實(shí)數(shù)aln2－ln?－1，3?3?

2?ln2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>ln2－ln?－1.3?3?

【難點(diǎn)突破】

1ax＋a

16．解：(1)f′(x)＋22(x>0)．

x2x1

xxx

當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．(2)由f′(x)＝0得x＝－a.①當(dāng)a≥－1時(shí)，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，33

f(x)min＝f(1)＝－a＝a＝－(舍)．

②當(dāng)a≤－e時(shí)，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，a3e

則f(x)min＝f(e)＝1－＝a(舍)．

e22

③當(dāng)－e0，f(x)在(x0，e)上為增函數(shù)．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－e，2綜上知，ae.(3)由題意得x>lnx－在(1，＋∞)上恒成立，即a>xlnx－x在(1，＋∞)上恒成立．

設(shè)g(x)＝xlnx－x(x>1)，則g′(x)＝lnx－3x＋1.12

令h(x)＝lnx－3x＋1，則h′(x)＝6x，32

ax

x

當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0恒成立．

∴h(x)＝g′(x)＝lnx－3x＋1在(1，＋∞)上為減函數(shù)，則g′(x)

第三篇：【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)不等式的證明隨堂訓(xùn)練 理 蘇教版選修4-5-2

第2課時(shí)不等式的證明

簡(jiǎn)答題

1．(蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查)已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)．

求證：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.3證明：因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，當(dāng)且僅當(dāng)a2b＝a＝b2，3即a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立；同理ab2＋a2＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，22222等號(hào)成立．所以(ab＋a＋b)(ab＋a＋b)≥9ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立．

因?yàn)閍≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.1492．(南京調(diào)研)已知a，b為正數(shù)，求證：a＋b.a＋b

?1＋4?＝5＋b＋4a≥5＋2 證明：因?yàn)閍>0，b>0，所以(a＋b?ab?ab

149所以a＋ba＋b

3．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.證明：∵a＋b≥2ab＞0，a2＋b2≥2ab＞0，① ② ③ b4a×＝9.aba3＋b3≥2ab＞0，∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥ab·abab＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求證：|ax＋by|≤4.證明：要證|ax＋by|≤4，只要證(ax＋by)2≤16，只要證a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要證a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要證2abxy≤b2x2＋a2y2，即證(bx－ay)2≥0.顯然此式成立．故原不等式成立．

5．已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：ab＋bc＋ca＜a＋b＋c.證明：a＋b＞ab，b＋c＞2bc，a＋c＞2ac，① ② ③

∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞ab＋bc＋2ac，即ab＋bcac＜a＋b＋c.用心愛心專心

6.已知α∈(0，π]，求證：2sin 2α≤

證明：證法一：(作差比較法)sin α 1－cos α

sin α?4cos α－4cos2α－1?sin αsin α2sin 2α－＝4sin αcos α－＝ 1－cos α1－cos α1－cos α

－sin α?2cos α－1?

2＝1－cos α

∵α∈(0，π)，∴sin α>0,1－cos α>0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin αsin α0.∴2sin 2α≤.1－cos α1－cos α

證法二：(分析法)

要證明2sin 2 α≤sin αsin α成立，只要證明4sin αcos α≤1－cos α1－cos α

1∵α∈(0，π)，∴sin α>0.只要證明4cos α≤.1－cos α

上式可變形為4≤

∵1－cos α>0，∴1＋4(1－cos α)． 1－cos α14?1－cos α?＝4，1－cos α1＋4(1－cos α)≥2 1－cos α

1π1當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝α＝時(shí)取等號(hào)．∴4≤＋4(1－cos α)成立． 231－cos α

∴不等式2sin 2α≤

證法三：(綜合法)

∵11π＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝即α＝時(shí)取等號(hào))231－cos αsin α成立． 1－cos α

sin αsin α∴4cos α≤.∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤∴2sin 2α.1－cos α1－cos α

1－cos α

11．已知a>0，b>0，求證：(a＋b)2＋a＋b)≥2abab)． 2

1證明：要證明(a＋b)2(a＋b)≥2(ab)，只需證明 2

1a＋b＋?≥ab(a＋b)．(a＋b)?2??

1∵a>0，b>0，∴a＋b≥ab>0.只需證明a＋b＋≥a＋b，21111a＋＋?b＋≥＋b.只需證明a＋a>0，b＋b>0.只需證明??4?44

41顯然上式成立．∴(a＋b)2＋a＋b)≥2ab(a＋b)成立． 2

2．已知a、b、c分別為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：cab＋a＋bb＋cc＋a

11.2?a＋b?a＋b＋c證明：∵a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴

c2ca2ab2b兩邊同乘以2c，∴.同理

∴

cab2c2a2b＋<＋2.a＋bb＋ca＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c