第一篇：第五節(jié) 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)講稿 、第六節(jié)函數(shù)的間接展開(泰勒級(jí)數(shù))2013-3-26(修改)分解

(x?3)n例（1）（3）(90.5)求級(jí)數(shù)?的收斂域.2nn?1?tn解 令t?x?3，級(jí)數(shù)?2,由n?1n?an?1n2lim?lim?1知Rt?1,因此當(dāng)n??an??(n?1)2n?1?x?3?1即2?x?4時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.?(?1)n當(dāng)x?2時(shí),原級(jí)數(shù)為?收斂, 2nn?1?1當(dāng)x?4時(shí),原級(jí)數(shù)為?2收斂.n?1n所以原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)閇2,4].(x?2)2n（2）(92.3)級(jí)數(shù)?的收斂域?yàn)?0,4).nn?4n?1?

tn答 令t?(x?2)對(duì)于?, nn?4n?12?an?1n?4n1由lim, ?lim?n??an??(n?1)?4n?14n于是收斂半徑Rt?4,則0?(x?2)?4?0?x?4內(nèi)收斂.當(dāng)x?0和x?4時(shí),原級(jí)數(shù)都為為(0,4).21發(fā)散,所以收斂域?n?1n?(2x?1)n例4求冪級(jí)數(shù)?的收斂半徑與收斂域.nn?1? 1（中心不在原點(diǎn)的級(jí)數(shù)求收斂域時(shí)先作變量替換）

tn解 令t?2x?1,冪級(jí)數(shù)變形為?，n?1n1anRt?limn?limn?1?lim?1?Rt?1n??an??n??n?11n?1n1?Rx?

211t?1?x????1?x?0，22?1當(dāng)x??1時(shí)原級(jí)數(shù)為?(?1)n收斂，nn?1?11當(dāng)x?0時(shí)，?發(fā)散，故 原級(jí)數(shù)收斂半徑R?，2n?1n收斂域?yàn)閇?1,0).?注意：一般冪級(jí)數(shù)求收斂半徑時(shí)作變量代換.§7.5 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)

教學(xué)目的：掌握泰勒公式與TaylorTh，了解函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)與Taylor展式的關(guān)系.重點(diǎn)：泰勒公式與泰勒定理成立的條件,理解泰勒公式的推導(dǎo)方法.難點(diǎn): 理解泰勒公式的推導(dǎo)方法.教學(xué)方法：啟發(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合 教學(xué)過程：

引例：近似表達(dá)函數(shù)的多項(xiàng)式的特性

無論是函數(shù)的性態(tài)還是近似計(jì)算，多項(xiàng)式函數(shù)總是比較簡單.為此可以考慮在一個(gè)局部范圍內(nèi)用多項(xiàng)式來近似表示一個(gè)復(fù)雜函數(shù)

引例：當(dāng)x很小時(shí)，e?1?x，x設(shè)f(x)?ex，P1(x)?1?x，則

f(0)?P1(0)?1,f?(0)?P1?(0)?1.x2x2x用P2(x)?1?x＋表示 e?1?x＋在x?0處

22值更為接近.猜想將P1(x)換成Pn(x)則在x?x0處兩函數(shù)有直到n階相同的導(dǎo)數(shù)，其在x?x0處接近的程度更高，即x2e?1?x??2xxn?.為用多項(xiàng)式表示更復(fù)雜的函n!數(shù)：

設(shè)有函數(shù)f(x)在x?x0的某一鄰域內(nèi)有直到n?1階的導(dǎo)數(shù)，令f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)?若 f(k)(x0)?Pn(k)(x0),k?0,1,?an(x?x0)n，再令 f(x)?Dn?1(I),x0?I?(a,b), ,n.（f(0)(x0)?Pn(0)(x0)表示k?0的函數(shù)值相等）則

ak?1(k)f(x0)（k?0,1，n），于是k!f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0)n.證明：因Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0)n, Pn?(x)?a1?(x?x0)O(1),Pn??(x)?2!a2?(x?x0)O(1)…… , Pn(k)(x)?k!ak?(x?x0)O(1)…… , Pn(n)(x)?n!an, 那么 f(k)(x0)?Pn(k)(x0)?k!ak, 1(k)f(x0), k!k?0,1，n.一、泰勒（Taylor）公式 所以 ak? 在講第三章微分的應(yīng)用時(shí)我們導(dǎo)出了近似公式 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)（當(dāng)x?x0很小時(shí)）

從幾何上看，這是在點(diǎn)x0附近用切線的一段近似地代替曲線弧.在函數(shù)改變量的表達(dá)式

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?o(x?x0)中 略去了一個(gè)關(guān)于（x?x0）的高階無窮小量（x?x0時(shí)）.但公式f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)在實(shí)際計(jì)算中的精度不高，其誤差為

R1(x)?f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，可以推出

f??(?)R1(x)?(x?x0)2,???x0,x?.2!如果需要精度更高些，可將（x?x0）的高階無窮小分離成兩部分

o(x?x0)?a2(x?x0)2?o?(x?x0)2?（x?x0時(shí)）.保留與(x?x0)2同階的無窮小量，略去(x?x0)2的高階無窮小量，此時(shí)有

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?a2(x?x0)2，以此類推，為達(dá)到一定精確度的要求，可考慮用n次多項(xiàng)式P(x)近似表示f(x)，當(dāng)x?x0很小時(shí)，將多項(xiàng)式P(x)寫成以（x?x0）的方冪展開的形式

P(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2??an(x?x0)n，其中a0,a1,a2,是待定系數(shù).我們知道P(x)具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，將P(x)的多項(xiàng)式兩邊求一階到n階導(dǎo)數(shù)，并令x?x0可得

P(x0)?a0,P?(x0)?a1,P??(x0)?2!a2,，P(n)(x0)?n!an 于是P(x)可以寫成

P(x)?P(x0)?P?(x0)(x?x0)?

P??(x0)(x?x0)2?2!4 P(n)(x0)?(x?x0)n

n!若函數(shù)f(x)在x?x0的某一鄰域內(nèi)一階到n階的導(dǎo)數(shù)都存在，可以做出一個(gè)n次多項(xiàng)式

Pn(x)?P(x0)?P?(x0)(x?x0)?

P??(x0)(x?x0)2?2!P(n)(x0)(x?x0)n

?n!Pn(x)不一定等于f(x)，但它可以近似表示f(x)，它的近似程度可以由誤差Rn(x)?f(x)?Pn(x)來確定.設(shè)Rn(x)?k(x?x0)n?1，如果能確定k的值，則(n?1)!Rn(x)就確定了.【定理7.10】（泰勒公式）設(shè)f(x)在含有x0的區(qū)間I?(a,b)內(nèi)有直到n?1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則?x?(a,b)，f(x)可以按（x?x0）的方冪展開為

f(x)?Pn(x)?Rn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)? 1(n)n?f(x0)(x?x0)?Rn(x).n!此式稱為按x?x0的冪展開n階泰勒公式.其中

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1 稱為拉格朗日型余項(xiàng),(n?1)!?介于x0與x之間.證明：不妨設(shè)x?x0.n?1令Rn(t)?f(t)?P,由條件知：n(t),Gn(t)?(t?x0)(連續(xù)n?1次使用柯西中值定理可以證明)

(k)(k)(k)(k)(t),Gn(t)?D(x0,x)Rn(t),Gn(t)?C[x0,x],Rn,(k)(k)顯然 Rn(x0)?Gn(x0)?0, k?0,1，n.那么

?(?1)Rn(x)Rn(x)?Rn(x0)Rn ??n?1?(?1)(x?x0)Gn(x)?Gn(x0)Gn?(?1)?Rn?(x0)Rn??(?2)Rn???

?(?1)?Gn?(x0)Gn??(?2)Gn(n?1)Rn(?n?1)f(n?1)(?), ?(n?1)?Gn(?n?1)(n?1)!其中 x0????n?1???2??1?x，f(n?1)(?)所以Rn(x)?(x?x0)n?1, ?介于x0與x之(n?1)!間.另證：

因?yàn)閒(x)在含有x0的區(qū)間I?(a,b)內(nèi)有直到n?1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),所以對(duì)于x0?(a,b)，可將f(x)寫成

f??(x0)(x?x0)2?2!1(n)k ?f(x0)(x?x0)n?(x?x0)n?1

n!(n?1)!為求出k的值，引進(jìn)輔助函數(shù)

f??(t)?(t)?f(x)?f(t)?f?(t)(x?t)?(x?t)2?

2!1(n)k ?f(t)(x?t)n?(x?t)n?1

n!(n?1)!?(t)在區(qū)間[x0,x]上連續(xù)顯然 ?(x0)??(x)?0，（設(shè)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?，在區(qū)間(x0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理可知，x?x0）至少存在一點(diǎn)??(x0,x)，使得??(?)?0，因?yàn)???(t)??f?(t)?f?(t)(x?t)?[f??(t)(x?t)?f?(t)]

f???(t)(x?t)2?f??(t)(x?t)] 2!f(4)(t)f???(t)(x?t)3?(x?t)2]? ?[3!2!?[

f(n?1)(t)f(n)(t)kn?[(x?t)?(x?t)(n?1)]?(x?t)n

n!(n?1)!n!(x?t)n[k?f(n?1)(t)] 化簡整理得 ??(t)?n!(x??)n[k?f(n?1)(?)]?0，而(x??)n?0 所以

n!由 k?f(n?1)(?)?0?k?f(n?1)(?)，于是

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1，?介于x0與x之間.(n?1)!在公式中當(dāng)x0?0時(shí)，公式可化為麥克勞林公式

f??(0)2?f(x)?f(0)?f(0)x?x?

2!f(n)(0)n?x?Rn(x)

n!f(n?1)(?)n?1其中 Rn(x)?x

(n?1)!f(n?1)(?x)n?1或令???x,0???1，則 Rn(x)?x

(n?1)!x例1 求f(x)?e的n階麥克勞林公式.解 因

f(k)(x)?ex,f(k)(0)?e0?1, 其中 k?0,1,n,n?1，那么

ex?f(x)?f(0)?f?(0)x? 1(n)f(n?1)(?x)n?1n?f(0)x?x n!(n?1)!121ne?x?1?x?x??x?xn?1,2!n!(n?1)!（0???1）.例

2求f(x)?sinx的麥克勞林公式.nn(n)(n)解 因f(x)?sin(x??), f(0)?sin(?).22有 f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?0,f???(0)??1, f(2k)(0)?0,f(2k?1)(0)?(?1)k,k?0,1,2，那么sinx?f(x)

1(n)f(n?1)(?x)n?1n?f(0)?f?(0)x??f(0)x?xn!(n?1)!x3x5x2k?1k?1?x????(?1)?R2k?1(x),(或3!5!(2k?1)!R2k(x)都可以)

?sin[?x?(2k)]2x2k,0???1.其中：R2k?1(x)?(2k)!?sin[?x?(2k?1)]2x2k?1，0???1）（或R2k(x)?

(2k?1)!|x|3特別地：k?1時(shí)，sinx?x, |R2|?；

3!x3|x|

5k?2時(shí)，sinx?x?, |R4|?；

3!5!x3x5|x|7?

k?3時(shí)，sinx?x?, |R6|?.3!5!7!例3 按(x?4)的乘冪展開多項(xiàng)式

f(x)?x4?5x3?2x2?3x.解 f(4)??60，f?(4)?(4x3?15x2?2x?3)|x?4?21, f??(4)?(12x2?30x?2)|x?4?74,f??(4)?(24x?30)|x?4?66,f???(4)?24,f(5)(x)?0,Rn(x)?0, 所以

f(x)?(x?4)4?11(x?4)3?37(x?4)2?21(x?4)?60.二、泰勒級(jí)數(shù)

1.通過前面的學(xué)習(xí)我們知道，級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)一定有和函數(shù).由泰勒公式的學(xué)習(xí)知道，我們可以用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).現(xiàn)在我們想知道函數(shù)是否一定可以展開為冪級(jí)數(shù)，需不需要附加條件？

?12.問題：已知函數(shù)有 ??xn,(收斂域x?1)

1?xn?0 ln(1?x)??(?1)n?1?n?1xnn(?1?x?1).問：(1)對(duì)于一般的函數(shù)f(x)是否也有f(x)??an(x?x0)n？

n?0?(2)如果能展開,項(xiàng)的系數(shù)an如何確定?(3)展開式是否唯一?(4)在什么條件下函數(shù)才能展開成冪級(jí)數(shù)? 3.【定理】（Taylor Th）設(shè)f(x)在U(x0,?)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),且limRn(x)?0，則在U(x0,?)內(nèi)有

n??f(n)(x0)f(x)??(x?x0)n.n!n?0

其中Rn(x)為f(x)的拉格朗日型余項(xiàng) ?f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1.(n?1)!證明 由于 f(x)??n?0nf(n)(x0)(x?x0)n?Rn(x)?Pn(x)?Rn(x).n!所以等式兩邊取極限

f(n)(x0)f(x)??(x?x0)n?limPn(x)n??n!n?0

?limRn(x)?lim[f(x)?Pn(x)]?0, ?n??n??x?U(x0,?).4．函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?x0有泰勒展式?f(x)在U(x0,?)有任意階導(dǎo)數(shù)且limRn(x)?0.n??注意：1）函數(shù)在點(diǎn)處可以展開為Taylor級(jí)數(shù)時(shí)，其展

f(n)(x0)(n?0,1,2,)是式是唯一的.因?yàn)樘├障禂?shù)

n!唯一的.2）?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n為 f(x)在x?x0點(diǎn)的 n!Taylor級(jí)數(shù)，等式f(x)??a(x?x)n0n?0?n在

limRn(x)?0時(shí)成立.n??5．泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)

設(shè)f(x)在x?x0點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱

f(n)(x0)(1)?(x?x0)n為f(x)在點(diǎn)x0的泰勒級(jí)數(shù), n!n?0?f(n)(x0)(x?x0)n.記作 f(x)~?n!n?0?f(n)(0)nx稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù),(2)?n!n?0?f(n)(0)nx.(x0?0)記作 f(x)~?n!n?0? 10 注意問題: f(x)在x?x0點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么 級(jí)數(shù)?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n在收斂區(qū)間內(nèi)是否收斂于n!f(x)？

??x12?,x?0,在x?0點(diǎn)處任意可導(dǎo),例: 函數(shù)f(x)??e?x?0.?0,且f(n)(0)?0,n?0,1， 于是

?f(n)(0)nx??0?xn?0,???x??? f(x)~?n!n?0n?0?f(n)(0)n顯然f(x)??x?0, x?0.n!n?0?f(n)(x0)結(jié)論：當(dāng)級(jí)數(shù)?(x?x0)n收斂于f(x)時(shí)，即

n!n?0limRn(x)?0時(shí)有泰勒展式.?n??應(yīng)用舉例：

例4 求函數(shù)在點(diǎn)x?0處的泰勒級(jí)數(shù):（1）f(x)?e，（2）f(x)?sinx xxn提示：e??,???x???

n!n?0?x2n?1n sinx??(?1),???x???

(2n?1)!n?0小結(jié)：1.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?x0的泰勒公式為 x?f(k)(x0)f(x)??(x?x0)k?Rn(x)

k!k?0f(n?1)(?)其中余項(xiàng)為Rn(x)?(x?x0)n?1，(n?1)!n 11 ?介于x0與x之間.公式成立的條件是:f(x)在點(diǎn)x?x0的鄰域內(nèi)有直到n?1階的導(dǎo)數(shù).x?x0的泰勒展式為2.函數(shù)f(x)在點(diǎn)

f(n)(x0)f(n)(x0)n其系數(shù)an?為泰f(x)??(x?x0)，n!n!n?0勒系數(shù).當(dāng)x0?0時(shí)，f(x)的上述展式為麥克勞林展式.?注意：函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的條件是:f(x)在點(diǎn)x?x0鄰域內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)存在且limRn(x)?0.n??3．在近似計(jì)算中先要寫出函數(shù)的級(jí)數(shù)表示式，再取n的特殊值即可得到所要近似值.課后記：存在問題：不能區(qū)分泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù).§7.6 某些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

教學(xué)目的：熟練掌握Taylor 公式、TaylorTh展式；能靈活運(yùn)用導(dǎo)出公式間接求出函數(shù)的泰勒展式.重難點(diǎn)：能靈活運(yùn)用導(dǎo)出公式間接求出所給函數(shù)的泰勒展

式以及麥克勞林展式.教學(xué)方法：啟發(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合 教學(xué)過程：

一、某些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

由泰勒定理的學(xué)習(xí)可知一個(gè)函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間[a,b]內(nèi)一個(gè)特定值x0,是否可以展開為冪級(jí)數(shù),取決于它在x?x0處的各階導(dǎo)數(shù)是否存在,以及當(dāng)n??時(shí),余項(xiàng)Rn(x)是否趨于0.1．直接展開法(利用泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)展開函數(shù))將函數(shù)f(x)展成麥克勞林級(jí)數(shù)步驟：

12(1)求f(n)(x),進(jìn)而求出f(n)(0)；如果f(x)在x0?0的某一階導(dǎo)數(shù)不存在,則f(x)不能在x0?0展成冪級(jí)數(shù).(2)寫出f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)f(x)~并求出級(jí)數(shù)的收斂半徑R、收斂域；

(n)(3)討論limRn(x)?0或f(x)?M, |x|?R，?n?0?f(n)(0)nx,n!n??(4)在收斂區(qū)間I上有 f(x)??n?0?f(n)(0)nx, n!x?I.x例1 將f(x)?e展開成x的冪級(jí)數(shù).解：(1)x0?0,(x)?ex，(n)所以f(0)?1, n?1,2, ；

fn(0)an?(n?0,1,2,)

n!?f(n)(0)n?xn, x???n!n!n?0n?0(2)由于f由于收斂半徑(n)R?limn??xan(n?1)!?lim?lim(n?1)???； n??n??an?1n!?xnx2xn?1?x????(3)∴e??n!2!n!n?0???x???.x近似計(jì)算: e?1?x；

x2xe?1?x?；

2x2x3xe?1?x??.26 , 例2 將f(x)?sinx展開成x的冪級(jí)數(shù).解(1)f(n)(x)?sin(x?n?), n?0,1,2,2? ；

f(n)(0)依次循環(huán)取0,1,0,?1,0,1,0,?1,(n?0,1,2,)

即f(2n?1)(0)?(?1)n,f(2n)(0)?0(n?0,1,2,)；

f(n)(0)n?x2n?1n(2)? x??(?1)n!(2n?1)!n?0n?0?x2n?1n?1【或??(?1)】

(2n?1)!n?1x3x5x2n?1n?x???(?1)?, 3!5!(2n?1)!?而u1(2n?1)!2?limn?1?limx n??n??Run(2n?3)!?lim12x?0；

n??(2n?3)(2n?2)所以收斂域?yàn)????x???.(3)所以

??x2n?1??x2n＋1n?1n sinx???(?1)?＝?(?1)(2n?1)!(2n＋1)!?n?1?n?0x3x5x2n?1n?1sinx?x???(?1)?, 3!5!(2n?1)!???x???.?例3 將函數(shù) f(x)?(1?x)展開成麥克勞林級(jí)數(shù)，其中?是任意不為零的常數(shù).分析：因?yàn)?f?(x)??(1?x)??1，f??(x)??(??1)(1?x)??

2f(n)(x)??(??1)(??n?1)(1?x)??n 所以 f(0)?1,f?(0)??,f??(0)??(??1)，f(n)(0)??(??1)數(shù)

公式：(1?x)??(??n?1)得麥克勞林級(jí)?n?1??(??1)(??n?1)nx，n!?收斂域?yàn)?x?1（結(jié)果為二項(xiàng)式級(jí)數(shù)）

當(dāng)x??1時(shí)，級(jí)數(shù)是否收斂于?1?x?取決于?的取值.可以證明：當(dāng)???1時(shí)，收斂域?yàn)??1,1?；當(dāng)?1???0 時(shí)，收斂域?yàn)??1,1]；當(dāng)??0時(shí)，收斂域?yàn)?1,1.取???1,??的公式.??1n??(?x)??(?1)nxn，（?1?x?1）.1?xn?0n?011211?x?1?x?x?x3

22?42?4?61?x4?x?[?1,1] 2?4?6?8111?321?3?53?1?x?x?x

22?42?4?61?x1?3?5?74?x?x?(?1,1] 2?4?6?8?1??xn，（?1?x?1）.可以由無窮遞縮等比數(shù)1?xn?0??11,???,22等不同的值可以得到相應(yīng)列求和公式得到.特別地，當(dāng)?是正整數(shù)n時(shí)，可以看出含有x項(xiàng)以后的各項(xiàng)的系數(shù)都為零.從而得到二項(xiàng)式公式

n(1?x)n?1?nx?n(n?1)2x?2!?nxn?1?xn.2．間接法 根據(jù)函數(shù)的泰勒展式的唯一性,利用常見展開式如sinx，e，x1，(1?x)n的公式，通過變量代換、1?x四則運(yùn)算、恒等變形、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等方法,求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)（泰勒）展開式.例4（1）將f(x)?cosx展開成x的冪級(jí)數(shù).解：已知??x2n?1x2n?1n,??(?1)(2n?1)!n?0(2n?1)!sinx??(?1)n?1n?1x?R.那么

?2n?1??xn cosx?(sinx)????(?1)?

(2n?1)!?n?0?2n?nx,x??? ??(?1)(2n)!n?01（2）將f(x)?展開成x的冪級(jí)數(shù).（注意收斂1?x2?區(qū)間的間接求法）

?1??xn, ?1?x?1.那么 解：已知1?xn?0??112n???(?x)??(?1)nx2n, 221?x1?(?x)n?0n?0?1?x?1.例5（1）將f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級(jí)數(shù).??1n??(?x)??(?1)nxn, 解：已知[ln(1?x)]??1?xn?0n?0|x|?1.那么 ln(1?x)??n?xx0[ln(1?t)]?dt

?nxn?1,|x|?1.??(?1)?tdt??(?1)0n?1n?0n?0?1n又因?yàn)?x?1時(shí)，級(jí)數(shù) ?(?1)收斂, ln(1?x)n?1n?0??1在x?1連續(xù).x??1時(shí)，級(jí)數(shù) ?發(fā)散, 于是

n?0n?1nxn?1 ln(1?x)??(?1)n?1n?0n?1x2x3nx?x???(?1)?23n?1?n, 其中 收斂域?yàn)??1?x?1.（2）將f(x)?arctanx展開成x的冪級(jí)數(shù).?1解 f?(x)???(?x2)n 21?xn?0??(?1)nx2n,x?(?1,1)，n?0?f(0)?0

arctanx???xx01dt 21?t?nx2n?1???(?1)tdt??(?1),x?(?1,1)

02n?1n?0n?02n?1??(?1)nnx當(dāng)x??1,?(?1)均收斂，???2n?12n?1n?0n?0n2nx2n?1故 arctanx??(?1),x?[?1,1].2n?1n?0?n 17 注意：對(duì)于不需要通過積分與求導(dǎo)就可以的得到的級(jí)數(shù)，其收斂域可以直接由原收斂域間接求出，但對(duì)于要積分或求導(dǎo)才能得到的級(jí)數(shù)，端點(diǎn)要單獨(dú)考察一下斂散性.提問：用間接法將下列函數(shù)展開為為x的冪級(jí)數(shù),并確定收斂域:(1)f(x)?e?x

解 因?yàn)閑??x2?x2?n!xn?0?1n(???x???),所以有

2n?12nnx, e??(?x)??(?1)n!n!n?0n?02并由????x???得f(x)的收斂域?yàn)???,??).同理可得

1xn?xnn,x?(??,??).e??(?)??(?1)n33?n!n?0n!n?0(2)f(x)?cos2x ??x3x2n解 因?yàn)閏osx??(?1)(???x???)，(2n)!n?0?n所以有

1(1?cos2x)22n2n?11?n(2x)n(2x), ???(?1)?1??(?1)22n?0(2n)!2(2n)!n?1并由???2x???得f(x)的收斂域?yàn)???,??).cos2x?同理可得

2n111?n(2x)sinx?(1?cos2x)???(?1)222n?0(2n)!2 18(2x)2n??(?1)(???x???), 2(2n)!n?1(3)f(x)?x3e?x

?1x解 因?yàn)閑??xn(???x???),所以有

n?0n!n?3??13?x3nnxxe?x?(?x)??(?1)(???x???)n!n?0n!n?0?n?1.(4)f(x)?

解 由有 1 3?x1?1?t?t2?1?t1

?tn?1?(?1?t?1),x1?3?1xx2xn?1xn??[1??()??()?]??n?1 3333n?03x又由?1得其收斂區(qū)間為(?3,3).收斂域?yàn)?[?3,3)

3解 11??3?x3f(x)?

xxx11??(?)2x?2x?3(x?3)(x?1)4x?3x?119 1?1?t?t2??tn?1?(?1?t?1)，知 1?t?1111?xnxn??????()???n?1 xx?333n?03n?031?3（其中?3?x?3)和

???1nn??(?x)??(?x)??(?1)nxn(?1?x?1)x?1n?0n?0n?0并由 , 所以

?xx?xnf(x)?2?[??n?1??(?1)nxn]

x?2x?34n?03n?0?11???[n?(?1)n?1]xn,?1?x?1.n?143dex?1()展成x的冪級(jí)數(shù).（6）將dxx?1nx解：因?yàn)? e??x(???x???)，n?0n!??1n?x?1?dex?1d??n?0n!??()?dxxdx?x?????d??1n?1??n?1n?2?x???x(???x???).?dx?n!n!?n?1?n?11例6（1）(07.3.10)將函數(shù)f(x)?2展開為

x?3x?4x?1的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間.1111?[?] 解: f(x)?2x?3x?45x?4x?1 20 111?[?]5?3?(x?1)2?(x?1)11111??[???] x?12x?1531?1?32n1?(x?1)n1?n(x?1)????(?1)n15n?0310n?02n1?23(?1)nn ?[n?](x?1)?n30n?032由x?1?2得收斂區(qū)間為??1,3?.（2）將f(x)?sinx展開成(x?解：由于

?4)的冪級(jí)數(shù).????f(x)?sin??(x?)?

4??4?????sincos(x?)?cossin(x?)

4444?x2n?1n又已知sinx??(?1)，(2n?1)!n?0???x???，2n?nx cosx??(?1), ???x???.(2n)!n?01????那么 sinx?cos(x?)?sin(x?)? ?44?2??2n?2n?1??(x?)(x?)??n144 ??(?1)???,(2n)!(2n?1)!2?n?0??? 收斂域 ???x???.? 21（3）將f(x)?區(qū)間.解 1展開為x?2的冪級(jí)數(shù),并確定收斂2x1 x?21?2111???xx?2?22n(x?2)n??(?1),x?2?2 n?12n?0n?1?11n?1n(x?2)f(x)?2??()???(?1),0?x?4n?1xx2n?1?類似可求

?11f(x)??()? ??nxn?1,?1?x?1 2(1?x)1?xn?1小結(jié)：1.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?x0的泰勒展式為

f(n)(x0)f(n)(x0)nf(x)??(x?x0)，其系數(shù)an?n!n!n?0為泰勒系數(shù).當(dāng)x0?0時(shí)，f(x)的上述展式為麥克勞林展式.?注意：函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒展式唯一.2.利用公式中的已知收斂域，間接地求所求級(jí)數(shù)的收斂域比較方便.3．常用于間接展開的公式有

?1

1）??xn,x?1

1?xn?0x2n?1

2）sinx??(?1),x???

(2n?1)!n?02n?nx

3）cosx??(?1),x???(2n)!n?0?xnx

4）e??,x???

n?0n!?n 22 注意：有限個(gè)級(jí)數(shù)的代數(shù)和的收斂域應(yīng)為各個(gè)收斂域的公共部分.課后記： 存在問題：1.間接展開時(shí)不能靈活運(yùn)用已知公式和級(jí)數(shù)的

性質(zhì)去正確寫出套用公式所需的表示式.2.忽略了級(jí)數(shù)和的收斂域應(yīng)為各個(gè)收斂域的公共部分.23