第一篇：總結(jié)數(shù)位DP算法

數(shù)位dp是一種計(jì)數(shù)用的dp，一般就是要統(tǒng)計(jì)一個(gè)區(qū)間[le,ri]內(nèi)滿足一些條件數(shù)的個(gè)數(shù)。比如，[1,10000] 中統(tǒng)計(jì)不含有4的數(shù)。

所謂數(shù)位dp，字面意思就是在數(shù)位上進(jìn)行dp咯。就是對數(shù)字每一位每一位遞推

此類題目最基本的暴力方法：

1.for(int i=le;i<=ri;i++)

2.if(Check(i))ans++;

而數(shù)位DP就是從最低(高)位起，一位一位的放數(shù)字，然后記憶化一下，累加一下

有兩種方法，一是遞推，二是記憶化搜索

一，記憶化搜索：

思路來自： 數(shù)位dp總結(jié)之從入門到模板 假設(shè)題目要求是不含有62的數(shù)

狀態(tài)定義：d[pos][pre] 表示當(dāng)前枚舉到pos位置，且pos+1位的數(shù)字是pre，此時(shí)滿足題意的數(shù)字的個(gè)數(shù)(也即是pre==6時(shí)，pos該位置不能放2)還要個(gè)數(shù)組a[i]保存第i位的數(shù)字，如213，a[0]=3，注意是從右往左數(shù)

有個(gè)問題是枚舉第pos位數(shù)時(shí)，此位置放數(shù)字的范圍要判斷一下，比如題目給出在[1,894] 枚舉的時(shí)候要判斷是否在894以內(nèi)

比如，213，第一位放了2，那么第二位就只能放0~1，所以模板中用了個(gè)limit判斷pos前的幾位數(shù)字是否與n一樣，true的話只能枚舉0~a[pos]，false就是0~9，不然比題目要求的213大了

還有個(gè)問題是前導(dǎo)0的問題，假如枚舉5位數(shù)，你放的時(shí)候前2位都是00，那數(shù)字不變成3位了嘛，所以需要個(gè)lead保存前幾位是否都是0，當(dāng)然這是看題意的，有時(shí)候題目不要求，可以直接省去

好了，看模板：

1.typedef long long ll;2.int a[20];

3.ll dp[20][state];//不同題目狀態(tài)不同

4.ll dfs(int pos,/*state變量*/,bool lead/*前導(dǎo)零*/,bool limit/*數(shù)位上界變量*/)//不是每個(gè)題都要判斷前導(dǎo)零

5.{

6.//遞歸邊界，既然是按位枚舉，最低位是0，那么pos==-1說明這個(gè)數(shù)我枚舉完了

7.if(pos==-1)return 1;/*這里一般返回1，表示你枚舉的這個(gè)數(shù)是合法的，那么這里就需要你在枚舉時(shí)必須每一位都要滿足題目條件，也就是說當(dāng)前枚舉到pos位，一定要保證前面已經(jīng)枚舉的數(shù)位是合法的。不過具體題目不同或者寫法不同的話不一定要返回1 */ 8.//第二個(gè)就是記憶化(在此前可能不同題目還能有一些剪枝)

9.if(!limit &&!lead && dp[pos][state]!=-1)return dp[pos][state];10./*常規(guī)寫法都是在沒有限制的條件記憶化，這里與下面記錄狀態(tài)是對應(yīng)，具體為什么是有條件的記憶化后面會講*/

11.int up=limit?a[pos]:9;//根據(jù)limit判斷枚舉的上界up;這個(gè)的例子前面用213講過了

12.ll ans=0;13.//開始計(jì)數(shù)

14.for(int i=0;i<=up;i++)//枚舉，然后把不同情況的個(gè)數(shù)加到ans就可以了

15.{

16.if()...17.else if()...18.ans+=dfs(pos-1,/*狀態(tài)轉(zhuǎn)移*/,lead && i==0,limit && i==a[pos])//最后兩個(gè)變量傳參都是這樣寫的

19./*這里還算比較靈活，不過做幾個(gè)題就覺得這里也是套路了

20.大概就是說，我當(dāng)前數(shù)位枚舉的數(shù)是i，然后根據(jù)題目的約束條件分類討論

21.去計(jì)算不同情況下的個(gè)數(shù)，還有要根據(jù)state變量來保證i的合法性，比如題目

22.要求數(shù)位上不能有62連續(xù)出現(xiàn),那么就是state就是要保存前一位pre,然后分類，23.前一位如果是6那么這意味就不能是2，這里一定要保存枚舉的這個(gè)數(shù)是合法*/

24.}

25.//計(jì)算完，記錄狀態(tài)

26.if(!limit &&!lead)dp[pos][state]=ans;

27./*這里對應(yīng)上面的記憶化，在一定條件下時(shí)記錄，保證一致性，當(dāng)然如果約束條件不需要考慮lead，這里就是lead就完全不用考慮了*/

28.return ans;29.}

30.ll solve(ll x)31.{

32.int pos=0;

33.while(x)//把數(shù)位都分解出來

34.{

35.a[pos++]=x%10;//個(gè)人老是喜歡編號為[0,pos),看不慣的就按自己習(xí)慣來，反正注意數(shù)位邊界就行

36.x/=10;37.}

38.return dfs(pos-1/*從最高位開始枚舉*/,/*一系列狀態(tài) */,true,true);//剛開始最高位都是有限制并且有前導(dǎo)零的，顯然比最高位還要高的一位視為0嘛

39.}

40.int main()41.{

42.ll le,ri;

43.while(~scanf(“%lld%lld”,&le,&ri))44.{

45.//初始化dp數(shù)組為-1,這里還有更加優(yōu)美的優(yōu)化,后面講 46.printf(“%lldn”,solve(ri)-solve(le-1));47.} 48.}

注意：

那個(gè)if(!limit &&!lead &&dp[pos][state]!=-1)return dp[pos][state];limit 的數(shù)字必須要枚舉，不能直接返回，每次都要算

雖然這會導(dǎo)致重復(fù)，但這可以解決狀態(tài)沖突，而且重復(fù)計(jì)算的數(shù)字也很少 舉例如下：

題目：不能出現(xiàn)連續(xù)的11(11、112、211都是不合法的)那么我們開始枚舉：

要枚舉3位數(shù)，已經(jīng)枚舉了兩位01_，要枚舉最后一位，此時(shí)狀態(tài)為d[0][1] 即：在枚舉個(gè)位，且前一位為1，那么顯然得出d[0][1]=9 開始新的一輪枚舉，枚舉到11_，此時(shí)狀態(tài)也是d[0][1] 因?yàn)橐呀?jīng)有9這個(gè)值了，所以返回了，但很明顯答案是0，是錯(cuò)的 當(dāng)然可以多開一維防止?fàn)顟B(tài)沖突

可以看看數(shù)位DP模板題： HDU 2089 不要62 數(shù)位DP.二，遞推方法

思路來自：初探數(shù)位dp

狀態(tài)定義：d[i][j] 有i位數(shù)字，且第一位為j，在 0~j-1 + 000....999的符合題意的個(gè)數(shù)，如 d[4][3] 就是在 3000~3999 的符合題意的個(gè)數(shù)

還要個(gè)數(shù)組a[i]保存第i位的數(shù)字，如213，a[1]=3，注意是從右往左數(shù)（下面是從1開始數(shù)起了）

這樣狀態(tài)定義的能更加方便，可以預(yù)處理，因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)字的第一位比題目要求的第一位小后，后面的幾位能000..~999..如4269，如果第一位枚舉 3 _ _ _，那么后三位可以任取

模板如下：

1.for(int i=1;i<=7;i++)//枚舉位數(shù)

2.{

3.for(int j=0;j<10;j++)//枚舉第i位可能出現(xiàn)的數(shù)

4.{

5.for(int k=0;k<10;k++)//枚舉第i-1位可能出現(xiàn)的數(shù)

6.{

7.if(j!=4&&!(j==6&&k==2))//符合題意的條件

8.dp[i][j] += dp[i-1][k];9.} 10.} 11.}

以HDU 2089，解釋怎么算出答案（不含4，62的數(shù)字）

1.#include

2.#include 3.#include

4.#include

5.using namespace std;6.int d[10][10],digit[10];

7.//d[i][j] 表示有i位數(shù)字，且第一位是j的數(shù)字的 滿足題意的數(shù)量

8.void init()9.{

10.d[0][0]=1;

11.for(int i=1;i<=7;i++)12.for(int j=0;j<=9;j++)13.for(int k=0;k<=9;k++)14.if(j!=4&&!(j==6&&k==2))15.d[i][j]+=d[i-1][k];16.}

17.int solve(int x)// [0,x)

18.{

19.int len=0;20.while(x){

21.digit[++len]=x%10;22.x/=10;23.}

24.digit[len+1]=0;25.int ans=0;

26.for(int i=len;i>=1;i--){

27.for(int j=0;j

28.if(j!=4&&!(j==2&&digit[i+1]==6))29.ans+=d[i][j];30.31.if(digit[i]==4||(digit[i+1]==6&&digit[i]==2))32.break;33.}

34.return ans;35.}

36.int main(int argc, char const *argv[])37.{

38.int n,m;39.init();

40.while(cin>>n>>m,n+m)41.cout<

42.return 0;43.}

假設(shè)一個(gè)數(shù)3229 得出

0000~0999 的個(gè)數(shù) 1000~1999 的個(gè)數(shù) 2000~2999 的個(gè)數(shù) 000~099 的個(gè)數(shù) 100~199 的個(gè)數(shù) 00~99 的個(gè)數(shù) 10~19 的個(gè)數(shù) 0~8 的個(gè)數(shù) 累加就是答案了

所以該區(qū)間是[0,n)是取不到的n的，注意計(jì)算的時(shí)候要加一個(gè)1

下面是一些題目：

HDU 2089 不要62和4 HDU 3555 含49的數(shù)

HDU 3652 含13且可以被13整除

codeforces 55d A 一個(gè)數(shù)字可以被它所有非零數(shù)整除的個(gè)數(shù) POJ 3252 Round Numbers HDU 4734 F(x)HDU 3709 Balanced Number HYSBZ 1799 self 同類分布

URAL 1057 Amount of Degrees * HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻 *

總結(jié)：

可能要用到的數(shù)位DP的題目類型：

1~10^18，求某區(qū)間（很大），有特定要求的數(shù)字的個(gè)數(shù) 如求mod，求和，可以整除各位數(shù)，不出現(xiàn)某些數(shù)...框架：

int DFS(intpos,......)//DFS一位一位放數(shù)字，求出答案，函數(shù)的參數(shù)保存題目要求的狀態(tài)

int solve(int n)//把n一位一位拆分，求出[1,n] 的符合要求的值

難點(diǎn)：定義好狀態(tài)！

1.dp狀態(tài)要找好，不要出現(xiàn)狀態(tài)重疊現(xiàn)象，注意前導(dǎo)0有沒有影響

2.題目有求和sum，可能會很大，但可以轉(zhuǎn)化為保存sum對一個(gè)數(shù)求mod的值 3.有時(shí)候dp狀態(tài)定義不好可能要求每次DFS都要memset一下，換換思路想想通用的狀態(tài)定義，如sum從加法改為減法

第二篇：算法總結(jié)

算法分塊總結(jié)

為備戰(zhàn)2005年11月4日成都一戰(zhàn)，特將已經(jīng)做過的題目按算法分塊做一個(gè)全面詳細(xì)的總結(jié)，主要突出算法思路，盡量選取有代表性的題目，盡量做到算法的全面性，不漏任何ACM可能涉及的算法思路。算法設(shè)計(jì)中，時(shí)刻都要牢記要減少冗余，要以簡潔高效為追求目標(biāo)。另外當(dāng)遇到陌生的問題時(shí)，要想方設(shè)法進(jìn)行模型簡化，轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的東西。

圖論模型的應(yīng)用

分層圖思想的應(yīng)用：

用此思想可以建立起更簡潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型，進(jìn)而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的圖有一些很好的性質(zhì)： 由于層是由復(fù)制得到的，所以所有層都非常相似，以至于我們只要在邏輯上分出層的概念即可，根本不用在程序中進(jìn)行新層的存儲，甚至幾乎不需要花時(shí)間去處理。由于層之間的相似性，很多計(jì)算結(jié)果都是相同的。所以我們只需對這些計(jì)算進(jìn)行一次，把結(jié)果存起來，而不需要反復(fù)計(jì)算。如此看來，雖然看起來圖變大了，但實(shí)際上問題的規(guī)模并沒有變大。層之間是拓?fù)溆行虻?。這也就意味著在層之間可以很容易實(shí)現(xiàn)遞推等處理，為發(fā)現(xiàn)有效算法打下了良好的基礎(chǔ)。

這些特點(diǎn)說明這個(gè)分層圖思想還是很有潛力的，尤其是各層有很多公共計(jì)算結(jié)果這一點(diǎn)，有可能大大消除冗余計(jì)算，進(jìn)而降低算法時(shí)間復(fù)雜度。二分圖最大及完備匹配的應(yīng)用： ZOJ place the robots: 二分圖最優(yōu)匹配的應(yīng)用：

最大網(wǎng)絡(luò)流算法的應(yīng)用：典型應(yīng)用就求圖的最小割。最小費(fèi)用最大流的應(yīng)用：

容量有上下界的最大流的應(yīng)用：

歐拉路以及歐拉回路的應(yīng)用：主要利用求歐拉路的套圈算法。最小生成樹：

求最小生成樹，比較常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。前者借助Fibonacci堆可以使復(fù)雜度降為O(Vlog2V+E)，后者一般應(yīng)用于稀疏圖，其時(shí)間復(fù)雜度為O(Elog2V)。最小K度限制生成樹：

抽象成數(shù)學(xué)模型就是：

設(shè)G=(V,E,ω)是連通的無向圖，v0 ∈V是特別指定的一個(gè)頂點(diǎn),k為給定的一個(gè)正整數(shù)。首先考慮邊界情況。先求出問題有解時(shí)k 的最小值：把v0點(diǎn)從圖中刪去后，圖中可能會出 現(xiàn)m 個(gè)連通分量，而這m 個(gè)連通分量必須通過v0來連接，所以，在圖G 的所有生成樹中 dT(v0)≥m。也就是說，當(dāng)k

首先，將 v0和與之關(guān)聯(lián)的邊分別從圖中刪去，此時(shí)的圖可能不再連通，對各個(gè)連通分量，分別求最小生成樹。接著，對于每個(gè)連通分量V’，求一點(diǎn)v1，v1∈V’,且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v’)|v’∈V’}，則該連通分量通過邊(v1,v0)與v0相連。于是，我們就得到了一個(gè)m度限制生成樹，不難證明，這就是最小m度限制生成樹。這一步的時(shí)間復(fù)雜度為O(Vlog2V+E)我們所求的樹是無根樹，為了解題的簡便，把該樹轉(zhuǎn)化成以v0為根的有根樹。

假設(shè)已經(jīng)得到了最小p度限制生成樹，如何求最小p+1 度限制生成樹呢？在原先的樹中加入一條與v0相關(guān)聯(lián)的邊后，必定形成一個(gè)環(huán)。若想得到一棵p+1 度限制生成樹，需刪去一條在環(huán)上的且與v0無關(guān)聯(lián)的邊。刪去的邊的權(quán)值越大，則所得到的生成樹的權(quán)值和就越小。動態(tài)規(guī)劃就有了用武之地。設(shè)Best(v)為路徑v0—v上與v0無關(guān)聯(lián)且權(quán)值最大的邊。定義father(v)為v的父結(jié)點(diǎn)，動態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Best(v)=max(Best(father(v)),(father(v),v))，邊界條件為Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)。

狀態(tài)共|V|個(gè)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時(shí)間復(fù)雜度O(1)，所以總的時(shí)間復(fù)雜度為O(V)。故由最小p度限制生成樹得到最小p+1度限制生成樹的時(shí)間復(fù)雜度為O(V)。1 先求出最小m度限制生成樹；

2由最小m度限制生成樹得到最小m+1度限制生成樹;3 當(dāng)dT(v0)=k時(shí)停止。

加邊和去邊過程，利用動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化特別值得注意。

次小生成樹：

加邊和去邊很值得注意。

每加入一條不在樹上的邊，總能形成一個(gè)環(huán)，只有刪去環(huán)上的一條邊，才能保證交換后仍然是生成樹，而刪去邊的權(quán)值越大，新得到的生成樹的權(quán)值和越小。具體做法：

首先做一步預(yù)處理，求出樹上每兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的路徑上的權(quán)值最大的邊，然后，枚舉圖中不在樹上的邊，有了剛才的預(yù)處理，我們就可以用O(1)的時(shí)間得到形成的環(huán)上的權(quán)值最大的邊。如何預(yù)處理呢？因?yàn)檫@是一棵樹，所以并不需要什么高深的算法，只要簡單的BFS 即可。

最短路徑的應(yīng)用：

Dijkstra 算法應(yīng)用： Folyed 算法應(yīng)用：

Bellman-Ford 算法的應(yīng)用：

差分約束系統(tǒng)的應(yīng)用：

搜索算法

搜索對象和搜索順序的選取最為重要。一些麻煩題，要注意利用數(shù)據(jù)有序化，要找一個(gè)較優(yōu)的搜索出發(fā)點(diǎn)，凡是能用高效算法的地方盡量爭取用高效算法?；镜倪f歸回溯深搜，記憶化搜索，注意剪枝： 廣搜（BFS）的應(yīng)用： 枚舉思想的應(yīng)用： ZOJ 1252 island of logic A*算法的應(yīng)用：

IDA*算法的應(yīng)用，以及跳躍式搜索探索： 限深搜索，限次： 迭代加深搜索：

部分搜索+高效算法（比如二分匹配，動態(tài)規(guī)劃）： ZOJ milk bottle data: 剪枝優(yōu)化探索：

可行性剪枝，最優(yōu)性剪枝，調(diào)整搜索順序是常用的優(yōu)化手段。

動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃最重要的就是狀態(tài)的選取，以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，另外還要考慮高效的預(yù)處理（以便更好更快的實(shí)現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移）。最常用的思想就是用枚舉最后一次操作。

狀態(tài)壓縮DP，又叫帶集合的動態(tài)規(guī)劃：題目特點(diǎn)是有一維的維數(shù)特別小。類似TSP問題的DP：

狀態(tài)劃分比較困難的題目： 樹形DP：

四邊形不等式的應(yīng)用探索：四邊形不等式通常應(yīng)用是把O(n^3)復(fù)雜度O(n^2)

高檔數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用

并查集的應(yīng)用：

巧用并查集中的路徑壓縮思想： 堆的利用： 線段樹的應(yīng)用：

總結(jié)用線段樹解題的方法

根據(jù)題目要求將一個(gè)區(qū)間建成線段樹，一般的題目都需要對坐標(biāo)離散。建樹時(shí)，不要拘泥于線段樹這個(gè)名字而只將線段建樹，只要是表示區(qū)間，而且區(qū)間是由單位元素(可以是一個(gè)點(diǎn)、線段、或數(shù)組中一個(gè)值)組成的，都可以建線段樹；不要拘泥于一維，根據(jù)題目要求可以建立面積樹、體積樹等等

樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)根據(jù)題目所需，設(shè)置變量記錄要求的值

用樹形結(jié)構(gòu)來維護(hù)這些變量：如果是求總數(shù)，則是左右兒子總數(shù)之和加上本節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，如果要求最值，則是左右兒子的最大值再聯(lián)系本區(qū)間。利用每次插入、刪除時(shí)，都只對O(logL)個(gè)節(jié)點(diǎn)修改這個(gè)特點(diǎn)，在O(logL)的時(shí)間內(nèi)維護(hù)修改后相關(guān)節(jié)點(diǎn)的變量。

在非規(guī)則刪除操作和大規(guī)模修改數(shù)據(jù)操作中，要靈活的運(yùn)用子樹的收縮與葉子節(jié)點(diǎn)的釋放，避免重復(fù)操作。

Trie的應(yīng)用：；

Trie圖的應(yīng)用探索： 后綴數(shù)組的應(yīng)用研究：

在字符串處理當(dāng)中，后綴樹和后綴數(shù)組都是非常有力的工具，其中后綴樹了解得比較多，關(guān)于后綴數(shù)組則很少見于國內(nèi)的資料。其實(shí)后綴數(shù)組是后綴樹的一個(gè)非常精巧的替代品，它比后綴樹容易編程實(shí)現(xiàn)，能夠?qū)崿F(xiàn)后綴樹的很多功能而時(shí)間復(fù)雜度也不太遜色，并且，它比后綴樹所占用的空間小很多。

樹狀數(shù)組的應(yīng)用探索：；

計(jì)算幾何

掌握基本算法的實(shí)現(xiàn)。凸包的應(yīng)用：；

半平面交算法的應(yīng)用：；

幾何+模擬類題目：幾何設(shè)計(jì)好算法，模擬控制好精度。掃描法：；

轉(zhuǎn)化法：ZOJ 1606 將求所圍的格子數(shù)，巧妙的轉(zhuǎn)化為求多邊形的面積。離散法思想的應(yīng)用：；

經(jīng)典算法：找平面上的最近點(diǎn)對。

貪心

矩形切割

二分思想應(yīng)用

活用經(jīng)典算法

利用歸并排序算法思想求數(shù)列的逆序?qū)?shù)：

利用快速排序算法思想，查詢N個(gè)數(shù)中的第K小數(shù)：

博弈問題

博弈類題目通常用三類解法：第一類推結(jié)論； 第二類遞推，找N位置，P位置； 第三類SG函數(shù)的應(yīng)用。第四類極大極小法，甚至配合上αβ剪枝。最難掌握的就是第四類極大極小法。

第一類：推結(jié)論。典型題目： 第二類：遞推。典型題目：

比如有向無環(huán)圖類型的博弈。在一個(gè)有向圖中，我們把選手I有必勝策略的初始位置稱為N位置(Next player winning)，其余的位置被稱為P位置(Previous player winning)。很顯然，P位置和N位置應(yīng)該具有如下性質(zhì)：

1． 所有的結(jié)束位置都是P位置。

2． 對于每一個(gè)N位置，至少存在一種移動可以將棋子移動到一個(gè)P位置。3． 對于每一個(gè)P位置，它的每一種移動都會將棋子移到一個(gè)N位置。

這樣，獲勝的策略就是每次都把棋子移動到一個(gè)P位置，因?yàn)樵谝粋€(gè)P位置，你的對手只能將棋子移動到一個(gè)N位置，然后你總有一種方法再把棋子移動到一個(gè)P位置。一直這樣移動，最后你一定會將棋子移動到一個(gè)結(jié)束位置（結(jié)束位置是P位置），這時(shí)你的對手將無法在移動棋子，你便贏得了勝利。

與此同時(shí)，得到了這些性質(zhì)，我們便很容易通過倒退的方法求出哪些位置是P位置，哪些位置是N位置，具體的算法為：

1． 將所有的結(jié)束位置標(biāo)為P位置。

2． 將所有能一步到達(dá)P位置的點(diǎn)標(biāo)為N位置。

3． 找出所有只能到達(dá)N位置的點(diǎn)，將它們標(biāo)為P位置。

4． 如果在第三步中沒有找到新的被標(biāo)為P位置的點(diǎn)，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到步驟2。這樣我們便確定了所有位置，對于題目給出的任一初始位置，我們都能夠很快確定出是選手I獲勝還是選手II獲勝了。第三類：SG函數(shù)的應(yīng)用。

關(guān)于SG函數(shù)的基本知識：對于一個(gè)有向圖(X, F)來說，SG函數(shù)g是一個(gè)在X上的函數(shù)，并且它返回一個(gè)非負(fù)整數(shù)值，具體定義為

g(x)?min{n?0,n?g(y)對于所有y?F(x)}

1． 對于所有的結(jié)束位置x，g(x)= 0。

2． 對于每一個(gè)g(x)≠ 0的位置x，在它可以一步到達(dá)的位置中至少存在一個(gè)位置y使得g(y)= 0。

3．對于每一個(gè)g(x)＝ 0的位置x，所有可以由它一步到達(dá)的位置y都有g(shù)(y)≠ 0。

定理 如果g(xi)是第i個(gè)有向圖的SG函數(shù)值，i = 1,…,n，那么在由這n個(gè)有向圖組成的狀態(tài)的SG函數(shù)值g(x1,…xn)= g(x1)xor g(x2)xor … xor g(xn)

第四類：極大極小法。

典型題目：ZOJ 1155：Triangle War

ZOJ 1993：A Number Game

矩陣妙用

矩陣最基本的妙用就是利用快速乘法O（logn）來求解遞推關(guān)系（最基本的就是求Fibonacci數(shù)列的某項(xiàng)）和各種圖形變換，以及利用高斯消元法變成階梯矩陣。典型題目：

數(shù)學(xué)模型舉例

向量思想的應(yīng)用：

UVA 10089：注意降維和向量的規(guī)范化 ；

利用復(fù)數(shù)思想進(jìn)行向量旋轉(zhuǎn)。

UVA 10253：

遞推

數(shù)代集合

數(shù)代集合的思想：

ACM ICPC 2002-2003, Northeastern European Region, Northern Subregion 中有一題：Intuitionistic Logic 用枚舉+數(shù)代集合思想優(yōu)化，注意到題中有一句話：“You may assume that the number H = |H| of elements of H?doesn't exceed 100”，這句話告訴我們H的元素個(gè)數(shù)不會超過100，因此可以考慮用一個(gè)數(shù)代替一個(gè)集合，首先把所有的運(yùn)算結(jié)果都用預(yù)處理算出來，到計(jì)算的時(shí)候只要用O(1)的復(fù)雜度就可以完成一次運(yùn)算。

組合數(shù)學(xué)

Polya定理則是解決同構(gòu)染色計(jì)數(shù)問題的有力工具。

補(bǔ)集轉(zhuǎn)化思想

ZOJ 單色三角形：

字符串相關(guān)

擴(kuò)展的KMP算法應(yīng)用：；最長回文串； 最長公共子串； 最長公共前綴；

填充問題

高精度運(yùn)算

三維空間問題專題

無論什么問題，一旦擴(kuò)展到三難空間，就變得很有難度了。三維空間的問題，很考代碼實(shí)現(xiàn)能力。

其它問題的心得

解決一些判斷同構(gòu)問題的方法：同構(gòu)的關(guān)鍵在于一一對應(yīng)，而如果枚舉一一對應(yīng)的關(guān)系，時(shí)間復(fù)雜度相當(dāng)?shù)母?，利用最小表示，就能把一個(gè)事物的本質(zhì)表示出來。求最小表示時(shí)，我們一定要仔細(xì)分析，將一切能區(qū)分兩個(gè)元素的條件都在最小表示中體現(xiàn)，而且又不能主觀的加上其他條件。得到最小表示后，我們往往還要尋求適當(dāng)?shù)?、高效的匹配算法（例如KMP字符匹配之類的），來比較最小表示是否相同，這里常常要將我們熟悉的高效算法進(jìn)行推廣

第三篇：算法總結(jié)

算法分析與設(shè)計(jì)總結(jié)報(bào)告

71110415 錢玉明

在計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)中，算法分析與設(shè)計(jì)是一門非常重要的課程，很多人為它如癡如醉。很多問題的解決，程序的編寫都要依賴它，在軟件還是面向過程的階段，就有程序=算法+數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)這個(gè)公式。算法的學(xué)習(xí)對于培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維能力是有極大幫助的，它可以培養(yǎng)我們養(yǎng)成思考分析問題，解決問題的能力。作為IT行業(yè)學(xué)生，學(xué)習(xí)算法無疑會增強(qiáng)自己的競爭力，修煉自己的“內(nèi)功”。

下面我將談?wù)勎覍@門課程的心得與體會。

一、數(shù)學(xué)是算法的基礎(chǔ)

經(jīng)過這門課的學(xué)習(xí)，我深刻的領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)是一切算法分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。這門課的很多時(shí)間多花在了數(shù)學(xué)公式定理的引入和證明上。雖然很枯燥，但是有必不可少。我們可以清晰的看到好多算法思路是從這些公式定理中得出來的，尤其是算法性能的分析更是與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。其中有幾個(gè)定理令我印象深刻。

①主定理

本門課中它主要應(yīng)用在分治法性能分析上。例如：T(n)=a*T(n/b)+f(n)，它可以看作一個(gè)大問題分解為a個(gè)子問題，其中子問題的規(guī)模為b。而f(n)可看作這些子問題的組合時(shí)的消耗。這些可以利用主定理的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行分析處理。當(dāng)f(n)量級高于nlogba時(shí)，我們可以設(shè)法降低子問題組合時(shí)的消耗來提高性能。反之我們可以降低nlogba的消耗，即可以擴(kuò)大問題的規(guī)?；蛘邷p小子問題的個(gè)數(shù)。因此主定理可以幫助我們清晰的分析出算法的性能以及如何進(jìn)行有效的改進(jìn)。

②隨機(jī)算法中的許多定理的運(yùn)用

在這門課中，我學(xué)到了以前從未遇見過的隨機(jī)算法，它給予我很大的啟示。隨機(jī)算法不隨機(jī)，它可通過多次的嘗試來降低它的錯(cuò)誤率以至于可以忽略不計(jì)。這些都不是空穴來風(fēng)，它是建立在嚴(yán)格的定理的證明上。如素?cái)?shù)判定定理是個(gè)很明顯的例子。它運(yùn)用了包括費(fèi)馬小定理在內(nèi)的各種定理。將這些定理進(jìn)行有效的組合利用，才得出行之有效的素?cái)?shù)判定的定理。尤其是對尋找證據(jù)數(shù)算法的改進(jìn)的依據(jù)，也是建立在3個(gè)定理上。還有檢查字符串是否匹配也是運(yùn)用了許多定理：指紋的運(yùn)用，理論出錯(cuò)率的計(jì)算，算法性能的評價(jià)也都是建立在數(shù)學(xué)定理的運(yùn)用上。

這些算法都給予了我很大啟發(fā)，要想學(xué)好算法，學(xué)好數(shù)學(xué)是必不可少的。沒有深厚的數(shù)學(xué)功力作為地基，即使再漂亮的算法框架，代碼實(shí)現(xiàn)也只能是根底淺的墻上蘆葦。

二、算法的核心是思想

我們學(xué)習(xí)這門課不是僅僅掌握那幾個(gè)經(jīng)典算法例子，更重要的是為了學(xué)習(xí)蘊(yùn)含在其中的思想方法。為什么呢？舉個(gè)例子。有同學(xué)曾問我這樣一個(gè)問題：1000只瓶子裝滿水，但有一瓶有毒，且毒發(fā)期為1個(gè)星期?，F(xiàn)在用10只老鼠在一個(gè)星期內(nèi)判斷那只瓶子有毒，每只老鼠可以喝多個(gè)瓶子的水，每個(gè)瓶子可以只喝一點(diǎn)。問如何解決？其實(shí)一開始我也一頭霧水，但是他提醒我跟計(jì)算機(jī)領(lǐng)域相關(guān)，我就立馬有了思路，運(yùn)用二進(jìn)制。因?yàn)橛?jì)算機(jī)的最基本思想就是二進(jìn)制。所以說，我們不僅要學(xué)習(xí)算法，更得學(xué)習(xí)思想方法。

①算法最基本的設(shè)計(jì)方法包括分治法，動態(tài)規(guī)劃法，貪心法，周游法，回溯法，分支定界法。我們可利用分治法做快速排序，降低找n個(gè)元素中最大元和最小元的量級，降低n位二進(jìn)制x和y相乘的量級，做Strassen矩陣乘法等等。它的思想就是規(guī)模很大的問題分解為規(guī)模較小的獨(dú)立的子問題，關(guān)鍵是子問題要與原問題同類，可以采取平衡法來提高性能。

動態(tài)規(guī)劃法是把大問題分解為子問題，但是子問題是重復(fù)的，后面的問題可以利用前面解決過的問題的結(jié)果。如構(gòu)造最優(yōu)二叉查找樹，解決矩陣連乘時(shí)最小計(jì)算次數(shù)問題，尋找最長公共子序列等等。

貪心法就是局部最優(yōu)法，先使局部最優(yōu)，再依次構(gòu)造出更大的局部直至整體。如Kruscal最小生成樹算法，求哈夫曼編碼問題。

周游法就是簡單理解就是采取一定的策略遍歷圖中所有的點(diǎn)，典型的應(yīng)用就是圖中的深度優(yōu)先搜索(DFS)和廣度優(yōu)先搜索(BFS)。

回溯法就是就是在滿足一定的條件后就往前走，當(dāng)走到某步時(shí)，發(fā)現(xiàn)不滿足條件就退回一步重新選擇新的路線。典型的應(yīng)用就是8皇后問題，平面點(diǎn)集的凸包問題和0-1背包問題。

分支定界法：它是解決整數(shù)規(guī)劃問題一種最常用的方法。典型應(yīng)用就是解決整數(shù)規(guī)劃問題。

②評價(jià)算法性能的方法如平攤分析中的聚集法，會計(jì)法和勢能法。聚集法就是把指令分為幾類，計(jì)算每一類的消耗，再全部疊加起來。會計(jì)法就是計(jì)算某個(gè)指令時(shí)提前將另一個(gè)指令的消耗也算進(jìn)去，以后計(jì)算另一個(gè)指令時(shí)就不必再算了。勢能法計(jì)算每一步的勢的變化以及執(zhí)行這步指令的消耗，再將每一步消耗全部累計(jì)。

這幾種方法都是平攤分析法，平攤分析的實(shí)質(zhì)就是總體考慮指令的消耗時(shí)間，盡管某些指令的消耗時(shí)間很大也可以忽略不計(jì)。上述三種方法難易程度差不多，每種方法都有屬于它的難點(diǎn)。如聚集法中如何將指令有效分類，會計(jì)法中用什么指令提前計(jì)算什么指令的消耗，勢能法中如何選取勢能。因此掌握這些方法原理還不夠，還要學(xué)會去應(yīng)用，在具體的問題中去判斷分析。

三、算法與應(yīng)用緊密相關(guān)

我認(rèn)為學(xué)習(xí)算法不能局限于書本上的理論運(yùn)算，局限于如何提高性能以降低復(fù)雜度，我們要將它與實(shí)際生活聯(lián)系起來。其實(shí)算法問題的產(chǎn)生就來自于生活，設(shè)計(jì)出高效的算法就是為了更好的應(yīng)用。如尋找最長公共子序列算法可以應(yīng)用在生物信息學(xué)中通過檢測相似DNA片段的相似成分來檢測生物特性的相似性，也可以用來判斷兩個(gè)字符串的相近性，這可應(yīng)用在數(shù)據(jù)挖掘中?？焖俑盗⑷~變換（FFT）可應(yīng)用在計(jì)算多項(xiàng)式相乘上來降低復(fù)雜度，脫線min算法就是利用了Union-Find這種結(jié)構(gòu)。還有圖中相關(guān)算法，它對于解決網(wǎng)絡(luò)流量分配問題起了很大的幫助，等等。

這些應(yīng)用給了我很大的啟發(fā)：因?yàn)閱渭冎v一個(gè)Union-Find算法，即使了解了它的實(shí)現(xiàn)原理，遇到具體的實(shí)際問題也不知去如何應(yīng)用。這就要求我們要將自己學(xué)到的算法要和實(shí)際問題結(jié)合起來，不能停留在思想方法階段，要學(xué)以致用，做到具體問題具體分析。

四、對計(jì)算模型和NP問題的理解

由于對這部分內(nèi)容不是很理解，所以就粗淺的談一下我的看法。

首先談到計(jì)算模型，就不得不提到圖靈計(jì)算，他將基本的計(jì)算抽象化，造出一個(gè)圖靈機(jī)，得出了計(jì)算的本質(zhì)。并提出圖靈機(jī)可以計(jì)算的問題都是可以計(jì)算的，否則就是不可計(jì)算的。由此引申出一個(gè)著名論題：任何合理的計(jì)算模型都是相互等價(jià)的。它說明了可計(jì)算性本身不依賴于任何具體的模型而客觀存在。

NP問題比較復(fù)雜，我認(rèn)為它是制約算法發(fā)展的瓶頸，但這也是算法分析的魅力所在。NP問題一般可分為3類，NP-C問題，NP-hard問題以及頑型問題。NP-C它有個(gè)特殊的性質(zhì)，如果存在一個(gè)NP-C問題找到一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間的解法，則所有的NP-C問題都能找到多項(xiàng)式時(shí)間解法。如哈密頓回路問題。NP-hard主要是解決最優(yōu)化問題。它不一定是NP問題。這些問題在規(guī)模較小時(shí)可以找出精確解，但是規(guī)模大時(shí)，就因時(shí)間太復(fù)雜而找不到最優(yōu)解。此時(shí)一般會采用近似算法的解法。頑型問題就是已經(jīng)證明不可能有多項(xiàng)式時(shí)間的算法，如漢諾塔問題。

最后談?wù)剬@門課程的建議

①對于這門算法課，我認(rèn)為應(yīng)該加強(qiáng)對算法思想方法的學(xué)習(xí)。所以我建議老師可不可以先拋出問題而不給出答案，講完一章，再發(fā)課件。讓我們先思考一會兒，或者給出個(gè)獎勵(lì)機(jī)制，誰能解決這個(gè)問題，平時(shí)成績加分。這在一定程度上會將強(qiáng)我們思考分析問題的能力。因?yàn)槲腋杏X到，一個(gè)問題出來，未經(jīng)過思考就已經(jīng)知曉它的答案，就沒什么意思，得不到提高，而且也不能加深對問題的思考和理解。下次遇到類似的問題也就沒有什么印象。而且上課讓我們思考，點(diǎn)名回答問題可以一定程度上有效的防止不認(rèn)真聽課的現(xiàn)象。

②作業(yè)安排的不是很恰當(dāng)。本門課主要安排了三次作業(yè)，個(gè)人感覺只有第一次作業(yè)比較有意思。后面兩次作業(yè)只是實(shí)現(xiàn)一下偽代碼，沒有太多的技術(shù)含量。而且對于培養(yǎng)我們的解決問題的能力也沒有太多的幫助，因?yàn)檫@間接成為了程序設(shè)計(jì)題，不是算法設(shè)計(jì)題。

③本門課的時(shí)間安排的不太恰當(dāng)，因?yàn)楸緦W(xué)期的課程太多，壓力太大。沒有太多的時(shí)間去學(xué)習(xí)這門課程。因?yàn)槲蚁嘈糯蠹叶紝λ信d趣，比較重視，想花功夫，但苦于沒時(shí)間。所以可不可以將課程提前一個(gè)學(xué)期，那時(shí)候離散數(shù)學(xué)也已經(jīng)學(xué)過，且課程的壓力也不是很大。錯(cuò)開時(shí)間的話，我覺得應(yīng)該能夠更好提高大家算法分析設(shè)計(jì)的能力。

第四篇：認(rèn)識數(shù)位

認(rèn)識數(shù)位

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：。通過計(jì)數(shù)器使學(xué)生認(rèn)識個(gè)位，十位、百位，了解個(gè)位、十位上數(shù)表示含義，會正確讀、寫100以內(nèi)的數(shù)。

過程與方法：。通過動手操作、觀察，直觀體驗(yàn)數(shù)的意義，數(shù)的讀、寫法的過程方法。

情感態(tài)度、價(jià)值觀：在學(xué)習(xí)中建立數(shù)感，能積極參與學(xué)習(xí)，形成獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

學(xué)習(xí)方式：動手操作，自主合作交流探究。

教學(xué)準(zhǔn)備：每人一個(gè)計(jì)數(shù)器，（學(xué)具）幻燈片（分片）數(shù)位、數(shù)字卡片。

教學(xué)過程：

環(huán)節(jié) 學(xué)生活動 教師活動 設(shè)計(jì)意圖

創(chuàng)設(shè)情境 生答 出示計(jì)數(shù)器

同學(xué)們你們認(rèn)識這是什么學(xué)具嗎？

（生如果不認(rèn)識，師直接點(diǎn)出，這是計(jì)數(shù)器，是用來學(xué)習(xí)數(shù)用的）。

激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望。

探

究

與

體

驗(yàn) 自由讀，在計(jì)數(shù)器上標(biāo)出個(gè)、十、百位。

從右邊數(shù)第一位是個(gè)位，第二位是十位，第三位是百位。

指生讀，齊讀。

學(xué)生動手撥

讀作二十四，寫作24。

因?yàn)槭粨艿氖?，個(gè)位撥的是4，所以就是24。

24中的2表示2個(gè)十，4表示4個(gè)一。

自己在計(jì)數(shù)器上撥數(shù)

讀一讀、說一說、寫一寫。

匯報(bào)：

讀作四十二，寫做42。因?yàn)?在十位上表示4個(gè)十，2在個(gè)位上表示2個(gè)一。所以寫做42。

學(xué)生動手撥數(shù)、讀數(shù)

說意義，“十位上的5表示5個(gè)十，個(gè)位上的5表示5個(gè)一”。

學(xué)生看圖，照樣子撥珠，同桌交流，匯報(bào)：計(jì)數(shù)器的十位上的數(shù)是6，表示6個(gè)十，個(gè)位上沒有珠，表示一個(gè)也沒有用零表示。這個(gè)計(jì)數(shù)器上的珠子表示60。

1、認(rèn)識計(jì)數(shù)器上的數(shù)位。

幻燈片出示。

同學(xué)們，從右邊數(shù)第一位、第二位、第三位各是什么位？（若學(xué)生回答不出來，教師講解）。從右邊數(shù)第一位是個(gè)位，第二位是十位，第三位是百位。

2、撥數(shù)，寫數(shù)、讀數(shù)。

（1）教師說數(shù)學(xué)生撥。

在計(jì)數(shù)器的十位上撥2，個(gè)位上撥4。這個(gè)數(shù)讀作多少？該怎樣寫出來？你們試著撥一撥、說一說。你是怎么知道的？

（2）寫法及數(shù)表示的意義：

十位上是2，就在十位上寫2，表示2個(gè)十。個(gè)位上是4，就在個(gè)位上寫4，表示4個(gè)一。讀作二十四。板書24。

同桌同學(xué)互相說一說24中2和4各表示什么？

1、練習(xí)撥一撥、讀一讀。

教師說數(shù)，在十位上撥4

在個(gè)位上撥2，讀讀、寫寫、說說你是怎么知道的？

讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上撥出55。

（讓學(xué)生說說這兩個(gè)5的意義有什么不同）

4、出示圖片（試一試）

照樣子撥珠再寫數(shù)，并讀出來

重點(diǎn)引導(dǎo)：第2個(gè)計(jì)數(shù)器，個(gè)位上沒珠，怎么辦？寫幾表示

引導(dǎo)學(xué)生歸納寫數(shù)的方法。

計(jì)數(shù)器的十位上是幾就在十位上寫幾，計(jì)數(shù)器的個(gè)位上是幾就在個(gè)位上寫幾。通過自己利用計(jì)數(shù)器撥數(shù)、讀數(shù)、寫數(shù)等多種形式調(diào)動學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生對數(shù)的寫法、讀法以及數(shù)位有了進(jìn)一步的體驗(yàn)和感悟，對數(shù)的意義也有了初步的了解。

在學(xué)生操作的同時(shí)，注重讓學(xué)生用語言表達(dá)數(shù)的意義，這樣學(xué)生對數(shù)的讀法、寫法、數(shù)位理解的就更加深刻了。

鞏

固

與

應(yīng)

用

1、題：獨(dú)立完成 集體訂正。

2、題同桌互讀

指生讀

3、題在計(jì)數(shù)器上撥一撥，然后寫出來。

4、題：同桌交流，填空。完成練習(xí)1、2、3、4題數(shù)字游戲。

4題：指導(dǎo)第1圖

1個(gè)〇是十，4個(gè)〇是多少？

1個(gè)△是一5個(gè)△是多少？

4個(gè)十5個(gè)一合起來是多少？

數(shù)字游戲：分組進(jìn)行：一人說數(shù)一人在數(shù)位表上撥。多種形式的練習(xí)，鞏固加深理解了所學(xué)知識，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

第五篇：web 算法總結(jié)

1.去掉超鏈接的下畫線： 在 //添加這句就行。 2.格式為：你需要添加下畫線的文字 3.獲取時(shí)間

我們可以通過使用DataTime這個(gè)類來獲取當(dāng)前的時(shí)間。通過調(diào)用類中的各種方法我們可以獲取不同的時(shí)間：如：日期（2008-09-04）、時(shí)間（12：12：12）、日期+時(shí)間（2008-09-04 12：11：10）等。

//獲取日期+時(shí)間

DateTime.Now.ToString();

// 2008-9-4 20:02:10 DateTime.Now.ToLocalTime().ToString();

// 2008-9-4 20:12:12 //獲取日期

DateTime.Now.ToLongDateString().ToString();

// 2008年9月4日 DateTime.Now.ToShortDateString().ToString();

// 2008-9-4 DateTime.Now.ToString(“yyyy-MM-dd”);

// 2008-09-04 DateTime.Now.Date.ToString();

// 2008-9-4 0:00:00 //獲取時(shí)間 DateTime.Now.ToLongTimeString().ToString();

// 20:16:16 DateTime.Now.ToShortTimeString().ToString();

// 20:16 DateTime.Now.ToString(“hh:mm:ss”);

// 08:05:57 DateTime.Now.TimeOfDay.ToString();

// 20:33:50.7187500 //其他

DateTime.ToFileTime().ToString();

// ***000 DateTime.Now.ToFileTimeUtc().ToString();

// ***750 DateTime.Now.ToOADate().ToString();

// 39695.8461709606 DateTime.Now.ToUniversalTime().ToString();

// 2008-9-4 12:19:14 DateTime.Now.Year.ToString();

獲取年份

// 2008 DateTime.Now.Month.ToString();

獲取月份

// 9 DateTime.Now.DayOfWeek.ToString();獲取星期

// Thursday DateTime.Now.DayOfYear.ToString();獲取第幾天

// 248 DateTime.Now.Hour.ToString();

獲取小時(shí)

// 20 DateTime.Now.Minute.ToString();

獲取分鐘

// 31 DateTime.Now.Second.ToString();

獲取秒數(shù)

// 45 //n為一個(gè)數(shù),可以數(shù)整數(shù),也可以事小數(shù) dt.AddYears(n).ToString();

//時(shí)間加n年 dt.AddDays(n).ToString();

//加n天 dt.AddHours(n).ToString();

//加n小時(shí) dt.AddMonths(n).ToString();

//加n個(gè)月 dt.AddSeconds(n).ToString();

//加n秒 dt.AddMinutes(n).ToString();

//加n分 SQL語句使用時(shí)間和日期的函數(shù)

getdate():獲取系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)間

dateadd(datepart,number,date):計(jì)算在一個(gè)時(shí)間的基礎(chǔ)上增加一個(gè)時(shí)間后的新時(shí)間值,比如：dateadd(yy,30,getdate())datediff(datepart,startdate,enddate):計(jì)算兩個(gè)時(shí)間的差值,比如：datediff(yy,getdate(),'2008-08-08')dataname(datepart,date):獲取時(shí)間不同部分的值，返回值為字符串 datepart(datepart,date):和datename相似，只是返回值為整型 day(date):獲取指定時(shí)間的天數(shù) month(date):獲取指定時(shí)間的月份 year(date):獲取指定時(shí)間的年份 select year(getdate())：當(dāng)前年份