第一篇：湖北李智勇 何濤瀾 向量數(shù)量積問題再探討（寫寫幫推薦）

作者：李智勇

何濤瀾

電話：*** 單位地址：湖北省紅安縣第一中學（湖北省紅安縣城關(guān)鎮(zhèn)邊街3號）

郵編：438400

平面向量數(shù)量積最值問題的再探討

李智勇

何濤瀾

（湖北省紅安縣第一中學

438400）

近幾年,平面向量數(shù)量積的最值問題又再次頻頻出現(xiàn)在各地的高考卷上,成為新課改地區(qū)高考中的一個熱點問題,現(xiàn)以兩例具體問題來闡述此類問題的解決途徑.例

1、（05年江蘇高考試題)在?ABC中,O為中線AM上一個動點,若AM?2,則OA?(OB?OC)的最小值是__________.分析:(如圖)本題的突破口關(guān)鍵在于AM為?ABC的中線,故易知

OB?OC?2OM,所以:OA?(OB?OC)?OA?(2OM)?2(OA?OM)

從而把不共線向量數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為共線向量數(shù)量積的問題.方法一:借助基本的向量運算降低問題難度

應(yīng)用向量的基本運算把不共線的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為共線的或者是易求的數(shù)量積問題,從而達到解決問題的目的 解:AM為?ABC的中線?OB?OC?2OM

?OA?(OB?OC)?OA?(2OM)?2(OA?OM)?2|OA|?|OM|cos???2|OA|?|OM|

|OA|?|OM|2|AM|2)??1?OA?(OB?OC)??2 又|OA|?|OM|?(24方法

二、建立直角坐標系降低問題門檻

從純幾何的角度出發(fā),對學生的思維層次要求較高,對于此類問題我們還可以借助建立直角坐標系的方法,降低問題的難度.解:以M點為圓心,AM所在直線為y軸,建立如圖所示的直角坐標系.設(shè)A(0,2),B(x,y),O(0,z),則C(?x,?y)

?OA?(0,2?z),OB?(x,y?z),OC?(?x,?y?z)OB?OC?(0,?2z)(0?z?2)

?OA?(OB?OC)?(2?z)(?2z)?2(z?1)2?2

故OA?(OB?OC)的最小值為?2

例

2、（04年湖北高考試題)在Rt?ABC中,BC?a,若長為2a的線段PQ以A點為中點,問PQ與BC的夾角?取何值時BP?CQ的值最大?并求出這個最大值.方法一：解:

11BP?CQ?(BA?AP)?(CA?AQ)?(BA?PQ)?(CA?PQ)

2221111?BP?CQ?BA?CA?PQ?(BA?CA)?PQ?BA?CA?PQ?BC?|PQ|2

2424又BA?CA,|PQ|?2a,|BC|?a

11PQ?BC?a2?|PQ||BC|cos??a2?a2cos??a2 22?BP?CQ??當cos??1,即??0(PQ與BC同向)時,BP?CQ取到最大值0.方法二：以A點為原點,AB邊所在直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標系.設(shè)?CAB??,PQ與AB的夾角為?,則B(acos?,0),C(0,asin?)

P(?acos?,?asin?),Q(acos?,asin?)

?BP?(?acos??acos?,?asin?),CQ?(acos?,asin??asin?)

?BP?CQ??a2cos2??a2cos?cos??a2sin2??a2sin?sin???a[1?cos(???)]2

?當cos(???)??1即?????(PQ與BC同向)時,BP?CQ的最大值為0

點評:通過建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?將向量的數(shù)量積坐標化,從而轉(zhuǎn)化常見的求函數(shù)最值問題.讀者可以試著用上述的兩種方法來完成下面的練習.練習:如圖,已知等邊?ABC的邊長為2,又以A為圓心,半徑為1作圓,PQ是直徑,試求

BP?CQ的最大值,并指明此時四邊形BCQP的形狀.答案:BP?CQ的最大值為3,此時四邊形BCQP為矩形.作者：李智勇

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