第一篇：私立創(chuàng)新學(xué)校七年級(jí)自主招教奧數(shù)綜合測(cè)試(二)

綜合測(cè)試二

一、填空

1、一個(gè)數(shù)的21是8，則這個(gè)數(shù)的是（）362、在足球的表面有五邊形和六邊形圖案（如右圖），每個(gè)五邊形與5個(gè)六邊形相連，每個(gè)六邊形與3個(gè)五邊形相連。那么五邊形和六邊形的最簡(jiǎn)整數(shù)比是（）3、111111+++++=（）2481632641，那么電影票降價(jià)（）元。

54、原來(lái)電影票100元/張，降價(jià)后，觀眾增加了一半，收入增加了

5、如右圖，圖中圓的周長(zhǎng)是62.8厘米，圓的面積與長(zhǎng)方形的面積正好相等地，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是（）厘米。

6、有兩個(gè)圓，它們的面積之和是14.96平方厘米，小圓的周長(zhǎng)是大圓周長(zhǎng)的60%，大圓的面積是（）平方厘米。

7、三批貨物共值6500元，按質(zhì)量，第二批和第三批的比是1：5，第一批和第二批的比是1：4；按單價(jià)，第一批和第二批的比是6：1，第二批和第三批的比是7：3，則第一批貨物值（）元。

8、小剛、小紅、小亮去書店買書，小亮買的書比小剛買的書的本數(shù)的5多6本，小小紅的書比小剛買的書的本數(shù)的61少1本，則三人合計(jì)最少買（）本。

49、一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需24天完成，乙、丙兩隊(duì)合作需要30天完成，甲、丙兩隊(duì)合作40天完成，則甲、乙、丙三隊(duì)合作（）可以完成。

二、計(jì)算

1、（3、（1+ 4、3***11+-）×（60×-60×+60×）2、1+3+5+7+9+11+13+15

******11+）×（++）-（1+++）×（+）***+++?++

2001?20032003?20051?33?55?7

5、如圖：求陰影部分①比陰影部分②的面積多多少。（單位：厘米，取3作為圓周率的近似值）

三、解答題

1、一批貨物，第一天運(yùn)走了總量的12，第二天運(yùn)走了剩下的，兩天一共運(yùn)走了1500千克，則這批貨物一共有多43少千克？

2、水果店里西瓜和甜瓜的個(gè)數(shù)之比是3：2，如果每天賣40個(gè)西瓜，30個(gè)甜瓜，若干天后，當(dāng)甜瓜賣完時(shí)，西瓜還剩下40個(gè)。水果店的西瓜和甜瓜各有多少個(gè)？

3、“放飛愛(ài)心，書送希望”，六一來(lái)臨之際，我校愛(ài)心小分隊(duì)需要將同學(xué)們捐的一批圖書打包后，送給貧困地區(qū)的孩子們（書的大小相同，要求每包內(nèi)所裝書的冊(cè)數(shù)也相同）。第一次，愛(ài)心小分隊(duì)用這批書的4，打了22個(gè)包還多了730本，第二次他們把剩下的書，連同第一次多的零頭一起打包，剛好又打了18包，那么這批書共有多少本？

4、如圖，在一個(gè)底面是邊長(zhǎng)為4米的正方形的房屋外面長(zhǎng)滿了青草，現(xiàn)在用一根6米長(zhǎng)的繩子在屋外 的拐角處系著一只羊，求這只羊能吃到草的區(qū)域的面積（結(jié)果保留∏）（算式中用∏表示，不取3.14）

5、已知甲校學(xué)生人數(shù)是乙校學(xué)生人數(shù)的40%，甲校女生人數(shù)是甲校學(xué)生人數(shù)的30%，乙校男生人數(shù)是 乙校學(xué)生人數(shù)的42%，那么，兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總百分比是多少？

6、某人暢游長(zhǎng)江，逆流而上，在A處丟失一只水壺，他又向前游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟了水壺，立即返回追尋。在離A處2千米的地方追到，他返回追尋用了多少分鐘？（人在靜水中的速度不變）

7、蓄水池有一根進(jìn)水管和一根排水管，要注滿一池水，單開(kāi)進(jìn)水管需5小時(shí)，排光一池水，單開(kāi)排水管需3小時(shí)?，F(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水、排水、進(jìn)水、排水??的順序輪流各開(kāi)1小時(shí)。問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排完？

第二篇：新五年級(jí)同步奧數(shù)綜合測(cè)試二

新五年級(jí)同步奧數(shù)綜合測(cè)試二

班級(jí)：姓名：分?jǐn)?shù)

1、五年級(jí)英語(yǔ)口語(yǔ)競(jìng)賽，前五名同學(xué)的平均分是86分，其中前三名的平均分是90分，第三、四、五名的平均分是82分。小紅獲得了第三名，她得了多少分？

2、張倩用270元買了一件外衣和一頂帽子。外衣比帽子貴140元，買帽子和外衣各花了多少錢？

3、小虎在做一道兩位數(shù)乘法時(shí)，把一個(gè)因數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫成了5，得到的結(jié)果是800，而正確的答案是896。這兩個(gè)兩位數(shù)分別是多少？

4、一個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的長(zhǎng)是12厘米，寬是8厘米?，F(xiàn)在把長(zhǎng)和寬都減少3厘米，那么面積共減少了多少平方厘米？

5、一根木料，鋸成3段，要4分鐘，如果鋸成6段要多少分鐘？

6、一列火車全長(zhǎng)258米，以每秒18米的速度，全車通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)984米的山洞，需要多少秒鐘？

7、1+2+3+4+.......+49+50+49+.......+3+2+18、雞兔同籠，共40個(gè)頭，130只腳，那么雞、兔各有多少只？

9、有同樣大小的紅、黃、藍(lán)、綠球共620個(gè)，按照先4個(gè)紅的，后3個(gè)黃的，再2個(gè)藍(lán)的，最后一個(gè)綠的排列。紅球共有幾個(gè)？第172個(gè)球是什么顏色的？

10、4+10+16+22+........+64+70

第三篇：九江華羅庚學(xué)校自主研發(fā)奧數(shù)教材的分析與設(shè)想

九江華羅庚學(xué)校

自主研發(fā)奧數(shù)教材的分析與設(shè)想

編寫人：駱 飛

九江華羅庚學(xué)校對(duì)奧數(shù)教材研發(fā)工作的分析與設(shè)想是基于學(xué)校健康穩(wěn)定發(fā)展的趨勢(shì)考量，任重而道遠(yuǎn)，是學(xué)校招收學(xué)生完成教學(xué)任務(wù)的基礎(chǔ)性工作。一本經(jīng)過(guò)精雕細(xì)琢、案例詳實(shí)、緊跟時(shí)代的好教材，是教師實(shí)現(xiàn)案例教學(xué)、優(yōu)質(zhì)教學(xué)的一把利器。

奧數(shù)自主新教材建設(shè)是學(xué)校教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的一部分，它反映了我們學(xué)校教師教學(xué)水平和教學(xué)內(nèi)容研究的具體成果，同時(shí)也反映了我們學(xué)校在學(xué)生，家長(zhǎng)和社會(huì)心中的信任和認(rèn)可，教材既是教師傳授知識(shí)的根本和學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀世界的媒介，又是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的工具，學(xué)校品牌科目（奧數(shù)）自主研發(fā)的教材是我們學(xué)校教材體系中不可缺少的重要組成部分。這對(duì)于穩(wěn)定教學(xué)秩序，吸納最新信息，提高教學(xué)質(zhì)量發(fā)揮了十分重要的作用。新編教材最大限度地和社會(huì)需求掛鉤，在教學(xué)的基礎(chǔ)上，將一些客觀實(shí)用、貼近學(xué)生生活的學(xué)習(xí)內(nèi)容為教材實(shí)例，增強(qiáng)了教學(xué)的可操作性和實(shí)踐環(huán)節(jié)。同時(shí)，學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與一線教師緊密配合，針對(duì)我校學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)教材進(jìn)行及時(shí)修改更正，以確保教材的實(shí)用性。具體設(shè)想如下：

一、教材內(nèi)容上做修改

根據(jù)十幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生的知識(shí)水平，對(duì)教材內(nèi)容做一個(gè)完整的修改，第一以王老師販教學(xué)實(shí)踐為基礎(chǔ)，第二，以現(xiàn)有家長(zhǎng)心中理想的教材為修改內(nèi)容，按暑期和學(xué)期教學(xué)不同的教材實(shí)施情況為要求，分別對(duì)教學(xué)課時(shí)和教學(xué)章節(jié)進(jìn)行修改，整套教材體系針對(duì)小學(xué)奧數(shù)的教學(xué)要求，從學(xué)生所需要的解題思路出發(fā)，精選適用的專題知識(shí)和學(xué)生必要掌握的解題技能，編寫出符合小學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)的專業(yè)課程教材，充分體現(xiàn)了培訓(xùn)教育長(zhǎng)期發(fā)展的新思路和新理念。教材突出先進(jìn)、簡(jiǎn)明、適用、通俗、實(shí)用的教材內(nèi)容選擇原則，強(qiáng)調(diào)新知識(shí)、新技巧、新理念在教材中的體現(xiàn)，使教材的內(nèi)容體系更加科學(xué)。把握奧數(shù)教學(xué)工作所要求的“必教必會(huì)”和 “應(yīng)知應(yīng)會(huì)”內(nèi)容，達(dá)到教材的編排結(jié)構(gòu)上能夠深入淺出，通俗易懂的效果。同時(shí)教材還能夠充分兼顧學(xué)生的年齡特點(diǎn)和接受能力，適合我校教師的教學(xué)特征。

二、教材版面設(shè)計(jì)清晰，沒(méi)有成本的宣傳

1，前面的扉頁(yè)部分 新編教材的扉頁(yè)部分做華羅庚的宣傳廣告，比如學(xué)校的專家型教師的簡(jiǎn)歷，主要是教學(xué)成果和教學(xué)方式的介紹（王老師的簡(jiǎn)歷，個(gè)人教學(xué)成果和教學(xué)特點(diǎn)）；還有對(duì)整個(gè)學(xué)校的發(fā)展歷程的說(shuō)明，要用一個(gè)篇幅的文章做教為詳細(xì)的介紹，包括有學(xué)校的發(fā)展時(shí)間，學(xué)校的發(fā)展過(guò)程，學(xué)校的培訓(xùn)特色，學(xué)校的新穎的教學(xué)方式，學(xué)校的發(fā)展目標(biāo)和發(fā)展方向等。

2，外觀部分

外觀部分的設(shè)計(jì)比較靈活，作為我們培訓(xùn)學(xué)校那就是宣傳，可以對(duì)我們的學(xué)校做一個(gè)整體的宣傳，比如優(yōu)秀照片，學(xué)校的招生簡(jiǎn)章（這個(gè)可以放在外觀的后面）等。

3，后面的扉頁(yè)部分

可以由王老師寫二篇《致家長(zhǎng)》和《致學(xué)生》的信，主要是他們對(duì)我們學(xué)校的信認(rèn)表示感謝和我們學(xué)校的發(fā)展形式與方向。還可以寫一個(gè)意見(jiàn)調(diào)查表。這樣做的目的是為了掌握學(xué)校的教學(xué)反饋意見(jiàn)，有利于更好在實(shí)施教師的教學(xué)。

三、自主研發(fā)教材的利處 1，在社會(huì)形象上，自主研發(fā)教材使學(xué)校有了一個(gè)深化九江培訓(xùn)學(xué)校的品牌社會(huì)形象，作為校長(zhǎng)個(gè)人是一個(gè)很大程度的社會(huì)宣傳，意識(shí)著著向著正規(guī)，科學(xué)，市場(chǎng)上穩(wěn)定健康的發(fā)展，再加上十幾年的社會(huì)形象，走向九江培訓(xùn)學(xué)校的領(lǐng)頭名牌老校就指日可待，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)再激烈也就有了社會(huì)地位了，因?yàn)槭袌?chǎng)的規(guī)律是適著生存，生存就是發(fā)展。

2，在教材內(nèi)容上，教師教學(xué)可以結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平的情況下，靈活運(yùn)用教材，教學(xué)成績(jī)得到最大化，這樣的教學(xué)實(shí)現(xiàn)還有十幾年的教學(xué)和管理基礎(chǔ)，所有這些都是優(yōu)勢(shì)，如果一個(gè)剛發(fā)展起來(lái)的學(xué)校想單獨(dú)從教材上樹(shù)立社會(huì)形像是不可能的。

3，在家長(zhǎng)的信任程度上，奧數(shù)教材的自主研發(fā)，家長(zhǎng)對(duì)學(xué)校更為信任，這是為什么呢？自主研發(fā)教材，是對(duì)教育教學(xué)的成果的體現(xiàn)，是學(xué)校優(yōu)秀教學(xué)成果的展示，是學(xué)校教師教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，是一種對(duì)學(xué)校自我發(fā)展的自信和肯定，這樣華羅庚學(xué)校在家長(zhǎng)心中的地位更加穩(wěn)定，信任程度最大化，所有就不會(huì)擔(dān)心沒(méi)有發(fā)展和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈從而自我的不自信。

4，在學(xué)生成績(jī)上，學(xué)生來(lái)我們學(xué)校的主要目的就是學(xué)知識(shí)，教材是傳播知識(shí)的工具，工具好與壞對(duì)教學(xué)結(jié)果至關(guān)重要，符合學(xué)生的教材有利于學(xué)生學(xué)心效果，學(xué)生也能夠有認(rèn)識(shí)到奧數(shù)的重要在哪里，理順解題思路，如何靈活運(yùn)解題技巧，更好地學(xué)習(xí)奧數(shù)，因?yàn)樽鳛閷W(xué)校來(lái)說(shuō)，學(xué)生的進(jìn)步就是利潤(rùn)，學(xué)生就是衣食父母。所以我在強(qiáng)調(diào)的是教材一定要王老師自己研發(fā)。

5，在成本上，所有的企業(yè)面對(duì)市場(chǎng)的自我作為上，是先要考慮到的是成本的問(wèn)題，對(duì)于這個(gè)基于現(xiàn)在我們用的教材成本問(wèn)題來(lái)說(shuō)是沒(méi)有資本成本的，我們可以算一下，現(xiàn)在的教材到書店去買一本，我們學(xué)校的購(gòu)買成本大概是6元左右，而且書上都有標(biāo)價(jià)，當(dāng)然書上的標(biāo)價(jià)是不計(jì)算的，我們?cè)谟∷⒔滩牡某杀究梢怨浪愦蟾攀?-6元，可能覺(jué)得沒(méi)有區(qū)別，但是我們可以考慮我們學(xué)校學(xué)生比較多，這一點(diǎn)還是可以談，重要的一點(diǎn)我們有了品牌形象，如果印刷的教材的標(biāo)價(jià)我們自己可以定，所以中間的靈活度就有很多了，比如，我們的教材標(biāo)價(jià)格25的時(shí)候，即使教材的費(fèi)用都是在報(bào)名費(fèi)中，但是我們可以在宣傳上把握一下，比如宣傳家長(zhǎng)的話可以是多少。當(dāng)然還是一個(gè)不得己的意見(jiàn)，是在報(bào)告名費(fèi)中別5元，為什么是5元？多了的話失去家長(zhǎng)的信任感，畢竟是在搞教育，不是純粹的企業(yè)，這中間就有一個(gè)奉獻(xiàn)的概念在，所有在宣傳上要解釋清楚，如我們的成本很高，標(biāo)價(jià)也很高，考慮到家長(zhǎng)的困難和一直對(duì)我們學(xué)校的關(guān)心，我們其實(shí)就是在教材上收了5元，宣傳要有技巧，這里不做詳細(xì)的說(shuō)明和介紹。

以上僅僅是我個(gè)人對(duì)學(xué)校目前教材不夠，出現(xiàn)了大部分家長(zhǎng)失去對(duì)我們學(xué)校的信任的不滿，和學(xué)生上課的效果不理想等一些情況的造成，提出了一些不成熟的意見(jiàn)，作為校長(zhǎng)的你，希望你抽出時(shí)間思考。在此希望華羅庚學(xué)校發(fā)展好。

第四篇：北京華羅庚學(xué)校四年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題(二)

幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題

我們?cè)谝呀?jīng)學(xué)會(huì)數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的基礎(chǔ)上，通過(guò)本講學(xué)習(xí)數(shù)長(zhǎng)方形，正方形及數(shù)綜合圖形來(lái)進(jìn)一步提高觀察和思考問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)在觀察、思考、分析中總結(jié)歸納出解決問(wèn)題的規(guī)律和方法.一、數(shù)長(zhǎng)方形

例1如下圖，數(shù)一數(shù)下列各圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)？

分析圖（Ⅰ）中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)方形，所以長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)等于AB邊上線段的條數(shù)，即長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：

4+3+2+1=10（個(gè)）.圖（Ⅱ）中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條.BC邊上共有線段：2+1=3（條），把AB上的每一條線段作為長(zhǎng)，BC邊上每一條線段作為寬，每一個(gè)長(zhǎng)配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以圖（Ⅱ）中共有長(zhǎng)方形為：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個(gè)）.圖（Ⅲ）中，依據(jù)計(jì)算圖（Ⅱ）中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的方法：可得長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（個(gè)）.解：圖（Ⅰ）中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為4+3+2+1=10（個(gè)）.圖（Ⅱ）中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個(gè)）.圖（Ⅲ）中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：

（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（個(gè)）.小結(jié)：一般情況下，如果有類似圖Ⅲ的任一個(gè)長(zhǎng)方形一邊上有n-1個(gè)分點(diǎn)（不包括這條邊的兩個(gè)端點(diǎn)），另一邊上有m-1個(gè)分點(diǎn)（不包括這條邊上的兩個(gè)端點(diǎn)），通過(guò)這些點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線且與另一邊相交，這兩組平行線將長(zhǎng)方形分為許多長(zhǎng)方形，這時(shí)長(zhǎng)方形的總數(shù)為：

（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右圖數(shù)一數(shù)圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù).解：AB邊上分成的線段有：

5+4+3+2+1=15.BC邊上分成的線段有：

3+2+1=6.所以共有長(zhǎng)方形：

（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（個(gè)）.二、數(shù)正方形

例3 數(shù)一數(shù)下頁(yè)各個(gè)圖中所有正方形的個(gè)數(shù).（每個(gè)小方格為邊長(zhǎng)為1的正方形）

分析 圖Ⅰ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：

2×2=4（個(gè)），邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：

1×1=1（個(gè)）.所以，正方形總數(shù)為1×1+2×2=1+4=5（個(gè)）.圖Ⅱ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有3×3=9（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有1×1=1（個(gè)）.所以，正方形的總數(shù)為：1×1+2×2+3×3=14（個(gè)）.圖Ⅲ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：

4×4=16（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：3×3=9（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為4個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：1×1=1（個(gè)）；

所以，正方形的總數(shù)為：

1×1+2×2+3×3+4×4=30（個(gè)）.圖Ⅳ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：

5×5=25（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：4×4=16（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：3×3=9（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為4個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4（個(gè)）；

邊長(zhǎng)為5個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：1×1=1（個(gè)）.所有正方形個(gè)數(shù)為：

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（個(gè)）.小結(jié)：一般地，如果類似圖Ⅳ中，一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是n個(gè)長(zhǎng)度單位，那么其中邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：n×n=n2（個(gè)），邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（個(gè)）…；邊長(zhǎng)為（n-1）個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：2×2=22（個(gè)），邊長(zhǎng)為n個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：1×1=1（個(gè)）.所以，這個(gè)大正方形內(nèi)所有正方形總數(shù)為：12+22+32+…+n2（個(gè)）.例4 如右圖，數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)正方形（其中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形）.分析 為敘述方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位，又稱為基本線段，圖中共有五類正方形.①以一條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：

6×5=30（個(gè)）.②以二條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：

5×4=20（個(gè)）.③以三條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：

4×3=12（個(gè)）.④以四條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：

3×2=6（個(gè)）.⑤以五條基本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：

2×1=2（個(gè)）.所以，正方形總數(shù)為：

6×5+5×4+4×3+3×2+2×1

=30+20+12+6+2=70（個(gè)）.小結(jié)：一般情況下，若一長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成m等份，寬被分成n等份，（長(zhǎng)和寬上的每一份是相等的）那么正方形的總數(shù)為（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1

顯然例4是結(jié)論的特殊情況.例5 如下圖，平面上有16個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)上都釘上釘子，形成4×4的正方形釘陣，現(xiàn)有許多皮筋，問(wèn)能套出多少個(gè)正方形.分析 這個(gè)問(wèn)題與前面數(shù)正方形的個(gè)數(shù)是不同的，因?yàn)檎叫蔚倪叢皇窍犬嫼玫?，而是要我們?nèi)ゴ_定的，所以如何確定正方形的邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)，這是我們首先要思考的問(wèn)題.很明顯，我們能圍成上圖Ⅰ那樣正向正方形14個(gè)，除此之外我們還能圍出圖Ⅱ那樣斜向正方形4個(gè)，圖Ⅲ那樣斜向正方形2個(gè).但我們不可能再圍出比它們更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6個(gè)，總共可以圍出正方形有：14+6=20（個(gè)）.我們把上述結(jié)果列表分析可知，對(duì)于n×n個(gè)頂點(diǎn)，可作出斜向正方形的個(gè)數(shù)恰好等于（n-1）×（n-1）個(gè)頂點(diǎn)時(shí)的所有正方形的總數(shù).三、數(shù)三角形

例6 如右圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個(gè)數(shù).分析 這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長(zhǎng)為一條基本線段的最小三角形開(kāi)始.Ⅰ.以一條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：

W①上=1+2+3+4=10（個(gè)）.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：

W①下=1+2+3=6（個(gè)）.Ⅱ.以兩條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：

W②上=1+2+3=6（個(gè)）.②尖朝下的三角形只有一個(gè)，記為W②下=1（個(gè)）.Ⅲ.以三條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：

W③上=1+2=3（個(gè)）.②尖朝下的三角形零個(gè)，記為W③下=0（個(gè)）.Ⅳ.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個(gè)，記為：

W④上=1（個(gè)）.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個(gè)）.我們還可以按另一種分類情況計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計(jì)算三角形個(gè)數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種：

W①下=1+2+3+4=10

W②上=1+2+3=6

W③上=1+2=3

W④上=1

所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（個(gè)）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種：

W①下=1+2+3=6

W②下=1

W③下=0

W④下=0

則尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（個(gè)）

所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：

20+7=27（個(gè)）.小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè)最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝上的第二個(gè)和，依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類推直到零為止.例7 頁(yè)圖數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)三角形.解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：

Ⅰ.尖朝上的三角形有五種：

（1）W①上=8+7+6+5+4=30

（2）W②上=7+6+5+4=22

（3）W③上=6+5+4=15

（4）W④上=5+4=9

（5）W⑤上=4

∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（個(gè)）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四種：

（1）W①下=3+4+5+6+7=25

（2）W②下=2+3+4+5=14

（3）W③下=1+2+3=6

（4）W④下=1

尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（個(gè)）.∴所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有

80+46=126（個(gè)）.四、數(shù)綜合圖形

前面我們已對(duì)較基本、簡(jiǎn)單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對(duì)于較復(fù)雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?fù)、不遺漏的原則，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來(lái)就一定能把圖形數(shù)清楚了.例7 頁(yè)圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形.分析圖中有若干個(gè)大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來(lái)數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個(gè)？

解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：

Ⅰ.與△ABE相同的三角形共有5個(gè)；

Ⅱ.與△ABP相同的三角形共有10個(gè)；

Ⅲ.與△ABF相同的三角形共有5個(gè)；

Ⅳ.與△AFP相同的三角形共有5個(gè)；

Ⅴ.與△ACD相同的三角形共有5個(gè)；

Ⅵ.與△AGD相同的三角形共有5個(gè).所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35（個(gè)）.例8 圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形？

分析這是個(gè)對(duì)稱圖形，我們可按如下三步順序來(lái)數(shù)：

第一步：大矩形ABCD可分為四個(gè)相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個(gè)小矩形內(nèi)所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第二步：每?jī)蓚€(gè)小矩形組合成的圖形共有四個(gè)，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第三步：每三個(gè)小矩形占據(jù)的部分圖形共有四個(gè)：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.最后把每一步中每個(gè)圖形所包含三角形個(gè)數(shù)求出相加再乘以4就是整個(gè)圖形中所包含的三角形的個(gè)數(shù).解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：

①由一個(gè)三角形構(gòu)成的有8個(gè).②由兩個(gè)三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).③由三個(gè)或三個(gè)以上三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).這樣在一個(gè)小矩形內(nèi)有17個(gè)三角形.Ⅱ.在由兩個(gè)小矩形組合成的圖形中，如矩形AEGD，共有5個(gè)三角形.Ⅲ.由三個(gè)小矩形占據(jù)的部分圖形中，如△ABC，共有2個(gè)三角形.所以整個(gè)圖形共有三角形個(gè)數(shù)是：

（8+5+5+5+2）×=25×4=100（個(gè)）.習(xí)題

1.下圖中有多少個(gè)正方形？

2.下圖中有多少個(gè)三角形？

3.下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？

4.下圖（1）、（2）中各有多少個(gè)三角形？

5.下圖中有多少個(gè)三角形？

6.下圖中有多少個(gè)三角形？

7.下圖中有多少個(gè)正方形？

8.下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方體？

習(xí)題答案

1.共有正方形54個(gè).2.共有三角形128個(gè).3.共有長(zhǎng)方形133個(gè).4.（1）共有三角形78個(gè).（2）共有三角形61個(gè).5.共有三角形45個(gè).6.共有三角形36個(gè).7.共有正方形24個(gè).8.共有長(zhǎng)方體540個(gè).