第一篇：初中數(shù)學競賽題典--整除（本站推薦）

初中數(shù)學競賽題典 數(shù)的整除

題l 所有四位數(shù)中，有（）個數(shù)能同時被入3，5，7和11整除？

（A）l（B）2（C）3（D）4

題2 設n是 100到 200之間的自然數(shù)，則滿足7n＋2是5的倍數(shù)的。共有（）個．

題3一個六位數(shù)a1991b能被12整除，這樣的六位數(shù)共有多少個．

（A）4（B）（C）8（D）12

題4 已知724－1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是（），題6 n是一個兩位數(shù)，它的數(shù)碼之和為a．當n分別乘以3，5，79以后得到4個乘積．如果其每一個積的數(shù)碼之和仍為a，那么，這樣的兩位數(shù)n有（）．

題8設某個n位正整數(shù)的n個數(shù)宇是1，2，?，n的一個排列，如果它的前k個數(shù)字所組成的整數(shù)能被k整除，其中k＝1，2，?，n，那么就這個n位數(shù)為一個“好數(shù)”．例如，321就是一個三位“好數(shù)”，因為1整除3，2整除32，3整除321．那么六位“好數(shù)”的個數(shù)為（）．

題9能被11整除的最小的九位數(shù)是

題12在自然數(shù)1，2，3，?，1990，1991中．不能披7整除的數(shù)有（）個．

題13將自然數(shù)N接寫在任意一個自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術數(shù)，在小于l30的自然數(shù)中，魔術數(shù)的個數(shù)為（）．

題14在所有的五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能被11整除的數(shù)是（）。

題15定義：如果n個不同的正整數(shù)，對其中的任意兩個數(shù)，這兩數(shù)的積能被這兩數(shù)的和整除．那么，叫這組數(shù)為n個數(shù)的祖沖之數(shù)組。例如：60，120，180這三個數(shù)就構成一個三個數(shù)的祖沖之數(shù)組，（因（60×120）÷（60＋120），（60×180）÷（60＋180），（120×180）÷（120＋180）都是整數(shù)）．請你寫出一組四個數(shù)的祖沖之數(shù)組．

題16 設a、b、c為整數(shù)，且a＋b和ab均可被c整除，求怔：a3＋b3可被c2整除．

題17 設a、b、c為正整數(shù)，求證：a3（b－c）＋b3（c－a）＋c3（a－b）可被a＋b＋c整除．

題19 一個魔方是由自然數(shù)組成的正方形網(wǎng)格。它有如下性質(zhì)：每一行，每一列及兩條對角線上的數(shù)的和都相同，這個值稱為魔方和。求證：每一個3×3大小的魔方的魔方和都能被3整除。

題20 求證：如果兩個不可約分數(shù)的和是整數(shù)，那么這兩個分數(shù)的分母相同。

題21 設a和b為自然數(shù)，使得a2＋ab＋1可被b2＋ba＋1整除，求證：a＝b。

題22 自然數(shù)a、b、c、d都可以被ab－cd整除，其中ab－cd＞0。求證：ab－cd＝1。

題23 使求出所有這樣的自然數(shù)n，使得n＋3可被n＋3整除。

3題26 圓上有9個數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下，得到一個9位數(shù)并且能被27整除。求證：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下的話，那么所得的一個9位數(shù)也能被27整除。

題27 任意給定一個自然數(shù)A，把A的各位數(shù)字按逆序?qū)懗鰜恚纬梢粋€新的自然數(shù)A′。試證：A－A′是9的倍數(shù)。

題28 設n是正奇數(shù)，試證：1n＋2n＋?＋9n－3（1n＋6n＋8n）能被18整除。

題29 求證：10L011442443被1001整除。

200個0 題30 求證：7|（2222 555

5＋5555

222

2）。

題31 求證：對任何自然數(shù)，數(shù)（2n－1）n－3都可被2n－3整除。

題33 給定自然數(shù)a，b和n，已知對任何自然數(shù)k（k≠0），數(shù)a－kn能被b－k整除，證明：a＝bn。

題34 設k為正奇數(shù)，證明1＋2＋?＋n整除（1k＋2k＋?＋nk）。

題35 求證：467|5123＋6753＋7203。

題36 已知最簡分數(shù)的倍數(shù)。

m111m可以表示成?1???L?。試證：分子m是質(zhì)數(shù)199

3n231992n

題37 設p與q是自然數(shù)，滿足整除。

p1111。求證：p可被質(zhì)數(shù)1979?1???L??q2313181319

題38 設p為奇質(zhì)數(shù)，求證：1?111a??L??的分子a是p的倍數(shù)。23p?1b

題39 給定m111m，其中是不可約分數(shù)，試證：m能被5整除。?1???L?n2320n

題40 試證：將和1?111m??L?寫成一個最簡分數(shù)時，m不會是5的倍數(shù)。2340n

題41 設n是正偶數(shù)，求證：（2n－1）不整除（3n－1）。

題42 試證：對每一個自然數(shù)n，數(shù)11997＋21997＋?＋n1997不能被n＋2整除。

題46 一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b，如果a恰是b的3被，我們稱a是一個“希望數(shù)”。（1）請舉例說明：“希望數(shù)”一定存在。（2）請證明：如果a，b都是“希望數(shù)”，則一定有729|ab。

題47 求證：對任何自然數(shù)n，都有120|n5－5n3＋4n。

題48 求證：n（n2－1）（n2－5n＋26）可以被120整除。

題49 試證：n（n－1）（n－4）可以被360整除。222

nnn37n題50 設n是任意自然數(shù)，求證：是整數(shù)。??5315

題51 若干個整數(shù)的和能被6整除，求證：這些數(shù)的立方和也能被6整除。

題52 今有6根金屬棒，每根的長度都是1m，能否將它們鋸成10根27cm長、12根15cm長和25根6cm長的短棒？（鋸棒時的損耗可忽略不計）

題53 柯樓南契大蛇有1000個頭。神話中的大力士能一次用劍看去1，17，21或33個頭，但是大蛇又相應地生出10，14，0或48個頭。問大力士能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇嗎？

題54 一天我發(fā)現(xiàn)了如下的魔術錢幣機：如果我放入一枚一分的硬幣，出來一枚5分硬幣和一枚一角硬幣；如果我放進一枚5分硬幣，機器給出四角硬幣，而如果我放如一枚一角硬幣，我取回3枚一分的硬幣．我用一枚一分的硬幣開始，反復進行以上過程，能出現(xiàn)我剛好有一美元硬幣的機會嗎？驗證答案．

題55 是否存在兩個不等于0的整數(shù)a和b，其中之一可被它們的和整除，另一個可被它們的差整除？

題56 一個凸n邊形被劃分成黑、白兩色的若干個三角形，使得任意兩個三角形要么有公共的邊（這時它們?nèi)静煌伾?，要么有公共頂點，要么沒有公共頂點。而多邊形的每條邊都是某個黑色三角形的邊。證明：3|n。

題57 求證：不存在整數(shù)a、b、c、d，使當x＝19時，ax3＋bx2＋cx＋d＝1，以及當x＝62時，ax3＋bx2＋cx＋d＝2。

題58 公共汽車票的號碼是一個六位數(shù)，若一張車票的號碼的前三個數(shù)字之和等于后三個數(shù)字之和，剛稱這張車票是幸運的．試證：所有幸運車票號碼的和能被13整除，題59

某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數(shù)的號碼，從0001到9999號．如果號碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運券”．例如號碼0734，因0＋7＝3＋4，所以這個號碼的購物券是幸運券．試證：這個商場所發(fā)的購物券中，所有幸運券的號碼之和能被101整除．

第二篇：初中一年級數(shù)學競賽題(五)

初中一年級數(shù)學競賽題

（五）一、選擇題（每小題5分，共50分）

1.某班有30名男生和20名女生，60%的男生和30%的女生參加了天文小組，該班參加天文小組的人數(shù)占全班人數(shù)的（）

A 60%

B 48%

C 45%

D 30% 學校： 班級： 學生姓名： 考號： 2.21?4.52?1?2?3??（）15???1.3?223A ?712217729B ?

C ?

D ? 204545203.數(shù)軸上的點A,B,C分別對應數(shù)：0,?1,x，C與A的距離大于C與B的距離，則（）

A x?0

B x??C x??1

D x??1 24.對任意的三個整數(shù)，則（）

A 它們的和是偶數(shù)的可能性小

B 它們的和是奇數(shù)的可能性小 C 其中必有兩個數(shù)的和是奇數(shù)

D 其中必有兩個數(shù)的和是偶數(shù)

5.油箱裝滿油的一輛汽車在勻速行駛，當汽車恰剩油箱體積的一半時就加滿油，接著又按原速度行駛，到目的地時油箱中還剩有則V與t的圖象是（）

6.將長為12的線段截成長度為整數(shù)的三段，使它們成為一個三角形的三邊，則構成的三角形（）

A 不可能是等腰三角形

B 不可能是直角三角形 C 不可能是等邊三角形

D 不可能是鈍角三角形 7.有一個最多能稱16kg的彈簧秤，稱重時發(fā)現(xiàn)，彈簧的長度?cm?與物體的

重量?kg?之間有一定的關系，根據(jù)下表考慮：在彈簧稱重范圍內(nèi)，彈簧最長為（）cm

A 18

B 19

C 20

D 21 8.If ?a??1體積的汽油，設油箱中所剩汽油量為V（升），時間為t（分鐘），3a?a?1? for all integers(整數(shù))a, and b =?8?, then ?b? is（）2A 36

B 72

C 666

D 1332

9.有一串數(shù)：?2003,?1999,?1995,?1991,?，按一定的規(guī)律排列，那么這串數(shù)中前（）個數(shù)的和最小.A 500

B 501

C 502

D 503 10.“希望杯”四校足球邀請賽規(guī)定：

（1）比賽采用單循環(huán)賽形式；

（2）有勝負時，勝隊得3分，負隊得0分；（3）踢平時每隊各得1分.比賽結束后，四個隊各自的總得分中不可能出現(xiàn)（）A 8分

B 7分

C 6分

D 5分

二、填空題（每小題5分，共50分）

11.如果方程2003x?4a?2004a?3x的根是x?1，則a?________.12.圖1中的大、小正方形的邊長均為整數(shù)（厘米），它們的面積之和等于74平方厘米，則陰影三角形的面積是________平方厘米。

13.如果x?x?1?0，則x3?2x2?3?________.14.If a,b,c,d are rational numbers(有理數(shù))，a?b≤9，c?d≤16 and a?b?c?d?25，then 2b?a?d?c?_________.15.a和

16.如圖2，ABCD是平行四邊形，E在AB上，F(xiàn)在AD上，S?BCE?2S?CDF?則S?CEF18都是正整數(shù)，則a?________.2a?a?21SABCD?1，4?________.17.用中心角為120?，半徑為6cm的扇形卷成一個圓錐（沒有重疊），這個圓錐的表面積是________cm

18.畫一條直線，可將平面分成2個部分，畫2條直線，最多可將平面分成4個部分，那么，畫6條直線最多可將平面分成________個部分。19.a與b互為相反數(shù)，且a?b? 24a?ab?b?________.，那么25a?ab?1

320.正整數(shù)m和n有大于1的最大公約數(shù)，且滿足m?n?371.則mn?______.三、解答題（21、23題各15分，22題20分）要求寫出推算過程

21.某同學想用5個邊長不等的正方形，拼成如圖3所示的大正方形。請問該同學的想法能實現(xiàn)嗎？如果能實現(xiàn)，試求這5個正方形的邊長；如果不能，請說明理由。

22.規(guī)定：正整數(shù)n的“H運算”是

①當n為奇數(shù)時，H?3n?13;

11???（其中H為奇數(shù)）22如：數(shù)3經(jīng)過1次“H運算”的結果是22，經(jīng)過2次“H運算”的結果是11，經(jīng)過3次“H運②當n為偶數(shù)時，H?n?算”的結果是46。

請解答：

（1）數(shù)257經(jīng)過257次“H運算”得到的結果。

（2）若“H運算”②的結果總是常數(shù)a，求a的值。

23.救災指揮部，將救災物品裝入34個集裝箱：4噸的集裝箱3個，3噸的集裝箱4個，2.5噸的集裝箱5個，1.5噸的集裝箱10個，1噸的集裝箱12個，那么至少需要多少輛載重5噸的汽車才能一次將這些救災物品運走？提出你的運輸方案。

第三篇：初中數(shù)學常用數(shù)學思想方法典題賞析

初中數(shù)學常用數(shù)學思想方法典題賞析

德國著名數(shù)學家克萊因曾在他的《西方文化中的數(shù)學》中寫道：數(shù)學是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。

不僅數(shù)學家體悟到了數(shù)學的魔力，就連希臘著哲學家柏拉圖都在號召：哲學家也要學數(shù)學，因為他必須跳出浩如煙海的萬變現(xiàn)象而抓住真正的實質(zhì)。又因為這是使靈魂過渡到真理和永存的捷徑。

那么，作為初中生，如何才能學好數(shù)學呢？有人曾調(diào)侃：數(shù)學學霸和學渣最大的區(qū)別就在于是否會運用數(shù)學思想方法!數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂和精髓。數(shù)學思想方法無論在數(shù)學專業(yè)領域、數(shù)學教育范圍內(nèi)，還是在其它科學中，都被廣為使用。

所謂數(shù)學思想，就是對數(shù)學知識的本質(zhì)的認識。是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提練上升數(shù)學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想，如建模思想、統(tǒng)計思想、最優(yōu)化思想、化歸思想、分類思想、整體思想、數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想。所謂數(shù)學方法指在數(shù)學中提出問題、解決問題（包括數(shù)學內(nèi)部問題和實際問題）過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。初中學生應掌握的數(shù)學方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、構造法、特殊值法等。數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的，強調(diào)指導思想時，稱數(shù)學思想，強調(diào)操作過程時，稱數(shù)學方法。

典例賞析

一、整體思想

從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一個整體代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

例2：一個凸多邊形的內(nèi)角和是外角和2倍，它是_________邊形.解析：由于任意多邊形的外角和都是360°，而n邊形的內(nèi)角和(n-2).180

設這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函數(shù)思想

函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。

例3:某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出500kg。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，每千克漲價1元，日銷售量將減少20kg。

（1）現(xiàn)該商場要保證每天贏利6000元，同時又要顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

（2）若該商場單純從經(jīng)濟角度看，這種水果每千克漲價多少元能使商場獲利最多？

解析：（1）解：設每千克應漲價x元，根據(jù)題意得：

（10+x）*(500-20x)=6000

解得x1=5,x2=10

為了使顧客得到實惠，應取x=5(元)。

（2）設每千克漲價x元時，總利潤為y元。

y=（10+x）*(500-20x)

=-20x^2+300x+5000

=-20(x-7.5)^2+6125

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當x=7.5時，ymax=6125

四、轉(zhuǎn)化思想

所謂的轉(zhuǎn)化思想就是指在求解數(shù)學問題時,如果對當前的問題感到生疏困惑,可以把它進行變換,使之化生疏為熟悉，化繁為簡,化難為易，從而使問題得以解決的思想方法.例4;解分式方程。

解析：把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程即可。

兩邊乘（x+3）(x-1)

2(x-1)=(x+3)

2x-2=x+3

x=5

經(jīng)檢驗：x=5是方程的解

五、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數(shù)學對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

例5：類比正比例函數(shù)研究反比例函數(shù)。

解析：通過研究正比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)及應用，類比研究反比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)及應用。

六、數(shù)形結合思想

“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。所謂數(shù)形結合思想就是在研究問題時把數(shù)和形結合考慮或者把問題的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化、具體化.例6：證明勾股定理。

解析：美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德借助下列圖形證明了勾股定理。

七、分類討論思想

分類討論就是按照一定的標準，把研究對象分成為數(shù)不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結作出結論的思想方法.其實質(zhì)是化整為零，各個擊破，化大難為小難的的策略.例7：若等腰三角形的一個內(nèi)角為70，則它的頂角為

度．

解析：分類討論，（1）該內(nèi)角為頂角時，頂角為70；

（2）該內(nèi)角為底角時，則頂角為：180-70*2=40

故頂角為70或40.八、歸納與猜想的思想方法

所謂歸納與猜想,就是在解決數(shù)學問題時,從特殊的、簡單的、局部的例子出發(fā),探尋一般的規(guī)律,或者從現(xiàn)有的已知條件出發(fā),通過觀察、類比、聯(lián)想，進而猜想出結果的思想方法.例8：觀察下列圖形中點的個數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為

（用含n的代數(shù)式表示）．

解析：

第1個圖形中點的個數(shù)為：1+3=4，第2個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5=9，第3個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+7=16，…，第n個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．

故答案為：（n+1）2．

第四篇：初中數(shù)學競賽之數(shù)的整除教案

二． 數(shù)的整除

設有兩個整數(shù)a,b(b?0)，如果存在另一整數(shù)q，使得a?qb，則稱a能被b整除；或稱b能整除a；

b

若b能被a整除，我們稱a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)，并記作b|a.若a不能被b整除，則記作a?我們曾學過下述有關整除的判別法則：

（1）被2或被5整除的數(shù)的特征是：末位數(shù)字能被2或5整除（2）被4或25整除的數(shù)的特征是：最后兩位數(shù)字能被4或25整除（3）被8或125整除的數(shù)的 特征是：最后三位數(shù)字能被8或125整除（4）被3或9整除的數(shù)的特征是：各位上的數(shù)的和能被3或9整除

（5）被11整除的數(shù)的特征是：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差能被11整除 1.判斷下列各數(shù)那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除嗎？

在解題過程中我們常用到下述性質(zhì) 性質(zhì)1 若ab，bc，則ac.證明：a|b,b|c

?存在正整數(shù)p和q，使得b?pa，c?qb

代入可得c?q(pa)?(qp)a

?a|c

性質(zhì)2 若證明：a|b,a|c，則a|(b?c)

a|b,a|c

? 存在正整數(shù)p和q，使得b?pa，c?qa ? b?c?pa?qa?(p?q)a

? a|(b?c)

同理我們可以得到：若a|b,a|c，則a|(k1b?k2c)，其中k1,k2為整數(shù) 性質(zhì)3 若a,b互質(zhì)，且abc，則a|c 性質(zhì)4 若a,b互質(zhì)，且 a|c,b|c，則ab|c 例1.已知九位數(shù)32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除則一定既能被8整除又能被9整除

練習1： 已知七位數(shù)13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x?5y）已知7|(13x?8y)，證明：7（證明：因為9x?5y?5(13x?8y)?7(8x?5y)又又 7|(13x?8y)，? 7|5(13x?8y)

7|(8x?5y)

?7|[5(13x?8y)?7(8x?5y)]

|9x?5y）即7（注：對于“已知式子A能被數(shù)p 整除求證式B能被p”類題目，其思路為：將B表示成被7整除的代數(shù)式的形式即可；比如此題，就可以將B表示為：B?k1A?7C（其中C為含字母x、y的整式）的形式。其問題在于如何找出k2和C，我們可以采取以下方法：

我們不妨假設9x?5y?k1(13x?8y)?7(k2x?k3y)

我們知道對任意的x,y 等式左右兩邊恒等，所以化簡成Mx?Ny?0的形式后各系數(shù)為零 可得：k2??13k1?95?8k1，k3?

由于k2,k3都是整數(shù)，所以簡單試驗可得：

k1?5,k2??8,k3??5

進而得到：9x?5y?5(13x?8y)?7(?8x?5y)

|9x?y5）?y8 嗎？)

思考：反過來，已知7（，你能證明7|(1x3練習2：已知x,y為整數(shù)，17|(2a?3b)，證明：17|(9a?5b)

練習3 已知x,y為整數(shù)，且5|(x?9y)，證明：5|(8x?7y)

練習4 已知a,b,c,d,m,n為整數(shù)，n|(ma?b)且n|(mc?d)，證明：n|(ad?bc)

第五篇：2010年全國初中數(shù)學競賽題參考答案

2010年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）（B）（C）（D）

解： 由題設得．

代數(shù)式變形，同除b

2．若實數(shù)a，b滿足（A）a解．C，則a的取值范圍是（）．

或 a≥4（D）

≤a≤4（B）a4（C）a≤因為b是實數(shù)，所以關于b的一元二次方程 的判別式 ≥0,解得a≤或 a≥4．

方程思想，判別式定理；要解一元二次不等式

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=則AD邊的長為（）．（A）（C）（B）（D），BC=，CD＝，解：D

如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．

由已知可得

BE=AE=于是 EF＝4＋，CF＝．，DF＝2，過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得

AD勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補全圖形法

＝．

4．在一列數(shù)

……中，已知，且當k≥2時，（取整符號（）．

(A)1(B)2(C)3(D)4 解：B 表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則

等于由和，……，可得，，因為2010=4×502+2，所以高斯函數(shù)；找規(guī)律。

=2．

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1，點

P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4，……，重復操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標是（）．

（A）（2010，2）（B）（2010，（C）（2012，））（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點記，其中，的坐標分別為（2，0），（2，．）．

根據(jù)對稱關系，依次可以求得：，令，同樣可以求得，點，的坐標為（）．，），即

（．），由于2010=4502+2，所以點

二、填空題 6．已知a＝ 解：0 的坐標為（2010，－1，則2a＋7a－2a－12 的值等于 ．

由已知得(a＋1)＝5，所以a＋2a＝4，于是

2a＋7a－2a－12＝2a＋4a＋3a－2a－12＝3a＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝ ． 解：15

設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①

32322

222，②

由①②，得

． ③

（分）．，所以，x=30． 故

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達式是 ．

解：

如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．

由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設直線的函數(shù)表達式為，則

解得 ,故所求直線的函數(shù)表達式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則 ．

解：

．

． 見題圖，設因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以

又因為 FC＝DC＝AB，所以 即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以，即=．

10．對于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值，則正整數(shù)的最小值為 ．

解： 因為為的倍數(shù)，所以的最小值，其中由于表示的最小公倍數(shù)．

，因此滿足

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）的正整數(shù)的最小值為．

滿足

滿足△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓求證：

．

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因為BE和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點共線.…………（5分）連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B.已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達式為.設點B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．

因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以解得 …………（10分）

（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（設拋物線因為∠COD＝∠BOD＝，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.，0）.（a0）與x軸負半軸相交于點D，則點D的坐標為（，所以∠COB=

.（i）將△中點，點延長繞點O順時針旋轉(zhuǎn)）.=，得到△.這時，點(，2)是CO的的坐標為（4，到點，使得，這時點（8，）是符合條件的點.（1，）；延長

到（ii）作△點，使得＝關于x軸的對稱圖形△，這時點E２（2，），或（2，得到點）是符合條件的點．）.…………（20分）所以，點 的坐標是（8，13．求滿足．解：由題設得所以（1）若的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.，由于p是素數(shù)，故，令，或

.……（5分），，k是正整數(shù)，于是故，從而.所以（2）若當時，有

解得，令

…………（10分），k是正整數(shù).，故 由于，從而，或2.是奇數(shù)，所以，從而

.于是這不可能.當時，時，，無正整數(shù)解.；當，無正整數(shù)解；當綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數(shù)：11，，…，（即1991）滿足題設條件.…………（5分）

另一方面，設這n個數(shù)中的任意4個數(shù)

是從1，2，…，2010中取出的滿足題設條件的數(shù)，對于，因為，所以

.，因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………（10分）設由所以，i=1，2，3，…，n.，得，即，≥11.…………（15分）

≤故≤60.所以，n≤61.，綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）

（64至91為荊州市全國三等獎至一等獎）