第一篇：模態(tài)分析若干問題解釋以及時域、頻域和模態(tài)空間有什么不同？

模態(tài)分析若干問題解釋以及時域、頻域和模態(tài)空間有什么不同？

1、如何理解模態(tài)分析中的“階”，一個結(jié)構(gòu)有1階，2階，3階......，怎么理解？

在理解“階”之前，要先理解與“階”緊密相連的名詞“自由度”。自由度是指用于確定結(jié)構(gòu)空間運動位置所需要的最小、獨立的坐標(biāo)個數(shù)?？臻g上的質(zhì)點有三個自由度，分別為三個方向的平動自由度；空間上的剛體有六個自由度，分別為三個平動、三個轉(zhuǎn)動自由度。一個連續(xù)體實際上有無窮多個自由度，有限元分析時將連續(xù)的無窮多個自由度問題離散成為離散的有限多個自由度的問題，此時，結(jié)構(gòu)的自由度也就有限了。因此，可以這樣理解，一個自由度對應(yīng)一階，連續(xù)體有無窮多階。像彈簧--質(zhì)量模型為單自由度系統(tǒng)，故對應(yīng)的頻率只有一階。兩自由度系統(tǒng)有兩階。一個具體的系統(tǒng)，每一階對應(yīng)著特定的頻率、阻尼和模態(tài)振型。延伸問題：“同一個結(jié)構(gòu)為什么各階頻率、阻尼和模態(tài)振型又不相同？”這是因為雖然結(jié)構(gòu)還是這個結(jié)構(gòu)，但是參考各階運動的結(jié)構(gòu)上的質(zhì)量和剛度都不相同，參考每階響應(yīng)的并不是結(jié)構(gòu)所有的質(zhì)量和剛度，而是這一階“活躍的”有效質(zhì)量（結(jié)構(gòu)中的部分質(zhì)量），所以各階所對應(yīng)的模態(tài)參數(shù)不完全相同。

2、如何理解無阻尼固有頻率、有阻尼固有頻率和固有頻率？

通常在振動教材中都會定義無阻尼固有頻率和有阻尼固有頻率，無阻尼固有頻率對應(yīng)的是剛度/質(zhì)量的平方根，有阻尼固有頻率為無阻尼的固有頻率乘以（1-阻尼比平方）的平方根。書本上這么定義完全是出于方便書寫公式的目的，當(dāng)然了也對應(yīng)的一定的物理意義。一般說來，無阻尼結(jié)構(gòu)的頻率便是無阻尼的固有頻率，但現(xiàn)實中所說的固有頻率，在沒有特殊說明的情況下都是指有阻尼固有頻率，因為現(xiàn)實中的結(jié)構(gòu)都是有阻尼的。人們通常說的固有頻率都是指有阻尼固有頻率。另外，在有限元計算中，如果是實模態(tài)分析（不考慮阻尼），那么此時的求解出來的頻率就是無阻尼的固有頻率，如果是復(fù)模態(tài)分析（考慮非比例阻尼）得出來的固有頻率是有阻尼固有頻率。現(xiàn)實中的結(jié)構(gòu)，除了含有阻尼機制的結(jié)構(gòu)外，一般阻尼比都小于10%，因此，阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率的影響是非常小的。

3、復(fù)模態(tài)和實模態(tài)什么區(qū)別？

對于無阻尼的情況，由特征值求解產(chǎn)生的頻率和留數(shù)為純虛數(shù)，模態(tài)振型值為帶符號（+或-）的實數(shù)值，且每階模態(tài)振型的各個自由度之間，要么彼此完全同相位，要么彼此完全反相位。

對于比例阻尼，此時阻尼與系統(tǒng)的質(zhì)量和/或者剛度成比例。由特征值求解得出的頻率為復(fù)數(shù)值，留數(shù)為純虛數(shù)，模態(tài)振型值也為帶符號（+或-）的實數(shù)值。且比例阻尼特征值求解得出的模態(tài)振型與無阻尼的情況相同，這是因為阻尼與系統(tǒng)的質(zhì)量和/或剛度成比例。這樣產(chǎn)生的模態(tài)稱為“實模態(tài)”。因此，顯然相同質(zhì)量矩陣和剛度矩陣下，無阻尼和比例阻尼情況得出的模態(tài)振型完全相同。

考慮第三種情況，此時阻尼不與系統(tǒng)的質(zhì)量和/或者剛度成比例，即非比例阻尼。此時得出的頻率、留數(shù)和振型全為復(fù)數(shù)值。對于這種情況，模態(tài)振型不同于前面的兩種情況。首先，模態(tài)振型是復(fù)數(shù)值。并且每階模態(tài)的各個自由度之間的相對相位關(guān)系已不再是完全同相位或反相位了。這種情況下產(chǎn)生的模態(tài)稱為“復(fù)模態(tài)”。這跟前面兩種情況大不相同。系統(tǒng)阻尼與系統(tǒng)的質(zhì)量和/或剛度不相關(guān)時，得出的模態(tài)就為復(fù)模態(tài)，此時的阻尼稱為非比例阻尼。

考慮復(fù)模態(tài)時，所有的方程通常都變得更復(fù)雜。實模態(tài)與復(fù)模態(tài)之間一些簡單結(jié)論總結(jié)如下： 實模態(tài)的一些特征：

1.通過駐波描述實模態(tài)，而這些駐波的節(jié)點位置是固定的； 2.所有點同一時刻通過它們的最大和最小位置處； 3.所有點同一時刻通過零點位置； 4.模態(tài)振型為帶符號的實數(shù)值；

5.所有點同結(jié)構(gòu)上任何其他點，要么完全同相位，要么完全反相位；

6.無阻尼得到的模態(tài)振型與比例阻尼的模態(tài)振型相同，這些振型解耠質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。復(fù)模態(tài)的一些特征：

1.通過行波描述復(fù)模態(tài)，節(jié)點似乎在結(jié)構(gòu)上移動；

2.所有點不在同一時刻通過它們的最大值位置處，一些點似乎落后其它點； 3.所有點不在同一時刻通過零點位置； 4.模態(tài)振型不能用實數(shù)描述，為復(fù)數(shù)；

5.不同自由度之間不存在特定的相位關(guān)系，沒有完全同相位或者完全180度反相關(guān)系； 6.由無阻尼情況得到的模態(tài)振型將不解耦阻尼矩陣。

為了進一步形象化這些特征，繪出了懸臂梁某階模態(tài)所對應(yīng)的復(fù)模態(tài)振型和實模態(tài)振型，如圖1所示。圖1a為實模態(tài)，自由度之間的相對相位關(guān)系完全同相位（如圖中藍色和紅色表示的自由度）或者完全180度反相位（如圖中的綠色表示的與藍色和紅色表示的自由度）。而復(fù)模態(tài)不具有這種簡單的相位關(guān)系，模態(tài)振型必須通過幅值與相位或者實部與虛部兩者同時描述，如圖1b所示。圖1是有意去形象化它們之間的相位關(guān)系。

如果在進行復(fù)模態(tài)分析時，發(fā)現(xiàn)求解出來的特征值是純虛部，這時就得考慮是不是實際上是在進行實模態(tài)分析。

4、什么是模態(tài)分析？

通過求解振動特征方程，可以得到特征值與特征向量，即可得到相應(yīng)的固有頻率與模態(tài)！再由初始條件可以求得響應(yīng)。

模態(tài)分析可以得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的固有頻率與固有模態(tài)；頻響分析則可以得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與頻率之間的關(guān)系！這樣系統(tǒng)的振動特性就明朗了。

“頻率響應(yīng)分析可以更加直觀地看出系統(tǒng)在寬頻激勵下，哪些頻率處被激起共振。結(jié)合模態(tài)分析的結(jié)果，可以更加深刻的了解系統(tǒng)的動態(tài)特性”。

模態(tài)分析和頻率響應(yīng)分析的確是兩個不同的概念。模態(tài)是結(jié)構(gòu)固有的一種特性，它只與結(jié)構(gòu)的形狀、約束形式、材料特性等有關(guān)，而與其他輸入（例如加載）無關(guān)。而頻率響應(yīng)分析則是指結(jié)構(gòu)對一載荷（可以是沖擊載荷，也可能是一頻率在一定范圍內(nèi)的載荷）的響應(yīng)。

模態(tài)分析主要目的有：了解結(jié)構(gòu)的共振區(qū)域，為結(jié)構(gòu)設(shè)計提供一定的指導(dǎo)；對計算模型進行校驗，驗證你做仿真計算的模型是否正確；開展瞬態(tài)分析、譜分析的基礎(chǔ)。

頻率響應(yīng)分析的目的是確定結(jié)構(gòu)上兩點的輸入輸出關(guān)系（一般以頻率為橫坐標(biāo)）。

模態(tài)分析中，如果打開計算單元應(yīng)力選項，對應(yīng)每一階固有頻率，就有對應(yīng)的應(yīng)力分布。想請教一下這個模態(tài)應(yīng)力有什么實際意義嗎？ 還是就是代表此頻率下結(jié)構(gòu)發(fā)生變形后的應(yīng)力分布？

個人覺得沒什么意義吧，因為應(yīng)力是由位移場求得的，而模態(tài)位移場只是歸一化之后的“相對”量，要求得實際載荷下的應(yīng)力還是要通過靜力學(xué)分析或者動力學(xué)分析吧。

模態(tài)分析得到的應(yīng)力是相對應(yīng)力，和模態(tài)變形的相對概念是一樣的。

諧響應(yīng)分析和瞬態(tài)分析得到的應(yīng)力應(yīng)該是真實的

分享一下：諧響應(yīng)分析后在POST1中對應(yīng)頻率下查看的應(yīng)力和位移是結(jié)構(gòu)的真實應(yīng)力和位移，由此可以判斷結(jié)構(gòu)的最大響應(yīng)部位。而模態(tài)分析，以及在模態(tài)分析基礎(chǔ)上的隨機振動分析所得到的應(yīng)力和位移是相對的，僅具有相對參考價值；

固有頻率是某種物質(zhì)特有的固定震動頻率。我們知道，每種物質(zhì)都會震動。但因為物質(zhì)中微觀粒子的差異性，每種物質(zhì)的頻率都不同。物質(zhì)在一定頻率的外力作用下會以該外力的頻率震動，在物理學(xué)上叫受迫震動。但因為會消耗能量，所以受迫震動的震福會變小。當(dāng)外力的頻率與物質(zhì)的固有頻率相同時，震福會達到最大。也就是發(fā)生了共震！這也就是共振頻率。

模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程振動領(lǐng)域中的應(yīng)用。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析取得，這樣一個計算或試驗分析過程稱為模態(tài)分析。

模態(tài)分析就是結(jié)構(gòu)的固有振動特性分析。這種分析用于確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，其分析結(jié)果可作為瞬態(tài)動力學(xué)分析，諧響應(yīng)分析和譜分析等其他動力分析的基礎(chǔ)。

模態(tài)分析的實質(zhì)是計算結(jié)構(gòu)振動特征方程的特征值和特征向量。

5、時域、頻域和模態(tài)空間有什么不同？

這個問題經(jīng)常有人問到，三者有太多的不同之處，因此讓我們從一個簡單的說明開始著手，不涉及太多的數(shù)學(xué)知識，用一個簡單的示意圖來解釋。用這個圖討論時域、頻域、模態(tài)空間和物理空間之間的所有不同之處。這個圖有太多方面需要討論，故將此圖分成許多子塊，每次討論其中一塊，最后對所有子塊進行總結(jié)。你可能還記得前面進行“什么是模態(tài)分析”的討論（“你能為我解釋模態(tài)分析是什么嗎？”），在這前面的討論對我們解釋這個問題有幫助作用。

首先，讓我們考慮一根懸臂梁，假設(shè)在梁的自由端受到一個脈沖激勵。梁自由端的響應(yīng)將包含系統(tǒng)所有模態(tài)（圖中用黑色表示時域響應(yīng)）的響應(yīng)，注意到這個響應(yīng)是多個頻率的響應(yīng)。通過傅立葉變換，將梁自由端的響應(yīng)從時域變換到頻域。雖然傅立葉變換包含許多數(shù)學(xué)公式，但它已是一種人們一直常用的變換運算算法。時域信號的頻域表達通常稱為頻響函數(shù)或者簡寫成FRF（圖中用黑色繪出了頻響函數(shù)），注意圖中的峰值對應(yīng)于系統(tǒng)的固有頻率。

在進一步討論時域和頻域之前，先說說圖中左上角的物理模型。我們知道懸臂梁有許多階固有頻率，在每一階固有頻率處，結(jié)構(gòu)都將以一種確定的方式發(fā)生變形，這種變形叫做模態(tài)振型，如上一小節(jié)中描述的一樣。對于這根梁，圖中藍色為第1階彎曲模態(tài)，紅色為第2階彎曲模態(tài)，綠色為第3階彎曲模態(tài)。當(dāng)然，還有許多高階模態(tài)沒有給出，在這我們僅僅討論前三階模態(tài)，并且從前三階模態(tài)可以很容易地推廣到高階模態(tài)。

這樣的實體梁也可以用圖中右上角的解析集中質(zhì)量模型（黑色繪出）或者有限元模型來作估算。這個模型通常用方程組進行估算，這些方程組在一些不同的位置或不同自由度（DOF）之間，存在相互作用或者稱為耦合。這意味著如果你推動模型中的某一個自由度，那么其他自由度也會受到影響，并且產(chǎn)生運動。這些耦合行為意味著為了確定系統(tǒng)的響應(yīng)行為，這些方程將變得更為復(fù)雜。隨著描述系統(tǒng)的方程數(shù)目變得越來越大，那么方程的復(fù)雜程度也就越來越高。通常將描述系統(tǒng)特征的運動方程組用矩陣形式來表示

這里[M]，[C]和[K]分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，連同相應(yīng)的加速度向量、速度向量和位移向量以及外力向量一起組成運動方程。通常質(zhì)量矩陣是對角陣，阻尼和剛度矩陣是帶有非對角元素的對稱陣，這些非對角元素確定了描述系統(tǒng)的不同方程或不同自由度之間的耦合程度，矩陣的大小由描述系統(tǒng)的方程總數(shù)決定。從數(shù)學(xué)角度講，通過求解特征值和模態(tài)變換，將這些耦合的方程進行解耠，解耠后的方程為一組單自由度系統(tǒng)的運動方程，且此時轉(zhuǎn)換后的新坐標(biāo)系統(tǒng)，叫模態(tài)空間，解耠后的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度矩陣全為對角陣，如：

因此我們可以看出模態(tài)轉(zhuǎn)換是將方程從物理空間通過模態(tài)轉(zhuǎn)換方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間的過程；是將一組復(fù)雜的、耦合的物理方程轉(zhuǎn)換成一組單自由度系統(tǒng)的、解耠的方程的過程。因而，我們可以將圖中的解析模型分解成一組單自由度系統(tǒng)，如圖中所示的藍色1階、紅色2階和綠色3階模態(tài)組成。模態(tài)空間使得我們更易于用單自由度系統(tǒng)去描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

現(xiàn)在回到圖中用黑色表示的時域和頻域響應(yīng)。我們知道系統(tǒng)總的響應(yīng)可由每階模態(tài)的貢獻得到，圖中黑色表示的總響應(yīng)由1階、2階和3階模態(tài)響應(yīng)組成。不管是在時域還是頻域描述系統(tǒng)，這個結(jié)論總是成立的。每個域都是等價的，僅僅是從不同的角度去描述而已。如同貨幣一樣，從一個國家到另一個國家，每個國家的貨幣看起來都不相同，但是它們實質(zhì)是同一個東西。所以可以看出系統(tǒng)總的時間響應(yīng)是由各階時間響應(yīng)所組成的，即由1階、2階和3階模態(tài)的時域響應(yīng)貢獻所組成。系統(tǒng)總的頻響函數(shù)也是由各階頻響函數(shù)組成，即由1階、2階和3階的頻響函數(shù)組成（在這我們僅僅給出了頻響函數(shù)的幅值部分，頻響函數(shù)其實是很復(fù)雜的，正確的表示方式應(yīng)該是用幅值和相位或者實部和虛部來表示）。

既然我們可以將解析模型分解成一組單自由度系統(tǒng)的組合，因而我們可以確定每個單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)，如圖所示1階、2階和3階模態(tài)。同樣也可以通過一種近似解確定由脈沖引起的每個單自由度系統(tǒng)的時域響應(yīng)，或由每個單自由度系統(tǒng)的FRF的傅立葉逆變換得到的時域響應(yīng)。我們也可以在梁的自由端測量由脈沖引起的響應(yīng)，并且過濾系統(tǒng)每階模態(tài)的響應(yīng)，那么我們就可以看到系統(tǒng)每階模態(tài)的響應(yīng)，如1階、2階和3階模態(tài)（當(dāng)然，我簡化了許多理論，以便我們能理解這些概念）。

既然我們已經(jīng)剖析了圖中所有的子塊部分，那么我想應(yīng)該更清楚了在時域、頻域、模態(tài)空間和物理空間并沒有實質(zhì)性的不同，僅僅是形式不同而已。每個域僅僅是為了便于描述或者察看數(shù)據(jù)。然而，有時從一個域察看某些信息會比其他的域更容易、更便捷。比如，從總的時域響應(yīng)就不清楚有多少階模態(tài)對梁的響應(yīng)有貢獻，但是頻域的總的頻響函數(shù)就能清楚顯示有多少階模態(tài)被激起和每一階模態(tài)對應(yīng)的頻率是多少。因此，我們經(jīng)常將數(shù)據(jù)從一個域變換到另一個域，僅僅是因為數(shù)據(jù)更易于解釋。關(guān)于這些還有太多的需要去講解，但是我希望這些簡單的、示意性的解釋能從另一個角度幫助你更好地理解這些概念。

6、模態(tài)分析各種名詞解釋。

模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼，有關(guān)這三個名詞可以參考百科。另外這三個量沒有絕對意義，只有相對意義，是將物理量通過坐標(biāo)變換到模態(tài)空間后的三個量。通常對振型縮放時，用得最多的是質(zhì)量歸一，而此時的質(zhì)量歸一說的就是將所有的模態(tài)質(zhì)量都定為1，其他的量與這個量相比較。

有效質(zhì)量、等效剛度，這兩個名詞只解釋其中一個。有效質(zhì)量，另一個可以類似的理解。結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量是一定的，但是并不是的結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量都參與各階模態(tài)，有效質(zhì)量是指參與某階模態(tài)的質(zhì)量，也可以說是“模態(tài)上”活躍的那部分質(zhì)量，可能只占結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的一部分，參與每一階的質(zhì)量都不完全相同，同理，剛度也是如此，正是由于參與每階模態(tài)的質(zhì)量和剛度都不完全相同（重根除外），才有不同的模態(tài)頻率。

7、各階模態(tài)振型出現(xiàn)的先后順序是否有規(guī)律？

基本事實就是頻率和各階模態(tài)振型出現(xiàn)的次序只受結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度分布的影響，不受其他因素影響。

為了說明各階模態(tài)可能出現(xiàn)的次序，用有限元方法生成三個不同構(gòu)造的平板結(jié)構(gòu)，長寬比不同，求解每一個結(jié)構(gòu)。下圖中給出了三個不同結(jié)構(gòu)的前五階模態(tài)，從頂部到底部模態(tài)次序依次為從最低階到最高階（僅考慮前五階）。其中字母B表示沿長邊方向的彎曲模態(tài)，B2表示沿短邊方向的彎曲模態(tài)，T表示沿對稱軸的扭轉(zhuǎn)模態(tài)。分析這三個不同構(gòu)造的平板，可以看出平板沒有特定的模態(tài)振型出現(xiàn)次序。從圖中可以看出，每個結(jié)構(gòu)的模態(tài)出現(xiàn)次序都不相同。

只要我們關(guān)心各階模態(tài)振型出現(xiàn)的先后次序，那么有人就會問，是否沿平板長邊方向的彎曲模態(tài)（B）總是比沿短邊方向的彎曲模態(tài)(B2)先出現(xiàn)？在快速回答這個問題之前，停下來作進一步的思考……

這是一個欺詐性的問題？在回答這個問題之前，我需要思考什么？材料屬性是什么？沿長邊和短邊的屬性相同嗎？如果材料是各向同性材料，那么沿長邊方向的彎曲模態(tài)（B）將會先于沿短邊方向的彎曲模態(tài)(B2)出現(xiàn)。但如果材料是加強的碳纖維復(fù)合材料，加強的碳纖維沿平板長邊方向分布，那么情況又怎樣呢？那么這時可能的情況是沿長邊方向平板的剛度更大。因此，此時也有可能是沿短邊方向的彎曲頻率(B2)先于沿長邊方向的彎曲頻率(B)出現(xiàn)。顯然，原則就是你確實需要思考這種可能性，現(xiàn)實中完全是可能的！

我已經(jīng)設(shè)法回答了平板的各階模態(tài)可能出現(xiàn)的次序這個問題。顯然，任何構(gòu)造的結(jié)構(gòu)都有自身特有的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)，不僅僅是平板結(jié)構(gòu)，其各階模態(tài)出現(xiàn)的次序也不是特定，取決于質(zhì)量和剛度的分布。

8、為什么對自由梁進行剛度修改，模態(tài)頻率反而降低了？

如果增加任何系統(tǒng)的剛度，人人首先想到的是模態(tài)頻率肯定增大，這是因為剛度增大了，頻率會提高，但當(dāng)你對結(jié)構(gòu)增加剛度時，頻率反而降低是沒有道理的。因此，讓我們分析一根兩端自由的簡單梁系統(tǒng)。兩端自由的梁前三階模態(tài)分別為164Hz、452Hz和888Hz。將自由梁約束?。ㄗ兂珊喼Я海?，對其進行分析，前三階模態(tài)分別為72Hz、288Hz和647Hz。顯然，模態(tài)頻率沒有如預(yù)期的那樣移動。因此，到底這是怎么回事呢？

通常，人們關(guān)心的是系統(tǒng)的彈性模態(tài)，因為這些模態(tài)是所有振動和噪聲問題發(fā)生的普遍原因。但是，描述整個系統(tǒng)的不僅僅是這些彈性模態(tài)?；締栴}是每個人都忽略了自由邊界的系統(tǒng)不僅具有彈性模態(tài)，還具有剛體模態(tài)。很多時候，測試過程中人們不測量剛體模態(tài)，剛體模態(tài)不作為彈性模態(tài)測試的一部分。因而，從分析角度出發(fā)，很多時候進行的特征值求解，要么只求解變動的特征值問題，要么只獲得彈性模態(tài)。雖然剛體模態(tài)存在，但是很多時候人們忽略了它們，這主要是因為他們不是振動和噪聲問題產(chǎn)生的根源。因此，一旦我們意識到這個梁系統(tǒng)的第一階模態(tài)頻率從分析模態(tài)上得到的是0Hz或者從實測得到第一階模態(tài)頻率非常小，那么直覺告訴我們增加剛度，使得模態(tài)頻率向上移動更合理些。對于平面自由梁的前三階頻率為164Hz、452Hz和888Hz，其實在這之前還有兩階頻率為0的剛體模態(tài)，一階為平動，一階為轉(zhuǎn)動。而簡支梁的前三階頻率為72Hz、288Hz和647Hz。其中，72Hz和288Hz是由自由梁的前兩階0頻往上移動得到的（因為剛度增加了），簡支梁的第三階頻率647Hz是由自由梁的第一階彈性頻率164Hz得到的。

所以，基本事實就是不能忽略剛體模態(tài)，它們是完全描述梁系統(tǒng)的一部分。