第一篇：抽屜原理評(píng)課稿

《抽屜原理》評(píng)課稿

石嘴山市育才學(xué)校 羅海玉

抽屜原理這堂課很抽象，通過(guò)幾個(gè)直觀例子，借助游戲，實(shí)驗(yàn)操作向?qū)W生介紹了“抽屜原理”。在學(xué)生初步理解的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模式化”，使學(xué)生會(huì)用“抽屜原理”解決實(shí)際問(wèn)題。

在《抽屜原理》中，“總有一個(gè)”、“至少”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的解讀和為了達(dá)到“至少”而進(jìn)行“平均分”的思路，以及把什么看做物體，把什么看做抽屜，這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立，學(xué)生學(xué)起來(lái)頗具難度。例1是學(xué)好例2的基礎(chǔ)，只有通過(guò)例1的教學(xué)，讓全體學(xué)生真實(shí)地經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，把他們?cè)趯W(xué)習(xí)中可能會(huì)遇到的幾個(gè)困難，弄懂、弄通，建立清晰的基本概念、思路、方法，才能更好地學(xué)習(xí)抽屜原理例題2，才能靈活運(yùn)用這一原理解決各種實(shí)際問(wèn)題。

在導(dǎo)入部分，通過(guò)設(shè)計(jì)“搶板凳”的有趣猜測(cè)，拉近數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的興趣，引起探究的愿望，為今天的探究埋下伏筆。

在實(shí)物操作部分，抓住最能體現(xiàn)結(jié)論的一種情況，引導(dǎo)學(xué)生理解怎樣很快知道總有一個(gè)杯子里至少是幾個(gè)的方法——就是按照個(gè)數(shù)平均分，只有這樣才能讓最多的杯子里個(gè)數(shù)盡可能少。

在抽象概括部分，通過(guò)“4個(gè)放入3個(gè)杯子”、”5個(gè)放入4個(gè)杯子”和練習(xí)題“6個(gè)放入5個(gè)杯子”等幾個(gè)不同的實(shí)例讓學(xué)生較充分地感受、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)相同的現(xiàn)象，讓學(xué)生抽象概括出“當(dāng)物體數(shù)比抽屜數(shù)多1時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放入2個(gè)物體”，初步認(rèn)識(shí)抽屜原理。然后設(shè)下疑問(wèn)：“如果物體數(shù)不止比抽屜數(shù)多1，不管怎樣放，總有一個(gè)抽屜中至少放進(jìn)幾個(gè)物體？”這一層次請(qǐng)學(xué)生理解當(dāng)余數(shù)不是1時(shí)，要經(jīng)歷兩次平均分，第一次是按抽屜的平均分，第二次是按余下的個(gè)數(shù)平均分，只有這樣才能達(dá)到讓“最多的盒子里個(gè)數(shù)盡可能少”的目的。

在學(xué)生經(jīng)歷了真實(shí)的探究過(guò)程后，我將本節(jié)課研究過(guò)的所有實(shí)例通過(guò)課件進(jìn)行總體呈現(xiàn)。讓學(xué)生通過(guò)比較，總結(jié)出抽屜原理中最簡(jiǎn)單的情況：不管怎樣放，總有一個(gè)抽屜中至少要放入商+1個(gè)物體，即：至少數(shù)=商+1。

讓學(xué)生應(yīng)用“抽屜原理”解決的幾個(gè)生活中簡(jiǎn)單有趣的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想，讓學(xué)生能正確地找出問(wèn)題中什么是待分的“物體”，什么是“抽屜”，讓學(xué)生體會(huì)抽屜的形式是多種多樣的。

這節(jié)課有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：

1、激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)了學(xué)生的求知欲。課前通過(guò)4位同學(xué)坐3張凳子的游戲?qū)耄ぐl(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而 “我不用看就知道你們當(dāng)中肯定有2個(gè)同學(xué)坐在一張椅子上”，為什么能做出如此準(zhǔn)確的判斷？道理是什么？這其中就蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，引發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，為學(xué)生學(xué)習(xí)抽屜原理作了很好的鋪墊。

2、用具體的操作，將抽象變?yōu)橹庇^。

本節(jié)課組織的教學(xué)結(jié)構(gòu)緊湊，實(shí)施過(guò)程層層推進(jìn)上的扎實(shí)有效，通過(guò)4根小棒3個(gè)杯子，先讓學(xué)生用枚舉法，把所有情況擺出來(lái)，運(yùn)用直觀的方式，發(fā)現(xiàn)并描述：理解最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”，舉例后學(xué)生感知理解“小棒比杯子多1時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)杯子至少有2根小棒”。再讓學(xué)生探究解決問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法，即“平均分”的方法，在這節(jié)課中，由于提拱的數(shù)據(jù)較小，為學(xué)生自主探索和理解“抽屜原理”提供了很大的空間。

特別是教師設(shè)問(wèn)：到底是“至少數(shù)=商+1”還是“商+余數(shù)”？引發(fā)學(xué)生思維步步深入，并通過(guò)討論，說(shuō)理等活動(dòng)，得出“至少數(shù)=商+1”。使學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)初步的數(shù)學(xué)證明過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和初步的邏輯思維能力。

3、在活動(dòng)中使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)魅力。

“抽屜原理”這一知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、觀察、思考、推理的基礎(chǔ)上理解和發(fā)現(xiàn)的，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，感受到數(shù)學(xué)的魅力。

第二篇：抽屜原理評(píng)課稿

《抽屜原理》評(píng)課稿

東興鎮(zhèn)中心小學(xué)

四年級(jí)數(shù)學(xué)組

廖老師上的《抽屜原理》一課結(jié)構(gòu)完整，過(guò)程清晰，學(xué)生參與性高，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，為學(xué)生提供了足夠的自主探索的空間，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、猜測(cè)、操作、推理和交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中初步了解“抽屜原理”，并學(xué)會(huì)了用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

1、激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)了學(xué)生的求知欲。

首先，廖老師課前采用抽撲克牌魔術(shù)的游戲?qū)?，為學(xué)生學(xué)習(xí)新的教學(xué)內(nèi)容埋下了伏筆，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，游戲中提出有關(guān)抽屜原理的第一個(gè)問(wèn)題：為什么總有兩張撲克是同一種花色？接著老師問(wèn)“知道老師為什么能做出如此準(zhǔn)確的判斷嗎？道理是什么？這其中蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這個(gè)原理?！辈坏箤W(xué)生帶著興趣去學(xué)習(xí)，而且給予學(xué)生思維的導(dǎo)向，引發(fā)了學(xué)生的求知欲，為學(xué)好抽屜原理作好了鋪墊。”

2、借助直觀操作經(jīng)歷探究過(guò)程。

本節(jié)課教師組織的教學(xué)結(jié)構(gòu)緊湊，實(shí)施過(guò)程層層推進(jìn)，上得扎實(shí)有效。先用枚舉舉法，讓學(xué)生把自己動(dòng)手?jǐn)[鉛筆，并把所有情況記錄下來(lái)，運(yùn)用直觀的方式，發(fā)現(xiàn)并描述，理解最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”，體現(xiàn)了“做中學(xué)”的教學(xué)理念。接著讓學(xué)生探究解決問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法即“平均分”的方法。在大量的舉例后使學(xué)生感知理解“鉛筆比文具盒數(shù)多1時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆。

3、體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

在教學(xué)過(guò)程 中充分發(fā)揮了學(xué)生的主體性，在抽屜原理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)[，然后口頭匯報(bào)自己擺出來(lái)的種類，然后讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)至少是“商+余數(shù)”，還是“商+1”個(gè)物體放進(jìn)同一個(gè)抽屜，讓學(xué)生在小組內(nèi)充分討論、互相爭(zhēng)辯，使學(xué)生更好的理解了抽屜原理。

4、小組合作學(xué)習(xí)效果好、注重實(shí)效

在學(xué)習(xí)《抽屜原理》時(shí)，把4枝我鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，先讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測(cè)，再小組動(dòng)手?jǐn)[放進(jìn)行學(xué)習(xí)和驗(yàn)證。因?yàn)橛辛饲斑叺牟聹y(cè)，學(xué)生心中有了疑問(wèn)再加上老師對(duì)合作學(xué)習(xí)要求明確，使的小組合作學(xué)習(xí)效果很好，每個(gè)學(xué)生都能參與進(jìn)去。

5、注意滲透數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系。

學(xué)了“抽屜原理”有什么用？能解決生活中的什么問(wèn)題？教學(xué)中教師注重了聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際。課中老師設(shè)置的教學(xué)例子如：在文具盒中擺放鉛筆、鴿子回舍等，都是現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)實(shí)在在的東西，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)“總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆”。事例中都是數(shù)學(xué)與生活的有效關(guān)聯(lián)。

6、注重向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：枚舉法、假設(shè)法之間的比較，讓學(xué)生甄別。

7、廖老師的教學(xué)注重教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生自己運(yùn)用方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，正是體現(xiàn)了我國(guó)古代道學(xué)派《老子》所說(shuō)的“供人以魚，只解一餐；授人以漁，終身受用。”的思想。

本節(jié)課稍有不足的是教師的兒童語(yǔ)言相對(duì)少了一些，若能再給學(xué)生一些鼓勵(lì)，我想學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣會(huì)更濃些。

第三篇：抽屜原理課后評(píng)課

教研組課后議課

《抽屜原理》評(píng)課稿

六年級(jí)數(shù)學(xué)組 徐老師上的《抽屜原理》這一課結(jié)構(gòu)完整，過(guò)程清晰，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，為學(xué)生提供了足夠的自主探索的空間，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、猜測(cè)、操作、推理和交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中初步了解“抽屜原理”，并學(xué)會(huì)了用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

本節(jié)課的亮點(diǎn)是：

1、充分放手，讓學(xué)生自主思考，采用自己的方法“證明”：“把4枝筷子放入3個(gè)杯子中，不管怎么放，總有一個(gè)杯子里至少放進(jìn)2枝筷子”，然后交流展示，為后面開展教與學(xué)的活動(dòng)做了鋪墊。此處設(shè)計(jì)注意了從最簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)開始擺放，有利于學(xué)生觀察、理解，有利于調(diào)動(dòng)所有學(xué)生的積極性。在有趣的類推活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論，讓學(xué)生體驗(yàn)和理解“抽屜原理”的最基本原理：當(dāng)物體個(gè)數(shù)大于抽屜個(gè)數(shù)時(shí)，一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。這樣的教學(xué)過(guò)程，從方法層面和知識(shí)層面上對(duì)學(xué)生進(jìn)行了提升，有助于發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。在評(píng)價(jià)學(xué)生各種“證明”方法，針對(duì)學(xué)生的不同方法教師給予針對(duì)性的鼓勵(lì)和指導(dǎo)，讓學(xué)生在自主探索中體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展。在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較優(yōu)化，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題。

2、教學(xué)中教師抓住了假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法” 形式表示出來(lái)，使學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里，看每個(gè)抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。特別是對(duì)“某個(gè)抽屜至少有書的本數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，教師適時(shí)挑出針對(duì)性問(wèn)題進(jìn)行交流、討論，使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。

3、注意滲透數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系。并在游戲中深化知識(shí)。

學(xué)了“抽屜原理”有什么用？能解決生活中的什么問(wèn)題？教學(xué)中教師注重了聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際。課前老師設(shè)計(jì)了一組簡(jiǎn)單、真實(shí)的生活情境：“讓一名學(xué)生在一副去掉了大小王和花牌的撲克牌中，任意抽取五張，老師猜：總有一種花色的牌至少有兩張?！睂W(xué)完抽屜原理后，讓學(xué)生用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解釋這些現(xiàn)象，有效的滲透“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又還原于生活”的理念。

商榷之處：

學(xué)生對(duì)“至少”一詞的理解還顯得有些欠缺，學(xué)生僅僅理解了字面上的意思，對(duì)“至少”一詞的指向性還不明確，就我理解，“至少”應(yīng)該是指的在每一種情況中出現(xiàn)的最大數(shù)中的最小數(shù)，此處比較難于理解，有些學(xué)生還比較模

第四篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m＋1）個(gè)物體。

使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。

例1 從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；

（2）有2個(gè)數(shù)的差為50；

（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組中的2個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。

（2）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。

（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：

第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個(gè)數(shù)，故選出的51個(gè)數(shù)至少有29個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于1。

例2 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。

得到500個(gè)余數(shù)r1，r2，…，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，…，499這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原理，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個(gè)差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

例3 在一個(gè)禮堂中有99名學(xué)生，如果他們中的每個(gè)人都與其中的66人相識(shí)，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識(shí)（假定相識(shí)是互相的）。

分析：注意到題中的說(shuō)法“可能出現(xiàn)……”，說(shuō)明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說(shuō)的結(jié)論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學(xué)生作為3個(gè)抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人只在B，C中，同時(shí)，B，C中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說(shuō)情況

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就可能出現(xiàn)。

因?yàn)槎Y堂中任意4人可看做4個(gè)蘋果，放入A，B，C三個(gè)抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來(lái)自同一組，那么他們認(rèn)識(shí)的人只在另2組中，因此他們兩人不相識(shí)。

例4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同。當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。

分析：此題中沒(méi)有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問(wèn)題的角度。

解：內(nèi)外兩環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個(gè)抽屜。

注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面，而最初的8對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對(duì)的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對(duì)的局面看做8個(gè)蘋果，則至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)。

例5 有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間?，F(xiàn)在需要重量相差不超過(guò)0.005克的兩只鐵盤來(lái)裝配一架天平，問(wèn)：最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個(gè)盤子，就一定可以從中找到兩個(gè)盤子屬于同一組，這2個(gè)盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19個(gè)籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個(gè)籌碼。

解：依順時(shí)針?lè)较驅(qū)⒒I碼依次編上號(hào)碼：1，2，…，100。然后依照以下規(guī)律將100個(gè)籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個(gè)紅籌碼看做蘋果，放入以上20個(gè)抽屜中，因?yàn)?1=2×20＋1，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3（個(gè)）蘋果，也就是說(shuō)必有一組5個(gè)籌碼中有3個(gè)紅色籌碼，而每組的5個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個(gè)相鄰籌碼之間都有19個(gè)籌碼，那么3個(gè)紅色籌碼中必有2個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容——第二抽屜原理中說(shuō)明），即有2個(gè)紅色籌碼之間有19個(gè)籌碼。

下面我們來(lái)考慮另外一種情況：若把5個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

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第二抽屜原理：把（mn-1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m-1）個(gè)物體。

例7 在例6中留有一個(gè)疑問(wèn)，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個(gè)籌碼，其中有3個(gè)是同色的，那么這3個(gè)同色的籌碼必有2個(gè)相鄰。

分析：將這個(gè)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化：

如右圖，將同色的3個(gè)籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個(gè)籌碼將其隔開。

解：如圖，將同色的3個(gè)籌碼放置在圓周上，將每2個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個(gè)籌碼看做蘋果，將2個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜中，則必有1個(gè)抽屜中沒(méi)有蘋果，即有2個(gè)同色籌碼之間沒(méi)有其它籌碼，那么這2個(gè)籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個(gè)正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問(wèn)：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無(wú)論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無(wú)法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個(gè)變形——平均值原理。

我們知道n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個(gè)數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于a，也至少有一個(gè)不小于a。

例9 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，…，1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999。

解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個(gè)房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時(shí)回來(lái)，那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來(lái)時(shí)，每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開一個(gè)房門住進(jìn)去，并且避免發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？

解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開，因此90個(gè)人就無(wú)法按題述的條件住下來(lái)。

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另一方面，990把鑰匙已經(jīng)足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個(gè)人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。

最后，我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請(qǐng)看下面兩道例題。

例11 設(shè)有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無(wú)論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

證明：我們先考察第一行中28個(gè)小方格涂色情況，用三種顏色涂28個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個(gè)小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的，那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格，便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形就是一個(gè)四角同是紅色的長(zhǎng)方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。

我們先考慮這個(gè)3×7的長(zhǎng)方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對(duì)應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)角，這個(gè)長(zhǎng)方形四角同是藍(lán)色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3個(gè)小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍(lán)、黃兩色涂3個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有2個(gè)方格是同色的，無(wú)論是同為藍(lán)色或是同為黃色，都可以得到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

總之，對(duì)于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長(zhǎng)方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問(wèn)：參加考試的學(xué)生最多有多少人？

解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過(guò)3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對(duì)第一題的答案只有兩種。對(duì)于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對(duì)于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對(duì)于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對(duì)于這3人來(lái)說(shuō)，沒(méi)有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求。可見(jiàn)，所求的最多人數(shù)不超過(guò)9人。

另一方面，若9個(gè)人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個(gè)問(wèn)題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)13

1.六（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績(jī)除3人外均在86分以上后就說(shuō)：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績(jī)相同?！闭?qǐng)問(wèn)王老師說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？

2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個(gè)

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乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

3.某校初二年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問(wèn)：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有4個(gè)人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；

（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；

（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是51的倍數(shù)。

5.在3×7的方格表中，有11個(gè)白格，證明

（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個(gè)白格；

（2）只有一個(gè)白格的列只有3列。

6.某個(gè)委員會(huì)開了40次會(huì)議，每次會(huì)議有10人出席。已知任何兩個(gè)委員不會(huì)同時(shí)開兩次或更多的會(huì)議。問(wèn)：這個(gè)委員會(huì)的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個(gè)車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺(tái)機(jī)器組成，只有每臺(tái)機(jī)器都開動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作。總共有8個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場(chǎng)。為了保證生產(chǎn)，要對(duì)這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問(wèn)：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語(yǔ)言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語(yǔ)言通話。

練習(xí)13

1.對(duì)。解：因?yàn)?9-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說(shuō)，把從100分至86分的15個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜，49-3=46（人）的成績(jī)當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績(jī)相同。

2.4個(gè)。解：18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個(gè)盒子中放了1只乒乓球，3個(gè)盒中放了2只乒乓球……3個(gè)盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個(gè)盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進(jìn)原來(lái)有2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來(lái)裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有4個(gè)盒子里裝有3個(gè)乒乓球。所以至少有4個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。

3.34個(gè)。

解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個(gè)）。

根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同，至少要有初二學(xué)生

3×11+1=34（個(gè)）。

4.證：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。

（2）將100個(gè)數(shù)分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。

其中第10組中有41個(gè)數(shù)。在選出的51個(gè)數(shù)中，第10組的41個(gè)數(shù)全部選中，還有10個(gè)數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。

（3）將選出的51個(gè)數(shù)排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個(gè)和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個(gè)和中有一個(gè)是51的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這51個(gè)和中沒(méi)有一個(gè)是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，…，50中的一個(gè)，故必然有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51的倍數(shù)，而這個(gè)差顯然是這51個(gè)數(shù)（a1，a2，a3，…，a51）中的一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個(gè)白格，則剩下的5個(gè)白格要放入3列中，將3列表格看做3個(gè)抽屜，5個(gè)白格看做5個(gè)蘋果，根據(jù)第二抽屜原理，5（=2×3-1）個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜，則必有1個(gè)抽屜至多只有（2-1）個(gè)蘋果，即必有1列只含1個(gè)白格，也就是說(shuō)除了原來(lái)3列只含一個(gè)白格外還有1列含1個(gè)白格，這與題設(shè)只有1個(gè)白格的列只有3列矛盾。所以不會(huì)有1列有3個(gè)白格，當(dāng)然也不能再有1列只有1個(gè)白格。推知其余4列每列恰好有2個(gè)白格。

（2）假設(shè)只含1個(gè)白格的列有2列，那么剩下的9個(gè)白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有2列每列只1個(gè)白格矛盾。所以只有1個(gè)白格的列至少有3列。

6.能。

解：開會(huì)的“人次”有 40×10=400（人次）。設(shè)委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數(shù)作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個(gè)委員開了7次（或更多次）會(huì)。但由已知條件知沒(méi)有一個(gè)人與這位委員同開過(guò)兩次（或更多次）的會(huì)，故他所參加的每一次會(huì)的另外9個(gè)人是不相同的，從而至少有7×9=63（個(gè)）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應(yīng)大于60。

7.20輪。

解：如果培訓(xùn)的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺(tái)機(jī)器上可進(jìn)行工作的工人果這3個(gè)工人某一天都沒(méi)有到車間來(lái)，那么這臺(tái)機(jī)器就不能開動(dòng)，整個(gè)流水線就不能工作。故培訓(xùn)的總輪數(shù)不能少于20。

另一方面，只要進(jìn)行20輪培訓(xùn)就夠了。對(duì)3名工人進(jìn)行全能性培訓(xùn)，訓(xùn)練他們會(huì)開每一臺(tái)機(jī)器；而對(duì)其余5名工人，每人只培訓(xùn)一輪，讓他們每人能開動(dòng)一臺(tái)機(jī)器。這個(gè)方案實(shí)施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，A9表示9個(gè)數(shù)學(xué)家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點(diǎn)聯(lián)線，并涂上一種顏色（不同的語(yǔ)言涂上不同顏色）。此時(shí)有兩種情況：

（1）9點(diǎn)中有任意2點(diǎn)都有聯(lián)線，并涂了相應(yīng)的顏色。于是從某一點(diǎn)A1出發(fā)，分別與

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A2，A3，…，A9聯(lián)線，又據(jù)題意，每人至多能講3種語(yǔ)言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設(shè)A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語(yǔ)言通話。

（2）9點(diǎn)中至少有2點(diǎn)不聯(lián)線，不妨設(shè)是A1與A2不聯(lián)線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯(lián)線從A1或A2 出發(fā)。不妨設(shè)從A1出發(fā)，又因A1至多能講3種語(yǔ)言，所以這4條聯(lián)線中，至少有2條聯(lián)線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語(yǔ)言通話。

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第五篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：現(xiàn)行小學(xué)教材人教版在十一冊(cè)編入這一原理，旨在于讓學(xué)生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會(huì)用“抽屜原理”解決實(shí)際有關(guān)“存在”問(wèn)題；通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓孩子建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

學(xué)情分析：使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過(guò)程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2、通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3、通過(guò)“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。

教學(xué)難點(diǎn)：理解“抽屜原理”，并對(duì)一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。

教學(xué)過(guò)程

一、游戲引入

3個(gè)人坐兩個(gè)座位，3人都要坐下，一定有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人。

這其中蘊(yùn)含了有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)（）枝鉛筆先猜一猜，再動(dòng)手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？

不管怎么放總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。總有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有沒(méi)有一種方法不用擺放就可以知道至少數(shù)是多少呢？

1、3人坐2個(gè)位子，總有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人2、4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中，總有一個(gè)文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒中，6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒中。99支鉛筆放進(jìn)98個(gè)文具盒中。是否都有一個(gè)文具盒中

至少放進(jìn)2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達(dá)嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個(gè)文具盒里，總有一個(gè)文具盒至少放進(jìn)幾枝鉛筆？把7枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里呢? 8枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒呢? 9枝筆放進(jìn)3個(gè)文具盒呢？至少數(shù)=上+余數(shù)嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數(shù)學(xué)小知識(shí)

數(shù)學(xué)小知識(shí)：抽屜原理的由來(lái)最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰(shuí)呢？最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的，后人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關(guān)在5個(gè)籠子里，至少有多少只兔子要關(guān)在同一個(gè)籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績(jī)是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

4、六年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生去春游，自由活時(shí)有6個(gè)同學(xué)在一起，可以肯定。為什么？

六、小結(jié)

這節(jié)課你有什么收獲？

七、作業(yè)：課后練習(xí)