第一篇：數(shù)學(xué)日記讀后感言——致可愛的高數(shù)弟子們因?yàn)楝嵤碌募娂姅_擾

數(shù)學(xué)日記讀后感言

——致可愛的高數(shù)弟子們

因?yàn)楝嵤碌募娂姅_擾，因?yàn)榘嘬嚨拇掖颐γ?，因?yàn)橐粋€(gè)加強(qiáng)排研究生的嗷嗷待哺，還因?yàn)榻虒W(xué)＝??科研?（o這個(gè)符號(hào)大家學(xué)過的，不足為外人道也）這個(gè)公式的威逼利誘，對(duì)于手頭那些規(guī)定作為作業(yè)上交的可愛的、精彩紛呈的數(shù)學(xué)日記，我竟沒能在某一個(gè)時(shí)間閉區(qū)間上構(gòu)造出閱讀的連續(xù)函數(shù)，最后，退而求其次，用了個(gè)分段函數(shù)，段數(shù)n?4。

在擁有自己的時(shí)間的時(shí)候，總是會(huì)仔細(xì)地翻閱那些數(shù)學(xué)日記，在靜夜的書房里、在顛簸的校車上。仿佛傾聽每一位弟子的訴說，訴說自己的數(shù)學(xué)故事、回溯自己的心路歷程、流露自己的數(shù)學(xué)情感、評(píng)述自己的學(xué)習(xí)得失、表達(dá)自己的困惑與迷茫、憧憬自己的數(shù)學(xué)未來?？鄻废喟?、悲喜共存、愛恨交加，憂懼與期待并行，無(wú)奈共憧憬同在。利用不完全歸納法，得到以下關(guān)于高數(shù)學(xué)習(xí)之不等式：

苦 ? 樂；悲 ? 喜；恨 ? 愛；憂懼 ? 期待；無(wú)奈 ? 憧憬。

說到苦處，高數(shù)恰似美軍之牢獄，我老人家恰似虐囚之士兵；說到恨時(shí)，高數(shù)直似恐怖大亨拉登，主人公自比美國(guó)總統(tǒng)布什；說到憂懼時(shí)，戰(zhàn)戰(zhàn)惶惶，汗出如漿；說到無(wú)奈時(shí)，與高數(shù)執(zhí)手相看淚眼，竟無(wú)語(yǔ)凝噎；說到悲情處，風(fēng)瀟瀟兮易水寒！在每一個(gè)閱讀日記的時(shí)間閉區(qū)間上，至少有一點(diǎn) ?，使得我在該點(diǎn)處的閱讀函數(shù)值為“先昏過去再說”。

但我的閱讀函數(shù)值中更有一些感動(dòng)和一些震動(dòng)。感謝諸位愿意與我作真心的交流，如果以A、B、C、D四級(jí)制來評(píng)定諸位所撰數(shù)學(xué)日記之成績(jī)（主要以數(shù)學(xué)情感之真實(shí)性為依據(jù)），則四級(jí)人數(shù)之比約為A : B : C : D = 75 : 20 : 5 : 0。這就使我可以真實(shí)、深入地了解大家，并據(jù)此對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行深入的反思。我也看到，大家對(duì)高數(shù)之教學(xué)方式基本持肯定看法，使我依然可以從容、自信地面對(duì)大家。但高數(shù)帶給部分同學(xué)的痛苦、恐懼、憂慮和無(wú)奈亦深深震撼我的心靈。在大學(xué)，由于師生關(guān)系之疏遠(yuǎn)、師生交流之貧乏、對(duì)學(xué)生認(rèn)知研究之不足，講臺(tái)上的教師往往自作多情、滔滔不絕、唾沫飛濺、滿黑板定理與證明、大有講不足舞之、舞不足蹈之之勢(shì)，殊不知臺(tái)下已然危機(jī)四伏：或如身墮五里云霧、或似眼觀天外之書、或睡眼朦朧、或鼾聲暗起、或竊竊私語(yǔ)、或置身局外、或冷眼旁觀?？v有若干記筆記者，亦不過為抗拒瞌睡蟲之猖獗不得已而為之。悲夫！密密麻麻的數(shù)字、符號(hào)、定理、公式，不過推銷無(wú)果、供自我欣賞的廉價(jià)產(chǎn)品而已。而今，諸位的數(shù)學(xué)日記使我明白，我所愛者未必人人愛之，我所善者未必人人善之，我所感覺容易者未必人人易之，我 所刻意講授者未必人人樂于接受之。數(shù)學(xué)上不同函數(shù)有增、減、凹、凸之不同性態(tài)，人世間不同生命豈能沒有不同旨趣？是故酸甜苦辣、愛恨情仇，稀松平常，不足為怪。

諸位多在數(shù)學(xué)日記中表達(dá)自己之迷茫、困惑和疑難，今特一并解答如次。

疑難之一：大學(xué)數(shù)學(xué)之教學(xué)方式與中學(xué)有天壤之別，一次高數(shù)課猛講數(shù)節(jié)內(nèi)容，舊的未掌握，新的又來了，如何應(yīng)對(duì)？

關(guān)于這一點(diǎn)，高數(shù)課伊始我已經(jīng)提醒過大家。在中學(xué)，數(shù)學(xué)教師在一節(jié)課中圍繞一個(gè)概念，小心引入、反復(fù)講解、不斷練習(xí)、去爭(zhēng)取勝利；而在大學(xué)，厚厚一本教材，難度激增、進(jìn)度催人、時(shí)不我待，短短一節(jié)課往往概念繁多、定理成串、埋頭疾行、去追趕火車。何也？因?yàn)橹T位已經(jīng)從眾多同齡人中脫穎而出，走過獨(dú)木橋，來到象牙塔，豈有仍需老師扶著手走路之理？歌曰：“走吧，走吧，人總要自己學(xué)會(huì)長(zhǎng)大！”一些同學(xué)因?yàn)闊o(wú)人牽手，竟不會(huì)走路。事實(shí)上，大學(xué)數(shù)學(xué)課默認(rèn)學(xué)生具備相當(dāng)強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力。無(wú)庸諱言：誰(shuí)能在短短兩節(jié)課中消化那么多高深的數(shù)學(xué)內(nèi)容呢？課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)必不可少的環(huán)節(jié)。盡管大學(xué)里屬于自己的課外時(shí)間比高中增加許多，但各種名目的課外活動(dòng)就像垃圾電子郵件那樣源源不絕，充滿誘惑的干擾因素就像黎曼博士的零點(diǎn)那樣層出不窮。因此，如何安排時(shí)間來預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，每個(gè)人心中都應(yīng)該有一竿秤。此時(shí)不鍛煉自己的學(xué)習(xí)能力，更待何時(shí)？

疑難之二：大學(xué)數(shù)學(xué)的概念過于抽象深?yuàn)W，尤其是描述極限定義的??。在微積分課本上，大家一不小心就會(huì)撞見一個(gè)希臘字母，像? 啊，? 啊，? 啊，? 啊，? 啊，等等。難道大家耳熟能詳?shù)?6個(gè)英文字母不夠用、非要用這些寫起來很費(fèi)勁的玩意嗎？非也。希臘字母的使用不過沿習(xí)歷史上數(shù)學(xué)家的做法而已，所謂約定俗成、習(xí)慣成自然。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、《古今數(shù)學(xué)思想》的作者M(jìn)·克萊因（M.Kline, 1908～1992）認(rèn)為，數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)論文中喜歡用希臘字母，因?yàn)檩^之英文字母，希臘字母顯得更神秘，因而更會(huì)讓外行覺得數(shù)學(xué)高深莫測(cè)。瞧，數(shù)學(xué)家竟如此虛偽！

?? 憂患始。但我在課上已經(jīng)多次強(qiáng)調(diào)，千萬(wàn)不必為不理解?? 定義才由一位大器晚成的德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K.Wierestrass, 1815～1897）給出。極限概念的完善和嚴(yán)密化，歷史上的數(shù)學(xué)家花了兩千余年，難道作為微積分老師的我，竟會(huì)愚蠢、殘暴到讓大家在一星期、一個(gè)月、一學(xué)期、一個(gè)學(xué)年里豁然開朗、了然于心、運(yùn)用自如嗎？歷史是一面鏡子。M·克萊因云：“歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難正是今天的學(xué)生也會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙?！边@樣說吧：四十年后，當(dāng)你功成名就、榮休家中、回首當(dāng)年、靈光閃現(xiàn)、終于對(duì)?-?大徹大悟時(shí)，你已經(jīng)完全對(duì)得起我老人家了。

故不必為兩個(gè)希臘字母而失眠，不必為那個(gè)德國(guó)佬的定義而煩惱，縱然與它形同陌路，縱然對(duì)它徒嘆奈何，明天，地球照樣轉(zhuǎn)，太陽(yáng)照樣從東方升起，華師大照樣通過教育部本科教學(xué)工作評(píng)估，而你，照樣擁有如歌的歲月、似錦的前程。事實(shí)上，期中考試應(yīng)該已經(jīng)能夠打消諸位的憂慮，緩解諸位的痛苦了。

疑難之三：令人匪夷所思者，一個(gè)顯然正確的結(jié)論，比如limx?3?1之類，竟然

x?2?2?還要證明，用x?2直接代入不就OK了？郁悶啊！

這是一個(gè)普遍得像食堂里的青菜一樣、但又算得上十分高級(jí)的錯(cuò)誤。首先請(qǐng)大家回顧一下函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義，當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)時(shí)，自然，極限值等于函數(shù)值，也就是像你說的，“直接代入即可”。但對(duì)于那些不連續(xù)的函數(shù)，情形又如何？譬如，要求e?limx?2x?2?1?x?2，雖然你的直截了當(dāng)、干脆利落的處事風(fēng)格令人頓生后生可畏之印象，但結(jié)果又如何呢？0，這個(gè)虛無(wú)縹緲的結(jié)果，曾經(jīng)是牛頓他老人家心中永遠(yuǎn)的痛，是年輕時(shí)期0微積分身上的硬傷，是貝克萊（G.Berkeley, 1685～1753）大主教攻擊微積分的唯一理由，是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家痛苦和迷茫的淵藪。

看來微積分早期歷史上，數(shù)學(xué)家無(wú)不犯“直接代入”之錯(cuò)誤，而你只不過重蹈覆轍，再一次經(jīng)歷前人遭遇過的微積分之認(rèn)知障礙而已。是故，你的錯(cuò)誤無(wú)可厚非，你的質(zhì)疑情有可原，你的困惑是人類認(rèn)知的必經(jīng)階段，就像每一個(gè)人在成長(zhǎng)過程中都得掉一次門牙一樣；而你的郁悶——自然純屬多余了。

一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)有極限，與它在這一點(diǎn)有定義，兩者之間到底有怎樣的關(guān)系？這正是 問題的關(guān)鍵所在。現(xiàn)在大家一定不會(huì)懷疑這樣的事實(shí)：即使一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)存在極限，這

sinx在x?0處；反過來，即使一個(gè)x??1?x?Q?函數(shù)在一點(diǎn)有定義，這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)依然可以沒有極限，如函數(shù)f?x???在0x?Q??個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)依然可以沒有定義，如函數(shù)f?x????任何一點(diǎn)處。可見，函數(shù)在某一點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的值是兩個(gè)完全不同的概念。由于書本上的例題和練習(xí)里給出的都是簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)，極限值和函數(shù)值碰巧相等，大家便霧里看花、以偏概全，誤以為世界上一切函數(shù)，其極限值和函數(shù)值都是一回事，從而對(duì)諸如lim?x2?3??1這樣的證明題心存芥蒂、嗤之以鼻。

x?2疑難之四：一套一套又一套，兩套三套四五套，六套七套八九套，題海戰(zhàn)術(shù)有實(shí)效。中學(xué)老師慣用此伎倆，而大學(xué)老師根本不來這一套。于是乎，到了大學(xué)，手感驟然變差，思路找不著家，明明上課聽懂，一看題目還傻。是否應(yīng)該有一本配套練習(xí)供訓(xùn)練之用？應(yīng)該有多大的訓(xùn)練量，方可確?？荚嚐o(wú)憂？

這是很多同學(xué)的迷茫所在。期中考試已經(jīng)讓大家明白：若僅僅滿足于通過考試，恐怕根本不需要重操舊業(yè)，再入題海。因?yàn)槲覀冇谢铐?yè)作業(yè)、課本練習(xí)、課堂筆記，練習(xí)量已初具規(guī)模，足以應(yīng)付考試。但學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)并不僅僅為了拿到學(xué)分，它還是后面專業(yè)課的基礎(chǔ)，也是考研的重要科目。故高等數(shù)學(xué)之成敗優(yōu)劣，實(shí)關(guān)乎后續(xù)學(xué)習(xí)、關(guān)乎前程大計(jì)。況很多同學(xué)立有鴻鵠之志，豈能以60分與5學(xué)分為其最終目標(biāo)耶？獎(jiǎng)學(xué)金、優(yōu)秀畢業(yè)生榮譽(yù)、高薪單位、碩士學(xué)位、國(guó)外名校??均在招手示意。我以為，鑒于研究生入學(xué)考試依然沒有擺脫應(yīng)試教育之樊籬，鑒于未來用人單位之斤斤計(jì)較于名次，鑒于獎(jiǎng)學(xué)金評(píng)定以分?jǐn)?shù)論英雄，鑒于??優(yōu)秀的高數(shù)成績(jī)乃是一種資本，我們無(wú)法否定其重要戰(zhàn)略意義。是故，若為遠(yuǎn)大前程計(jì)，諸位當(dāng)奮力提高自己對(duì)高數(shù)成績(jī)之定位。如此，盡管我不提倡題海大戰(zhàn)，但一定的習(xí)題訓(xùn)練依然是十分必要的。信不信由你，已故著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生年輕時(shí)做過六千道微積分題！而在國(guó)內(nèi)高校數(shù)學(xué)系的教師中，學(xué)生時(shí)代沒做過吉米多維奇《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》的一定為數(shù)不多。不妨買一本質(zhì)量好一點(diǎn)的高數(shù)解題用書，這類書多如牛毛，盡量選名校出版的，如同濟(jì)大學(xué)的。一本足矣，畢竟大家日后不做數(shù)學(xué)家。

除了以上疑難，不少同學(xué)對(duì)高數(shù)的教學(xué)提出了一些很好的意見或建議，如多介紹解題思路、對(duì)課本內(nèi)容做適當(dāng)拓展、選擇書后練習(xí)中之重點(diǎn)難點(diǎn)給予講授等等。我在未來的教學(xué)中會(huì)有適度的體現(xiàn)。

從數(shù)學(xué)日記中可以明顯感覺到，初來乍到，不少同學(xué)不適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，彷徨、苦 悶、無(wú)所適從。怎樣獲取優(yōu)異成績(jī)？今年夏天，來自哈爾濱市的中國(guó)學(xué)生王沛在新加坡南洋理工大學(xué)畢業(yè)典禮上榮獲新加坡政府頒發(fā)給大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生的最高獎(jiǎng)項(xiàng)——“李光耀金牌獎(jiǎng)”和南洋理工大學(xué)頒發(fā)的“全優(yōu)畢業(yè)生金牌獎(jiǎng)”。王沛在博客日記中如是說：“我不比別人聰明，但我知道學(xué)習(xí)要下苦功夫?！碧斓莱昵?，這是在任何時(shí)候、任何地方，對(duì)任何專業(yè)的任何學(xué)生都是普遍成立的。事實(shí)雄辯地證明：縱然你有阿基米德的天才、牛頓的稟賦和高斯的聰慧，如果只是以此為炫耀之資本而將高數(shù)功課束之高閣，那么，等待你的依然會(huì)是失敗。那將是一種無(wú)法挽回的、令人扼腕而嘆的失敗，是你美麗人生之幸福函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。

最后談?wù)剛€(gè)別同學(xué)所鄭重提出之嚴(yán)峻問題——高數(shù)之學(xué)習(xí)是否導(dǎo)致大學(xué)生壽命單調(diào)遞減。目前尚無(wú)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)支持“遞減”說，此說不過杞人憂天、無(wú)稽之談而已，無(wú)異于說“多喝牛奶會(huì)減少壽命”、“古巴甜酒越貴、美國(guó)牧師的薪水越高”。偏有若干沒有主見、人云亦云、捕風(fēng)捉影者信了，有詩(shī)為證：

生命誠(chéng)可貴，高數(shù)無(wú)所謂。若能考六十，天天抱頭睡。

試問：你在華師大睡四年懶覺就能延年益壽了？別惡心了。學(xué)習(xí)本應(yīng)該是令人充實(shí)的，數(shù)學(xué)思維本應(yīng)該是令人舒暢的，完成一道艱難的中值定理證明題、求出一道詭異的不定積分題本應(yīng)該是令人快樂的。盡管部分同學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)持有消極的情感，盡管對(duì)一門學(xué)科的好惡一如人們對(duì)臭豆腐的好惡一樣自然而然，但作為一名數(shù)學(xué)教師，我的心中依隱藏著一個(gè)理想（擬或幻想？），即：高水準(zhǔn)的高數(shù)教學(xué)應(yīng)該能使高數(shù)的學(xué)習(xí)一如鄉(xiāng)間旅行一般，一路風(fēng)光，一路欣賞：

一去二三里，煙村四五家，亭臺(tái)六七座，八九十支花。

在美國(guó)著名數(shù)學(xué)家斯特洛伊克（D.J.Struik, 1894～2000）百歲華誕之際，在一份禮物的外殼上，寫著如下公式：

M?M?M?100

第一個(gè)M代表數(shù)學(xué)（Mathematics），第二個(gè)M代表婚姻（Marriage），第三個(gè)M代表馬克思主義（Marxism）。數(shù)學(xué)思維帶來的精神愉悅構(gòu)成了斯特洛伊克長(zhǎng)壽的三大因素之一。盡管諸位不是數(shù)學(xué)家，但數(shù)學(xué)思維的愉悅是人人可以享受的。

退一萬(wàn)步說，即使數(shù)學(xué)思維帶給你痛苦，但你總可以體驗(yàn)通過考試帶給你的滿足感；即使連這種滿足感也蕩然無(wú)存，我們也仍有理由相信，短短一年的痛苦不過是你生命無(wú)窮數(shù)列的前幾項(xiàng)，能對(duì)整個(gè)數(shù)列的斂散性產(chǎn)生什么影響呢？

汪曉勤 2006年11月草于華師大