第一篇：廣東省湛江師范學院附中數(shù)學選修4-5測試題--不等式的證明 人教版

高中數(shù)學選修4-5測試題(2)—不等式的證明

班別:__________姓名:__________學號:_________評分:____________ 一.選擇題:(每小題5分,共40分)

1.下列各式中，最小值等于2的是()A.xy?yx

B.x?5x?4

C.tan?

x1?x

y1?y

?

1tan?

D.2x?2?x

2.設x?0,y?0,A?

x?y1?x?y, B?

?，則A,B的大小關系是()

A.A?BB.A?BC.A?BD.A?B

3.已知a,b?R?,則下列不等式不一定成立的是()A.2ab?

a?b

ab

B.(a?b)（1a?b

1a

?

1b)?4C.a?b

ab

?a?b

D.a?b?

1ab

?22

4.設a?b?c,n?N，且

?

1b?c

?

na?c

恒成立，則n的最大值是()

A.2B.3C.4D.6 5.若a,b?

R?，且a?b,M?

N??M與N的大小關系是()

A.M?NB.M?NC.M?ND.M?N 6.a,b,c?R，設S?

?

aa?b?c

?

bb?c?d

?

cc?d?a

?

dd?a?b，則下列判斷中正確的是()

A.0?S?1B.1?S?2C.2?S?3D.3?S?4 7.設b?a?

0，且

P?

Q?

21a?1b，M? N?

a?b2，R

?的大小關系是()A.P?Q?M?N?RB.Q?P?M?N?RC.P?M?N?Q?RD.P?Q?M?R?N

3322

8.設不等的兩個正數(shù)a,b滿足a?b?a?b，則a?b的取值范圍是()

A.(1,??)B.(1,)C.[1,]D.(0,1)

二.填空題:(每小題5分,共30分)9.設x?0，則函數(shù)y?3?3x?

1x的最大值是________.10.比較大?。簂og34______log67.11.若x,y,a?R?，且

x?

y?ax?y恒成立，則a的最小值是________.b?

c的最大值是12.若a,b,c?R?，且a?b?c?1，則a?13.設P?

Q?

R?

P,Q,R的大小順序是__________________.14.若a,b,c,d是正數(shù)，且滿足a?b?c?d?4，用M表示

a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者，則M的最小值為________.三.解答題:(6小題共80分)15.求證：a2?b2?ab?a?b?1.16.?

a?b?c

.17.證明

:1)?1?...?

?.18.當n?3,n?N時，求證：2n?2(n?1).19.設a,b,c?R?，且a?b?c?1，求證:（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8.20.已知實數(shù)a,b,c滿足a?b?c，且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1求證：1?a?b?

.高中數(shù)學選修4-5測試題(2)—不等式的證明參考答案

1．D?2x?0,2?x?0,?2x?2?x??2 2．BB4．C?

?

x1?x

?

y1?y

?

x1?x?y

?

y1?y?x

?

x?y1?x?y

?A，即A?B

3.?4

a?ca?b

1a?b

?

a?cb?c

1b?c

?

a?b?b?c

a?b

4a?c

?

a?b?b?c

b?c

?2?

b?ca?b

?

a?bb?c

?

??，而

1a?b?

1b?c

?

na?c

恒成立，得n?4

5．A?a?b,?

??

??．AR為平方平均數(shù)，它最大

6．B?即S?1，得即

aa?b?c

aa?b?c

?

bb?c?d

?

cc?d?a

?

dd?a?b

c

?

dd?a?b?c

?

bb?d?

dd?b

aa?b?c?d

aa?b?c?

cc?d?a

?

?

a

bb?c?d?a

?

c?d?a?b

ca?c

bb?c?d

?

a?b?c?da?b?c?d

d

?

d

?1，c

?

cc?d?aaa?c

a?c?

?，?

bb?c?d

d，?

d?a?bd?b

a?c

?1，bb?d

d?a?b

?1

aa?b?c

?

bb?c?d

?

cc?d?a

?

dd?a?b

?2，得S?2，所以1?S?2

(a?b)

8．Ba?ab?b?a?b,(a?b)?(a?b)?ab，而0?ab?所以0?(a?b)?(a?b)?

(a?b)

42，得1?a?b?

19.3?

y?3?3x??3??3?

ymax?3?x

ababbb

10．?設log34?a,log67?b，則3?4,6?7，得7?3?4?6?4?2?3

即3

a?b

?

4?27

b，顯然b?1,2?2，則3

x?y2

b

a?b

?

4?27

b

?1?a?b?0?a?b

11.?

?,?

x?y)，?

?

1a，而x?

y?ax?y?

1a

恒成立，得

?即a?

12.(1112?(12?12?12)(a?b?c)?3

13.?

?

?

P?R；

R?Q，所以P?R?Q

?34

(a?b?c?d)?3

又????

14．3M?1(a?b?c?a?b?d?a?c?d?b?c?d)，即Mmin?3

15.證明：?(a2?b2)?(ab?a?b?1)

?a?b?ab?a?b?1?121212

(2a?2b?2ab?2a?2b?2)

??

[(a?2ab?b)?(a?2a?1)?(b?2b?1)][(a?b)?(a?1)?(b?1)]?0

?a2?b2?ab?a?b?1

16．證明：?(1?1?1)(a?b?c)?(a?b?c)?

?a?b?c

2222222

a?b?c

222

?

(a?b?c)

17.證明：?

?

?...?

???

??1)?1?

n

12n1n?1n

18.證明：?2n?(1?1)n?1?Cn?Cn?...Cn?1?Cn?Cn?Cn?2(n?1)?2?2(n?1)

19.M?（a?b?c

a

?1)（a?b?c

b

?1)（a?b?c

c

?

1)?

(b?c)(a?c)(a?b)

abc

?

abc

?8

20.證明：?a?b?1?c,ab?

(a?b)?(a?b)

?c?c?a,b是方程x?(1?c)x?c?c?0的兩個不等實根，則??(1?c)?4(c?c)?0，得?

?c?1

222

而(c?a)(c?b)?c?(a?b)c?ab?0即c?(1?c)c?c?c?0，得c?0,或c?

所以?

?c?0，即1?a?b?

第二篇：人教數(shù)學數(shù)學選修不等式選講簡介

人教數(shù)學（A版）培訓手冊之三十九──“不等式選講”簡介

人教A版普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據(jù)課程標準，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學歸納法和它的簡單應用

一、內(nèi)容與要求1．回顧和復習不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。

2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證

明：

≥。4．用22222參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。7．會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。了解當n為實數(shù)時貝努利不等式也成立。

8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

二、內(nèi)容安排 本專題內(nèi)容分成四講，結構如下圖所n

示：

本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學生在學習高中必修課五個模塊的基礎上展開的．作為一個選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎．

本講的第一部分類比等式的基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質(zhì)，這是關于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數(shù)的算術—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。第二部分討論了有關絕對值不等式的性質(zhì)及絕對值不等式的解法．絕對值是與實數(shù)有關的一個基本而重要的概念，討論關于絕對值的不等式具有重要的意義．

絕對值三角不等式是一個基本的結論，教科書首先引導學生借助于實數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學生從數(shù)的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結合，引導學生多角度認識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數(shù)的極值問題，教科書安排了一個這樣的實際問題

對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對這個問題進行研究。教科書引導學生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎內(nèi)容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉(zhuǎn)化為比較所得商式與1的大小關系，它的依據(jù)是：當b＞0

時，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過程中，根據(jù)對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發(fā)，即假設要證明的結論不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾結果，從而說明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立

在證明不等式的過程中，有時通過對不等式的某些部分作適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對以上方法都結合實例加以介紹。本講內(nèi)容對進一步

討論不等式提供了思想方法的基礎． 本講的教學內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角坐標系中，根據(jù)兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了一個探究欄目，讓學生通過探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排

序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數(shù)學活動，初步認識排序不等式的數(shù)學意義、證明方法和簡單應用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學課程標準正式引入到高中數(shù)學教學中。第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數(shù)學歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個內(nèi)容是很有必要的。教科書首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學歸納法的基本結構和用它證明命題時應注意的問題（兩個步驟缺一不可）．接著舉例說明數(shù)學歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學重點：不等式基本性質(zhì)、基本不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用； 教學難點：三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式；

本專題教學約需18課時，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對值不等式

一、不等式約３課時

二、絕對值不等式約２課時第二講 證明不等式的基本方法

一、比較法約1課時

二、綜合法與分析法約2課時

三、反證法與放縮法約1課時

第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時二、一般形式的柯西不等式約1課時

三、排序不等式約2課時

第四講 數(shù)學歸納法證明不等式

一、數(shù)學歸納法約2課時

二、用數(shù)學歸納法證明不等式約2課時

學習總結報告約1課時

三、編寫中考慮的幾個問題

根據(jù)課程標準，本專題應該強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，我們在教科書的編寫中努力去實現(xiàn)課程標準的思想。

(一)重視展現(xiàn)不等式的幾何背景，力求讓學生對重要不等式有直觀理解

數(shù)量關系和空間形式是數(shù)學研究的兩個重要方面，不等式則是從數(shù)量關系的角度來刻畫現(xiàn)實世界的。我們一般借助于代數(shù)方法證明不等式。代數(shù)證明要經(jīng)過一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數(shù)量關系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關量適當?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關系，使學生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現(xiàn)不等式的幾何背景，幫助學生理解不等式的幾何本質(zhì)。如對于是借助于面積關系，絕對值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關系，柯西不等式是借助于向量運算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導學生在面對一個數(shù)學問題時能從幾何角度去思考問題，找到解決問題的途徑

(二)重視數(shù)學思想方法的教學

數(shù)學思想是對于數(shù)學知識（數(shù)學中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質(zhì)的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數(shù)學方法分析、處理和解決數(shù)學問題的過程之中。數(shù)學方法是研究或解決數(shù)學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深對于具體數(shù)學知識的理解和掌握。本專題的內(nèi)容包涵了豐富的數(shù)學思想方法，如應用重要不等式解決實際問題中體現(xiàn)出來的優(yōu)化思想，在重要不等式的呈現(xiàn)過程中的數(shù)形結合思想，在解不等式中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數(shù)學歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數(shù)學思想和方法，教科書都及時作歸納和總結，使學生能夠結合具體的問題加以理解和體會。

(三)重視引導學習方式和教學方式的改進

在目前的中學數(shù)學教學實踐仍存在一些問題，就學生的學習而言，比較突出的就是被動的接受式的學習，教師偏重于灌輸式的教學，啟發(fā)式的教學原則做得不夠。學生的問題意識不強，發(fā)現(xiàn)問題的能力不強，獨立地解決問題的能力也不強。針對這種情況，教科書重視引導學生提出問題，教科書設置了許多探究欄目，鼓勵學生主動探究，引導學生通過類比提出問題及其解決方法，對于數(shù)學結論進行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個思考問題：“對于三個正數(shù)會有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關于三個正數(shù)的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設置了一個探究性問題“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應該是怎樣的？如何應用一般形式的柯西不等式證明它？請同學自己探究?！钡鹊?，這樣的探究性問題在教科書中處處可見。

(四)注意發(fā)展數(shù)學應用意識

重要不等式在許多實際問題中可以得到應用，在實際工作中常常能起到節(jié)約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現(xiàn)數(shù)學在實際工作中的廣泛應用，編寫了一些體現(xiàn)數(shù)學應用的例、習題。如經(jīng)典的等周問題、盒子體積問題、施工隊臨時生活區(qū)選點問題、關于面積和體積的最值問題。通過這些簡單的應用問題，使學生體會數(shù)學在實踐中的作用。

四、對教學的幾個建議

(一)注意把握教學要求

無論是不等式還是數(shù)學歸納法，都已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容非常豐富的初等數(shù)學分支，也出版了一些專門的論著，老師們對于這些內(nèi)容一般都有豐富的教學經(jīng)驗，很容易把這些內(nèi)容作一

些拓展和補充。所以，在這個專題的教學中，要特別注意把握好教學要求，不要隨意提高教學要求，而應該按照數(shù)學課程標準的要求來控制教學的深廣度。課程標準對于本專題的幾個教學內(nèi)容都明確的教學要求，如：對于解含有絕對值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學生會解各種類型的含有絕對值的不等式。對于數(shù)學歸納法在證明不等式的要求也只要求會證明一些簡單問題。只要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學的不等式證明一些簡單不等式，等等。

另外，在不等式和數(shù)學歸納法的許多問題中，常常需要一些技巧性比較強的恒等變形，在本專題的教學中則要控制這方面的教學要求，不要使教學陷于過于形式化和復雜的恒等變形的技巧之中，教學中不要補充一些代數(shù)恒等變形過于復雜或過于技巧化的問題和習題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業(yè)和形式化、抽象化的數(shù)學符號語言，對于數(shù)學歸納法的理解，不必要求學生對于方法的理解水平提高到專業(yè)數(shù)學工作者才需要的數(shù)學理論高度，而只需要通過一些學生容易理解的數(shù)學問題中加深對于方法的理解和掌握。對于大多數(shù)的學生來說，要重視通過比較簡單的問題讓學生認識、理解和掌握這部分的基本數(shù)學思想和方法。

當然，對于部分確有余力的學生，仍可以適當對于教學內(nèi)容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應用，以使學生對于這一重要不等式有一個比較完整的了解。

(二)要抓住教學重點

無論對于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對值的不等式，不等式證明的方法，或數(shù)學歸納法的教學，都要抓住教學重點，抓住基本思想基本方法的教學，力求以簡馭繁。對于幾個重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現(xiàn)；對于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；讓學生能對數(shù)學歸納法思想真正理解和掌握，就能使學生靈活地加以應用。這樣，學生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識。

第三篇：高二數(shù)學選修4-5《不等式選講》模塊結業(yè)測試題1

高二數(shù)學選修4-5《不等式選講》測試題

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

1、已知集合A?{x|x?0},B?{x|?1?x?2}，則A?B?（）

A、{x|x??1}B、{x|x?2}C、{x|0?x?2}D、{x|?1?x?2}

2、欲證2?3?A、2?7??

26?7，只需證（）

B、?2?6??

2?

3?6?

??

2?

3?7

?

C、2?3??

2D、?2?3?6????7?

x?y3、設x?0，y?0，A?

1?x?y，B?

x1?x

?

y1?y，則A、B的大小關系是（A、A?BB、A?BC、A?BD、不能確定

4、若n?0，則n?

32n

2的最小值為（）

A、2B、4C、6D、85、如果命題p(n)對n?k成立，則它對n?k?2也成立，又命題p(n)對n?2成立，則下列結論正確的是（）

A、命題p(n)對所有正整數(shù)n成立B、命題p(n)對所有大于2的正整數(shù)n成立C、命題p(n)對所有奇正整數(shù)n成立D、命題p(n)對所有偶正整數(shù)n成立

6、已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于時，反設正確的是（）

41A、a(1?b),b(1?a)都大于

4，B、a(1?b),b(1?a)都小于

414

C、a(1?b),b(1?a)都大于或等于D、a(1?b),b(1?a)都小于或等于

7、已知a,b都是實數(shù)，那么“a2?b2”是“a?b”的（）A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件

C、充分且必要條件D、既不充分也不必要條件

8、已知不等式?x?y??則實數(shù)a的最大值為（）?????a對任意正實數(shù)x,y恒成立，xy??A、2B、4C、2D、16

9、已知a,b?R，且ab

?0

?11?，則（）

A、a?b?a?b

B、a?b

?a?b

C、a?b

?a?b

D、a?b?a?b10、已知a?0，b?0滿足a?b?2，則（）A、ab?

2B、ab?

2C、a2?b2?2D、a2?b2?

4二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

11、若不等式|ax?2|?6的解集是（-∞，-1]?[2,??)，則a的值是___________.12、函數(shù)y?2?x?2x?1的最大值為：；

13、用數(shù)學歸納法證明n?N*,1?12?13???

1n?

n時，從“n?k”到

“n?k?1”，左邊需添加的代數(shù)式為：；

14、經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式正確：2??2，4.5?.5?2，3?

2?

?

2?2，??，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請你寫出一個類似的不

等式：；

15、有4人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5s，4s，3s，7s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為：；

16、若由不等式x?

1x

?2，x?

4x

?3，??，可以推廣到x?

ax

n

?n?1a?R

?

?

?，則

實數(shù)a的值為：；

17、如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數(shù)b的取值范圍為.三、解答題（本大題5小題，共39分）

四、18、（8分）已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn219、（8分）解不等式： |x?1|?|x?2|?5|x?1|?5?x|x?2|?5?x20、（8分）①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明

21、（8分）已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn,Sn?（1）求a1,a2,a3；

（2）猜想數(shù)列?an?的通項公式并證明你的結論。

3(an?1)(n?N).?

1a1c

?

1b

?1；

1a

?

1b

?

?1；

并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。

22、(本題滿分12分）(1)證明:5??3?8

(2)已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求證：(?1)(?1)(?1)?8

a

b

c

附加題、（本

題滿

分122(n?1?1)?

1?1???

1?2n(n?N)

2n）

分）用放縮法證: 明

高二數(shù)學選修4-5《不等式選講》結業(yè)測試參考答案

二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

11、；12、13、14、5??2(答案不唯一)；15、16、nn；

17、；

第Ⅱ卷（共5題，總分39分）

三、解答題（本大題5小題，共39分）

18、已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn

2方法一：作差比較：m3?n3?(m2n?mn2)???(m?n)(m?n)2 方法二：排序不等式：不妨設m?n，?m2?n2

根據(jù)排序不等式：m3?n3?m?m2?n?n2?m2n?mn219、解不等式： |x?1|?|x?2|?5 解：方法一：零點分段討論：{x|?3?x?2}

方法二：數(shù)形結合法：{x|?3?x?2}

20、①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明

1a1a??1b1b?1； ?1c?1；

1k?

1；

并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。

解：①、根據(jù)柯西不等式：

(a?b)（1a?1b)?(a?

1a?b?

1b)

?4，?a?b?4，?

1a

?

1b

?

1②、根據(jù)柯西不等式：

(a?b?c)（1a?1b?1c)?(a?

1a?b?

1b?c?

1c)

?9，?a?b?c?9，?

1a

?

1b

?

1c

?

1可以推廣：a1?a2???an?n，則：

1a1

?

1a

2???

1an

?1；

21、已知數(shù)列?an?的前n項和為Sn,Sn?

(an?1)(n?N).?

（1）求a1,a2,a3；（2）猜想數(shù)列?an?的通項公式并證明你的結論。解:(1)由S1?又S2?

又S3?

131313

(a1?1),得a1?

(a1?1)∴a1??13

(a2?1),即a1?a2?(a2?1),得 a2?13

.18

(a3?1),即a1?a2?a3?(a3?1),得 a3??1

.(2)猜想數(shù)列?an?的通項公式：an?(?)n

證法一：數(shù)學歸納法：當n=k+1時,ak?1?Sk?1?Sk??ak?1?

ak?1??

1313

(ak?1?1)?ak??

(ak?1)?12

k

ak?1?12)

?

ak?

?

ak?1?

ak

?(?),ak?1?(?

k?1，命題成立。

證法二：當n>1時,an?Sn?Sn?1?得

anan?1

??

12,所以?an?是首項為?

(an?1)?

1312

(an?1?1)，公比為?的等比數(shù)列.所以，an?(?)n

第四篇：第四講《數(shù)學歸納法證明不等式》教案(新人教選修4-5).1

第四講：數(shù)學歸納法證明不等式

數(shù)學歸納法證明不等式是高中選修的重點內(nèi)容之一，包含數(shù)學歸納法的定義和數(shù)學歸納法證明基本步驟，用數(shù)學歸納法證明不等式。數(shù)學歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位。

本講主要復習數(shù)學歸納法的定義、數(shù)學歸納法證明基本步驟、用數(shù)學歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學思想方法。

在用數(shù)學歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點：

（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應分析清楚不等式兩端（一般是左端）項數(shù)的變化，也就是要認清不等式的結構特征；

（2）瞄準當n=k+1時的遞推目標，有目的地進行放縮、分析；（3）活用起點的位置；

（4）有的試題需要先作等價變換。

例題精講

例

1、用數(shù)學歸納法證明

1?11111111???????????2342n?12nn?1n?22n

分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法定義，證明基本步驟 證明：

11111?當n=1時，左邊=1-2=2，右邊=1?1=2，所以等式成立。

2?假設當n=k時，等式成立，1?即11111111???????????2342k?12kk?1k?22k。

那么，當n=k+1時，1?1111111????????2342k?12k2k?12k?2 11111???????k?1k?22k2k?12k?21111111111?????????????(?)234k?2k?32k2k?1k?12k?2?11111??????k?2k?32k2k?12(k?1)

這就是說，當n=k+1時等式也成立。綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。點評：

數(shù)學歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關的命題的一種方法．設要證命題為P（n）．（1）證明當n取第一個值n0時，結論正確，即驗證P（n0）正確；（2）假設n=k（k∈N且k≥n0）時結論正確，證明當n=k+1時，結論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確．

要證明的等式左邊共2n項，而右邊共n項。f(k)與f(k+1)相比較，左邊增加兩項，右邊增加

11一項，并且二者右邊的首項也不一樣，因此在證明中采取了將k?1與2k?2合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k+1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。練習：

1.用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4 解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.答案：C 2.用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N 證明：

×(1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.1115?????,(n?2,n?N*)3n6例

2、求證：n?1n?2．

分析：該命題意圖：本題主要考查應用數(shù)學歸納法證明不等式的方法和一般步驟。

用數(shù)學歸納法證明，要完成兩個步驟，這兩個步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點和關鍵，要充分利用歸納假設，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結構不變．

證明：

11115????（1）當n=2時，右邊=34566，不等式成立．

*n?k(k?2,k?N)時命題成立，即（2）假設當1115?????k?1k?23k6．

則當n?k?1時，111111???????(k?1)?1k(??1)2k3k?3k1?3k2?3(1111111??????(???)k?1k?23k3k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?33k?33k?3k?15115??(3??)?.63k?3k?16

所以則當n?k?1時，不等式也成立．

*n?2,n?N

由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．

1)點評：本題在由n?k到n?k?1時的推證過程中，（1）一定要注意分析清楚命題的結構特征，即由n?k到n?k?1時不等式左端項數(shù)的增減情況；

（2）應用了放縮技巧：

11111111??????3??.3k?13k?23k?33k?33k?33k?33k?3k?1

例

3、已知，Sn?1?111????,n?N*23n，nS2n?1?(n?2,n?N*)2用數(shù)學歸納法證明：．

證明：

（1）當n=2時，S22?1?111132???1??1?234122，∴命題成立．

*n?k(k?2,k?N)時命題成立，即（2）假設當S2k?1?111k????k?1?2322．

則當n?k?1時，S2k?1111111?1?????k?k?k???k?12322?12?2k111k111?k?k???k?1?1??k?1?k?1???k?122?12?222222k1k1k?1?1??2k?k?1?1???1?.22222 ?1?

所以則當n?k?1時，不等式也成立．

*n?2,n?N

由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．

點評：本題在由n?k到n?k?1時的推證過程中，1k?1k

（1）不等式左端增加了2項，而不是只增加了“2”這一項，否則證題思路必然受阻；

（2）應用了放縮技巧：

11111111k??????????2??.kkk?1k?1k?1k?1k?12?12?2222222

練習：

1、證明不等式：

分析

1、數(shù)學歸納法的基本步驟：

設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.2、用數(shù)學歸納法證明不等式是較困難的課題，除運用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標，合理放縮，從而達到目標． 證明：（1）當n=1時，不等式成立．（2）假設n=k時，不等式成立，即

那么，這就是說，n=k+1時，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對n∈N+都成立．

n2*2?2?n(n?N)． 2.求證：用數(shù)學歸納法證明

證明：

（1）當n=1時，2?2?1，不等式成立； 當n=2時，2?2?2，不等式成立；

322?2?3當n=3時，不等式成立． 2212*k2n?k(k?3,k?N)2?2?k（2）假設當時不等式成立，即 ．

則當n?k?1時，2k?1?2?2(2k?2)?2?2k2?2?(k?1)2?k2?2k?3，2kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）

從而2k?1?2?(k?1)2?k2?2k?3?(k?1)2，k?122?2?(k?1)∴．

即當n?k?1時，不等式也成立．

由（1），（2）可知，2?2?n對一切n?N都成立．

點評： 因為在（*）處，當k?3時才成立，故起點只證n=1還不夠，因此我們需注意命題的遞推關系式中起點位置的推移．

3．求證：e2mn2*?3m，其中m?1，且m?N?．

分析：此題是2004年廣東高考數(shù)學試卷第21題的適當變形，有兩種證法 證法一：用數(shù)學歸納法證明．

44e?2?3?2，不等式成立．（1）當m=2時，*m?k(k?2,k?N)時，有e2k?3k，（2）假設則 e2(k?1)?e2k?e2?3k?e2?6k，∵k?2，∴6k?3(k?1)?3k?3?0，即6k?3(k?1)．

2(k?1)e?6k?3(k?1)，從而

2m

即m?k?1時，亦有e?3m．

?m?1,m?N由（1）和（2）知，對都成立．

證法二：作差、放縮，然后利用二項展開式和放縮法證明．

e2m?3m?(1?1)2m?3m012?C2?C?Cm2m2m?3m2m(2m?1)?3m2?1?2m?m?3m?1?2m??0?2m∴當m?1，且m?N時，e?3m．

(m?1?2m?1?1)

例

4、（2005年江西省高考理科數(shù)學第21題第（1）小題，本小題滿分12分）

已知數(shù)列證明{an} 的各項都是正數(shù),且滿足:a0?1,an?1?1an,(4?an),n?N.2

an?an?1?2,n?N;

求數(shù)列{an}的通項公式a.n分析：近年來高考對于數(shù)學歸納法的考查，加強了數(shù)列推理能力的考查。對數(shù)列進行了考查，和數(shù)學歸納法一起，成為壓軸題。解：（1）方法一 用數(shù)學歸納法證明：

1°當n=1時，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,2∴a0?a1?2，命題正確.2°假設n=k時有ak?1?ak?2.11ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)22

則n?k?1時,ak?ak?1?11?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)?(ak??1ak)(4?ak??1ak).22

ak?1?ak?0,4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.而

又ak?1?11ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]?2.22

∴n?k?1時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有方法二：用數(shù)學歸納法證明：

an?an?1?2.1°當n=1時，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,22∴0?a0?a1?2；

2°假設n=k時有ak?1?ak?2成立，f(x)?

令所以由假設有：1x(4?x)2，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，f(ak?1)?f(ak)?f(2)，111ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2),22即2

也即當n=k+1時

所以對一切ak?ak?1?2成立，n?N,有ak?ak?1?2．

an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],22（2）下面來求數(shù)列的通項：

22(a?2)??(a?2)n?1n所以

令bn?an?2, 則

1211221122211?2???2n?12nbn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222 1nbn??()2?1,2又bn=－1，所以 1n即an?2?bn?2?()2?12．

點評：

本題問給出的兩種方法均是用數(shù)學歸納法證明，所不同的是：方法一采用了作差比較法；方法二利用了函數(shù)的單調(diào)性．

1nan?2?()2?1{a}2本題也可先求出第（2）問，即數(shù)列n的通項公式，然后利用函數(shù)12x?1f(x)?2?()2的單調(diào)性和有界性，來證明第（1）問的不等式．但若這樣做，則無形當中加大了第（1）問的難度，顯然不如用數(shù)學歸納法證明來得簡捷．

練習：

1.試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，考查的知識包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設a、b、c為等比數(shù)列，a=q,c=bq(q＞0且q≠1)

1bnnn∴an+cn=q+bnqn=bn(q+qn)＞2bn

an?cna?c2(2)設a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞(2)n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學歸納法證明：

a2?c2a?c2?()22222①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴ ak?cka?ck?(),22②設n=k時成立，即

ak?1?ck?11?24(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，11＞4(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=4(ak+ck)(a+c)a?ca?ca?c＞(2)k·(2)=(2)k+1 根據(jù)①、②可知不等式對n＞1,n∈N*都成立．

二.基礎訓練

一、選擇題

1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30

B.26

C.36

D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

二、填空題

1?2.觀察下列式子：131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?2234?則可歸納出_________.232341?解析：1312?1?1?即1??1?1222(1?1)2

1?115112?2?1??,即1???2?122323(1?1)2(2?1)2

1112n?1?????n?12232(n?1)2(n∈N*)歸納為1?答案:1?1112n?1?????n?12232(n?1)2(n∈N*)3an1a?33.已知a1=2,an+1=n,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.13a12?3?3同理,3.解析:a2??a1?31?372?5 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?5

三、解答題

11113?????n?1n?22n24.4.若n為大于1的自然數(shù)，求證：證明：(1)當n=2時，11713 ???2?12?2122411113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k241111111則當n?k?1時,????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)2411113?????*n?1n?22n24 所以：對于n∈N，且n>1時，有5.已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+?+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;(2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+

1bn)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較1Sn與3logabn+1的大小，并證明你的結論.?b1?1?b1?1????10(10?1)10b?d?145?d?31?2(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2(2)證明：由bn=3n－2知

11Sn=loga(1+1)+loga(1+4)+?+loga(1+3n?2)11=loga［(1+1)(1+4)?(1+ 3n?2)］

1113而3logabn+1=loga3n?1,于是，比較Sn與3logabn+1的大小?比較(1+1)(1+4)?13(1+3n?2)與3n?1的大小.333取n=1，有(1+1)=8?4?3?1?1 13)?8?37?33?2?1取n=2，有(1+1)(1+4 113*推測：(1+1)(1+4)?(1+3n?2)＞3n?1()①當n=1時，已驗證()式成立.*

113*②假設n=k(k≥1)時()式成立，即(1+1)(1+4)?(1+3k?2)＞3k?1 1111(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33k?1(1?)43k?23(k?1)?23k?1則當n=k+1時，?3k?233k?13k?1

?(3k?233k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???022(3k?1)(3k?1)3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1

111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1*43k?23k?1,即當n=k+1時，()式成立

由①②知，()式對任意正整數(shù)n都成立.*

11于是，當a＞1時，Sn＞3logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜3logabn+1

6.設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，又如果n??S2n＜3,求q的取值范圍.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0，lim9∴q≠0,a2=－2, ∵an·an+1=－q,an+1·an+2=－q nn+1兩式相除，得an1?an?2q,即an+2=q·an

1nn于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·q?猜想：a2n+1=－2q(n=1,2,3,?)

?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)??1k??q n?2k時(k?N)綜合①②，猜想通項公式為an=?2

下證：(1)當n=1,2時猜想成立

k－1(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·q則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1

k∴a2k+1=2·q即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.1k設n=2k時，a2k=－2q,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 1k所以a2k+2=－2q+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)??1k當n?2k時(k?N)??q 2?這樣所求通項公式為an=

S2n=(a1+a3?+a2n－1)+(a2+a4+?+a2n)12n-12n=2(1+q+q+?+q)－2(q+q+?+q)2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()1?q2(1?q)1?q2

1?qn4?qlimq?0,故limS2n(1?q)(2)n??由于|q|＜1,∴n??= n4?q2依題意知2(1?q)＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜5

三.鞏固練習

1.（06 年湖南卷.理.19本小題滿分14分）

0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.a已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{n}滿足:

1an?1?an30?an?1?an?1;(ⅱ)6證明:(ⅰ).證明:（I）．先用數(shù)學歸納法證明

0?an?1，ｎ＝1,2,3,…

(i).當n=1時,由已知顯然結論成立.(ii).假設當n=k時結論成立,即

0?ak?1.因為0

f'(x)?1?cosx?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在[0,1]上連續(xù), 從而f(0)?f(ak)?f(1),即0?ak?1?1?sin1?1.故n=k+1時,結論成立.0?an?1對一切正整數(shù)都成立.由(i)、(ii)可知，又因為0?an?1時，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0，所以an?1?an，綜上所述0?an?1?an?1．

1g(x)?sinx?x?x36，0?x?1．由（I）知，當0?x?1時，sinx?x，（II）．設函數(shù)

x2x2x2x22xg(x)?cosx?1???2sin???2()??0.2222從而 '所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù).又g(x)在[0,1]上連續(xù),且g(0)=0，1g(an)?0,即sinan?an?an3?06

所以當0?x?1時，g(x)>0成立.于是． 1an?1?an36

故．

點評：不等式的問題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導數(shù)、幾何等數(shù)學分支交匯，綜合考查運用不等式知識解決 問題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊藏的不等式結論的證明為重點.需要靈活運用各分支的數(shù)學知識.2.（05 年遼寧卷.19本小題滿分12分）

f(x)?已知函數(shù)x?3(x??1).{aa?1,an?1?f(an)，數(shù)列{bn}滿足x?1設數(shù)列n}滿足1bn?|an?3|,Sn?b1?b2???bn(n?N*).(3?1)nbn?2n?1；

（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明Sn?23.3

（Ⅱ）證明分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識，考查運用數(shù)學歸納法解決有關問題的能力 x?0時,f(x)?1?（Ⅰ）證明：當所以

2?1.x?1 因為a1=1，an?1(n?N*).(3?1)nbn?.n?12下面用數(shù)學歸納法證明不等式

（1）當n=1時，b1=3?1，不等式成立，(3?1)kbk?.k?12（2）假設當n=k時，不等式成立，即

bk?1?|ak?1?3|?那么

(3?1)|ak?3|1?ak

3?1(3?1)k?1?bk?.k22

所以，當n=k+1時，不等也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。

(3?1)nbn?.n?12（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，(3?1)2(3?1)nSn?b1?b2???bn?(3?1)????22n?1 所以

3?1n)122?(3?1)??(3?1)??3.3?13?131?1?22 1?(n?N?,Sn?23.3）故對任意3.（05 年湖北卷.理22.本小題滿分14分）已知不等式1111?????[log2n],其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過23n2log2n的最大整數(shù).設數(shù)列{an}的各項為正，且滿足a1?b(b?0),an?nan?1,n?2,3,4,?

n?an?（Ⅰ）證明an?2b,n?3,4,5,?

2?b[log2n]（Ⅱ）猜測數(shù)列{an}是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； 分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應用以及歸納遞推的思想.n?2時,0?an?（Ⅰ）證法1：∵當

nan?11n?an?111,????,n?an?1annan?1an?1n

111??,aan?1n 即n111111111??,??,?,??.aa12a3a23anan?1n 于是有 211111??????.aa123n 所有不等式兩邊相加可得 n111??[log2n].aa12由已知不等式知，當n≥3時有，n

a1?b,?∵

2?b[log2n]111??[log2n]?.anb22ban?2b.2?b[log2n]

f(n)?證法2：設111????23n，首先利用數(shù)學歸納法證不等式

an?b,n?3,4,5,?.1?f(n)b

a3?（i）當n=3時，由 知不等式成立.3a233b???.32?a3?a21?f(3)b1?13??1a22a1

b,1?f(k)b

ak?（ii）假設當n=k（k≥3）時，不等式成立，即ak?1?則(k?1)akk?1k?1??1?f(k)b(k?1)?ak(k?1)?1(k?1)??1akb ?(k?1)b?(k?1)?(k?1)f(k)b?bb1?(f(k)?1)bk?1?b,1?f(k?1)b

即當n=k+1時，不等式也成立.an?由（i）、（ii）知，b,n?3,4,5,?.1?f(n)b

an?又由已知不等式得

（Ⅱ）有極限，且n??b11?[log2n]b2

?2b,n?3,4,5,?.2?b[log2n]

liman?0.2b221?,令?,2?b[log2n][log2n][log2n]5（Ⅲ）∵

10logn?[logn]?10,?n?2?1024, 22則有

1an?.5 故取N=1024，可使當n>N時，都有

第五篇：2014年人教A版選修4-5教案 二 用數(shù)學歸納法證明不等式

二 用數(shù)學歸納法證明不等式

教學要求：

了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，并能嚴格按照數(shù)學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：

能用數(shù)學歸納法證明幾個經(jīng)典不等式.教學難點：

理解經(jīng)典不等式的證明思路.教學過程：

一、復習準備：

12221.求證：??1?33?52.求證：1?n2n(n?1)??,n?N*.(2n?1)(2n?1)2(2n?1)111???234?1?n,n?N*.n2?

1二、講授新課： 1.教學例題：

① 出示例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結論.分析：試值n?1,2,3,4,5,6 → 猜想結論 → 用數(shù)學歸納法證明

→ 要點：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….小結：試值→猜想→證明

11② 練習：已知數(shù)列?an?的各項為正數(shù)，Sn為前n項和，且Sn?(an?)，歸納出an的公式

2an并證明你的結論.解題要點：試值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 數(shù)學歸納法證明 ③ 出示例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).要點：|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|

④ 出示例3：證明貝努利不等式.(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

22證明：（1）當n=2時，由x?0得(1?x)?1?2x?x?1?2x，即不等式成立；

（2）假設當n=k（k≥2）時不等式成立，即有(1?x)?1?kx：，則當n=k+1時，k(1?x)k?1?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?x?kx?kx2?1?(k?1)x，所以當n=k+1時，原不等式也成立； 由（1）（2）知，貝努利不等式成立；

注：事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)?仍有類似不等式成立.當?是實數(shù),且???或??0時,有(1?x)?≥1??x(x??1)當?是實數(shù),且0???1時,有(1?x)?≤1??x(x??1)

2.練習：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有an+cn＞2bn.解答要點：當a、b、c為等比數(shù)列時，設a=

b, c=bq(q＞0且q≠1).∴ an+cn=….qan?cna?cn 當a、b、c為等差數(shù)列時，有2b=a+c，則需證＞()(n≥2且n∈N*).22ak?1?ck?11k+1k+1k+1k+11?(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)….當n=k+1時，244=1kka?cka?ca?ck+1(a+c)(a+c)＞()·()=().42223.小結：應用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的不等式；技巧：湊配、放縮.三、鞏固練習：

已知n?N,n?2,證明：? 1211??n?1n?2?1?1.2n