第一篇：同濟大學線性代數(shù)期末試卷全套試卷(1至4套)[模版]

《線性代數(shù)》期終試卷1

（2學時）

本試卷共七大題

一、填空題(本大題共7個小題，滿分25分)：

1.(4分)設階實對稱矩陣的特征值為 , , , 的屬于 的特征向量是 , 則 的屬于 的兩個線性無關的特征向量是（）；

2.(4分)設階矩陣矩陣, 則 的特征值為，， 其中 是 的伴隨的行列式（）；

3.(4分)設 , , 則

（）；

4.(4分)已知維列向量組的向量空間為,則的維數(shù)dim

（）；

所生成

5.(3分)二次型經(jīng)過正交變換可化為

標準型 ,則（）； 6.(3分)行列式中 的系數(shù)是（）；

7.(3分)元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為, 已知

解向量 , 其中 , , 則該方程組的通解是（）。

二、計算行列式：

(滿分10分)

三、設 , , 求。

(滿分10分)

四、取何值時, 線性方程組

有解時求出所有解（用向量形式表示）。

是它的個

無解或有解？(滿分15分)

五、設向量組, ，線性無關 , 問: 常數(shù)

也線性無關。

滿足什么條件時, 向量組

(滿分10分)

六、已知二次型，(1)寫出二次型 的矩陣表達式；

(2)求一個正交變換，把 化為標準形, 并寫該標準型；

(3)是什么類型的二次曲面?

(滿分15分)

七、證明題（本大題共 2個小題，滿分15分）： 1．(7分)設向量組

線性無關 , 向量

能由

線性表示 , 向量

不能由線性表示.證明: 向量組 也線性無關。

2.(8分)設是 矩陣, 是 矩陣, 證明: 時, 齊次線性方程組

必有非零解。

《線性代數(shù)》期終試卷2

（2學時）

本試卷共八大題

一、是非題（判別下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)打√，錯誤的在括號內(nèi)打×；每小題2 分，滿分20 分）：

1.若 階方陣 的秩，則其伴隨陣。

（）

2.若 矩陣 和 矩陣 滿足，則。

（）

3.實對稱陣 與對角陣 相似：，這里 必須是正交陣。

（）

4.初等矩陣都是可逆陣，并且其逆陣都是它們本身。

（）

5.若 階方陣 滿足，則對任意 維列向量，均有。

（）6.若矩陣 和 等價，則 的行向量組與 的行向量組等價。

（）

7.若向量 線性無關，向量 線性無關，則 也線性無關。

（）

8.是 矩陣，則。

（）

9.非齊次線性方程組 有唯一解，則。

10.正交陣的特征值一定是實數(shù)。

（）

二、設階行列式：）

（試建立遞推關系，并求(滿分10分)。

三、設(滿分10分)，并且，求

四、設 陣，求。，矩陣 滿足，其中 是 的伴隨(滿分10分)

五、討論線性方程組(滿分12分)的解的情況，在有解時求出通解。

六、求一個正交變換 化為標準形。(滿分14分)，將二次型

七、已知

3維列向量構成的向量空間，問：，由它們生成的向量空間記為，為所有

1． 取何值時，但，為什么？

2． 取何值時，為什么？(滿分 12 分)

八、證明題（本大題共2個小題，滿分12分）： 1．若2階方陣滿足，證明

可與對角陣相似。

2.若

是正定陣，則其伴隨陣 也是正定陣。

《線性代數(shù)》期終試卷

3（3學時）

一、填空題(15’)： ．設向量組（），一個最大線性無關組是（）., 它的秩是2 ．已知矩陣和（）.3 ．設是秩為 的

矩陣 ，是

相似 , 則x =

矩陣 , 且, 則 的秩的取值范圍是

（）.二、計算題： 1 ．(7’)計算行列式.2 ．(8’)設, 求.3 ．(10’)已知 維向量空間 的兩個基分別為;, 向量 的過渡矩陣

;并求向量

.求由基 在這兩個基下的坐標.到基 ．(15’)討論下述線性方程組有無窮多解，則必須求出通解.的解的情況；若5．(15’)已知為對角陣.有一個特征值為, 求正交陣, 使得6 ．(10’)在次數(shù)不超過 3的實系數(shù)多項式所成的線性空間 線性變換?為?= , 求線性變換?在基

中定義

下的矩陣.三、證明題：

1．(10’)已知矩陣與合同, 矩陣與合同, 證明: 分塊對角矩陣與也合同.．(10’)設特征值與

是正交矩陣 , , 是的特征值 , 是相應于, 的特征向量 , 問 : 與是否線性相關 , 為什么 ? 是否正交 , 為什么 ?

《線性代數(shù)》期終試卷

4（3學時）

本試卷共九大題

一、選擇題（本大題共 4個小題，每小題2分，滿分8分）：

1．若階方陣均可逆，則

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

2．設是元齊次線性方程組的解空間，其中，則的維數(shù)為(A)

(B)

(C)

答()

3．設是維列向量，則=

(A)

(B)

(C)

(D)

答()

(D)4．

若向量組則(A)

可由另一向量組線性表示，；

(B)

；

(C)答（）的秩的秩；(D)的秩的秩.二、填空題（本大題共 4個小題，每小題3分，滿分12分）：

1.若，則。

2.設，，則

3.設4 階方陣的秩為2，則其伴隨陣的秩為。

4.設是方陣的一個特征值，則矩陣的一個特征值是。

三、計算行列式，（）（滿分8分）

四、設，，求，使得。

（滿分12分）

五、在中有兩組基：

和

寫出到的變換公式以及

到的變換公式。

（滿分8分）

取何值時，線性方程組

六、當

有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求出通解。（滿分14分）

七、已知，為3階單位矩陣，為對角陣，并寫出該對角陣.（滿分16分），求一個正交矩陣，使得

八、設為已知的矩陣，集合

下的線性空間； 1．驗證對通常矩陣的加法和數(shù)乘構成實數(shù)域2．當時，求該線性空間的一組基。

（滿分10分）

九、證明題（本大題共 2個小題，每小題6分，滿分12分）：

1．設由為一向量組，其中線性表示。

線性相關，線性無關，證明能2．若

為階方陣，證明：為可逆矩陣。

第二篇：線性代數(shù)試卷(網(wǎng)上1)

線 性 代 數(shù) 試 卷(A)

一、選擇題（每題3分，共15分）

?1a?12???若矩陣A??0?1a2?的秩r(A)?2,則a的值為_____________?10?12???1.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT??(D)-1或者1(B)-AT*設A為正交矩陣，且|A|??1,則A?_____________ 2.(C)A????(D)-A

TT3.設?,?是n維列向量,???0,n階方陣A?E???,n?3，則在A的 n個特征值中,必然______________

(A)有n個特征值等于1(B)有n?1個特征值等于1(C)有1個特征值等于1(D)沒有1個特征值等于1

r(A)?r(B),則______________ 4.設A,B為n階方陣，且秩相等，既(A)r(A－B)?0(B)r(A?B)?2r(A)(C)r(A,B)?2r(A)(D)r(A,B)?r(A)?r(B)

___ 5.設矩陣Am?n的秩r(A)?n,則非齊次線性方程組Ax?b__________(A)一定無解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有無窮多解

二、填空題（每題3分，共15分）

**|A|?2|2A|=_____________ nA1.設是階方陣A的伴隨矩陣，行列式，則

2.D中第二行元素的代數(shù)余子式的和

1111j?1?A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)?x?4x?2x?2ax1x1?2x2x3正定,則實常數(shù) 1,231233.已知實二次型

a的取值范圍為________________

1?11111?11111?1AB?________________BA4.2n階行列式 ,其中n階矩陣 ?a0?0??0?0b?????0a?00?b0????A??B??????????0??????00?a??b?00???

??

?101???020??，?101?nn?1?而n?2為正整數(shù)，則A?2A?______ 5.設A=?

三、計算題(每題9分,共54分)1.計算n階行列式

x1?mx2x3?xnx1x2?mx3?xnDn???????x1x2x3?xn?m

?200??600??????1?1AX?BA?ABX?0，其中,A??0?10?,B??012??001??021????? X2.求矩陣使

?2x1?x2?a3x3?a4x4?d1??x1?2x2?b3x3?b4x4?d2?cx?cx?2x?3x?d22343有三個解向量 3.設非齊次線性方程組?11?2??3??1????????11???2????1??4???2?????????????

?1＝?1?，?2＝?1?，?3＝?2?

求此方程組系數(shù)矩陣的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt為已知常數(shù))

4.已知實二次型 f(x1,x2,x3)=2x1?3x2?3x3?2?x2x3(??0)經(jīng)過正交

222y?2y?5yX?QY123變換,化為標準形,求實參數(shù)?及正交矩陣Q

?x1?x2?x3?3x4?0?2x?x?3x?5x?1?1234??3x1?2x2?ax3?7x4?1??x1?x2?3x3?x4?b，問a,b各取何值時，線性

2225.設線性方程組為

方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解

446.在四元實向量構成的線性空間R中,求a使?1,?2,?3,?4為R的基,并求由基?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的過渡矩陣P,其中

四、證明題(每題8分,共16分)1.設 ?1,?2,?3 是歐氏空間V的標準正交基,證明: 13也是V的標準正交基

?1??1??1??1?????????011???????1??1????2????3????4???0011?????????0??0??0??1??? ?? ?? ?? ?1???1???1??1??????????111???????0??1????2???3????4???a2?a?00?????????1??1??0??0??? ?? ?? ??

?1?(2?1?2?2??3)?2?(2?1??2?2?3)?3?(?1?2?2?2?3)1313

T2.設f?XAX是n元實二次型,有n維實列向量X1,X2,使X1AX1?0，TTX2AX2?0, 證明:存在n維列實向量X0?0,使X0AX0=0

T

第三篇：線性代數(shù)試卷及答案1

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）

31（1）三階行列式

111311113111?______________________.1

3?12??121???（2）設A???,B??11?，則AB?______________________.?101??11???（3）已知??(1,2,3)T,??(1,1,1)T，則???T?_____.?500????1（4）設A??031?，則A?________.?021???

?12?13??1?????3?,???5?，且線性方程組Ax??無解，則a?_____.（5）設A??21

4?0a2?1???6?????

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．計算n級行列式10

1111011?????1110111110。111?????

?202???2．設三階方陣A和B滿足關系式AB?2A?B,且A?040,求(A?E)?1。????202??

3．求下面線性方程組的通解

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?2x?3x?0.534?1

2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．設?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)。

（1）問當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性無關？

（2）當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性相關？

（3）當向量組?1,?2,?3線性相關時，將?3表示為?1和?2的線性組合。

??x1?x2?x3?1?

2．?為何值時，線性方程組?x1??x2?x3??

?x?x??x??

23?12

（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個解。

四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

1．設b1?3a1?2a2,b2?a2?a3,b3?4a3?5a1，且a1,a2,a3線性無關，證明：向量組

b1,b2,b3也線性無關。

2．設A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A?A

填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）

**

n?

1?111??0.500?

????

22201?1????

?333??0?23?

??；??；2（1）48(2)；（3）（4）（5）?1

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1.解：

0111

11011111111

1101110111

?????11011

11101?????

1111011101

n?1n?1n?1?n?1n?11?

1?1111110

…………………………………………………….（6分）

01?11

10?11

?????

11?01

11?10

………….（3分）

??????

?(n?1)

?????

?(n?1)

000

1?1000

??

1000?1

……………………………………………..…….（9分）

?1?00

??????

??1?

?(?1)n?1(n?1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

?(A?E)(B?2E)?2E……….（5分）

?001?

1?(A?E)?1?(B?2E)??010??

2??100??…………………………………（5分）

3．解

對方程組的系數(shù)矩陣

A作初等行變換, 有

1??1?10?1?2???

???1?1?110?1?001?2???

2??1?11?31???

???00000?1????1?1?23??????2?

由此得基礎解系為

………（5分）

T

??(1,1,0,0)??(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

??(,0，0)T

特解為

（8分）

于是所求方程組的通解為

1212

x?k1?1?k2?2??, 其中1

k,k2,k

3為任意常數(shù)………….（10分）

三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．解：設有數(shù)組

k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0，k1(1,1,1)?k2(1,2,3)?k3(1,3,t)?(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程組

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,?k?3k?tk?0

23?

1其系數(shù)行列式

……………………………………（3分）

D?23?t?

53t………………………………………………………….（4分）

（1）當

t?5

時，D?0，方程組只有零解：

k1?k2?k3?0

。此時，向量組

?1,?2,?

3線性無

關?！?分）

（2）當

t?5時，D?0，方程組有非零解，即存在不全為0的常數(shù)k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0。此時，向量組

?1,?2,?3線性相關?！?（5分）

（3）當

t?5時，方程組的系數(shù)矩陣的秩小于3。由左上角2階子式不為零可知，系數(shù)矩陣的秩等于2。因此，取方程組①的前2個方程

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,令

k3?1，解得k1?1,k2??2，即?1?2?2??3?0，從而?3???1?2?2。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

?11

1?1?0,11???1,?2時，方程組有唯一解?！?分）（1）即

?1???2??11?1??1

????

??1?1?????0??11????(1??)?

2??11???2??00(1??)(2??)?(1??)(1??)????，（2）

則當

???2時，方程組無解?！?（5分）

??1???1??1?

??????x?k1?1??k2?0???0?

?0??1??0???????。??1（3）當時，方程組有無窮多個解，通解為

…………………………………….（5分）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

?30?5?

?

210?b1,b2,b3???a1,a2,a3?????0?14???…………………….（4分）

1．證明：因為

且a1,a2,a3線性無關…………………………………………………………（6分）

?5210?22?0

又0?1

……………………………………………….（8分）

故向量組b1,b2,b3也線性無關………………………………………………….（10分）

*?1

2．證明：因為

A?AA…………………………………………….（4分）

|A*|?|A?1|?n

1?

所以

……………………… ……….（8 分）

?A

n?1

…

…………………………….10分）（

第四篇：西南財經(jīng)大學線性代數(shù)試卷試題1（定稿）

線性代數(shù)期中考試試卷（06）

一、判斷下列各題是否正確

1． 1． 若A、B是同階方陣，則（A＋B）2 ＝A＋2AB＋B 2。

（）

2． 2． 矩陣A、B的積AB＝0，則A＝0或B＝0。

（）

3． 3． 設n階方陣A、B、C滿足關系式ABC＝E，則BCA＝E。

（）

TT4． 4． 設A為一任意矩陣，則A＋A，AA均為對稱矩陣。

（）

5． 5． 設對矩陣A施行初等變換得到矩陣B，且已知秩(A)＝r，秩(B)=s,則r = s。（）

二、選擇題（單選，括號中填所選項前的字母）

?7x1?8x2?9x3?0???x2?2x3?0?2x2?tx3?0 1．若方程組?存在非零解，則常數(shù)t = [

]。

（A）

2（B）

4（C）－2

（D）－4 2．設有n階方陣A與B等價，則 [

]。

(A)| A | = | B |

(B)| A | ≠ | B |

(C)若| A |≠0,則必有| B |≠0(D)| A | = －| B |

3．若A為n階可逆矩陣，下列各式正確的是 [

]。

?A?*?1?A?1（A）（2A）= 2 A

(B)|2A| = 2 | A |

(C)1A?4123032?1412-1-

1A

(D)(A-1)T =(AT)-1

51?16，則4A+3A+2A+A = [

] 4．設41424344

(A)0

(B)

(C)

(D)

A?1 5．已知可逆方陣??2?

（A）?1??3???17???2?，則A＝ [

]。

7??3??3?

（C）??17??7???3????2? 2?

（D）?1 6．設矩陣A、B、C滿足AB＝AC，則B＝C成立的一個充分條件是 [

]。

(A)A為方陣

（B）A為非零矩陣(C)A為可逆方陣(D)A為對角陣 7??2???3?（B）?112f(x)?3x2341x341124x213x0314，則x4的系數(shù)是 [

]。7．0(A)2

(B)

(C)

(D)

三、計算下列各題 0A?1?110?1????11?0 1． 1． 求

23??4??A??110???123???，求矩陣B。2． 2． 已知AB＝A＋2B，其中矩陣3． 3． 已知A、B為4階方陣，且｜A｜＝－2，｜B｜＝3，求(1)| 5AB |;(2)|-A B T |;

(3)|(AB)-1 |。?1?B??0?0?4． 4． 已知AP＝PB，其中?0??0??A??0?n??0??05． 5． 設1002?00000000????n?10000025?0000000??1??0?,P??2?2?1???0?110??0?1??，求矩陣A及A5。

0??0???0??0?1??3?，求其逆矩陣。

四、證明題：

1． 1． 設方陣A滿足A2－A－2E＝0，證明：A和A＋2E都可逆。2． 2． 設A為n階可逆矩陣(n≥2)，證明：(A*)*=|A| n-2 A。

3． 3． 設A為n階方陣，且A 2 = A，證明：r(A)+ r(A－E)= n。

第五篇：河南科技大學工科線性代數(shù)綜合測試1試卷及答案

河南科技大學工科線性代數(shù)綜合測試

（一）試卷

河南科技大學

工科線性代數(shù)綜合測試

（一）試卷

一．填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）請將合適的答案填在每題的空中

12?113x是關于x的一次多項式，該式中x的系數(shù)為____________． ?11k1111k11??1?，且A的秩r?A??3，則k?___________． 1??k?

1．已知11?k?

12．已知矩陣A???1??1?x?y?0?

3．已知線性方程組??2x?3y?5 有解，則a?___________．

?2x?y?a?

4．設A是n階矩陣，A?0，A*是A的伴隨矩陣．若A有特征值?，則?2A*?_________________． 5．若二次型f?x1,x2,?1必有一個特征值是x3??2x1?x2?x3?2x1x2?ax2x3是正定二次型，則a的取值范圍是

222______________．

二、選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）?a11?

1．設A??a21?a?31?1?P2??0?1?010a12a22a32a13??a21??a23?，B??a11?a?aa33?11?31?a22a12a32?a12a23a13a33?a13??0???，P1??1??0??1000??0?，1??0??0?，則必有【

】． 1??

?A?.AP1P2?B ；

?B?.AP2P1?B ；

?C?.P1P2A?B ；

?D?.P2P1A?B．

2．設A是4階矩陣，且A的行列式A?0，則A中【

】．

?A?.必有一列元素全為0；

?B?.必有兩列元素成比例；

?C?.必有一列向量是其余列向量的線性組合；

?D?.任意列向量是其余列向量的線性組合．

3．設A是5?6矩陣，而且A的行向量線性無關，則【

】．

?A?.A的列向量線性無關；

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（一）試卷

?B?.線性方程組AX?B的增廣矩陣A的行向量線性無關；

?C?.線性方程組AX?B的增廣矩陣A的任意四個列向量線性無關；

?D?.線性方程組AX?B有唯一解．

4．設矩陣A是三階方陣，?0是A的二重特征值，則下面各向量組中：

⑴ ?1,3,?2?，?4,TT?1,T3?，?0,T0,T0?；

T

⑵ ?1,1,1?，?1,1,⑶ ?1,⑷ ?1,?1,0,2?，?2,T0?，?0,0,1?； ?3,T?2,1,T4?，?3,T6?；

T0?，?0,T0?，?0,0,1?；

肯定不屬于?0的特征向量共有【

】．

?A?.1組；

?B?.2組；

?C?.3組；

?D?.4組．

5．設A是n階對稱矩陣，B是n階反對稱矩陣，則下列矩陣中，可用正交變換化為對角矩陣的矩陣為【

】．

?A?.BAB；

?B?.ABA；

?C?.?AB三．（本題滿分10分）

設n階矩陣A和B滿足條件：A?B?AB． ⑴ 證明：A?E是可逆矩陣，其中E是n階單位． ⑵ 已知矩?1?陣B??2?0??3100??0?，求矩陣A． 2???2；

?D?.2AB．

四．（本題滿分10分）

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1?ba

當、為何值時，線性方程組?有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有

???x?a?3x?2x?b234??3x1?2x2?x3?ax4??1?無窮多組解時的通解．

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（一）試卷

五．（本題滿分10分）?1?

2設4階矩陣A???3??4123412341??2?，求A100． 3??4?

六．（本題滿分10分）

已知α1??1,1, 七．（本題滿分10分）

設A是n階矩陣，如果存在正整數(shù)k，使得A?O（O為n階零矩陣），則稱A是n階冪零矩陣．

⑴.如果A是n階冪零矩陣，則矩陣A的特征值全為0．

⑵.如果A?O是n階冪零矩陣，則矩陣A不與對角矩陣相似．

k?1,?1?，α2??1,2,0,3?，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4線性無關． 河南科技大學工科線性代數(shù)綜合測試

（一）試卷

八．（本題滿分10分）

2222若二次型f?x12?x2?x3?2x1x2?2?x1x3?2?x2x3經(jīng)正交變換后可變?yōu)闃藴市蝭2?2y3，求?，?．并求出該正交變換．

九．（本題滿分10分）

設有5個向量α1??3,1,α5??4,2,3,2,5?，α2??1,1,1,2?，α3??2,0,1,3?α4??1,?1,0,1?，7?．求此向量組中的一個極大線性無關組，并用它表示其余的向量．

答案

河南科技大學

工科線性代數(shù)綜合測試

（一）試卷及答案

一．填空題

1．應填：1．

2．應填：?3．

3．應填：?4．

應填：

二、選擇題

1． 應選：?C?．

2． 應選：?C?．

3． 應選：?B?．

4． 應選：?B?．

5． 應選：?A? ． 三．（本題滿分10分）

設n階矩陣A和B滿足條件：A?B?AB．

⑴ 證明：A?E是可逆矩陣，其中E是n階單位． ?1?B?

⑵ 已知矩陣?2?0??3100??0?，求矩陣A． 2???2A．

5．應填：?2?a?2．

解：

⑴ 由等式A?B?AB，得A?B?AB?E?E，即?A?E??B?E??E因此矩陣A?E可逆，而且?A?E??1?B?E．

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（一）試卷

⑵ 由⑴知，A?E??B?E?，即A??B?E??1?1?E

?0???2?0??3000??0?1???1?1???0?0?010??00???10?????3?1??0??1200?0???1??0??0??1??0??0100??0? 1????1? ????3?0??1210?0??0? ?2???四．（本題滿分10分）

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1?

當a、b為何值時，線性方程組

?有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出

???x?a?3x?2x?b234??3x1?2x2?x3?ax4??1?有無窮多組解時的通解．

解：

將方程組的增廣矩陣A用初等行變換化為階梯矩陣： ?1?0?

A??0??311?1212a?3112?2a0??1??10????0b????1??0110012a?10120a?10??1? b?1??0?所以，⑴ 當a?1時，r?A??r?A??4，此時線性方程組有唯一解．

⑵ 當a?1，b??1時，r?A??2，r?A??3，此時線性方程組無解．

⑶ 當a?1，b??1時，r?A??r?A??2，此時線性方程組有無窮多組解． ?x1??x1?x2?x3?x4?0?x2

此時，原線性方程組化為?因此，原線性方程組的通解為?x2?2x3?2x4?0??x3?x?4?x1??1??1???1?????????x2?2?21??k????? 或者寫為 ???k1?2?x3??1??0??0?????????x013?????0????x3?x4?1x3x4??2x3?2x4?1??

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（一）試卷

五．（本題滿分10分）?1?2

設4階矩陣A???3??4?1?2解：

由于A???3??***341??2?，求A100． 3??4?1??1????22?????1111?，3??3????4??4?所以，A100?1??1??1???????222????1111????1111?????1111? ?3??3??3???????4?4????4??????????????????????100個A?1??1??1??1??1???????????22222

?????1111?????1111?????1111??????1111?

由于?1111????10，?3??3??3??3??3???????????4?4?4??4???????????4????????????????99組所以

A100?1099?1???2???1111??1099?3????4??1?2??3??4123412341??2? 3??4?六．（本題滿分10分）

已知α1??1,1,?1,?1?，α2??1,?1,2,0,2,3?，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4線性無關． 0,3?的對應分量不成比例，所以α1與α2線性無關．滿足

0,1,0?，α4??0,解： 由于α1??1,1,?1?與α2??1,α1，α2，α3，α4線性無關的向量α3與α4有很多，例如我們可以取α3??0,11200?1010?1301?1?0，所以α1，α2，α3，α4線性無關．

0,0,1?

由于100七．（本題滿分10分）

設A是n階矩陣，如果存在正整數(shù)k，使得A?O（O為n階零矩陣），則稱A是n階冪零矩陣．

⑴.如果A是n階冪零矩陣，則矩陣A的特征值全為0．

⑵.如果A?O是n階冪零矩陣，則矩陣A不與對角矩陣相似．

解：⑴.設?是矩陣A的特征值，α?0是矩陣A的屬于?的特征向量，則有Aα??α．所以，Aα?Akk?1k?Aα??Ak?1?α????kα，但是Akk?O，所以?α?0，但α?0，所以??0．

⑵ 反證法：若矩陣A與對角矩陣D相似，則存在可逆矩陣P，使得A?PDP．

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（一）試卷

所以，A??PDPk?1?k?PDP?PDP?PDP?PDP?PDP ???????????????k組?1?1?1?1?1k但是，Ak?O，所以P?1DkP?O，所以Dk?O，即D?O．因此A?P?1DP?O．這與A?O相矛盾，因此矩陣A不與對角矩陣相似． 八．（本題滿分10分）

2222

若二次型f?x12?x2?x3?2x1x2?2?x1x3?2?x2x3經(jīng)正交變換后可變?yōu)闃藴市蝭2?2y3，求?，?．并求出該正交變換．

?1?

解： f的矩陣及標準形的矩陣分別為A??1???11????0????，Λ??0?01???0100??0?．則有 ?E?A??E?Λ，2????1即 ?1???1???0000??1?????0??10

??1??2?2?1,?3?2． 由此得????0．而且矩陣A的三個特征值分別為?1?0,?1

特征值?1?0對應的特征向量為α1??,?212T?,?0? ?T

特征值?2?1對應的特征向量為α2??0,0,1?

?1

特征值?3?2對應的特征向量為α3??,?2???α3????????1212000112,?0? ????x1?????x2?????x???3????121200011??2?y1??1????y? 22???0??y3???T因此令：

P??α1,α2,1??2?1?

因此所作的正交變換為

2?0???九．（本題滿分10分）

設有5個向量α1??3,1,α5??4,2,3,2,5?，α2??1,1,1,2?，α3??2,0,1,3?α4??1,?1,0,1?，7?．求此向量組中的一個極大線性無關組，并用它表示其余的向量．

解：對由α1，α2，α3，α4，α5構成的矩陣，進行行變換 ?3?1

?α1，α2，α3，α4，α5????2??5111220131?1014??1??20????03???7??01?2?1?30213?14262???2? ?1???3? 河南科技大學工科線性代數(shù)綜合測試

（一）試卷

?1?0

???0??01?1000100?12002??1???10????00???0??00?100110012001???1? 0??0?α3，或者α1,由此可以看出，向量組α1,α2，或者α1,α4，或者α1,α5都可以作為向量組α1，α2，α3，α4，α5的極大線性無關組．

不妨取向量組α1,α2作為極大線性無關組，則有

α3?α1?α2，α4?α1?2α2，α5?α1?α2．