第一篇：鄭州中原一中實驗分校 張甲老師的四道數學題

1.某容器中裝有鹽水，老師讓小明倒入5%的鹽水800克，以配成20%的鹽水。但小明錯誤地倒入了800克水。老師說不要緊，你再將第三種鹽水400克倒入容器，就可以得到20%的鹽水，那么第三種鹽水的濃度是多少？

你可以這么處理，它其實只要濃度為20%即可，所以我們可以先準備800g的溶液，里面只要先含40g的鹽，剩下的濃度是20%即可。

所以就相當于，800g中有40g鹽，400g中有20%的鹽。

即含有40+80=120g鹽，所以第三種鹽水的濃度為120÷400=30%

這是很好的轉化。

分析與提示：既然我們只要5%的鹽水800g，就是要溶液800g，其中的鹽40g即可。但是后來加入了800g的水，400g的鹽水兩種那就說，其中必須先含有40g的鹽，剩下的400g溶液的濃度相當于20%的溶液即可，即再含有80g鹽也就說剛才的1200g的溶液中必須含有40+80=120g鹽就能滿足要求 所以第三種鹽水的濃度為120÷400=30%

這是很好的轉化和處理。奧數就是體現一種思維，這種思維過程其實是很美的。

1、設原有鹽水x克，則按計劃配制溶液后可求出原有鹽水中的鹽量為（800+x）*20%－800*5%＝120+0.2x 設第三種鹽水濃度為t，則錯配后的總鹽量為

120+0.2 x＋400t＝（1200＋x）*20%

這里的x不需要解出，因為兩邊可消去。化簡、移項、合并后得400 t＝120，可求出t＝30% 第二種解法：設第三種鹽水含鹽為C A+40 A+C---------=20% =---------------B+800 B+1200 得出 C=120 所以加入的鹽水濃度為30%

2.甲乙兩班同學從學校去33.9千米外的公園，只有一輛車可乘一個班的學生的汽車，每小時48千米，甲步行每小時6千米，乙步行每小時4千米，為使兩個班的學生同時到達，甲班乙班各步行多少千米？

第一種解法：汽車是甲班同學速度的：48÷6=8（倍）汽車是乙班同學速度的：48÷4=12（倍）

汽車先載乙班同學，走到某地，放下乙班同學，回頭解甲班同學，到了汽車和甲班同學的相遇點的時候，汽車走了甲班同學所走距離的8倍，減去甲班同學所走，汽車多走了8-1=7（倍），這是往返的，單程為：7÷2=3.5（倍）。即相遇點到汽車回頭點為甲班同學所走的3.5倍。乙班同學從汽車的回頭點走到終點，所走路程是汽車從回頭點到相遇點，再到回頭點所走的1/12，汽車多走了：12-1=11（倍）的乙班同學所走。單程為：11÷2=5.5倍）而：3.5甲班所走=5.5乙班所走 即：乙班所走/甲班所走=3.5/5.5=7/11 即：乙班所走=7/11

甲班所走

全部路程為：甲班所走+3.5甲班所走+7/11 甲班所走=38.5/11

甲班所走。甲班所走=33.9÷56.5/11=6.6（千米）乙班所走=6.6 ×

7/11=4.2（千米）

第二種解法：設汽車先載甲班，走了X千米，然后放下甲班，回頭來接乙班，走了Y千米碰到乙班，然后接乙班到達目的地，則得方程組：

（X+Y）/48 =（X-Y）/4 ⑴

（2Y+33.9-X）/48 =（33.9-X）/6 ⑵

由⑴得x=13/11y 帶入⑵中的y=23.1則x=27.3 33.9-27.3=6.6（千米）

33.9-23.1-6.6=4.2（千米）

即甲班走了6.6千米乙班走了4.2千米

3、一些城市之間有航線相連，每個城市至多跟3個城市相連，任何一個城市至多轉機一次就可以到達另一個城市，問：至多有多少個城市。請寫出答案并畫出方案。

每個城市直達的城市有3個，3*2*1=6

?

4、有5片玻璃片，每片上涂有紅，黃，藍三色之一，進行如下操作：將不同顏色的兩塊玻璃片都擦凈，然后涂上第三種顏色（例如將一塊藍色玻璃片和一片紅玻璃片上的藍色和紅色擦掉，然后在兩片上涂上黃色）。證明：無論開始時候紅，黃，藍玻璃片各有多少片，總可以經過有限次操作使所有的玻璃片涂有同一種顏色。

設紅片、黃片和藍片的數目分別為x、y、z． 則x、y、z中至少有一個為1，那么剩下兩個加起來總數為4，假設X=1，則y+z=4 分類談論：

（1）剩下兩個顏色分別為2，即y=z=2則每次各取一個組成2個同時擦去，涂成數量為1的玻璃片的顏色，兩次后所有的玻璃片都與最初數量為1的玻璃片同色；

（2）剩下的兩個顏色分別為1和3，即y=1,z=3,取兩個數量為1的顏色擦去，換成數量為3的玻璃片的顏色，最后所有的玻璃片都與最初數量為3的玻璃片同色；

設紅片、黃片和藍片的數目分別為x、y、z．

x＝3a＋m，y＝3b＋n，z＝3c＋n，其中m、n∈｛0，1，2)，c≥b． 若c＝b，則可將黃片、藍片一對一地全變成紅片．

若c＞b．先將3b＋n片黃片與3b＋n片藍片一對一對地換成紅片，這時黃片數為0，藍片數為3(c－b)．接著，將1片紅片，1片藍片變成2片黃片，再將2片黃片、2片藍片變成2片紅片．經過這一過程，黃片數仍為0，藍片數減為3(c－b－1)．如果c－b－1＝0，結論已經成立．否則，類似地再操作若干次，直至藍片數減少至0．

最后所有玻璃片都涂上了紅色．

由于經過一次操作，黃片、藍片數均減少1，或一種減少1，另一種增加2．所以兩種片數除以3所得余數仍然相同．如果最后只剩下一種顏色，總數為5，黃片、藍片數量必須為0，除以3玉樹才能相等，即所有玻璃片均為紅色。