第一篇：英國(guó)畫家保拉·雷格繪畫幾個(gè)階段的分析與解讀

英國(guó)畫家保拉·雷格繪畫幾個(gè)階段的分析與解讀

一、保拉?雷戈及其作品介紹

保拉?雷戈（Paula Rego）1936年生于葡萄牙里斯本一個(gè)中產(chǎn)階級(jí)家庭，1956年畢業(yè)于倫敦斯萊德藝術(shù)學(xué)院，1990年被任命為英國(guó)國(guó)家美術(shù)館的首席藝術(shù)家。她的作品以描寫動(dòng)物、女孩與女人為主，故事性及服裝道具在畫面中占有重要的地位，而男人在畫面中通常是缺席的，但畫中出現(xiàn)的道具卻與男人有著直接的關(guān)系。她的作品具有一定的階段性：20世紀(jì)60至70年代主要采取抽象和半抽象的語(yǔ)言或拼貼的形式來(lái)進(jìn)行創(chuàng)作，她在60年代末從油畫轉(zhuǎn)到了丙烯畫并從童話故事里汲取新的靈感，80年代主要以丙烯進(jìn)行創(chuàng)作，作品主要有《紅猴》《Vivian女孩》《家庭》系列，以及90年代以來(lái)所創(chuàng)作《狗與迪斯尼》《阿馬羅》《訂婚》等系列的蠟筆、色粉畫。

二、保拉雷戈作品分析

（一）早期作品

1953年的《慶典》是應(yīng)學(xué)校老師要求以“夏日交響曲”為主題創(chuàng)作的富于想象力的油畫，她把廚房里場(chǎng)景有意地布局得不協(xié)調(diào)，一群人圍繞在一張大桌子饕餮大餐。這些學(xué)生時(shí)期的繪畫，雖然與保拉?雷戈現(xiàn)代的藝術(shù)實(shí)踐大相徑庭，但它們卻隱含著她未來(lái)所關(guān)注的方向。

1965年根據(jù)《泰晤士報(bào)》報(bào)道，一位巴塞羅那的作家為了解決大街上越來(lái)越多的流浪狗而給它們喂食有毒的肉，造成很多的狗就在路人面前死去。而保拉?雷戈的作品《走失的狗》就是根據(jù)這則新聞而創(chuàng)作的。布面上用丙烯和拼貼大量的描繪半抽象的形態(tài)，不斷地切割、解構(gòu)、重組。她曾經(jīng)用狂歡、本能、暴力來(lái)描述自己那時(shí)期的技術(shù)。

就像這個(gè)時(shí)期的所有作品，保拉?雷戈試圖通過(guò)圖像來(lái)講述故事里的角色。然而，這些形象誕生后又不斷地演變，最后反過(guò)來(lái)改變了畫面的內(nèi)涵，這才是作品詮釋的真正核心，是藝術(shù)家始料未及的。

（二）動(dòng)物系列

1981年，保拉?雷戈根據(jù)她的丈夫講述在玩偶劇場(chǎng)玩耍的童年記憶，畫了一系列帶有敘述故事性的動(dòng)物繪畫，畫里的主要演員是一個(gè)猴子、一頭熊和一只狗，這些畫都是快速地用丙烯畫于紙上，形體用色塊平涂，有著很強(qiáng)的輪廓線，在視覺上更接近拼貼畫。每一幅畫都是敘述性的，之間有劇情的發(fā)展，并運(yùn)用了一些道具來(lái)充實(shí)畫面的內(nèi)容。保拉?雷戈用這些動(dòng)物來(lái)隱喻家庭的各個(gè)成員，通過(guò)一系列的劇情發(fā)展來(lái)展現(xiàn)在家庭成員之間普遍發(fā)生的的關(guān)于愛與背叛、安全與不安全的故事，從更深層面上表達(dá)了保拉?雷戈對(duì)女性在家庭以及兩性之間的位置的看法。

（三）家庭繪畫

《女孩和狗》系列作品延續(xù)了一些她早期作品的構(gòu)圖形式和敘述性角色。作品都是以一個(gè)女孩攜著一只狗為特征，作品有了更多的真實(shí)感，每幅作品分別表現(xiàn)的是女孩在與狗之間親近或疏遠(yuǎn)的身份變化。女孩充當(dāng)著從小孩到情人這樣的變化著的角色。那只狗主要功能是作為一個(gè)伙伴或演員，與女孩之間產(chǎn)生同情或者發(fā)生沖突，女孩在這過(guò)程中產(chǎn)生了自我意識(shí)：認(rèn)識(shí)到她曾經(jīng)是誰(shuí)現(xiàn)在是誰(shuí)以及將來(lái)可能是誰(shuí)。最著名的一個(gè)場(chǎng)景就是她哄著一只黃色幼狗吃勺子里食物。在她的手和狗的下頷的關(guān)系存在著威脅或者潛在的侵犯。在《兩個(gè)女孩和狗》中女孩們像玩弄一個(gè)玩偶一樣，給狗穿上和脫下衣服。前景作者運(yùn)用了象征的手法去刻畫了花朵、錘子、陶罐等道具?；ㄊ谴嗳醯南笳?，錘子則暗示著要打破陶罐，成為折磨拷問(wèn)的工具的象征。這幅畫表達(dá)的是對(duì)愛、信任和依賴的深層內(nèi)涵的探索。在這一系列的最后一幅《回頭看》里，畫中加入其他兩個(gè)小女孩，現(xiàn)在的女孩已占了絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，而狗卻被安排在床下面的次要位置。

在這些作品中我們看到的僅是一個(gè)故事的中間的一個(gè)片段，作品是以女孩為主角，狗只是女孩在成長(zhǎng)的各個(gè)階段中的一個(gè)對(duì)象，通過(guò)女孩與狗之間的關(guān)系來(lái)暗喻女孩成長(zhǎng)的特點(diǎn)和女性在不同階段的自我認(rèn)識(shí)。

1987年，她根據(jù)一部戲劇改編創(chuàng)作了《女仆》，作品真實(shí)地再現(xiàn)了室內(nèi)人物的場(chǎng)景，畫面的主要表達(dá)焦點(diǎn)是那只在保護(hù)或者是威脅中游走的手。畫面中心女傭放在主人脖子后面的那只手是直接源于早期女孩和狗作品里的手勢(shì)，現(xiàn)在所有的情節(jié)都是發(fā)生在人類之間。

保拉?雷戈把焦點(diǎn)集中在她們姐妹之間、母親和女兒之間的不自然的親密。右下角野豬增加了畫面的不安和失衡；而掛在門后面的大衣暗示著缺席的父親與母親和女兒所形成的三角關(guān)系。作品表現(xiàn)了家庭成員之間模棱兩可的關(guān)系和迫害性的精神分裂，而房間里道具的應(yīng)用更加烘托了這一主題。

在1988年《家庭》，缺席的父親和丈夫回歸到了畫面里，卻是被他女兒和妻子粗暴地對(duì)待。敘述的線索顯而易見，故事可以有不同的結(jié)局。畫面中的女人們游走在對(duì)那個(gè)男人的幫助與傷害之間，躲在陰影里的女孩增加了詭異的氣氛。

保拉?雷戈在作品中拒絕表達(dá)希望在女性身上出現(xiàn)的東西，都用一種顛覆了女性正常行為的方式來(lái)完成，追求模棱兩可，這樣她們的處境就保留了可變性，同時(shí)也不能根據(jù)傳統(tǒng)的觀念去解釋它。

（四）狗系列與迪士尼

保拉?雷戈讀了一本小說(shuō)，是關(guān)于一個(gè)女人獨(dú)自住在一間四面被沙丘環(huán)繞的房子里，只有一屋子的動(dòng)物相伴。在冬天狂風(fēng)大作的一個(gè)晚上，難以釋懷的孤獨(dú)感讓她崩潰，她吞下了自己四只寵物。這個(gè)關(guān)于孤獨(dú)、失落、沮喪的故事正是保拉?雷戈創(chuàng)作《狗女人》系列的源泉。

《理毛行?欏酚兇乓恍┕放?人放縱的性欲的特性，她正全神貫注地探尋著自己的身體。《睡覺者》在一個(gè)看不見的男人身旁打盹，他可能是狗女人注意力的焦點(diǎn)，因?yàn)樗谒膴A克上。這一系列作品復(fù)雜的敘述性情節(jié)被摒棄了，取而代之的是女性角色單獨(dú)或者成對(duì)出現(xiàn)，這些形象只有極少的背景以及很少道具，大面積虛空的背景給讀者留下了更多想象的空間。作品重點(diǎn)在于女人的肉體以及成熟的力量，她與保拉?雷戈之前的狗和女孩都有關(guān)聯(lián)。她把之前女孩的形象轉(zhuǎn)變成了一位變老的女人經(jīng)歷過(guò)的、自我覺察的性欲。

1995年保拉?雷戈受迪士尼《幻想曲里跳舞的鴕鳥》的啟發(fā)創(chuàng)作了一系列的彩色蠟筆畫《跳舞的鴕鳥》，畫中的女人們并不是真正的芭蕾舞女，而是一群老女人把自己打扮成年輕舞女，是對(duì)女人在她們生命中特定階段的夢(mèng)想和現(xiàn)實(shí)，青春和衰老的思考。

繼鴕鳥系列之后保拉?雷戈又創(chuàng)作了《白雪公主和七個(gè)小矮人》和《木偶奇遇記》兩系列作品。依然沿襲了鴕鳥系列的手法，在《白雪公主》系列作品里開始關(guān)注童話故事里的女人之間的關(guān)系――白雪公主和她的后媽之間的性的對(duì)抗。在她的《父親的戰(zhàn)利品》里我們看到的是一個(gè)女人正把一頭成年牡鹿的頭放在自己的兩腿之間，擺出了一種充滿了性挑釁的姿勢(shì)。白雪公主對(duì)她在這場(chǎng)性競(jìng)爭(zhēng)中的位置是非常的自信，小女孩在城堡里的家中，而她的后媽卻在背景的角落里跪著顯著格外的小。在《白雪公主和她的后媽》里，這兩個(gè)女人相對(duì)至高無(wú)上的權(quán)利顯得有些不明確，可能是后媽侍候著白雪公主穿衣打扮外出，或者是用一種屈辱的儀式檢查著內(nèi)衣。在《騎馬的白雪公主》中王子的馬上，她顯露出了勝利的喜悅。她擊敗了她的后媽，而她對(duì)父親的渴望已經(jīng)恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)變成了她與未來(lái)丈夫的愛。

和早期的動(dòng)物系列作品一樣《白雪公主》，這一系列的作品也是用一幅幅畫來(lái)展開劇情，并運(yùn)用特定的姿勢(shì)、道具來(lái)暗示和營(yíng)造氣氛。在這些作品里作者通過(guò)對(duì)童話故事里的女人之間關(guān)系的演繹來(lái)表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中女人之間的微妙關(guān)系，展現(xiàn)了一個(gè)家庭的女人們?yōu)榈玫侥腥说年P(guān)注引發(fā)的斗爭(zhēng)。女人們的這種竭力為得到父親、丈夫的認(rèn)可和關(guān)注都隱喻著一種俄狄浦斯情結(jié)，并映射到了現(xiàn)實(shí)生活。

（五）神父阿馬羅

葡萄牙作家埃薩?德?克羅茲1875年創(chuàng)作了小說(shuō)《神父阿馬羅的罪惡》。阿馬羅作為一名神職人員被派去一個(gè)小鎮(zhèn)，在那里他暫時(shí)與一位婦女和她女兒阿梅莉亞住在一起。他很快贏得了阿梅莉亞的愛情，他們秘密私通，但他與阿梅莉??的關(guān)系破裂而無(wú)法將小孩當(dāng)作是自己的，阿梅莉亞只能偷偷地到外地分娩，最后和孩子都在生產(chǎn)中死去。故事最后阿馬羅像他開頭那樣――孤獨(dú)，微不足道，但完全沒受過(guò)傷害。這則故事給保拉?雷戈提供了一個(gè)探索男人和女人之間公開和私密關(guān)系的嶄新方向。

在作品《女人們的陪伴》里，主人翁阿馬羅雖然是一個(gè)成人，卻把他描繪成一個(gè)小孩子的狀態(tài)，穿著女性的衣服，偎依在一位正在縫衣服的婦女的裙子下。這兩個(gè)縫紉的女人既是他童年的一個(gè)見證，同時(shí)也象征了阿梅莉亞和她的母親。這幅作品是對(duì)一個(gè)男人拒絕接受他自己生命的責(zé)任的探討，他追尋的僅僅是重新構(gòu)建童年的簡(jiǎn)單輕松?！独位\》把阿梅莉亞的監(jiān)禁、分娩和死亡在一幅畫中通過(guò)近中遠(yuǎn)的三個(gè)層次同時(shí)表現(xiàn)了出來(lái)，并且在畫中運(yùn)用道具來(lái)烘托畫面的氣氛，隱喻故事的結(jié)局。畫面中心坐著一個(gè)懷孕的女人，放在兩腿上的小玩偶象征著即將誕生的生命，在她旁邊，是一個(gè)沒有懷孕的女人，作者把她描繪成她前段時(shí)間的化身，坐著，滿懷憧憬。在背景里，第三個(gè)女人比之前第一個(gè)要老，在幫助一個(gè)年輕的姑娘上床或是下床。懸掛的公雞和鴿子隱喻某種怪誕的儀式，畫面中間小的玩偶隱喻著一場(chǎng)悲劇?！短焓埂肥沁@系列最后一幅作品，同是守護(hù)和復(fù)仇天使，她一手握著劍一手握著海綿勇敢地面對(duì)著觀眾。她以毫不妥協(xié)的堅(jiān)定揮動(dòng)耶穌受難時(shí)使用的工具，挑戰(zhàn)阻擾她實(shí)現(xiàn)秘密目的的所有來(lái)者。

整一系列作品中，從阿馬羅的出現(xiàn)到消失，從阿梅莉亞肚子的守望到手持利劍與海綿的絕望與抗?fàn)?，保?雷戈通過(guò)一系列劇情的發(fā)展描寫男人的軟弱的側(cè)面來(lái)表現(xiàn)女人的性別給她們帶來(lái)種種不幸的同時(shí)又具有獨(dú)特的應(yīng)對(duì)因她們性別所帶來(lái)的不期望結(jié)果的能力，這才是阿馬羅系列作品的真正主題。

1998年墮胎在葡萄牙仍然是不合法的，只有在例外的情況下才能實(shí)施。全民投票試圖改變這項(xiàng)法律，但是大多數(shù)人并沒有去投票，因此這項(xiàng)法律繼續(xù)保留了。保拉?雷戈被這則消息激怒了，她畫了一系列以流產(chǎn)為主題的素描、粉彩和油畫。這個(gè)系列叫做《未命名》，描繪了各類型的女人，從女學(xué)生到社會(huì)婦女，不是在為墮胎準(zhǔn)備，就是在處理著墮胎的后事。在這些作品中她們衣衫襤褸，或在松弛的沙發(fā)上，或在塑料水桶上一個(gè)人在等待，她的雙腳支撐在一張折疊的椅子上像是要生產(chǎn)，有些蜷縮著，有些是蹲坐著，滿臉叛逆不屑瞪著畫外的觀眾。正如她的狗女人系列作品，她們獨(dú)自勇敢地面對(duì)自己的性別。

（六）繼荷加斯和《塞萊斯蒂納的家》后

在2000年英國(guó)泰特美術(shù)館在它的慶典圖冊(cè)的序言中寫道：邀請(qǐng)當(dāng)今24位著名藝術(shù)家與歷史上最偉大的藝術(shù)家對(duì)話。美術(shù)館希望展現(xiàn)它的藏品與當(dāng)代藝術(shù)和藝術(shù)

家一直都保持著某種關(guān)聯(lián)。每位藝術(shù)家被請(qǐng)去挑選一幅藏畫去重新創(chuàng)作。保拉?雷戈選擇了荷加斯的1743年的《文明婚姻》，她想這可能將是把她長(zhǎng)期感興趣的諷刺油畫和她最近研究的荒誕的可能性結(jié)合起來(lái)的一個(gè)時(shí)刻。

保拉?雷戈更新了三聯(lián)畫的傳統(tǒng)功能，她把故事的情節(jié)集中在外部的兩個(gè)畫面，中間的畫面就像個(gè)支點(diǎn)或是樞紐。左邊的畫面，《訂婚》是最忠于荷加斯的原畫，它描繪了兩場(chǎng)引發(fā)隨后一系列悲劇的交易。這次婚姻是由女人們主持的，一位上流中產(chǎn)階級(jí)女人不舒服地坐在椅子的扶手上，鄙視地看著她暴發(fā)的前任女仆，在女仆后面蜷縮著她驚慌失措的兒子。兩個(gè)女人正在進(jìn)行著某種可能是無(wú)聲的談判。每個(gè)人散亂的目光讓整幅畫失去平衡。

《訂婚》表現(xiàn)了各式情感，他們都處于一種病態(tài)的狀態(tài)。白裙子女孩對(duì)這個(gè)世界仍然很無(wú)知，充滿暗示地用腳愛撫著她的狗，眼神落在父親身上，而她的父親正從鏡子里的一個(gè)安全角落注視著這場(chǎng)賣女兒的交易。男孩畏縮著躲在他母親的身后。它不但與主要情節(jié)有著象征性聯(lián)系，也一種預(yù)敘，預(yù)示著后來(lái)的結(jié)局。

三聯(lián)畫中右手邊的畫《海難》，把情節(jié)帶到了我們剛看到的談判婚姻三十年后的結(jié)果，作者把主人公設(shè)置在一場(chǎng)海上暴風(fēng)雨中并罹難。那男人躺在女人的懷里，衣箱里空空如也。他的妻子坐在和我們?cè)凇队喕椤防锏谝淮慰吹剿€是小女孩時(shí)的同一張椅子上，并擺出類似的姿勢(shì)把丈夫抱在腿上。其他的東西歪歪扭扭，唯一固定的是她堅(jiān)定的眼神。

三聯(lián)畫中間的《課程》一位母親，是成熟而自信的典范，帶著像頭盔一樣的干發(fā)器，它雙重指向了在性戰(zhàn)爭(zhēng)中的護(hù)甲以及選擇的武器，教育著她的年輕女兒這個(gè)世界的規(guī)則。女兒抬頭看著她，對(duì)母親的經(jīng)歷充滿敬佩之情，渴望從母親寬大的背包里有所收獲。整個(gè)三聯(lián)畫作者應(yīng)用時(shí)空并置的敘事策略，通過(guò)把三十年時(shí)間和空間進(jìn)行壓縮來(lái)講述一個(gè)為了權(quán)錢交易的被包辦的婚姻，但是這場(chǎng)鬧劇的主持者，或者說(shuō)對(duì)這對(duì)年輕人命運(yùn)的操縱者卻是女人，而男人只放在了一個(gè)沒有權(quán)利的旁觀者的位置。保拉?雷戈在這幅畫里徹底顛覆了男人的形象向我們展現(xiàn)了女人的控制欲以及對(duì)權(quán)利的向往。

在2000年的《抽搐》中，坐在巨大椅子上的女人畏畏縮縮，正試圖斷絕與躺在地上母親的關(guān)系。因?yàn)樗粗约旱哪赣H就像看到她未來(lái)衰老的自己，而那位老婦女，她抓住椅子的腿，努力掙扎著要重新獲得女兒的注視。她向女兒伸出手，想要把女兒帶到她將要去的地方。畫家運(yùn)用戲劇性的場(chǎng)景把這時(shí)間定格在女性充滿對(duì)衰老、死亡的恐懼，對(duì)青春的向往與嫉妒的一瞬間。

以上通過(guò)對(duì)寶拉?雷戈幾個(gè)藝術(shù)階段的分析，得出她的作品都是通過(guò)戲劇性的場(chǎng)景、敘事性的口吻來(lái)表達(dá)一個(gè)畫家眼中生活、人性的隱秘部分，她以女性特有細(xì)膩與敏銳的眼光向我們展示潛藏在表象之后被人忽視的部分。從早期的抽象作品到成熟時(shí)期具象人物場(chǎng)景，通過(guò)對(duì)她各個(gè)階段作品的風(fēng)格分析向我們展示了一位藝術(shù)家藝術(shù)實(shí)踐中思想表達(dá)和語(yǔ)言載體相互結(jié)合的案例，而藝術(shù)家本人的獨(dú)特視角也為廣大的藝術(shù)創(chuàng)作者提供了一個(gè)全新的啟示。

作者單位：

廣東職業(yè)技術(shù)學(xué)院藝術(shù)設(shè)計(jì)系

第二篇：拉格朗日插值多項(xiàng)式與泰勒多項(xiàng)式的誤差分析詳全文

i.拉格朗日插值多項(xiàng)

ii.式與泰勒多項(xiàng)式的誤差分析 iii.朱亮儒 曾政清 陳昭地 iv.國(guó)立臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系教授 v.臺(tái)北市立建國(guó)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教師 vi.vii.摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項(xiàng)式與泰勒多項(xiàng)式誤差項(xiàng)估計(jì)值的初等簡(jiǎn)易證明，並探討其應(yīng)用價(jià)值。

viii.關(guān)鍵字：拉格朗日插值多項(xiàng)式、泰勒多項(xiàng)式、誤差項(xiàng) ix.一 引言

x.有鑑於教育部99普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課綱在第一冊(cè)多項(xiàng)式的運(yùn)算為迴避解三元一次方程組，首次出現(xiàn)插值多項(xiàng)式及其應(yīng)用(以不超過(guò)三次插值多項(xiàng)式為限)（[1][2][3]），99數(shù)學(xué)課綱包含插值多項(xiàng)式部分如下： xi.求

xii.f(x)?2x?5x?6x?3

xiii.?a?b(x?1)?c(x?1)(x?2)?d(x?1)(x?2)(x?3)xiv.中的a, b, c, d.32☆★

★

☆

★xv.f(x)除以(x?a)(x?b)的餘式為通過(guò)?a,f(a)?,?b,f(b)?的插值多項(xiàng)式。

xvi.若f有a,b兩實(shí)根，則f可寫成f(x)?q(x)(x?a)(x?b)的型式。xvii.透過(guò)因式定理證明插值多項(xiàng)式的唯一性。xviii.設(shè)通過(guò)(1,1),(2,3),(3,7)的多項(xiàng)式為

?1?f(x)?a?b(x?1)?c(x?1)(x?2)，求a,b,c及f??.?2?xix.插值多項(xiàng)式：通過(guò)(11,3),(12,5),(13,8)的多項(xiàng)式可表示為 xx.f(x)?3?，(x?12)(x?13)(x?11)(x?13)(x?11)(x?12)?5??8?(11?12)(11?13)(12?11)(12?13)(13?11)(13?12)xxi.求f(11.5)的值。

xxii.此處暫不處理下面的題型：「設(shè)通過(guò)(1, 1),(2, 3),(3, 7)的多項(xiàng)式為f(x)?a?bx?cx2,求a,b,c?！勾祟愵}型將在數(shù)學(xué)的IV的聯(lián)立方程組章節(jié)中處理。

xxiii.此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J.L., 1736-1816)其人奇事，羅列如下：

xxiv.他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數(shù)學(xué)天分，於18歲開始撰寫數(shù)學(xué)論文，在數(shù)論上曾提出一個(gè)著名的定理：「任意正整數(shù)都可以表成四個(gè)平方數(shù)的和」。

xxv.他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數(shù)學(xué)家。(均值定理在高三選修甲微分的單元中會(huì)學(xué)到（[4]），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理)xxvi.他在30歲時(shí)，應(yīng)腓特烈二世的邀請(qǐng)到柏林作為其宮廷數(shù)學(xué)大師長(zhǎng)達(dá)20年之久。xxvii.之後接受法國(guó)的邀請(qǐng)，到巴黎擔(dān)任法國(guó)科學(xué)院院士，拿破崙（1769-1821, 1804-1815擔(dān)任法皇）讚譽(yù)他為「數(shù)學(xué)科學(xué)的巍峨金字塔」

xxviii.泰勒定理有拉格朗日誤差的公式（存在性）。xxix.拉格朗日恆等式：

2?n??n2??n2?1nxxx.??aibi????ai???bi????ajbk?akbj?，?i?1??i?1??i?1?2j,k?12??xxxi.a?b???2??a2?2??2b?a?b，???????????????xxxii.a?b?c?d?a?cb?d?a?db?c.???????????xxxiii.具有附加條件的多變數(shù)實(shí)函數(shù)極值拉格朗日乘子定理。xxxiv.最得意的巨著《分析力學(xué)》。

xxxv.拉格朗日差值誤差公式（[5]）：若x1,x2,?,xn,xn?1為[a,b]區(qū)間中相異實(shí)數(shù)，且f?Cn?1[a,b],則對(duì)每一個(gè)x?[a,b]，存在c(x)?(a,b),使得

xxxvi.f(x)?P(x)?Rn(x), xxxvii.其中P(x)為函數(shù)f(x)在x1, x2, ?, xn, xn?1的n階拉格朗日插值多項(xiàng)

f(n?1)?c(x)?xxxviii.式，而Rn(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)為其插值誤差式。

(n?1)!3 xxxix.美國(guó)早期數(shù)學(xué)家泰勒(Taylor, B, 1685-1731)在1715年出版的研究報(bào)告中，曾對(duì)多項(xiàng)式近似超越函數(shù)有精準(zhǔn)的描述。當(dāng)時(shí)他提出的泰勒級(jí)數(shù)展開式雖然符合時(shí)代的需求，但並未涉及收斂性的問(wèn)題，有關(guān)餘式則是之後由拉格朗日所提供(稱為：拉格朗日餘式型)；而柯西(Cauchy, A.L., 1789-1857)在此之後又提供了兩個(gè)餘式型，分別稱為：柯西餘式型與柯西積分餘式型([6],[7],[8],[9])。本文即欲介紹這些餘式型誤差項(xiàng)的初等證明及一些相關(guān)應(yīng)用。

xl.二 拉格朗日插值多項(xiàng)式誤差項(xiàng)估計(jì) xli.首先，重述一遍定理：

xlii.定理1.〔拉格朗日插值多項(xiàng)式誤差估計(jì)〕([5])

n?1xliii.設(shè)x1, x2, ?, xn?1為區(qū)間[a,b]上的(n?1)相異實(shí)數(shù)，f?C[a,b](即f(n?1)在[a,b]上連續(xù))，則對(duì)每一x?[a,b]，存在c(x)?(a,b)使得

xliv.f(x)?P(x)?Rn(x)

xlv.其中P(x)為函數(shù)f在點(diǎn)x1,x2,?,xn?1的n階拉格朗日多項(xiàng)式，而

f(n?1)?c(x)?xlvi.Rn(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)為插值多項(xiàng)式的誤差

(n?1)!式。

xlvii.證明：當(dāng)x?xk時(shí)，f(xk)?P(xk)，此時(shí)可任取c(x)?(a,b)都成立。

xlviii.當(dāng)x?xk,?k?1, 2, ?, n, n?1時(shí)，設(shè)g:[a, b]??定義成

xlix.g(t)?f(t)?P(t)??f(x)?P(x)?4

(t?x1)(t?x2)?(t?xn?1)

(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)則g?Cl.n?1[a, b]，且g(x)?g(xk)?0,?k?1, 2, ?, n, n?1，逐次利用Rolle定理知存在c(x)?(a, b)使得g(n?1)?c(x)??0。又對(duì)任意t?(a, b)，g(n?1)(t)?f(n?1)(t)?P(n?1)(t)??f(x)?P(x)?

li.且P(n?1)?c(x)??0，於是可得

(n?1)!(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)f(n?1)?c(x)?lii.f(x)?P(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)

(n?1)!f(n?1)?c(x)?liii.即Rn(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)。

(n?1)!liv.由定理1可以得到下面的推論： lv.推論1-1：

lvi.(1)當(dāng)f?Cn?1[a, b]時(shí)，f(n?1)(t)在[a, b]上連續(xù)，故有一Mn?1使

(n?1)lvii.Mn?1?maxfa?t?b(t)，故Rn(x)?Mn?1(x?x1)(x?x2)???(x?xn?1)。

(n?1)!lviii.(2)當(dāng)f(x)一開始就是k次的多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，則對(duì)[a,b]內(nèi)任一大於或等於 lix.k階以上的拉格朗日多項(xiàng)式就是函數(shù)f(x)本身。

lx.在數(shù)值分析中，拉格朗日插值多項(xiàng)式誤差公式具有關(guān)鍵性的角色。lxi.三 泰勒定理 lxii.利用完全平行於定理1的證明方法，我們可用來(lái)證明拉格朗日餘式型的泰勒定理，其定理與證法如下：

lxiii.定理2.〔泰勒定理(拉格朗日餘式型)〕：

lxiv.設(shè)x0?(a, b)，f?C得

n?1[a, b]，則對(duì)每一x?[a, b]存在c(x)?(a,b)使lxv.f(x)?Pn(x)?Rn(x)，nlxvi.其中，Pn(x)??k?0f(k)(x0)(x?x0)k為f(x)在x0點(diǎn)的n階泰勒多項(xiàng)式，k!f(n?1)?c(x)?lxvii.Rn(x)?(x?x0)n?1為f(x)用Pn(x)表示的誤差項(xiàng)。

(n?1)!lxviii.證法(一)(完全平行於定理1)如下： 當(dāng)x?x時(shí)，可任取c(x)為(a,b)內(nèi)的任一數(shù)都成立。lxix.○02 當(dāng)x?x時(shí)，設(shè)g(t):[a,b]??定義成 lxx.○0(t?x0)n?1lxxi.g(t)?f(t)?P, n(t)??f(x)?Pn(x)?n?1(x?x0)lxxii.則g?Cn?1[a,b]且g(x)?g(x0)?g?(x0)???g(n)(x0)，lxxiii.逐次用Rolle定理知存在c(x)?(a,b)使得g(n?1)?c(x)??0。

lxxiv.又對(duì)任意t?(a,b)，lxxv.g(n?1)(t)?f(n?1)(t)?Pn(n?1)(t)??f(x)?Pn(x)?6

(n?1)!

(x?x0)n?1(n?1)lxxvi.且P?c(x)??0，於是可得 nf(n?1)?c(x)?lxxvii.f(x)?P(x?x0)n?1?Rn(x)。n(x)?(n?1)!lxxviii.證法(二)([6][8])： lxxix.設(shè)實(shí)數(shù)Q滿足

lxxx.??(x?x0)n?1f(x0)f(n)(x0)Q?f(x)??f(x0)?(x?x0)???(x?x0)n?(n?1)!1!n!??

lxxxi.並設(shè)函數(shù)?:[a,b]??定義成

??f?(t)f(n)(t)Qlxxxii.?(t)?f(x)??f(t)?(x?t)???(x?t)n?(x?t)n?1?1!n!(n?1)!??

lxxxiii.依f,f?,?,f(n)之假設(shè)知?:[a,b]??為連續(xù)且在(a,b)內(nèi)可微分，顯然?(x)?0且由實(shí)數(shù)Q之定義知?(x0)?0；於是由Rolle定理知x,x0之間有一c(x)使得???c(x)??0。但

?f??(t)f(n)(t)f(n)(t)n?1lxxxiv.??(t)???f?(t)?f?(t)?(x?t)???(x?t)?(x?t)n?11!(n?1)!(n?1)!?

f(n?1)(t)QQ?f(n?1)(t)nn?(x?t)?(x?t)??(x?t)n，lxxxv.?n!n!n!?7 lxxxvi.於是，由???c(x)??0得Q?f(n?1)?c(x)?，故知

f(n?1)?c(x)?Rn(x)?(x?x0)n?1，得證。

(n?1)!lxxxvii.同樣地，由定理2我們可以得到如下的推論。lxxxviii.推論1-2：

lxxxix.(1)當(dāng)f?Cn?1[a,b]時(shí)，f(n?1)(t)在[a,b]上連續(xù)，故有一Mn?1使

Mn?1n?1x?x0。

(n?1)!xc.Mn?1?maxfa?t?b(n?1)(t)，故Rn(x)?(n?1)xci.(2)當(dāng)f(x)是k次的多項(xiàng)式時(shí)，由f(x)?0,?x?(a,b)，故知f(x)的

xcii.任一大於或等於k階的泰勒多項(xiàng)式就是函數(shù)f(x)本身。xciii.定理2.可用來(lái)證明下列的冪級(jí)數(shù)表示超越函數(shù)的漂亮結(jié)果：

xnxciv.(1)e??,x??

n?0n!x?(?1)n2n?1xcv.(2)sinx??x,x??

(2n?1)!n?0?(?1)n2nxcvi.(3)cosx?1??x,x??

(2n)!n?1?xcvii.定理3〔泰勒定理（柯西餘式型）〕：

xcviii.設(shè)x0?(a,b),f?Cn?1[a,b]，則對(duì)每一x?[a,b]存在0???1使得

xcix.f(x)?Pn(x)?Rn(x)，c.其中，Pn(x)??k?0nf(k)(x0)(x?x0)k為f(x)在x0點(diǎn)的n階泰勒多項(xiàng)式，k!f(n?1)?(1??)x0??x?(x?x0)n?1為誤差項(xiàng) ci.Rn(x)?(1??)n!ncii.證明：（底下的證明完全平行於定理2的證法(二)）ciii.設(shè)實(shí)數(shù)q滿足

??(x?x0)f?(x0)f(n)(x0)civ.q?f(x)??f(x0)?(x?x0)???(x?x0)n?n!1!n!??，cv.並設(shè)函數(shù)?:[a,b]??定義成

??f?(t)f(n)(t)qcvi.?(t)?f(x)??f(t)?(x?t)???(x?t)n?(x?t)?，1!n!n!??cvii.則?:[a,b]??為連續(xù)且在(a,b)內(nèi)可微分。

cviii.顯然?(x)?0，且由實(shí)數(shù)q之定義知?(x0)?0，於是由Rolle定理知

cix.x,x0之間有一c(x)?(1??)x0??x(0???1)使得???c(x)??0。

?f?(t)f(n)(t)cx.但??(t)???f?(t)?f?(t)?(x?t)???(x?t)n?1

1!(n?1)!?cxi.f(n)(t)f(n?1)(t)q?q?f(n?1)(t)(x?t)nn?1n?(x?t)?(x?t)???.(n?1)!n!n!?n!cxii.於是，由???c(x)??0得

cxiii.q?f(n?1)?c(x)??x?c(x)?nn?f(n?1)??1???x0??x??1????x?x0?，nnf(n?1)?(1??)x0??x?(x?x0)n?1，得證。cxiv.故知Rn(x)?(1??)n!cxv.定理4〔泰勒定理(柯西積分餘式型)〕

cxvi.設(shè)x0?(a,b),f?Cn?1[a,b]，則對(duì)每一x?[a,b]

cxvii.f(x)?Pn(x)?Rn(x)

………(＊)

cxviii.其中，Rn(x)?1x(n?1)nf(t)(x?t)dt ?x0n!cxix.證明：利用微積分基本定理，xcxx.f(x)?f(x0)??f?(t)dtx0

cxxi.再由分部積分法，得

xxcxxii.?x0f?(t)dt???f?(t)x0d(x?t)dtdt

xcxxiii.??f?(t)(x?t)x?0?xx0f??(t)(x?t)dt

cxxiv.?f?(x0)(x?x0)??xx0f??(t)(x?t)dt.cxxv.故知n?1時(shí)，公式(＊)成立。

cxxvi.利用數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)1?k?n?1,(＊)在n?k成立，而

1x(k?1)kf(t)(x?t)dt?x0cxxvii.k!

?1x(k?1)?dt

f(t)?(x?t)k?1?cxxviii.????(k?1)!x010 cxxix.?x11(k?2)k?1f(k?1)(x0)(x?x0)k?1?f(t)(x?t)dt ?x0(k?1)!(k?1)!cxxx.於是(＊)在n?k?1時(shí)亦成立，得證。cxxxi.事實(shí)上，由定理4之

1x(n?1)Rn(x)??f(t)(x?t)ndtn!x0cxxxii.cxxxiii.利用連續(xù)函數(shù)f(n?1)(t)(x?t)n之積分均值定理知有一??(0,1)使得

cxxxiv.? xx0f(n?1)(t)(x?t)dt?fn?(n?1)?(1??)x0??x??x??(1??)x0??x??n?(x?x)0?f(n?1)?(1??)x0??x??x?x0?cxxxv.n?1?1???n。

(1??)nf(n?1)?(1??)x0??x?cxxxvi.即Rn(x)?(x?x0)n?1，故知定理3的「柯

n!西餘式型的泰勒定理」為「柯西積分餘式型」的直接結(jié)果。甚至，再利用下面的引理(一般化的積分均值定理)：

cxxxvii.引理：

cxxxviii.設(shè)g,h:[a,b]??都是連續(xù)，且h(x)?0對(duì)每一x?[a, b]，則存在一點(diǎn)c?(a,b)使得

bbcxxxix.?ah(x)g(x)dx?g(c)?h(x)dx.acxl.可推得拉格朗日餘式型的泰勒氏定理(不妨設(shè)x?x0)：

1x(n?1)(t)(x?t)ndt cxli.Rn(x)??fn!x011

x1(n?1)fcxlii.??c(x)??x0(x?t)ndt(x0?c(x)?x)n!cxliii.?1(n?1)f?c(x)?n!?(x?t)n?1??n?1xx0

f(n?1)?c(x)?cxliv.?(x?x0)n?1.(n?1)!cxlv.四 結(jié)論

cxlvi.本文最後主要的結(jié)論如下：

cxlvii.一、拉格朗日不但提供了他本身的插值多項(xiàng)式誤差項(xiàng)的初等令人深刻印象的證法，也同時(shí)解決了拉格朗日餘式型的泰勒多項(xiàng)式誤差項(xiàng)的公式，手法值得讚賞，並可輕易以多項(xiàng)式函數(shù)逼近超越函數(shù)。

cxlviii.二、拉格朗日餘式型的泰勒定理，可以推廣到多變數(shù)實(shí)函數(shù)的泰勒定理([7])。

cxlix.三、拉格朗日餘式型的泰勒定理有三種證法，而柯西餘式型的泰勒定理也有兩種

cl.證法，都是在寫這篇文章的意外收穫。

cli.四、柯西餘式型和柯西積分餘式型的泰勒定理，形式證明也都很初等，它對(duì)於牛頓的二項(xiàng)級(jí)數(shù)(1?x)?????k???x,?1?x?1(?為任意實(shí)數(shù))的正確k?0?k??性提供了拉格朗日餘式型無(wú)法單獨(dú)承擔(dān)的完整證明([6],[7],[8])。clii.在拉格朗日插值多項(xiàng)式被引入高中數(shù)學(xué)課綱([3])，加之以拉格朗日的均值定理([4])，甚至一般化的超廣義均值定理~拉格朗日餘式型泰勒定理也將是選修 cliii.微積分([2])必然會(huì)接觸到的問(wèn)題。它提供了e,sinx,cosx等初等超越函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)表示，大大拓展了多項(xiàng)式微積分的應(yīng)用範(fàn)疇，值得學(xué)習(xí)。cliv.五 參考資料

clv.1.教育部(民98)。普通高級(jí)中學(xué)必修科目「數(shù)學(xué)」課程綱要。clvi.2.教育部(民98)。普通高級(jí)中學(xué)選修科目「數(shù)學(xué)」課程綱要。

clvii.3.李虎雄、陳昭地、朱亮儒等(民99)。普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)第一冊(cè)，康熹文化事業(yè)股份有限公司出版。

clviii.4.李虎雄、陳昭地、朱亮儒等(民99)。高中選修數(shù)學(xué)(II)，康熹文化事業(yè)股份有限公司出版。

clix.5.朱亮儒、陳材河(民99年7月9日)，「99課程中的Lagrange插值多項(xiàng)式」電子報(bào)?？?，高中數(shù)學(xué)電子報(bào)第47期。

clx.6.陳昭地、顏啟麟(民67)。數(shù)學(xué)分析，汝旭圖書公司印行。

clxi.7.張幼賢、陳火炎、陳昭地(民100年4月)。二項(xiàng)級(jí)數(shù)之教學(xué)研究，教育部高中數(shù)學(xué)學(xué)科中心電子報(bào)54期，http://mathcenter.ck.tp.edu.tw clxii.8.Bartle, R.G.(1978).The elements of real analysis(2nd.Ed.)，中央圖書出版社代印行。

clxiii.9.Fitzpatrick, P.M.(1995), Advanced Calculus, PWS Publishing Company.clxiv.x13