第一篇：各種圓定理總結(jié)

費(fèi)爾巴赫定理

費(fèi)爾巴赫定理 三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切，而與旁切圓外切。

此定理由德國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。費(fèi)爾巴赫定理的證明

在不等邊△ABC中,設(shè)O,H,I,Q,Ia分別表示△ABC的外心，垂心，內(nèi)心，九點(diǎn)圓心和∠A所對(duì)的旁切圓圓心.s,R,r,ra分別表示△ABC的半周長，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑和∠A所對(duì)的旁切圓半徑,BC=a,CA=b,AB=c.易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2;AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r).∵九點(diǎn)圓心在線段HO的中點(diǎn), ∴在△HIO中，由中線公式可求得.4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2.又△ABC的九點(diǎn)圓半徑為R/2, 所以九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓的圓心距為 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.因此 三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切。在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra).在△HIaO中，由中線公式可求得.4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2 故IaQ=(R+2ra)/2.九點(diǎn)圓與∠A的旁切圓的圓心距為 d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.故三角形的九點(diǎn)圓與∠A的旁切圓外切。因此 三角形的九點(diǎn)圓與旁切圓外切

托勒密定理

一些圓定理.doc定理圖

定理的內(nèi)容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．

定理的提出

一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。

證明

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因?yàn)椤鰽BE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因?yàn)锽E+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”）

所以命題得證

復(fù)數(shù)證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a ? b)(c ? d)+(a ? d)(b ? c)=(a ? c)(b ? d)，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。

三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．

證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。

簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

注意：

1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。

2.四點(diǎn)不限于同一平面。

歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD·BC+AB·CD=AC·BD

塞瓦定理

簡介

塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。

具體內(nèi)容

塞瓦定理

在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。

可用塞瓦定理證明的其他定理;

三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn)

此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=-1）

塞瓦定理推論

1.設(shè)E是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1

所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

2.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面積公式易證

3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：

(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。

4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn)

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。

梅涅勞斯定理

梅涅勞斯定理證明

梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=

證明一：

過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G，則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

證明二：

過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。

梅涅勞斯(Menelaus)定理

證明三：

過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

證明四：

連接BF。

（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)

=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）

=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）

=1

此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點(diǎn)共線的充要條件是λμν=1。

第一角元形式的梅涅勞斯定理

如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1

即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積

該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用

第二角元形式的梅涅勞斯定理

在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合)

記憶

ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn)

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1

空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1

實(shí)際應(yīng)用

為了說明問題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。

我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。

例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。

另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。

從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明：

方案 ① ——從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。

按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式：

（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：

方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：

（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：

（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案：

方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：

（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。

值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。

不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。

還可以從逆時(shí)針來看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1.現(xiàn)在是否可以說，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。

西姆松定理

西姆松定理圖示

西姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。

西姆松定理說明

相關(guān)的結(jié)果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

（2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。

（3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。

（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

證明

證明一： △ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF.易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角）且∠PDE=∠PCE

② 而∠ACP+∠PCE=180°

③ ∴∠FDP+∠PDE=180°

④ 即F、D、E共線.反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.證明二： 如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有

∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。

若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有

∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三點(diǎn)共線。

相關(guān)性質(zhì)的證明

連AH延長線交圓于G，連PG交西姆松線與R,BC于Q

如圖連其他相關(guān)線段

AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2

A.G.C.P共圓==>∠2=∠3

PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圓==>∠3=∠4

==>∠1=∠4

PF⊥BC

==>PR=RQ

BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6

A.B.G.C共圓==>∠6=∠7

==>∠5=∠7

AG⊥BC==>BC垂直平分GH

==>∠8=∠2=∠4

∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10

==>HQ//DF

==>PM=MH

第二個(gè)問，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。

則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。

那么三角形XYZ的外心 O1，也在同一直線上，并且

HG/GO=GO/GO1=2，所以O(shè)1是OH的中點(diǎn)。

三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2

所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點(diǎn)圓)的“反”位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),H 是“正”位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊)...所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形DEF的外接圓上....圓冪定理

圓冪定理

圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。

定義

圓冪=PO^2-R^2|

所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。

進(jìn)一步升華（推論）

過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2|（要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）

若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于A、B，那么PA·PB等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來）

證明

圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理）

問題1

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。

證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。

∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD

問題2

割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA^2=PC·PD

證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)

幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線

∴PT^2=PA·PB（切割線定理）

推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等

幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線

∴PD·PC=PA·PB（切割線定理推論）

問題3

過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PA·PB為定值（圓冪定理）。

證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為

(x-xO)^2+(y-yO)^2=a①

過P的直線為

x=k1t

y=k2t

則A、B的橫坐標(biāo)是方程

(k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2

即

(k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0

的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理

t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2)

于是

PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2)

=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2|

=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)|

=|(xO^2+yO^2-r^2)|

為定值，證畢。

圓①也可以寫成

x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′

其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。

這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。

在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。

如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓①的冪（即OP^2-r^2），我們可以設(shè)直線AB的方程為

②

③

是 的傾斜角，表示直線上的點(diǎn)與 的距離．

將②③代入①得

即，是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理

④

是定值

④是 關(guān)于①的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是）．它也可以寫成

④′

即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方．

當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長的平方。

以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用．

問題4

自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于、兩點(diǎn)，又作切線、，、為切點(diǎn)，與 相交于，如圖８．求證、、成調(diào)和數(shù)列，即

證：設(shè)圓的方程為

⑤

點(diǎn) 的坐標(biāo)為，的參數(shù)方程為

⑥

⑦

其中 是 的傾斜角，表示直線上的點(diǎn) 與 的距離．

⑥⑦代入⑤得

即、是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理

⑧

另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論，的方程為

⑦⑧代入得

因此，這個(gè)方程的根 滿足

⑨

綜合⑧⑨，結(jié)論成立。

可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。

說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題

1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。

四點(diǎn)共圓

四點(diǎn)共圓-圖釋

如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）同弧所對(duì)的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。

四點(diǎn)共圓

證明四點(diǎn)共圓的基本方法

證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：

方法1

從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2

把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）

方法3

把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法4

把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)

方法5

證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π,并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

如四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB和DC交至E，過點(diǎn)E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對(duì)的圓周角相等）。

角CBE=角ADE（外角等于內(nèi)對(duì)角）

△ABP∽△DCP（三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

四點(diǎn)共圓的圖片

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

證明四點(diǎn)共圓的原理

四點(diǎn)共圓

證明四點(diǎn)共圓基本方法：

方法1

把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．

方法2

把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

四點(diǎn)共圓的判定是以四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明的。

四點(diǎn)共圓的定理：

四點(diǎn)共圓的判定定理：

方法1 把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．

（可以說成：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那末這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）

方法2 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．

（可以說成：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。那么這四點(diǎn)共圓）

反證法證明

現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。那末這四點(diǎn)共圓”證明如下（其它畫個(gè)證明圖如后）

已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π

求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓）

證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，剛C在圓外或圓內(nèi)，若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。

第二篇：圓的定理及其證明

圓周角定理

內(nèi)容：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。證明：

情況1：

如圖1，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)：

圖1

∵OA、OC是半徑 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等）∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情況2：

如圖2,，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)： 連接AO，并延長AO交⊙O于D

圖2

∵OA、OB、OC是半徑 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情況3：

如圖3，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)：

圖3

連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OC,OB。解：∵OA、OB、OC、是半徑 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圓心角等于180度的情況呢？

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，顯然因?yàn)椤螼CA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圓心角大于180度的情況呢？

看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，只要延長CO交園于點(diǎn)D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度 根據(jù)情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根據(jù)情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情況2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

切線長定理

內(nèi)容：切線長定理，是初等平面幾何的一個(gè)定理。在圓中，在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段叫做這點(diǎn)到圓的切線長。它指出，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。證明：

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

弦切角定理

內(nèi)容：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。證明：

分三種情況

：

（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA為半圓, ∴弧CmA的度數(shù)為180° ∵AB為圓的切線 ∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半（2）圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上取一點(diǎn)

E，連接EC、ED、EA。則 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圓O的直徑 ∴∠DEA=90° ∵AB為圓的切線 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度數(shù)等于弧CmA的度數(shù)的一半

∴弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半

（3）圓心O在∠BAC的外部 過A作直徑AD交⊙O于D，連接CD ∵AD是圓的直徑 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圓O的切線 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度數(shù)等于弧CmA的度數(shù)的一半。

∴弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

切割線定理

內(nèi)容：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線時(shí)，切線與割線之間的關(guān)系。這是一個(gè)重要的定理，在解題中經(jīng)常用到。

推論： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。證明：

設(shè)ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為T，則PT2=PA·PB。

圖1

證明：連接AT，BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP； 即：PT2=PB·PA。

垂徑定理

內(nèi)容：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。證明：

如圖，在⊙O中，DC為直徑，AB是弦，AB⊥DC于點(diǎn)E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 連接OA、OB分別交⊙O于點(diǎn)A、點(diǎn)B ∵OA、OB是⊙O的半徑 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC

第三篇：圓冪定理及其證明

圓冪定理

圓冪的定義:一點(diǎn)P對(duì)半徑R的圓O的冪定義如下：OP?R

所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統(tǒng)稱。

（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

DA22PC

如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPD??AP?BP?PC?PD PCBP（2）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

TPAB

如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPA??PT2?PA?PB PBPT（3）割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

這個(gè)證明就比較簡單了。可以過P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：PA?PB?PC?PD 進(jìn)一步升華（推論）：

過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則

PC?PD?(PO?R)?(PO?R)?PO2?R2?|PO2?R2|（一定要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）

若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為R2?PO2?|PO2?R2|

故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕 對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來）

第四篇：4個(gè)圓冪定理及其證明

相交弦定理

如圖,⊙P中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,則AP·BP=CP·PD

證明：

連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A＝∠D，∠C＝∠B?！唷鱌AC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作為證明圓的內(nèi)接三角形的方法.切割線定理

如圖，ABT是⊙O的一條割線，TC是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為則TC2=TA·TB

證明：連接AC、BC

∵弦切角∠TCB對(duì)弧BC，圓周角∠A對(duì)弧BC

∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A

又∠ATC=∠BTC

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT

弦切角定義：

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：

弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.定義弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明

證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點(diǎn)A作TP的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

切線長定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。

如圖中，切線長AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半徑

AO=AO公共邊

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

割線定理

如圖，直線ABP和CDT是自點(diǎn)P引的⊙O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD 證明:連接AD、BC

∵∠A和∠C都對(duì)弧BD

∴由圓周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圓冪定理

圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。

第五篇：圓的有關(guān)證明相關(guān)定理

平面幾何證明相關(guān)定理、題型及條件的聯(lián)想

一、平面幾何證明相關(guān)定理

1、平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段相等.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3、相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于相似比； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于相似比的平方；

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)；

兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。

5、圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

o推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

6、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；

如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

7、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

8、相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩條線段長的積相等。

割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

重要結(jié)論：經(jīng)過不共線三點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)

二、平面幾何證明問題形式及處理方向

1、線段等比式的證明——利用三角形相似證明

2、線段的等積式證明——轉(zhuǎn)化成等比式，利用三角形相似證明，或者等比中項(xiàng)式進(jìn)行等量代換證明

3、等比中項(xiàng)式證明——可以通過三角形相似，切割線定理，直角三角形射影定理證明

4、線段相等證明——如果它們在一個(gè)三角形中，則證明它們所對(duì)的角相等，如果不在同一個(gè)三角形中，則通過等量代換證明即可

5、四點(diǎn)共圓的證明——證明四點(diǎn)形成的三角形對(duì)角互補(bǔ)或是證明該四邊形中同一條邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角相等

6、直線與圓相切的證明——連接圓心與直線與圓的交點(diǎn)，證明半徑與該直線垂直即可

7、角相等的證明——通過三角形相似證明或是等量代換證明

8、三角形相似的證明——通過證明兩個(gè)三角形中有兩組角對(duì)應(yīng)相等或是一組角相等，且夾這個(gè)的兩邊對(duì)應(yīng)成比例

三、平面幾何證明條件的發(fā)散思維

1、條件中有直徑——聯(lián)想——直徑所對(duì)的圓周角是直角，2、條件中的切線——聯(lián)想——切割線定理，弦切角定理，連接圓心與與切點(diǎn)，半徑與切線垂直

3、直角三角形斜邊上的高——聯(lián)想——直角三角形射影定理

4、條件中圓內(nèi)接四邊形——聯(lián)想——圓內(nèi)角四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角

5、條件中弧相等——聯(lián)想——它們所對(duì)的圓周角相等

6、條件中線段相等——聯(lián)想——如果在同一個(gè)三角形中，則它們所對(duì)的角相等