第一篇：關(guān)于歐拉方程變量代換后系數(shù)遞推關(guān)系的一點總結(jié)

關(guān)于歐拉方程變量代換后系數(shù)遞推關(guān)系的一點總結(jié)

光信1104 李號

我們知道，對于歐拉方程anxyn(n)?an?1xn?1y(n?1)???a1xy?a0y?f(x)'(a2,a3,?,an不全為0可以通過變量代換x?et或t?lnx化簡。本文主要介紹如何用低階導(dǎo)數(shù)來表示高階導(dǎo)數(shù)以及線性表示時的系數(shù)遞推關(guān)系。

先用一個例子來說明我們要探討的問題。

dydydy'2'''''

已知：x?e,。，,求xy,xy,xy（此處均為對x的導(dǎo)數(shù)）23dtdtdtt23

顯然，由x?et可知t?lnx,則

?y?'dtdx?1xdydt

dydx2?dydt?dtdx?1x?dydt?xy?'y?''dydxddx1x321dy1dy1dydt1dydydydy2''?()?(?)??2?????(?)?xy??2222dxdxdxxdtdtxdtdxdtdtxxdtdtdydx322ddyd222y'''?()?ddxxdydt(4)22[12(dydtdydt22?dydt)]??2x3(dydt22dy1dy1?)?2(3???)2dtxxxdtdtdydt22dy132

?(dydt3?3?2)?xy3'''?dydt233?3?2dydt

同理可求出xy4?dydt44?6dydt33?11dydt2?6dydt

我們把系數(shù)提出，如下排列： n=1 1 n=2 1-1 n=3 1-3 2 n=4 1-6 11-6 為了方便討論，我們作出以下兩點規(guī)定： i)m用“Bn”表示第n排第m列的數(shù)（顯然n?m）；

ii)(?1)n?1(n?1)!?(1?n)!即（-1）n!?（-n）!

n由上文中的迭代求導(dǎo)不難得出下面三點規(guī)律：

1i)

Bn?1；

nn?1ii)

Bn?(1?n)Bn?1;mmm?1iii)Bn?Bn?1?(1?n)Bn?1?n?m?1? 該規(guī)律可用數(shù)學(xué)歸納法歸納得出，限于篇幅，此處省去不證。顯然，只要找出了Bnm的通式，就可以表達出xny(n)。

n(n)1nxy?Bdydtnn?B2ndn?1ydtn?1???Bnndydt。

1n為求Bnm，我們有兩條路出發(fā)。一是由“Bn?1”著手，另一個是由Bn著手。

1注意到Bnm既與Bnm?1有關(guān)，也與Bnm??有關(guān)，我們選擇從Bnn著手。后面我們會看到，帶入數(shù)1字“1”計算會因為討論n的取值而使得表達式無法統(tǒng)一。

?1

由Bnn?(1?n)Bnn?可知： 1Bn?(1?n)Bn?1?(1?n)(2?n)Bn?1???(1?n)(2?n)?(?1)B1?(1?n)!nn?1n?11

?Bnn?(1?n)!

顯然我們可以把平行于主對角線的數(shù)看成一組數(shù)列。取m=n-1，則：

Bnn?1?Bn?1?(1?n)Bn?1n?2n?1n?2?Bn?1?(1?n)Bn?2?(1?n)(2?n)Bn?3???(1?n)(2?n)?(?3)B2?(1?n)(2?n)?(?3)(?2)B?(1?n)!1?n?nn?1n?3212

(1?n)!2?n?(1?n)!3?n???(1?n)!?2?(1?n)!?1

?(1?n)!(?i?211?i)

取m=n-2，則

Bnn?2?Bn?1?(1?n)Bn?1

n?3n?421n?2n?3?Bn?1?(1?n)Bn?2?(1?n)(2?n)Bn?3???(1?n)(2?n)?(?4)B3?(1?n)(2?n)?(?3)B3n?2?(1?n)!1?nn?1?1?i?i?21(1?n)!n?212?nj?1i?2?1?i???(1?n)!?33?1?i?i?21(1?n)!?22?1?i

i?21n?(1?n)![?(j?311?j?1?i)]

i?21n故由數(shù)學(xué)歸納法可求出Bmn?(1?n)!?a1?n?m?1{?[1?a1a2?n?m1?a21a1?11a2?1?(?)]}

a3?n?m?11現(xiàn)在我們再從“Bn?1”入手，看看會有什么情況。Bn?1

Bn?Bn?1?(1?n)Bn?1?Bn?1?1?n

12???(1?n)?(2?n)???(?2)B2?B2 22121??(1?2?3??n?1)?Bn?Bn?1?(1?n)Bn?1 332n(1?n)2

?(1?n)Bn?1?(2?n)Bn?2???(?3)B3?B3 2223?n(1?n)22?(n?1)(2?n)22???4(1?4)22?B3

3可以看出求Bn2是需要B22的值，求Bn3時需要B33的值而且還要用立方和與平方和公式。當(dāng)m較大時，需要Bm的值以及m次方和與m-1次方和的公式。更重要的是，具體化m后，表達式無法統(tǒng)一！因此可以看出，成列分布并不是該數(shù)組的真正特性，而平行于主對角線的分布才能使該數(shù)組統(tǒng)一。

原式可化為D(D-1)(D-2)(D-3)…(D-i+1)

D^n=d^ny/dx^n m