第一篇：2014年初中數(shù)學(xué)奧賽專(zhuān)題復(fù)習(xí)精講學(xué)案(拔高篇,適合八年級(jí)使用)：第十二講 相似三角形(知識(shí)梳理+例題精講)（大全）

第十二講：專(zhuān)題復(fù)習(xí)：相似三角形

【知識(shí)梳理】

1、比例線段的有關(guān)概念：

ac 在比例式??(a：bc：d)中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，bdb、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。

2、平行線分線段成比例定理：

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。

ABDEABDEBCEF

則?，?，?，… BCEFACDFACDF

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

4、相似三角形的判定：

①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似 ③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似

④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似

5、相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

③相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 ④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方

3、常見(jiàn)三角形相似的基本圖形、基本條件和基本結(jié)論：

（1）如圖1，當(dāng)

時(shí)，?ABC∽?ADE

（2）如圖2，當(dāng)

時(shí)，?ABC∽ ?AED。（3）如圖3，當(dāng)

時(shí)，?ABC∽ ?ACD。

AA

D DED E

BBCCCB 圖1圖2圖3

（4）如圖4，如圖1，當(dāng)AB∥ED時(shí)，則△

∽△。

（5）如圖5，當(dāng)

時(shí)，則△

∽△。

A

ACBA'C'E'EDD'AB'圖4

圖5（6）如右圖，特殊圖形（雙垂直模型）∵∠BAC＝90° AD?BC∴

? ADC

∽

? BDA

∽

? BAC

【例題精講】

BDC【例1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AE⊥BD，交BC于點(diǎn)E，求證：BE=2EC。

DA

【鞏固】如圖，△ABC是一個(gè)等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分線交AC于D且BC=BD+AD，設(shè)∠A=c°，求c的值。

【例2】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC（AD

ADBCADBEC?6S梯形DCBA25，O

【鞏固】

1、如圖，在□ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE:CE=2:3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則S?DEF:S?EBF:S?ABF?（）

A.4:10:25

B.4:9:25

C.2:3:5

D.2:5:25

2、如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S?D0E:S?COB?9:16，則AD:DB=____________。

【例3】已知如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E為AC中點(diǎn)，求證：

BDOCEAADFBECAB?AF?AC?DF。

A

【鞏固】已知如圖，AE為△ABC的角平分線，D為AB上一點(diǎn)，并且∠ACD=∠B，CD交

BDFECCEAE于F，求證：CE?CF?FD?BE。

【例4】如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，過(guò)D作AB、AC的垂線，垂足分別為E、F，求證：DE+DF的長(zhǎng)是定值。

BED圖1FCA

【鞏固】如圖2，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D?在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)D?作AB、AC的垂線，垂足分別為M、N，求證：D?M?D?N的長(zhǎng)是定值。

【例5】如圖，在△ABC中，D為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AD，P為AD上任意一點(diǎn)，連結(jié)

B圖2NMCD'AAPB、PC，求證：

S?ABPBD。?S?APCDC【鞏固】用面積法證明下述定理：

（1）在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，求證：AB:AC=BD:DC。

（2）（賽瓦定理）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC、AB上，連結(jié)AD、BE、CF交于點(diǎn)O，求證：

（3）（梅內(nèi)勞斯定理）如圖，一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，BA（或其延長(zhǎng)線）分別交于D，E，F(xiàn)。求證：

BFOEBDCEAF???1。DCAEFBADCBDCEAF???1。DCEAFBAEBDC

【拓展】如圖，在△ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，G是AD（不包括A、D兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，BG、CG的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)F、E。（1）求證：AEAF?； EBFCAS?S?CGFAE?x，用含x的代數(shù)式表示?BGE（2）設(shè)，EBS?ABC并求出它的最大值。

BEGFDC

第二篇：2014年初中數(shù)學(xué)奧賽專(zhuān)題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+例題精講 第十一講 代數(shù)式的恒等變形(拔高篇,適合八年級(jí)使用)

文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

代數(shù)式的恒等變形

【知識(shí)梳理】

1、恒等式的意義

兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式恒等。

2、代數(shù)式的恒等變形

把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。

3、基本思路

（1）由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；（3）證明：左邊?右邊?0，或

4、基本方法

在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】

【例1】已知abc?1，求證：

左邊?1，此時(shí)右邊?0。右邊abc???1。

ab?a?1bc?b?1ac?c?1思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊。

【鞏固】已知x、y、z為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x?111?y??z?，求證： x2y2z2?1。yzx1 文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

【拓展】若x?y?z?0，a?xy?z，b?yzx?z，c?x?y，aba?1?b?1?cc?1?1。

【例2】證明：xyz1ax?a2?ay?a2?113az?a2?x?a?y?a?z?a?a。思路點(diǎn)撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)行證明。

求證：2 文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

2221??1??1?1??1??1???【鞏固】

1、求證?a????b????ab???4??a???b???ab??。

a??b??ab?a??b??ab???

2、求證：

【拓

展

】

求

證

：bcdb?c?d???。

a?a?b??a?b??a?b?c??a?b?c??a?b?c?d?a?a?b?c?d?24620111111??????????

?x?10??x?1?x2?1x2?4x2?9x2?100?x?1??x?10??x?2??x?9?

文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【例3】已知

x?a?ba?b，y?b?cb?c，z?c?ac?a，求證?1?x??1?y??1?z???1?x??1?y??1?z?

思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。

aca222【鞏固】已知b?d?3，求證：?c2b2?d2?a?b???c?d?a?c?b?d?a?b?c?d。

【拓展】已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足

11a?b?1c?1a?b?c，求證： 1a2n?1?1b2n?1?1c2n?1?1a2n?1?b2n?1?c2n?1，其中n是正整數(shù)。

：文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【例4】已知

ax3?by3?cz3，且

111???1，求證：xyz3ax2?by2?cz2?3a?3b?3c。

【鞏固】

1、已

知

ABCD???xyzt，求證：Ax?By?Cz?Dt?

2、設(shè)

?A?B?C?D??x?y?z?t?

aa1a2a3?????n?a1，a2，?，an，b1，b2，?，an都是整數(shù)?。b1b2b3bna2b2?a3b3???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn 求證：a1b1?文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

【拓展】設(shè)2005x3?2006y3?2007z3，xyz?0，222且32005x?2006y?2007z?32005?32006?32007，求證：

111???1。xyz

【例5】已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a1?b2?b1?a2?1，求證：a?b?1。

22思路點(diǎn)撥：本題采用綜合法。所謂綜合法就是從條件開(kāi)始進(jìn)行推理，一步一步地推到我們所要證明的結(jié)論，就是我們平時(shí)說(shuō)的“正面突破”。

第三篇：2014初中數(shù)學(xué)奧賽專(zhuān)題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+例題精講 第一講 如何做幾何證明題(拔高篇,適合八年級(jí)使用,無(wú)答案)

文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn

如何做幾何證明題

【知識(shí)梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類(lèi)型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類(lèi)問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。

2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的?！纠}精講】

【專(zhuān)題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。【例1】已知：如圖所示，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。ABC 求證：DE＝DF

AEDCFB文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【鞏固】如圖所示，已知?為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)ABCCE、DE。

求證：EC＝ED

【例2】已知：如圖所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F

【專(zhuān)題二】證明直線平行或垂直

FBCAEBCAEDD 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。【例3】如圖所示，設(shè)BP、CQ是?的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。ABC 求證：KH∥BC

BCQKAPHA?90?，AE?BF，BD?DC【例4】已知：如圖所示，AB＝AC，∠。文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 求證：FD⊥ED

【專(zhuān)題三】證明線段和的問(wèn)題

BFAEDC

（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）【例5】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°； 求證：BC＝AD＋AE

【鞏固】已知：如圖，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。ABCB?60? 求證：AC＝AE＋CD

（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）

ADEBCBEAODC文檔來(lái)源：弘毅教育園丁網(wǎng)數(shù)學(xué)第一站004km.cn 【例6】 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，?EAF??45。

求證：EF＝BE＋DF

AD

F

B EC

【專(zhuān)題四】證明幾何不等式：

【例7】已知：如圖所示，在?ABC中，AD平分∠BAC，AB?AC。

求證：BD?DC

A

BDC

【拓展】?ABC中，?BAC??90，AD?BC于D，求證：AD?14?AB?AC?BC?

A

BDC 4

第四篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第16講 相似三角形(二)

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第十六講 相似三角形(二)

上一講主要講述了相似三角形與比例線段之間的關(guān)系的計(jì)算與證明，本講主要講述相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用．

例1 如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．

分析 設(shè)法通過(guò)添輔助線構(gòu)造相似三角形，這里應(yīng)注意利用角平分線產(chǎn)生等角的條件．

證 過(guò)B引BE∥AC，且與AD的延長(zhǎng)線交于E．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因?yàn)锽E∥AC，所以

∠2=∠3．

從而∠1=∠3，AB=BE．顯然

△BDE∽△CDA，所以 BE∶AC=BD∶DC，所以 AB∶AC=BD∶DC．

說(shuō)明 這個(gè)例題在解決相似三角形有關(guān)問(wèn)題中，常起重要作用，可當(dāng)作一個(gè)定理使用．類(lèi)似的還有一個(gè)關(guān)于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個(gè)命題將在練習(xí)中出現(xiàn)，請(qǐng)同學(xué)們自己試證．

在構(gòu)造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(zhì)(如內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等)，將等角“轉(zhuǎn)移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法．

例2 如圖 2-77所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長(zhǎng)線于D，且交AM延長(zhǎng)線于F．求證：EF∥AB．

分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造三角形，設(shè)法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB．

證 過(guò)B引BG∥AC交AE的延長(zhǎng)線于G，交AM的延長(zhǎng)線于H．因?yàn)锳E是∠BAC的平分線，所以

∠BAE=∠CAE．

因?yàn)锽G∥AC，所以

∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以 BA=BG．

又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以

∠ABF=∠HBF，從而

AB∶BH=AF∶FH．

又M是BC邊的中點(diǎn)，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而

BH=AC，所以 AB∶AC=AF∶FH．

因?yàn)锳E是△ABC中∠BAC的平分線，所以

AB∶AC=BE∶EC，所以 AF∶FH=BE∶EC，即

(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因?yàn)锳BHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式變?yōu)?/p>

AM∶MB=FM∶ME．

在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以

△MEF∽△MAB

(兩個(gè)三角形兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．)．所以

∠ABM=∠FEM，所以 EF∥AB．

例3 如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．

即可，為此若能設(shè)法利用長(zhǎng)度分別為AB，BC，CA及l(fā)=AB＋AC這4條線段，構(gòu)造一對(duì)相似三角形，問(wèn)題可能解決．

注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎(chǔ)添加輔助線，構(gòu)造一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問(wèn)題．

證 延長(zhǎng)AB至D，使BD=AC(此時(shí)，AD=AB＋AC)，又延長(zhǎng)BC至E，使AE=AC，連結(jié)ED．下面證明，△ADE∽△ABC．

設(shè)∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則

∠A+∠B+∠C=7α=180°．

由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以

∠ACE=180°-4α＝3α，所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

從而

∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．

又由作圖

AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以

∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以 △ABC∽△DAE，所以

例4 如圖2-79所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH.分析 要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC應(yīng)該相似．

證 在Rt△PBC中，因?yàn)锽H⊥PC，所以

∠PBC=∠PHB=90°，從而 ∠PBH=∠PCB．

顯然，Rt△PBC∽R(shí)t△BHC，所以

由已知，BP=BQ，BC=DC，所以

因?yàn)椤螦BC=∠BCD=90°，所以

∠HBQ=∠HCD，所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．

又因?yàn)?/p>

∠BHQ＋∠QHC=90°，所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即 DH⊥HQ．

例5 如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點(diǎn)，M為斜邊BC的中點(diǎn)，且PM⊥QM．求證：

PB2＋QC2=PM2＋QM2．

分析與證明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則

PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．

于是求證式等價(jià)于

PB2+QC2=PA2+QA2，①

等價(jià)于

PB2-PA2=QA2-QC2． ②

因?yàn)镸是BC中點(diǎn)，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，即有

AD=BD，AE=CE，②等價(jià)于

(AD＋PD)2-(AD-PD)2

=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③

③等價(jià)于

AD·PD=AE·EQ． ④

因?yàn)锳DME是矩形，所以

AD=ME，AE=MD，故④等價(jià)于

ME·PD=MD·EQ． ⑤

為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．

下面我們來(lái)證明這一點(diǎn)．

事實(shí)上，這兩個(gè)三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對(duì)銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以

∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥

在⑥的兩邊都減去一個(gè)公共角∠PME，所得差角相等，即

∠PMD=∠QME． ⑦

由⑥，⑦，所以

△MPD∽△MEQ．

由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，從而①成立，則原命題獲證．

例6 如圖2-81所示．△ABC中，E，D是BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的長(zhǎng)．

解 取AF的中點(diǎn)G，連接DF，EG．由平行線等分線段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以

△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．

所以MB=3MF，從而B(niǎo)F=4FM=12，所以

FM=3(厘米)．

又在△BDF中，E是BD的中點(diǎn)，且EH∥DF，所以

因?yàn)镋H∥AB，所以△NEH∽△NAB，從而

顯然，H是BF的中點(diǎn)，所以

故所求的三條線段長(zhǎng)分別為

練習(xí)十六

1．如圖2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．

2．如圖2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求證：EF∥BC．

3．如圖2-84所示．在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求證：

PB2＝PA·PC．

(提示：設(shè)法證明△PAB∽△PBC．)

4．如圖2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點(diǎn)，E在斜邊AB上，且AE∶EB=2∶1．求證：CE⊥AD．

5．如圖2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于E，過(guò)E作EF⊥BC于F．求證：EF2=AE·EC．

6．在△ABC中，E，F(xiàn)是BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BM是AC邊上的中線，AE，AF分別與BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．

第五篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第15講 相似三角形(一)

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第十五講 相似三角形(一)

兩個(gè)形狀相同的圖形稱(chēng)為相似圖形，最基本的相似圖形是相似三角形．對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比為1的兩個(gè)相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情況，而三角形相似是三角形全等的發(fā)展，兩者在判定方法及性質(zhì)方面有許多類(lèi)似之處．因此，在研究三角形相似問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該注意借鑒全等三角形的有關(guān)定理及方法．當(dāng)然，我們又必須同時(shí)注意它們之間的區(qū)別，這里，要特別注意的是比例線段在研究相似圖形中的作用．

關(guān)于相似三角形問(wèn)題的研究，我們擬分兩講來(lái)講述．本講著重探討相似三角形與比例線段的有關(guān)計(jì)算與證明問(wèn)題；下一講深入研究相似三角形的進(jìn)一步應(yīng)用．

例1 如圖2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

分析 由于BC是△ABC與△DBC的公共邊，且AB∥EF∥CD，利用平行線分三角形成相似三角形的定理，可求EF．

解 在△ABC中，因?yàn)镋F∥AB，所以

同樣，在△DBC中有

①＋②得

設(shè)EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

說(shuō)明 由證明過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般結(jié)論：“如本題

請(qǐng)同學(xué)自己證明．

例2 如圖2-65所示． ABCD的對(duì)角線交于O，OE交BC于E，交AB的延長(zhǎng)線于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．

分析 本題所給出的已知長(zhǎng)的線段AB，BC，BF位置分散，應(yīng)設(shè)法利用平行四邊形中的等量關(guān)系，通過(guò)輔助線將長(zhǎng)度已知的線段“集中”到一個(gè)可解的圖形中來(lái)，為此，過(guò)O作OG∥BC，交AB于G，構(gòu)造出△FEB∽△FOG，進(jìn)而求解．

解 過(guò)O作OG∥BC，交AB于G．顯然，OG是△ABC的中位線，所以

在△FOG中，由于GO∥EB，所以

例3 如圖2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分

分析 因?yàn)锳D平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，則△ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可實(shí)現(xiàn)求證的目標(biāo)．

證 過(guò)D引DE∥AB，交AC于E．因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，∠BAC=120°，所以

∠BAD=∠CAD=60°．

又

∠BAD=∠EDA=60°，所以△ADE是正三角形，所以

EA=ED=AD． ①

由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以

由①，②得

從而

例4 如圖2-67所示． ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交CD于F，EO延長(zhǎng)線交AB于G．求證：

分析 與例2類(lèi)似，求證中諸線段的位置過(guò)于“分散”，因此，應(yīng)利用平行四邊形的性質(zhì)，通過(guò)添加輔助線使各線段“集中”到一個(gè)三角形中來(lái)求證．

證 延長(zhǎng)CB與EG，其延長(zhǎng)線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以

在△OED與△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，所以 △OED≌△OBH(AAS)．

從而

DE=BH=AI，例5(梅內(nèi)勞斯定理)一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長(zhǎng)線)分別交于D，E，F(xiàn)(如圖2-68所示)．求

分析 設(shè)法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進(jìn)行求證．

證 過(guò)B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質(zhì)知

說(shuō)明 本題也可過(guò)C引CG∥EF交AB延長(zhǎng)線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進(jìn)行求證．

例6 如圖2-69所示．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

分析 由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似三角形及平行四邊形．利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)及平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，首先得到一個(gè)一般關(guān)系：

進(jìn)而求d．

因?yàn)镕G∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形．△BHI∽△AFG∽△ABC，從而

將②代入①左端得

因?yàn)?/p>

DE=PE＋PD=AI＋FB，④

AF=AI＋FI，⑤

BI=IF＋FB． ⑥

由④，⑤，⑥知，③的分子為

DE＋AF＋BI=2×(AI＋I(xiàn)F＋FB)=2AB．

從而

即

下面計(jì)算d．

因?yàn)镈E=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得

解得d＝306．

練習(xí)十五

1．如圖2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

2．已知P為

ABCD邊BC上任意一點(diǎn)，DP交AB的延長(zhǎng)線于Q

3．如圖 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN與對(duì)角線BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

4．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖2-73所示)．求證：

5．如圖 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一條直線交BA延長(zhǎng)線于E，交DC延長(zhǎng)線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．

6．已知P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連AP，BP，CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)．求證：

不少于2．