第一篇：對于數(shù)與形的關系,華羅庚先生曾寫過一首詞數(shù)與形,本是相倚

三角函數(shù)·三角函數(shù)線及其應用·教案

教學目標

1．使學生理解并掌握三角函數(shù)線的作法，能利用三角函數(shù)線解決一些簡單問題．

2．培養(yǎng)學生分析、探索、歸納和類比的能力，以及形象思維能力． 3．強化數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學生思維的靈活性． 教學重點與難點

三角函數(shù)線的作法與應用． 教學過程設計

一、復習

師：我們學過任意角的三角函數(shù)，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定義的？

生：在α的終邊上任取一點P（x，y），P和原點O的距離是r（r＞0），那么角α的六個三角函數(shù)分別是

（教師板書）

師：如果α是象限角，能不能根據(jù)定義說出α的各個三角函數(shù)的符號規(guī)律？ 生：由定義可知，sinα和cscα的符號由y決定，所以當α是第一、二象限角時，sinα＞0，cscα＞0；當α是第三、四象限角時，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符號由x決定，所以當α是第一、四象限角時，cosα＞0，secα＞0；當α是第二、三象限角時，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符號由x，y共同決定，當x，y同號時，tanα，cotα為正；當x，y異號時，tanα，cotα為負．也就是說當α是第一、三象限角時，tanα＞0，cotα＞0；當α是第二、四象限角時，tanα＜0，cotα＜0． 師：可以看到，正弦值的正負取決于P點縱坐標y，余弦值的正負取決于P點的橫坐標x，而正切值的正負取決于x和y是否同號，那么正弦、余弦、正切的值的大小與P點的位置是否有關？

生：三角函數(shù)值的大小與P的位置無關，只與角α的終邊的位置有關． 師：既然三角函數(shù)值與P點在角α的終邊上的位置無關，我們就設法讓P點點位于一個特殊位置，使得三角函數(shù)值的表示變?yōu)楹唵危?/p>

二、新課

師：P點位于什么位置，角α的正弦值表示最簡單？ 生：如果r=1，sinα的值就等于y了． 師：那么對于余弦又該怎么處理呢？ 生：還是取r=1．

師：如果r=1，那么P點在什么位置？ 生：P點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．

師：這個圓我們會經(jīng)常用到，給它起個名字，叫單位圓，單位圓是以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓．

（板書）1．單位圓

師：設角α的終邊與單位圓的交點是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x． 師：我們前面說的都是三角函數(shù)的代數(shù)定義，能不能將正弦值、余弦值等量幾何化，也就是用圖形來表示呢？因為數(shù)形結(jié)合會給我們的研究帶來極大的方便，請同學們想想，哪些圖形與這些數(shù)值有關呢？

（同學可能答不上來，教師給出更明確的提示．）

師：sinα=y，cosα=x，而x，y是點P的坐標，根據(jù)坐標的意義再想一想． 師：對點來說，是它的位置代表了數(shù)，點本身并不代表數(shù)．能不能找到一個圖形，自身的度量就代表數(shù)？

生：可以用面積，比如一個正數(shù)可以對應著一個多邊形的面積，每一個多邊形的面積對應著唯一一個正數(shù)． 師：很好．但這是一個二維的圖形，而且多邊形的邊數(shù)也不確定，我們還應遵循求簡的原則．有沒有簡單的圖形呢？

生：是不是能用線段的長度來表示？ 師：說說你的理由．

生：線段的長度與正數(shù)是一一對應的，所以每一個正數(shù)可以用一條線段來作幾何形式．

師：正數(shù)可以這樣去做，零怎么辦呢？能用線段來表示嗎？

生：（非?；钴S）當然行了，讓線段兩個端點重合，線段長就是零了． 師：可以畫這樣一個示意圖，線段一個端點是A，另一個端點是B，當A，B重合時，我們說AB是0；當A，B不重合時，我們說AB是一個正實數(shù)．那么負數(shù)怎么辦呢？能不能想辦法也用線段AB表示？

生：線段的長度沒有負數(shù)．

生：我能不能這樣看，A點在直線l上，B點在l上運動，如果B在A的右側(cè)，我就說線段AB代表正數(shù)；如果B和A重合，就說線段AB代表0；如果B在A的左側(cè)，就說線段AB代表負數(shù)．

（教師不必理會學生用詞及表述的漏洞．主要是把學生的注意力吸引到對知識、概念的發(fā)現(xiàn)上來．）

師：正數(shù)與正數(shù)不都相等，負數(shù)和負數(shù)也不都相等，你只是規(guī)定了正負還不夠吧？！

生：可以再加上線段AB的長度．這樣所有的實數(shù)都能對應一條線段AB，以A為分界點，正數(shù)對應的點B在A的右側(cè)，而且加上長度，B點就唯一了． 師：他的意見是對線段也給了方向．與直線規(guī)定方向是類似的．那么如何建立有向線段與數(shù)的對應關系？

（板書）2．有向線段

師：顧名思義，有方向的線段（即規(guī)定了起點與終點的線段）叫做有向線段，那么如何建立有向線段與數(shù)的對應關系呢？這需要借助坐標軸．平行于坐標軸的線段可以規(guī)定兩種方向．如圖2，線段AB可以規(guī)定從點A（起點）到點B（終點）的方向，或從點B（起點）到點A（終點）的方向，當線段的方向與坐標軸的正方向一致時，就規(guī)定這條線段是正的；當線段的方向與坐標軸的正方向相反時，就規(guī)定這條線段是負的．如圖中AB=3（長度單位）（A為起點，B為終點），BA=-3（長度單位）（B為起點，A為終點），類似地有CD=-4（長度單位），DC=4（長度單位）．

師：現(xiàn)在我們回到剛才的問題，角α與單位圓的交點P（x，y）的縱坐標恰是α的正弦值，但sinα是可正、可負、可為零的實數(shù)，能不能找一條有向線段表示sinα？

生：找一條有向線段跟y一致就行了，y是正的，線段方向向上，y是負的，線段方向向下，然后讓線段的長度為｜y｜．

師：理論上很對，到底選擇哪條線段呢？我們不妨分象限來看看． 生：如果α是第一象限的角，過P點向x軸引垂線，垂足叫M（無論學生用什么字母，教師都要將其改為M），有向線段MP為正，y也是正的，而且MP的長度等于y，所以用有向線段MP表示sinα=y．

（圖中的線段隨教學過程逐漸添加．）

生：如果α是第二象限角，sinα=y是正數(shù)，也得找一條正的線段．因為α的終邊在x軸上方，與第一象限一樣，作PM垂直x軸于M，MP=sinα． 師：第一、二象限角的正弦值幾何表示都是MP，那么第三、四象限呢？注意此時sinα是負值．

生：這時角α的終邊在x軸下方，P到x軸的距離是｜y｜=-y．所以還是作PM垂直x軸于M，MP方向向下，長度等于-y，所以sinα=y．

師：歸納起來，無論α是第幾象限角，過α的終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，交x軸于M，有向線段MP的符號與點P的縱坐標y的符號一致，長度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我們把有向線段MP叫做角α的正弦線，正弦線是角α的正弦值的幾何形式．

（板書）3．三角函數(shù)線（1）正弦線——MP

師：剛才討論的是四個象限的象限角的正弦線，軸上角有正弦線嗎？ 生：當角α的終邊在x軸上時，P與M重合，正弦線退縮成一點，該角正弦值為0；當角α終邊與y軸正半軸重合時，M點坐標為（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值為1；當α終邊與y軸負半軸重合時，MP=-1，sinα=-1，與象限角情況完全一致．

師：現(xiàn)在來找余弦線．

生：因為cosα=x（x是點P的橫坐標），所以把x表現(xiàn)出來就行了．過P點向y軸引垂線，垂足為N，那么有向線段NP=cosα，NP是余弦線．

師：具體地分析一下，為什么NP=cosα？

生：當α是第一、四象限角時，cosα＞0，NP的方向與x軸正方向一致，也是正的，長度為x，有cosα=NP；當α是第二、三象限角時，cosα＜0，NP也是負的，也有cosα=NP．

師：這位同學用的是類比的思想，由正弦線的作法類比得出了余弦線的作法，其他同學有沒有別的想法？

生：其實有向線段OM和他作的有向線段NP方向一樣，而且長度也一樣，也可以當作余弦線．

師：從作法的簡潔及圖形的簡潔這個角度看，大家愿意選哪條有向線段作為余弦線？

生：OM．（板書）

（2）余弦線——OM

師：對軸上角這個結(jié)論還成立嗎？（學生經(jīng)過思考，答案肯定．）

師：我們已經(jīng)得到了角α的正弦線、余弦線，它們都是與單位圓的弦有關的線段，能不能找到單位圓中的線段表示角α的正切呢？

生：肯定和圓的切線有關系（這里有極大的猜的成分，但也應鼓勵學生．）

坐標等于1的點，這點的縱坐標就是α的正切值． 師：那么橫坐標得1的點在什么位置呢？ 生：在過點（1，0），且與x軸垂直的直線上．

生：這條直線正好是圓的切線．（在圖3-（1）中作出這條切線，令點（1，0）為A．）

師：那么哪條有向線段叫正切線呢？不妨先找某一個象限角的正切線． 生：設α是第一象限角，α的終邊與過A的圓的切線交于點T，T的橫坐標是1，縱坐標設為y′，有向線段AT=y′，AT可以叫做正切線．

師：大家看可以這樣做吧？！但第二象限角的終邊與這條切線沒有交點，也就是α的終邊上沒有橫坐標為1的點．

生：可以令x=-1，也就是可以過（-1，0）再找一條切線，在這條切線上找一條有向線段表示tanα．

師：我相信這條線段肯定可以找到，那么其他兩個象限呢？

生：第三象限角的正切線在過（-1，0）的切線上找，第四象限角的正切線在過（1，0）的切線上找．

師：這樣做完全可以，大家可以課下去試，但我們還是要求簡單，最好只要一條切線，我們當然喜歡過A點的切線（因為這條直線上每個點的橫坐標都是1），第一、四象限角與這條直線能相交，AT是正切值的反映，關鍵是第二、三象限的角．

（如果學生答不出來，由教師講授即可．）

師（或生）：象限角α的終邊如果和過A點的切線不相交，那么它的反向延長線一定能和這條切線相交．因為△OMP∽△OAT，OM與MP同號時，OA與AT也同號；OM與MP異號時，OA與AT也異號，（板書）

（3）正切線——AT

師：的確像剛才同學們說的，正切線確實是單位圓的切線的一部分，那么軸上角的正切線又如何呢？注意正切值不是每個角都有．

生：當角α終邊在x軸上時，T和A重合，正切線退縮成了一個點，正切值為0；當角α終邊在y軸上時，α的終邊與其反向延長線和過A的切線平行，沒有交點，正切線不存在，這與y軸上角的正切值不存在是一致的． 師：可以看到正切線的一個應用——幫助我們記憶正切函數(shù)的定義域．現(xiàn)在我們歸納一下任意角α的正弦線、余弦線、正切線的作法．

設α的終邊與單位圓的交點為P，過P點作x軸的垂線，垂足為M，過A（1，0）點作單位圓的切線（x軸的垂線），設α的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．

利用三角函數(shù)線，我們可以解決一些簡單的有關三角函數(shù)的問題．（板書）

4．三角函數(shù)線的應用

例1 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

分析：三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負，其長度是三角函數(shù)值的絕對值．比較兩個三角函數(shù)值的大小，可以借助三角函數(shù)線．

（由學生自己畫圖，從圖中的三角函數(shù)線加以判斷．）

（畫出同一個角的兩種三角函數(shù)線）．

師：例1要求我們根據(jù)角作出角的三角函數(shù)線，反過來我們要根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊，從而找到角的取值范圍．

（板書）例2 根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角α的終邊，然后求角的取值集合．

分析：

P1，P2兩點，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為

（3）在單位圓過點A（1，0）的切線上取AT=-1，連續(xù)OT，（4）這是一個三角不等式，所求的不是一個確定的角，而是適合

三、小結(jié)及作業(yè)

單位圓和三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)．我們應掌握三角函數(shù)線的作法，并能運用它們解決一些有關三角函數(shù)的問題，注意在用字母表示有向線段時，要分清起點和終點，書寫順序要正確．