第一篇：全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第12講 平行線問題
全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第十二講平行線問題
平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形．練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對(duì)邊、桌面的對(duì)邊、教室墻壁的對(duì)邊等等均是互相平行的線段．
正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識(shí)及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識(shí)．
正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對(duì)象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們?cè)谑谷藗冋J(rèn)識(shí)宇宙空間中起著非常重要的作用．
現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個(gè)公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”．
在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理．下面我們舉例說明這些知識(shí)的應(yīng)用．
例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°
．
分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2=
過C點(diǎn)作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移．
證 過C點(diǎn)作直線l，使l∥a(圖1－19)．因?yàn)閍∥b，所以b∥l，所以
∠1+∠2=180°(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ))．
因?yàn)锳C平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
說明 做完此題不妨想一想這個(gè)問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問直線a與直線b是否一定平行？”
由于這個(gè)問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解．
例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
分析 本題對(duì)∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無關(guān)．也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即
∠A1+∠A2=∠B1． ①
猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發(fā)我們過B1點(diǎn)引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二．
證 過B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個(gè)角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．
因?yàn)锳A1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而
∠1=∠A1，∠2=∠A2(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．
說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．
進(jìn)一步可以推廣為
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋?-∠Bn-1+∠An=0．
這時(shí)，連結(jié)A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，?，Bn-1An(當(dāng)然，仍要保持 AA1∥BAn)．
推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡(jiǎn)單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況．
(2)這個(gè)問題也可以將條件與結(jié)論對(duì)換一下，變成一個(gè)新問題．
問題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問AA1與BA2是否平行？
問題2 如圖1－25所示．若
∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1，問AA1與BAn是否平行？
這兩個(gè)問題請(qǐng)同學(xué)加以思考．
例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個(gè)頂點(diǎn)處，這是最理想不過的了，過F點(diǎn)作BC的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)．
解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則
∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(內(nèi)錯(cuò)角相等)．
因?yàn)?AE∥BD，所以
∠1=∠BFA(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．
說明(1)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧．
(2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識(shí)后，可有以下較為簡(jiǎn)便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．
例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°．
分析平角為180°．若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問題即可解決，下面方法是最簡(jiǎn)單的一種．
證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則
∠B=∠1，∠C=∠2(內(nèi)錯(cuò)角相等)．
顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．
說明 事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過，解法將較為麻煩．同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法．
例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360°．
分析 應(yīng)用例3類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程．
證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點(diǎn)B引BE∥AD，BF∥CD，并延長(zhǎng) AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對(duì)頂角相等)．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
說明(1)同例3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變．
(2)總結(jié)例
3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：
三角形內(nèi)角和=180°=(3-2)×180°，四邊形內(nèi)角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人們不禁會(huì)猜想：
五邊形內(nèi)角和=(5-2)×180°=540°，?????????? n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°．
這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡(jiǎn)單．
(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法．
例6 如圖1－29所示．直線l的同側(cè)有三點(diǎn)A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上．
分析A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處．
證 過B作直線 BD，交l于D．因?yàn)锳B∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內(nèi)錯(cuò)角相等)．
又∠1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．
A，B，C三點(diǎn)共線．
思考 若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個(gè)點(diǎn)A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？
例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．
求證：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點(diǎn)從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．
證 因?yàn)椤?=∠2，所以
AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．
因?yàn)椤螪=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)．
所以 BC∥EF(平行公理)，所以
∠3=∠B(兩直線平行，同位角相等)．
練習(xí)十二
1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．
3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？
4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540°．
5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．
第二篇：全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第32講 自測(cè)題
全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第三十二講 自測(cè)題
自測(cè)題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個(gè)三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對(duì)角(∠A，∠C)相等時(shí)，另一組對(duì)角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．
9．某服裝市場(chǎng)，每件襯衫零售價(jià)為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價(jià)的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時(shí)，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測(cè)題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對(duì)于集合
p={x丨x是1到100的整數(shù)}
中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號(hào)
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個(gè)數(shù)；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個(gè)整數(shù)根．
(1)求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)；
(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；
(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．
5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長(zhǎng)交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？
自測(cè)題三
2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個(gè)根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個(gè)根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．
(1)現(xiàn)有三個(gè)單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個(gè)單位分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最??？
(2)若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最??？
(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？
自測(cè)題四
1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設(shè)
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．
6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．
7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí)，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個(gè)工作部門，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費(fèi)120元，乙部門每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長(zhǎng)線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，命題(1)將會(huì)怎樣？
(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)又會(huì)怎樣？
自測(cè)題五
2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a(chǎn)，b，c是三個(gè)自然數(shù)，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個(gè)．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí)，將怎樣？
按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最??？
第三篇：全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題
全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第三十一講復(fù)習(xí)題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個(gè)二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長(zhǎng)交AB于E．求證：
25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：
(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；
(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．
27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個(gè)數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個(gè)數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續(xù)下去，最后得到一個(gè)數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長(zhǎng)．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．
35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時(shí)，方程
x2＋px＋q=0
無整數(shù)根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長(zhǎng)線于E，求BE之長(zhǎng)．
37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對(duì)應(yīng)邊分別作三個(gè)相似三角形，那么這三個(gè)相似三角形面積之間有什么關(guān)系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個(gè)三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時(shí)，重4.4千克，水高為10厘米時(shí)，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時(shí)，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)水高為8厘米時(shí)，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個(gè)人抽簽，為此先做好10個(gè)簽，其中7個(gè)簽上寫“有票”，3個(gè)簽上寫“無票”，然后10個(gè)人排好隊(duì)按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個(gè)互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問題加以解釋．
46．在一個(gè)池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測(cè)出水深？
47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個(gè)村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個(gè)城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長(zhǎng)度最短(圖2-191)？
49．三個(gè)同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(hào)(車號(hào)由4位數(shù)字組成)，可是第一個(gè)同學(xué)記住車號(hào)的前兩位數(shù)是相同的，第二個(gè)同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個(gè)同學(xué)記得這個(gè)四位數(shù)恰好是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號(hào)嗎？
50．圖2-192是一個(gè)彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時(shí)刻度0齊上線，彈簧伸長(zhǎng)的初始長(zhǎng)度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長(zhǎng)度也相應(yīng)地伸長(zhǎng)．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：
(1)以x，y的對(duì)應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖；
(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時(shí)，y的長(zhǎng)度．
第四篇：全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第08講平行四邊形
全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第八講平行四邊形
平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用．
由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：
(1)平行四邊形對(duì)角相等；
(2)平行四邊形對(duì)邊相等；
(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分．
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．
ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：
分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．
證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以
AD
BC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①
又因?yàn)锳F=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②
由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對(duì)角線EF與MN互相平分．
例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．
分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．
證 作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)锽G是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而
△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．
因?yàn)锳D∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤螧EA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
從而
EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以
FC=EH=AE．
說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．
人們?cè)趯W(xué)習(xí)中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)我們探索新的問題是十分有益的．
例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．
ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開．
證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知
∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，則
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
從而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長(zhǎng)線于F．求證：CA=CF．
分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長(zhǎng)DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．
證 延長(zhǎng)DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：
分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．
證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，從而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．
分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．
證 因?yàn)镈EBD=FD，所以
BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
練習(xí)十二
1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．
3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．
ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交
4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．
5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
第五篇：全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第23講 幾何不等式
全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第二十三講 幾何不等式
平面圖形中所含的線段長(zhǎng)度、角的大小及圖形的面積在許多情形下會(huì)呈現(xiàn)不等的關(guān)系．由于這些不等關(guān)系出現(xiàn)在幾何問題中，故稱之為幾何不等式．
在解決這類問題時(shí)，我們經(jīng)常要用到一些教科書中已學(xué)過的基本定理，本講的主要目的是希望大家正確運(yùn)用這些基本定理，通過幾何、三角、代數(shù)等解題方法去解決幾何不等式問題．這些問題難度較大，在解題中除了運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)．
幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關(guān)的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式．下面先給出幾個(gè)基本定理．
定理1 在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊．
定理2 同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，反之亦然．
定理3 在兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形中，第三邊大的，所對(duì)的角也大，反之亦然．
定理4 三角形內(nèi)任一點(diǎn)到兩頂點(diǎn)距離之和，小于另一頂點(diǎn)到這兩頂點(diǎn)距離之和．
定理5 自直線l外一點(diǎn)P引直線l的斜線，射影較長(zhǎng)的斜線也較長(zhǎng)，反之，斜線長(zhǎng)的射影也較長(zhǎng)．
說明 如圖2-135所示．PA，PB是斜線，HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，則PA＞PB；若PA＞PB，則HA＞HB．事實(shí)上，由勾股定理知
PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以
PA2-PB2=HA2-HB2．
從而定理容易得證．
定理6 在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，則有
PA≤max｛AB，AC｝，當(dāng)點(diǎn)P為A或B時(shí)等號(hào)成立．
說明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的較大者，如圖2-136所示，若P在線段BH上，則由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，從而
PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在線段HC上，同樣有PA≤max｛AB，AC｝．
例1 在銳角三角形ABC中，AB＞AC，AM為中線，P為△AMC內(nèi)一點(diǎn)，證明：PB＞PC(圖2-137)．
證 在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．
過點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，則H必定在線段BM的延長(zhǎng)線上．如果H在線段MC內(nèi)部，則
BH＞BM=MC＞HC．
如果H在線段MC的延長(zhǎng)線上，顯然BH＞HC，所以PB＞PC．
例2 已知P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)(圖2-138)．
(1)求證：
＜a＋b＋c；
(2)若△ABC為正三角形，且邊長(zhǎng)為1，求證：
PA+PB＋PC＜2．
證(1)由三角形兩邊之和大于第三邊得
PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把這三個(gè)不等式相加，再兩邊除以2，便得
又由定理4可知
PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．
把它們相加，再除以2，便得
PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以
(2)過P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，如圖2-138所示．于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以
PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC
=AB＋AE＋EC=2．
例3 如圖2-139．在線段BC同側(cè)作兩個(gè)三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC與BD相交于E，求證：AE＞DE．
證 在DB上取點(diǎn)F，使DF=AC，并連接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC
=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．
由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以
DC＋BF=AC=AB．
在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．
在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
由定理3，∠1＞∠2，所以
AE＞DE．
例4 設(shè)G是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于K，求證：
分析 在不等式兩邊的線段數(shù)不同的情況下，一般是設(shè)法構(gòu)造其所
為邊的三角形．
證 如圖2-140，在GK上取一點(diǎn)M，使GM=MK，則
在Rt△GCK中，CM是GK邊上的中線，所以
∠GCM=∠MGC．
而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是
∠MGC＞45°，所以
∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．
由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故
例5 如圖2-141．設(shè)BC是△ABC的最長(zhǎng)邊，在此三角形內(nèi)部任選一點(diǎn)O，AO，BO，CO分別交對(duì)邊于A′，B′，C′．證明：
(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；
(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．
證(1)過點(diǎn)O作OX，OY分別平行于邊AB，AC，交邊BC于X，Y點(diǎn)，再過X，Y分別作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大邊，所以
OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．
又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大邊，從而BX也是△BXS中的最大邊，而且SXOC′是平行四邊形，所以
BX＞XS=OC′．
同理
CY＞OB′．
所以
OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．
所以
OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′
≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
=max｛AA′，BB′，CC′｝
下面我們舉幾個(gè)與角有關(guān)的不等式問題．
例6 在△ABC中，D是中線AM上一點(diǎn)，若∠DCB＞∠DBC，求證：∠ACB＞∠ABC(圖2-142)．
證 在△BCD中，因?yàn)椤螪CB＞∠DBC，所以BD＞CD．
在△DMB與△DMC中，DM為公共邊，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以
∠ACB＞∠ABC．
說明 在證明角的不等式時(shí)，常常把角的不等式轉(zhuǎn)換成邊的不等式．
證 由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如圖2
即證BD∠CD．因?yàn)椤鰾AD∽△CAB，即 BC＞2BD．
又 CD＞BC-BD，所以
BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．
從而命題得證．
例8 在銳角△ABC中，最大的高線AH等于中線BM，求證：∠B＜60°(圖2-144)．
證 作MH1⊥BC于H1，由于M是中點(diǎn)，所以
于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．
延長(zhǎng)BM至N，使得MN=BM，則ABCN為平行四邊形．因?yàn)锳H為最A(yù)BC中的最短邊，所以
AN=BC＜AB，從而
∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．
下面是一個(gè)非常著名的問題——費(fèi)馬點(diǎn)問題．
例9 如圖2-145．設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P為任意一點(diǎn)(不是O)．求證：
PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．
證 過△ABC的頂點(diǎn)A，B，C分別引OA，OB，OC的垂線，設(shè)這三條垂線的交點(diǎn)為A1，B1，C1(如圖2-145)，考慮四邊形AOBC1．因?yàn)?/p>
∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1為正三角形．
設(shè)P到△A1B1C1三邊B1C1，C1A1，A1B1的距離分別為ha，hb，hc，且△A1B1C1的邊長(zhǎng)為a，高為h．由等式
S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1
知
所以 h=ha＋hb＋hc．
這說明正△A1B1C1內(nèi)任一點(diǎn)P到三邊的距離和等于△A1B1C1的高h(yuǎn)，這是一個(gè)定值，所以
OA＋OB＋OC=h=定值．
顯然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三邊距離和，所以
PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．
這就是我們所要證的結(jié)論．
由這個(gè)結(jié)論可知O點(diǎn)具有如下性質(zhì)：它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和小于其他點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離和，這個(gè)點(diǎn)叫費(fèi)馬點(diǎn)．
練習(xí)二十三
1．設(shè)D是△ABC中邊BC上一點(diǎn)，求證：AD不大于△ABC中的最大邊．
2．AM是△ABC的中線，求證：
3．已知△ABC的邊BC上有兩點(diǎn)D，E，且BD=CE，求證：AB＋AC＞AD＋AE．
4．設(shè)△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，求證：BD＞CE．
5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求證：
AB+CF≥AC＋BE．
6．在△ABC中，AB＞AC，AD為高，P為AD上的任意一點(diǎn)，求證：
PB-PC＞AB-AC．
7．在等腰△ABC中，AB=AC．
(1)若M是BC的中點(diǎn)，過M任作一直線交AB，AC(或其延長(zhǎng)線)于D，E，求證：2AB＜AD+AE．
(2)若P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＜PC，求證：∠APB＞∠APC．
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