第一篇：6.(教師)有介質(zhì)時的場強和電勢、電容、電場能量

一、選擇題

1、（本題3分）（1141）

一電荷為q的點電荷，處在半徑為R、介電常量為?1的各向同性、均勻電介質(zhì)球體的中心處，球外空間充滿介電常量為?2的各向同性、均勻電介質(zhì)，則在距離點電荷r(r＜R)處的場強和電勢(選U∞＝0)為：

(A)E＝0，U? qR ?1 r ?2q ．

4π?1r

(B)E?qq，．

U?24π?1r4π?1r

(C)E?q?11?qq，． U?????4π?1?rR?4??2R4π?1r2qqq?11?q，．

?U?????4π?1?rR?4??2R4π?1r24??2r

2(D)E?

2、（本題3分）（5280）

一平行板電容器中充滿相對介電常量為?r的各向同性均勻電介質(zhì)．已知介質(zhì)表面極化電荷面密度為±?′，則極化電荷在電容器中產(chǎn)生的電場強度的大小為：

(A)????．

(B)．

?0?0?r

(C)????．

(D)．

［

］ 2?0?r3、（本題3分）（1707）

一平行板電容器，兩極板間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)，其相對介電常量為?r．充電后，極板上的自由電荷面密度為?．則電介質(zhì)中的電極化強度P的大小應是

(A)? / ?r．

(B)?r??．(C)(?r －1)???????r ．

(D)(?r－1)??

(E)?．

［

］

4、（本題3分）（1225）

一平行板電容器，兩板間距離為d，若插入一面積與極板面積相同而厚度為d / 2 的、相對介電常量為?r的各向同性均勻電介質(zhì)板(如圖所示)，則插入介質(zhì)后的電容值與原來的電容值之比C / C0為

dd/2

(A)

?r1．

(B)． ?r?1?r?12?r2．

(D)．

［

］

?r?1?r?

1(C)

5、（本題3分）（1533）

將一空氣平行板電容器接到電源上充電到一定電壓后，在保持與電源連接的情況下，把一塊與極板面積相同的各向同性均勻電介質(zhì)板平行地插入兩極板之間，如圖所示．介質(zhì)板的插入及其所處位置的不

介質(zhì)板 同，對電容器儲存電能的影響為：

(A)儲能減少，但與介質(zhì)板相對極板的位置無關(guān)．

(B)儲能減少，且與介質(zhì)板相對極板的位置有關(guān)．

(C)儲能增加，但與介質(zhì)板相對極板的位置無關(guān)．

(D)儲能增加，且與介質(zhì)板相對極板的位置有關(guān)．

［

］

二、填空題

6、（本題3分）（1627）

一點電荷q被放在一個介電常量為?的有限大各向同性均勻電介質(zhì)球的中心，則在介質(zhì)球外距球心為r處的P點的場強大小EP＝____________．

7、（本題3分）（1390）

一個半徑為R的薄金屬球殼，帶有電荷q，殼內(nèi)真空，殼外是無限大的相對介電常量為?r的各向同性均勻電介質(zhì)．設無窮遠處為電勢零點，則球殼的電勢U

=____________________________．

8、（本題4分）（1534）

一空氣平行板電容器，其電容為C0，充電后將電源斷開，兩極板間電勢差為U12．今在兩極板間充滿相對介電常量為?r 的各向同性均勻電介質(zhì)，則此時電容值C =_____________，??___________________．

兩極板間電勢差U129、（本題3分）（5684）

在相對介電常量?r = 4的各向同性均勻電介質(zhì)中，與電能密度we =2×106 J/cm3相應的電場強度的大小E =______________．(真空介電常量??0 = 8.85×1012 C2/(N·m2))

10、（本題3分）（1527）

半徑為R的金屬球A，接電源充電后斷開電源，這時它儲存的電場能量為5×105 J．今

-將該球與遠處一個半徑也是R的導體球B用細導線連接．則A球儲存的電場能量變?yōu)開_______________．

三、計算題

11、（本題10分）（5771）

一圓柱形電容器，內(nèi)外圓筒半徑分別為r1和r2，長為L，且L>> r2，在r1與r3之間用相對介電常量為?r的各向同性均勻電介質(zhì)圓筒填充，其余部分為空氣，如圖所示．已知內(nèi)外導體圓筒間電勢差為U，r1 r2 r3???其內(nèi)筒電勢高，求介質(zhì)中的場強E，電極化強度P，電位移矢量D和半徑為r3的圓柱面上的極化電荷面密度?'．

12、（本題10分）（1182）

一電容器由兩個很長的同軸薄圓筒組成，內(nèi)、外圓筒半徑分別為R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其間充滿相對介電常量為?r 的各向同性、均勻電介質(zhì)．電容器接在電壓U = 32 V的電源上，(如圖所示)，試求距離軸線R = 3.5 cm處的A點的電場強度和A點與外筒間的電勢差．

13、（本題10分）（1889）

一同心的球形電容器，其內(nèi)、外球半徑分別為R1和R2．兩球面間有一半空間充滿著相對介電常量為?r的各向同性均勻電介質(zhì)，另一半空間是空氣，如圖所示．不計兩半球交界處的電場彎曲，試求該電容器的電容．

14、（本題10分）（5791）

R2L

?rR1RAU

?rR1OR2

一半徑為R的各向同性均勻電介質(zhì)球，相對介電常量為?r，介質(zhì)球內(nèi)各點的電荷體密度? = ar，式中a為常量，r是該點到球心的距離，求電場總能量．

四、理論推導與證明題

15、（本題5分）（1888）

一空氣平行板電容器，極板是邊長為a的正方形，兩極板之間距離為d．兩板不是嚴格平行，有一夾角?，如圖所示．證明∶

當?<

?d a

a2?a??C??0?1??

d?2d?(級數(shù)展開式∶ln?1?x??x?

16、（本題5分）（1132）

在介電常量為?的?無限大各向同性均勻電介質(zhì)中，有一半徑為R的孤立導體球．若對它不斷充電使其電荷達到Q，試通過充電過程中外力作功，證明帶電導體球的靜電能量為

1213x?x??)23?Q2W8??R．

答案

一、選擇題

1、（本題3分）（1141）C

2、（本題3分）（5280）A

3、（本題3分）（1707）C

4、（本題3分）（1225）C

5、（本題3分）（1533）C

二、填空題

6、（本題3分）（1627）

q4??

0r27、（本題3分）（1390）

q/(4??0?rR)

8、（本題4分）（1534）

?rC0

3分

3分

2分

U12/?r

2分

9、（本題3分）（5684）

3.36×1011 V/m

3分

參考解：

we?11DE??0?rE22

E?

10、（本題3分）（1527）

2we?0?r=3.36×1011 V/m

1.25 ×105 J

3分

三、計算題

11、（本題10分）（5771）

解：設圓筒上電荷線密度為?，由高斯定理可求得兩圓筒間任意半徑處的電位移矢量為

???

r1 < r

E???

r1 < r

1分 r2π?0?rr?

E???

r3 < r

1分 r2π?0r???r?1??

r1 < r

P??0?eE?r?r2πr?

P?0

r3 < r

又

U??r3r1r???dr??dr?r2??r2??02??0?rr023?1r3r2?ln?ln?? ?rr13??r∴

??2??0U

2分 r21r3ln?ln?rr1r3代入得介質(zhì)中：

D???0U?1r3r2?ln?ln??rr3???rr1U?

r1 < r < r3 r?E??r3r2?ln??lnr??rrr3??1?

r1 < r < r3 r 5

?P??0??r?1? U?r3r2?ln??lnr??rrr3??1?

r1 < r < r3 r

???Pn?Pr3??0??r?1? U?r3r2??ln??rln?r3r3??r

1各1分

12、（本題10分）（1182）

解：設內(nèi)外圓筒沿軸向單位長度上分別帶有電荷+?和??, 根據(jù)高斯定理可求得兩圓筒間任一點的電場強度為

E??

2分

2??0?rrR2??R2?drR??ln

2則兩圓筒的電勢差為

U??E?dr??2??0?rr2??0?rR1R1R1解得

??2??0?rU

R2lnR3分

于是可求得Ａ點的電場強度為

EA?R2U= 998 V/m 方向沿徑向向外

2分

Rln(R2/R1)R2R2UUdrA點與外筒間的電勢差： U???Edr? = 12.5 V 3分 ?ln?ln(R2/R1)Rln(R2/R1)RrR13、（本題10分）（1889）

解：設兩球面間電勢差為U，則在無介質(zhì)的半球面上有電荷Q1，有介質(zhì)的半球面上有電荷Q2．按D的高斯定理可得

D1?空氣和介質(zhì)中的場強分別為

E1??Q1Q2D?，2分 2222?r2?rQ1Q2，2分 E?22??0r22??0?rr2由兩球面間電勢差的計算，可得Q1和Q2．

U??Q1Q1R2?R1 dr?R12??r22??RR0210R Q1?2π?0R1R2U

2分

R2?R1 6

U??R2Q22??0?rr2R1dr?Q2R2?R1

2??0?rR2RQ2?2π?0?rR1R2U

1分

R2?R1球面上的總電荷

Q?Q1?Q2?2??0?1??r?R1R2U

1分

R2?R1球面電容器的電容

C?QU?2??1??R1R20?r?R

2?R114、（本題10分）（5791）

解：電場總能量

W?12?V?0?2rEdV

介質(zhì)球內(nèi)半徑為r的小球體內(nèi)的電荷為

q??r0?dV??ar4

介質(zhì)球內(nèi)總電荷為

Q = ?aR空間場強分布為

E =(ar2)/(4?0?r)

0

E =(aR4)/(4?0r2)

R

2∴

W1ar4?1a2R8e??R02?20?r16?22?4?rdr?0?r?R2?016?22?4?r2dr 0r

??a2Rr6dr??a2R8?8?0?r?08?0?1Rr2dr

??a2R7?8???17??1??

0?r?

?

四、理論推導與證明題

15、（本題5分）（1888）

解：將電容器分割成無數(shù)板距不同的微小電容器，其電容為

dC??0dSd??x??0adxd??x

整個電容器的電容為無數(shù)微小電容的并聯(lián)

C??dC??dxd??x??0a?ln??d?a??0a?a0?d??

∵

?<<(d/a)，∴(?a/d)<<1，將 ln(1+?a/d)展開級數(shù)取前二項，得到

2分 2分 4分

4分 2分

2分

a2?a??

C??0?1??

1分

d?2d?

16、（本題5分）（1132）

證：設導體球上某時刻已帶有電荷q，如果將一微小電荷dq從無窮遠處移到球上，則外力克服靜電斥力需作功

RR

dA??Edqdr????qdqdr?qdq/(4??R)

2分

2??4??r導體球從電荷為零充到Q時，外力作總功為

Q

A??qdq/(4??R)?Q2/(8??R)

0上述外力的功是外界能量轉(zhuǎn)換為靜電能量的量度，故導體球的靜電能量為

W?Q28??R

2分

1分