第一篇：546教學一得：如何求圓錐曲線中點弦的軌跡方程

教學一得：如何求圓錐曲線中點弦的軌跡方程

冰兒

求曲線的軌跡方程時，要仔細審題，尋找和確定求解途徑，分清解題步驟，逐步推演，綜合陳述完整作答，但求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是代數(shù)方法研究幾何問題的基礎，也是高考的一個熱點問題。這類問題題把基礎知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融為一體。有關弦中點問題，主要有以下三種類型：過定點的弦中點軌跡；平行弦的中點軌跡；過定點且被定點平分的弦。其解法有代點相減法、設而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法等，現(xiàn)具體介紹以上幾種弦中點軌跡方程的求法。

一、求圓錐曲線過定點的動弦的軌跡方程。其求法：

（1）用直線的點斜式，當斜率存在時，設它的方程為y=k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韋達定理得x1+x2=f(k)。設中點M(x,y)，則x?y?y01f(k),將k?代入上式得G(x,y)=0。2x?x0當P在圓錐曲線外部時，再由直線與圓錐曲線相交的條件△>0。求中點M的坐標x,y的取值范圍。最后檢驗斜率不存在時x=x0與圓錐曲線的弦AB中點M的坐標是否滿足G(x,y)=0(2)代點相減法也稱“點差法”；

x2y2??1的左焦點作弦。求弦中點的軌跡方程。例1，過橢圓54精析：由已知能得到什么，與弦中點的軌跡方程如何轉化，畫出草圖進行分析，尋求解答。

方法一：巧解：設過左焦點F（-1，0）的弦與橢圓相交于A、B兩點。設A（x1,y1），B（x2,y2）,xyxy弦中點為M（x,y）,則1?1?1 ① 2?2?1 ②

54542222由①-②整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0 又因為x1+x2=2x.y1+y2=2y 所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0 當x1≠x2時 kAB?y1?y28x4x???? ③

x1?x210y5y由題意知 kAB?y1?y2y ④ ?x1?x2x?11由③、④整理得 4(x?)2?5y2?1

2當x1=x2時M(-1,0)滿足上式。

方法二：橢圓的左焦點為F（-1，0），設焦點弦所在的直線方程為

y=k(x+1)代入橢圓方程并整理得(4?5k2)x2?10k2x?5k2?20?0 設弦的端點A(x1,y1),B(x2,y2),中點M(x,y),則 x1?x2??10k 24?5k

所以 x?x1?x25k4x2?? 將代入y=k(x+1)得； k??25(1?x)4?5k24y2?k2(x?1)2??x(x?1)

5當k不存在時，弦中點為（-1，0）滿足上述方程

1即 4(x?)2?5y2?1為所求的軌跡方程

2二、求圓錐曲線中斜率為定值的平行弦中點的軌跡方程；

①利用直線的斜截式方程：設平行弦所在的方程為y=kx+m(m為參數(shù))代入F(x,y)=0中。

f(k,m)利用韋達定理得x1+x2=f(k,m)，設中點M(x,y),則x?,y =kx+m,從中消去M，可得G

2（x,y）=0,再由直線與圓錐曲線相交的條件△>0.得M的坐標x，y的取值范圍。

②代點相減法；

例

2、求y2?2px(p?0)的斜率為k的平行弦中點M的軌跡方程。

解：設平行弦所在的直線方程為y=kx+m（m為參數(shù)）代入y2?2px，整理得 k2x2?2(km?p)x?m2?0 當???2(km?p)??4k2m2?0 ① 2 即2km

設兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中點M(x,y)

x?x2km?p?pp?x?1??2y?x?則? 消去m，得 又由①式及x的代數(shù)式得 2k2k2k?y?kx?m?故動點的軌跡方程為y?pp(x?2)k2k方法二：設動弦與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，弦中點M(x,y)

2則 y12?2px1 ① y2?2px2 ②

由①－②，整理得 y1?y2p?

x1?x2yp 22k又點M(x,y)在拋物線內部，所以y2?2px 即x?所以所求軌跡方程為y?pp(x?2)k2k注意：在使用代點相減法時，應該注意中點在圓錐曲線內部的條件，否則會增解。

三、長為定值的圓錐曲線動弦中點的軌跡方程

求長為定值的弦中點的軌跡方程的方法為：設中點坐標M(x0,y0),弦與圓錐曲線的兩個交點為A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代點相減法用x0,y0表示kAB。寫出直線AB的點斜式方程，代入圓錐曲線方程，用弦長公式求解。

例

3、定長為2l(l?1)的線段AB。其兩端點在拋物線x2?y上移動。求線段中點M的軌2跡方程。

解：設中點M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則

2?y2 ② x12?y1 ① x2由①－②得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由題意得x1≠x2?！鄖1?y2?2x0

x1?x22∴直線AB的方程為y-y0=2x0(x-x0)代入y?x2得 ；x2?2x0x?2x0?y0?0

由弦長公式及韋達定理得 AB?1?k2x1?x2 x1+x2=2x0 x1x2=2x02-y0

2?(x1?x2)2?4x1x2 又∵∣AB∣=2l ∴2l?1?4x02即(y0?x0)2(1?4x0)?l2

∴AB中點的軌跡方程為(y?x2)(1?4x2)?l2

四、變式訓練: x2?y2?1，求滿足條件的軌跡方程；

1、已知2（1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

（2）過點A（2，1）的直線與橢圓相交，求直線l被截得弦的中點軌跡方程；

11（3）求過點p(,)且被P平分的弦所在直線方程；

22x2?y2?1 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0 解：（1）設斜率為2的直線方程為y=2x+b代入2設平行弦的端點坐標為(x1,y1)，（x2,y2）,則

△ =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)＞0 得-3＜b＜3 則 x1?x2??x?x28b94444b?? ∴b??x,(???b?)x?19439329 y?y1?y244b?(x1?x2)?b? ∴x?4y?0,(??x?)

3329（2）設l與橢圓的焦點為（x1,y1）(x2,y2),弦中點為（x,y）

2x12x222?y1?1 ① ?y2?1 ② 則 22由①-②整理得（x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 又∵ x1?x2?2x,y1?y2?2y

∴x?2y?y1?y2?0 ④

x1?x2y1?y2y?1 ⑤ ?x1?x2x?2由題意知

y?1?0 即x2?2y2?2x?2y?0 x?2(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入①得 代入④整理得x?2y? y1?y21??

x1?x22故所求的直線方程為2x+4y-3=0 通過以上幾例要注意一些隱含條件,若軌跡是曲線的一部分，應對方程注明x的取值范圍，同時注明x,y的取值范圍。若軌跡有不同情況，應分類討論,以保證它的完整性。

第二篇：求軌跡方程教案

求軌跡的方程

婁底一中 劉瑞華

教學目標：

1、掌握和熟練運用求軌跡方程的常用方法.2、培養(yǎng)思維的靈活性和嚴密性.3、進一步滲透“數(shù)形結合”的思想 教學重點和難點：

重點：落實軌跡方程的幾種常規(guī)求法。

難點：教會學生如何審題，選用適當?shù)姆椒ㄇ筌壽E的方程。教學方法：

討論法、類比法． 教具準備： 多媒體投影． 教學設計：

求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎。這類題目把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體，因而也是歷屆高考考查的重要內容之一。

一、知識回顧

求曲線軌跡方程的基本步驟

在求曲線的軌跡方程時，要經(jīng)歷審題、尋找和確定求解途徑、分清解答步驟、逐步推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當?shù)慕Y論等多個不可缺少的環(huán)節(jié)，其基本步驟是：

（1）建系設點：建立適當?shù)淖鴺讼?，設曲線上任一點坐標M(x,y)；

（2）列式：寫出適合條件的點的集合P?MP(M)，關鍵是根據(jù)條件列出適合條件的等式；

（3）代換：用坐標代換幾何等式，列出方程f(x,y)?0；（4）化簡：把方程f(x,y)?0化成最簡形式；

（5）證明：以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

二、基礎訓練

??

1、已知向量OP與OQ是關于y軸對稱，且2OPOQ?1則點P?x,y?的軌跡方程是____________

2.△ABC中，A為動點，B、C為定點，B(－則動點A的軌跡方程為_________.aa1,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,222x2y2??1上的動點，則F1F2P重心的軌跡方程為

3、點P是以F1,F2為焦點的橢圓

259___________________.4、已知點P?x,?y滿足x?y?4，則點Q?x,y?x22?的y軌跡方程為_____________________ 解答與分析：

1、y?x?221 方法為：直譯法即是如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量2關系,則只需直接把這些關系“翻譯”成x，y的等式，由此得到曲線的方程．

x2y2??1 方法為：定義法就是若動點的軌跡的條件符合某一基本軌跡（如：圓，橢2、43圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可以根據(jù)定義直接寫出動點的軌跡方程．

9x2?y2?1?y?0?方法為：代入法就是若動點P(x,y)依賴于已知方程的曲線上另一個動3、25點C（x0，y0）運動時，找出點P與點C之間的坐標關系式，用（x，y）表示（x0，y0）再將x0，y0代入已知曲線方程，即可得到點P的軌跡方程。

4、y2?2x?4??2?x?2?方法為：所謂參數(shù)法就是在求曲線方程時，如果動點坐標x，y關系不易表達，可根據(jù)具體題設條件引進一個（或多個）中間變量來分別表示動點坐標x，y，間接地把x，y的關系找出來，然后消去參數(shù)即可得到動點的軌跡方程．

小結：

一、由以上幾個題目可以看出求動點的軌跡方程常用的方法有： 1.直譯法;2.定義法

3.相關點法（代入法）;4.參數(shù)法

二、求動點的軌跡方程中的注意點：

1.注意方程的純粹性和完備性即不多不少。2.注意平面幾何知識的運用。3.注意要求是求軌跡方程還是軌跡

三、例題講解

22例1.已知定點A（2，0），點Q是圓x＋y＝1的動點，∠AOQ的平分線交AQ于M，當Q點在圓上移動時，求動點M的軌跡方程。的性質，知 分析1：由三角形的內角平分線|AM|?2，|MQ||AM||OA|?

|MQ||OQ| 而|OA|?2，|OQ|?1，故 即點M分AQ成比為??2，若設出M（x，y），則由分點坐標公式，可表示出點Q的坐標，因Q、M為相關點，（Q點運動導致點M運動），可采用相關點法求點M的軌跡方程。

解法1：設M（x，y），由三角形內角平分線性質定理，得 ∵M在AQ上，∴點M分AQ成比為??2，|AM||AO|??2，|MQ||OQ|2?2·x0?x???1?20)若設點Q的坐標為(x0，y0)，則? 又A(2，0?2·y0?y??1?2?3x?2?x???02 ???y?3y0?2?22而點Q(x0，y0)在圓x2?y2?1上

3x?223y24)?()2?1，化簡，得(x?)2?y2? 22392242 ?點M的軌跡方程為(x?)?y?。

?x0?y0?1，即(性質，知 分析2：由三角形的內角平分線|AM||AO|??2，|QM||QO| 若過M作MN∥OQ交OA于N，則|AN||AM|??2，|ON||QM|0)，而 從而N(，|MN|? ?23|MN||AM|2??，|OQ|?1，|OQ||AQ|3222|OQ|?為定值，可見動點M到定點N的距離為定值。3332 因此M的軌跡是以N為圓心，半徑為的圓，32242 ?其方程為(x?)?y?，39 而當∠AOQ＝180°時，其角分線為y軸，它與AQ交點為原點O，顯然，該點也滿足上述軌跡方程。

注：此種解法為定義法。例

2、設過點A?1,0?的直線與拋物線x2?4y交于不同的兩點P,Q，求線段PQ中點M的軌跡方程。

解：法一：設M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，又由已知可設直線PQ的方程y為：y?k?x?1?，則由

???y?k?x?1?消去??x2?4yy得： x2?4kx?4k?0

?x1?x2?4k,x1x2?4k

x222?y1?x2?x1?x2??2x1x21?y2?4?4?4k2?2k

????x?x1?x2?2k?2消去k得：y?1?x2?x?

?y?y1?y22??2?2k2?2k又直線PQ與拋物線有兩個交點

??16k2?16k?0即k?1或k?0

?x?2或x?0?點M的軌跡方程為：y?12?x2?x?,?x?2或x?0?

法二：設M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由P,Q在拋物線上得

???x21?4y1兩式相減得：??x2?x221?x2??4?y1?y2? 2?4y2變形得x1?x1?y22?4yx?x?4kPQ

12?2x?4kyPQ又kPQ?x?1，消去k12PQ得y?2?x?x?。?又由??y?12?x2?x?得其交點坐標為?0,0?,?2,1? ??x2?4yQPoAx因為中點必須在拋物線內，由圖可知x?2或x?0

?點M的軌跡方程為：y?

四、小結

略。

五、作業(yè)

12x?x?,?x?2或x?0? ?

21、過拋物線x2?4y的焦點的弦PQ的中點的軌跡方程？

2、過點A?1,0?的直線與圓x?y?221交于不同的兩點P,Q則PQ的中點的軌跡方程？ 4

第三篇：數(shù)學高考復習名師精品教案：第67課時：第八章 圓錐曲線方程-軌跡問題

數(shù)學高考復習名師精品教案

第67課時：第八章 圓錐曲線方程——軌跡問題（2）

課題：軌跡問題（2）一．復習目標：

1．掌握求軌跡方程的另幾種方法——相關點法（代入法）、參數(shù)法（交規(guī)法）； 2．學會用適當?shù)膮?shù)去表示動點的軌跡，掌握常見的消參法． 二．知識要點：

1．相關點法（代入法）：對于兩個動點P(x0,y0),Q(x,y)，點P在已知曲線上運動導致點Q運動形成軌跡時，只需根據(jù)條件找到這兩個點的坐標之間的等量關?x0?f(x,y)系并化為?然后將其代入已知曲線的方程即得到點Qy?g(x,y)?0的軌跡方程．

2．參數(shù)法（交規(guī)法）：當動點P的坐標x,y之間的直接關系不易建立時，可適當?shù)剡x取中間變量t，并用t表示動點P的坐標x,y，從而動點軌跡的參數(shù)方程?x?f(t)消去參數(shù)t，便可得到動點P?y?g(t)?的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有t的范圍確定出x,y的范圍． 三．課前預習： 1．已知橢圓Q分FP x225?y216?1的右焦點為F，Q、P分別為橢圓上和橢圓外一點，且點的比為1:2，則點P的軌跡方程為（C）

(A)(x?6)752?y248?1(B)(x?6)752?y248?1(C)(x?6)2252?y2144?1(D)(2x?3)2252?4y2144?1

2．設動點P在直線x?1?0上，O為坐標原點，以OP為直角邊，點O為直角頂點作等腰直角三角形OPQ，則動點Q的軌跡是（B）

(A)(B)兩條平行直線(C)拋物線(D)雙曲線

3．已知點P(x,y)在以原點為圓心的單位圓上運動，則點Q(x?y,xy)的軌跡是（B）

(B)

拋物線

(C)橢圓

(D)雙曲線(A)圓

4．雙曲線x24?y23?1關于直線x?y?2?0對稱的曲線方程是

(y?2)42?(x?2)32?1

5．傾斜角為的直線交橢圓4?x24?y2?1于A,B兩點，則線段AB中點的軌跡方程是x?4y?0(|x|?455)

四．例題分析： 例1．動圓C:(x?1)2?y2?1，過原點O作圓的任一弦，求弦的中點的軌跡方程．

解：

（一）直接法：設OQ為過O的任一條弦P(x,y)是其中點，則CP?OQ，則????????1212CP?OQ?0 ∴(x?1,y)(x,y)?0，即(x?)?y?(0?x?1)

4（二）定義法：∵?OPC?90120，動點P在以M(2212,0)為圓心，OC為直徑的圓上，∴所求點的軌跡方程為(x?)?y?14(0?x?1)

?y?kx

（三）參數(shù)法：設動弦PQ的方程為y?kx，由? 得： 22?(x?1)?y?1(1?k)x?2x?0，設P(x1,y1),Q(x2,y2)22，PQ的中點為(x,y)，則：

12)?y?22x?x1?x22?11?k2，y?kx?k1?k2 消去k得(x?114(0?x?1)

例2．求過點A(1,2)，離心率為，且以x軸為準線的橢圓的下方的頂點軌跡方程．

2解：設橢圓下方的焦點F(x0,y0)，橢圓的下方的頂點為

由定義又x0|AF|2?3212y，∴|AF|?1，即點F的軌跡方程是(x，∴點的P軌跡方程為(x?1)220?1)?(y0?2)?1，22?x,y0??(32y?2)?1.2例3．設橢圓方程為x坐標原點，點求： ?y24?1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是

N的坐標為(11,)22????1????????P滿足OP?(OA?OB)，點

2，當l繞點M旋轉時，（1）動點P的軌跡方程；

（2）????|NP|的最小值與最大值.（1）解法一：直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為y?kx?1.記A(x1,y1)、B(x2,y2),由題設可得點A、B的坐標(x1,y1)、(x2,y2)是方程組

① ?y?kx?1?2 的解.?2y?1② ?x?4?將①代入②并化簡得，(4?k2)x22k?x?x??,122??4?k于是 ?8?y?y?.122?4?k??2kx?3?0，所以

OP?12(OA?OB)?(x1?x22,y1?y22)?(?k4?k2,44?k2).設點P的坐標為(x,y),則

?k?x?,2??4?k消去參數(shù)?4?y?.2?4?k?k得4x2?y?y?0 ③

2當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2?y?y?0.2解法二：設點P的坐標為(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在橢圓上，所以

21x?y142?1, ④ x?22212y242?1.⑤

④—⑤得x?x2?1414(y1?y2)?0，所以 22(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0.當x1?x2時，有x1?x2?14(y1?y2)?y1?y2x1?x2?0.⑥

?x1?x2x?,?2?y1?y2并且? ⑦ y?,?2?y1?y2?y?1?.?x1?x2?x將⑦代入⑥并整理得 4x2當x10）?x2時，點

?y?y?0.⑧

2A、B的坐標為（0，2）、（0，－2），這時點P的坐標為（0，也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為

x2(y??1412)2116?1.五．課后作業(yè)： 1．拋物線y2(A)y2?4x經(jīng)過焦點的弦的中點的軌跡方程是（）

2?x?1(B)y?2(x?1)(C)y2?x?12(D)y2?2x?1

2．已知橢圓x29?y24?1的左、右頂點分別為A1和A2，垂直于橢圓長軸的動直線與橢圓的兩個交點分別為P1和P2，其中P1的縱坐標為正數(shù)，則直線A1P1與A2P2的交點M的軌跡方程（）

(A)x29?y24?1(B)y29?x24?1(C)x29?y24?1(D)y29?x24?1

3．已知拋物線y??x2?mx?1(m?R)的頂點為A，那么當m變化時，此拋物線焦點F的軌跡方程是___________________________． 4．自橢圓Mx220?y24?1上的任意一點P向x軸引垂線，垂足為Q，則線段PQ的中點的軌跡方程為

x25．已知橢圓9?y25?1的兩個焦點分別是F1、F2，△MF1F2的重心G恰為橢圓上的點，則點M的軌跡方程為 ．

??6．如圖，7．設x,y?Ri,j為直角坐標平面內x,y軸正方向上的單位向量，若向的軌跡C的方程． 量a?(x?5)i?????????yj b?(x?5)i?yj，|a|?|b|?8，求點M(x,y)7．某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩個觀測點晚4s，已知各觀測點到中心的距離都是1020m，試確定該巨響發(fā)生的位置．（假定當時聲音傳播的速度為340m/s；相關各點均在同一平面上）8．設雙曲線C:xa22?yb22右準線l?1(a?0,b?0)的離心率為e，與兩條漸近線交于P,Q兩點，右焦點為F，且?PQF為等邊三角形．

（1）求雙曲線C的離心率e的值；（2）若雙曲線C被直線y?ax?b截得的弦長為bea22，求雙曲線C的方程；（3）設雙曲線C經(jīng)過點(1,0)，以F為左焦點，l為左準線的橢圓，其短軸的端點為B，求BF中點的軌跡方程．

第四篇：高中數(shù)學教學論文 中點弦問題的求解策略 蘇教版選修2-1

中點弦問題的求解策略

中點弦問題常見的題型有：1．求中點弦所在的直線方程；2．求弦的中點的軌跡方程；3．求弦長為定值的弦中點的坐標．常用的求解策略是：1．兩式相減用中點公式求得斜率；2．聯(lián)列方程組用韋達定理．

例1．已知直線x?y?2與拋物線y2?4x交于A，B兩點，那么線段AB的中點的坐標為 ．

?x?y?2解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?，由?2得y2?4y?8?0，從而

?y?4xy1?y2?4,x1?x2?y1?y2?4?8，因此，線段AB的中點的坐標為?4,2?．

例2．橢圓3x2?4y2?12中，一組平行弦中點的軌跡是x?2y?0（在橢圓內的一段），則這組平行弦的斜率為 ．

解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?是這組平行弦中的一條弦與橢圓的交點，從而x1?x2??2?y1?y2?，把A，B的坐標代入橢圓方程并相減得3?x1?x2??x1?x?2?4?k??3?x1?x2?4?y1?y2??32y1??y?2y1??y2?0，即．

22例3．直線l與橢圓x?2y?2交于P1,P2兩點，線段P1P2的中點為P，設直線l的斜率為k1?k1?0?，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值等于（）A．2 B．?2 C．12 D．?12

?x1?x2?212解析：D．設P1?x1,y1?,P2?x2,y2x1?x2?，從而P?,y1?y2y1?y2?k?，因此，把P1,P2代入橢2?x?x2?12圓方程并相減得k1??2?y1?y2?，故k1k2??．

例4．直線y?kx?2交拋物線y?8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則|AB|? ．

2用心

愛心

專心 1

解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?8k?y?kx?2，由?2得ky2?8y?16?0，又由??64?64k?0知

?y?8x1?8??4???4得k?2． k?k?k??1．又y1?y2?，從而x1?x2?例5．已知橢圓x216?y24?1，求以點P?2,?1?為中點的弦所在的直線方程．

解析：設所求直線與橢圓相交于A?x1,y1?,B?x2,y2?，把A，B的坐標代入橢圓方程并相減得又因為點P為弦AB的中點，則x1?x2?4,y1?y2??2，(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0，從而得到k?12，∴所求直線方程為x?2y?4?0．

例6．已知橢圓C的焦點分別為F1?22,0和F222,0，長軸長為6，設直線y?x?2交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的中點坐標．

解析：設A?x1,y1?,B?x2,y2?，并根據(jù)題意，得橢圓的方程為x2?9y2?9，把直線y?x?2方程代入橢圓方程并整理得10x2?36x?27?0，從而x1?x2??AB的中點坐標為????91?,?． 55?185,y1?y2??185?4?25????．因此線段

用心

愛心

專心 2

第五篇：3.1.2用二分法求方程的近似解(教學設計)

3.1.2用二分法求方程的近似解

地點：高一（20）班

時間：11月6日上午第二節(jié)課

一、教材分析

本節(jié)內容是數(shù)學必修一第三章第一節(jié)《函數(shù)與方程》的第二小節(jié)，二分法是求方程近似解的常用方法，它體現(xiàn)了函數(shù)的思想以及函數(shù)與方程的聯(lián)系，為高中數(shù)學中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、二分法的算法思想打下了基礎，為數(shù)學3中算法的內容的學習做了鋪墊。二分法體現(xiàn)了數(shù)學的逼近思想，對學生以后學習圓周的計算、球的表面積體積公式的由來等微積分的知識起了奠基作用。

二、教學目標

1.理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的一種方法；利用信息技術輔助教學，讓學生用計算器驗證求方程近似值的過程；

2.體會二分法的思想與方法，使學生意識到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學生了解近似逼近思想，培養(yǎng)學生探究問題的能力、創(chuàng)新的能力；

3.體驗并理解函數(shù)與方程相互轉化的數(shù)學思想方法；感受通過迂回的方法使問題得到解決。

三、教學重點：二分法的原理及其探究過程；用二分法求方程的近似解。

四、教學難點：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解。

五、教學方法：探究式教學法

六、教學過程

（一）情境導入

問題：11月份，我會選擇一天的晚自習讓同學們進行必修一的綜合測試，那么大家猜一猜我會選在哪一天？猜測之前給大家3個游戲規(guī)則：①這天不在1號，不在30號；

②如果大家猜測的日期在考試之前我就說小了，在考試之后我就說大了； ③大家猜測的日期和考試的日期相差一天就算對。

提問1：在剛才的猜測過程中發(fā)生了什么樣的情境？

15日這個日期是不是基本上位于這個線段的中間的位置？這個時候我說大了，那么原來這個區(qū)間1-30這個區(qū)間長度是不是由原來的30天縮短為15天？區(qū)間猜測的范圍是不是縮小了？再猜測7日，我說小了，那是不是區(qū)間又由原來的1-15日15天縮短為7-15日？

提問2：在整個的情境發(fā)生過程中我們能發(fā)現(xiàn)哪幾個問題？

1.整個的區(qū)間長度在逐漸的縮小，而且這個縮小的區(qū)間越來越靠近我考試的精確日期，也就是取中點這個方法是有效的；

2.我之所以說相差一天就算對，實際上作用是什么？控制誤差，這個誤差在我們數(shù)學上叫做精確度，我們把整個的區(qū)間長度規(guī)定為精確度，這個度精確度越來越小

3.體現(xiàn)了兩種思想，第一種思想是越來越逼近于我考試的精確日期，另一種是精確度可以控制我的猜測次數(shù) 這個問題能不能抽離它的實際背景，把它放到數(shù)學應用中來？ 提問3：我們一起來看一下這個問題：解方程：lnx?2x?6?0？

求方程lnx?2x?6?0的近似解也就是求它對應的函數(shù)f(x)?lnx?2x?6的零點的近似值。這個函數(shù)的零點在哪個區(qū)間？這個函數(shù)為什么在區(qū)間（2,3）內有零點？

現(xiàn)在我想讓大家求出這個函數(shù)的精確零點，或者這個函數(shù)對應的方程的精確的根，但是很可惜大家用現(xiàn)有的方法無法解出它的精確的零點。因此我又類比剛剛猜考試日期這個想法，讓它逼近精確的零點。我們就會想到求這個函數(shù)所對應方程的近似解。這節(jié)課我們主要學習求方程的近似解。

（二）新課學習

要把一開始所確定的（2,3）這個區(qū)間逐步逐步的縮小，讓這個區(qū)間縮小后是的這個近似解越來越靠近精確解。那么，如何來縮小這個區(qū)間呢？回想剛剛猜測考試日期的過程。

我們要不斷縮?。?，3）這個區(qū)間使它逐步逼近方程精確的解。取區(qū)間的中點。提問4：如何判斷到底取中點左側的區(qū)間還是右側的區(qū)間，這個問題如何解決？

猜考試日期時我說大了、小了，在區(qū)間端點處都標記了大小，這個大小，實際上對應了我考試日期的正負，請大家計算區(qū)間中點處的函數(shù)值，并函數(shù)值的正負。也就是每次取中點以后我們是不是都要計算中點的函數(shù)值。通過看中點處函數(shù)值的符號判斷零點在中點左側區(qū)間還是右側區(qū)間。

我們知道，函數(shù)f(x)的圖象與直角坐標系中x軸交點的橫坐標就是方程f(x)?0的解，利用上節(jié)課學過的函數(shù)零點存在的條件，我們用逐步逼近的方法，來求方程的近似解．

（1）在區(qū)間（2，3）內，方程有解，取區(qū)間（2，3）中點2.5；

（2）用計算器計算f(2.5)??0.084，因為f(2.5)?f(3)?0，所以零點在區(qū)間(2.5,3)內；

（3）再取區(qū)間(2.5,3)中點2.75，用計算器計算f(2.75)?0.512，因為f(2.5)?f(2.75)?0，所以零點在區(qū)間(2.5,2.75)內．

二分法定義：對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)?f(b)?0的函數(shù)y?f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection）． 零點所在的區(qū)間不停的縮小，那么這個縮小的過程是不是要永無止境的縮小下去？

提問5：零點所在的區(qū)間不斷縮小，那么這個縮小的過程是不是要永無止境的進行下去？我們要如何終止這個區(qū)間的縮小過程？

（4）重復上面的過程，在有限次重復相同步驟后，零點所在區(qū)間長度在一定精度控制范圍內，零點所在區(qū)間內的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點作為零點的近似值．

本例中，把取中點和判斷零點的過程，用表格列出（課本第89頁表3-2）．

?0.01，所以，我們可將x?2.53125作為函當精確度為0.01時，由于2.5390625?2.53125?0.0078125數(shù)f(x)?lnx?2x?6零點的近似值，也即方程lnx?2x?6?0根的近似值． 提問6：能否根據(jù)剛剛求方程lnx?2x?6?0近似解的步驟總結用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟？ 給定精確度?，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟： 1）確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)?f(b)?0，給定精確度?； 2）求區(qū)間(a,b)的中點c； 3）計算f(c)；

4）判斷：（1）若f(c)?0，則c就是函數(shù)的零點；（2）若f(a)?f(c)?0，則令b?c（此時零點x0?(a,c)）；（3）若f(c)?f(b)?0，則令a?c（此時零點x0?(c,b)）．

5）判斷：區(qū)間長度是否達到精確度?？即若a?b??，則得到零點近似值；否則重復2——5．

（三）課堂練習

求方程x3?3x?1?0的近似解（精確度為0.1）

（四）課堂小結

1、什么是二分法？具有什么特點的函數(shù)適合用二分法求其零點的近似解？

2、利用二分法求方程近似解的步驟

3、本節(jié)課運用了哪些數(shù)學思想方法

（五）課后作業(yè)

P89練習2 閱讀課本P89-P91