第一篇：2012高中數(shù)學(xué)蘇教版教學(xué)案-第九章-立體幾何序言課教案設(shè)計(jì)

立體幾何序言課教案設(shè)計(jì)

一、充分認(rèn)識(shí)序言課的重要性，是上好立體幾何序言課的前提。

立體幾何序言課以課本中的“引言”為主要教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)立體幾何這門功課有一個(gè)粗略的整體性了解，在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容之前有一個(gè)積極的思想準(zhǔn)備。通過序言課的教學(xué)，學(xué)生明白了立體幾何研究的內(nèi)容及學(xué)習(xí)立體幾何的目的，就能為以后的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。然而有的老師對(duì)序言課卻不夠重視，把已經(jīng)十分抽象概括的“引言”進(jìn)一步抽象概括，開課后草草幾句便開始了“平面”的教學(xué)。教師急急匆匆，學(xué)生稀里糊涂，極易給后繼學(xué)習(xí)帶來消極影響。

由此可見，教師在充分認(rèn)識(shí)序言課重要性的前提下，認(rèn)真組織教學(xué)，努力完成序言課的教學(xué)任務(wù)，對(duì)提高立體幾何課的教學(xué)效益是至關(guān)重要的。

二、排除心理障礙，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，是立體幾何序言課的主要任務(wù)。

部分學(xué)生認(rèn)為立體幾何比平面幾何難學(xué)，存在畏懼心理；多數(shù)學(xué)生對(duì)能不能學(xué)好這門功課信心不足，對(duì)怎樣學(xué)習(xí)這門功課心中無數(shù)。這種消極心理狀態(tài)必然會(huì)給學(xué)習(xí)造成消極影響。因此在序言課教學(xué)中，應(yīng)把排除上述心理障礙，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣作為首先任務(wù)。1.盡量引用實(shí)例?！耙浴敝兄赋?，“建造廠房、制造機(jī)器、修筑堤壩等，都需要進(jìn)一步研究空間圖形的問題。”為了使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到立體幾何是一門應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)學(xué)科，我們?cè)谛蜓哉n上展示學(xué)校教學(xué)樓的建筑圖紙，學(xué)生爭(zhēng)相觀看，興趣盎然，并能辨認(rèn)出：“這就是我們的教學(xué)樓！”教者由此指出：“沒有立體幾何知識(shí)，這張圖紙是畫不出來的?！薄巴瑢W(xué)們能從圖紙上看出是我們的教學(xué)樓，這說明大家已具有一定的空間想象能力，這正是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)。有這樣好的基礎(chǔ)，何愁學(xué)不好它？”聽到這些鼓勵(lì)，學(xué)生常露出自信的微笑。2.巧用教具、模型。

要求學(xué)生自制簡單幾何體的模型這樣在序言課上就可以讓學(xué)生觀看前屆學(xué)生自制的各種模型。那些自制的模型，有紙質(zhì)的，有木質(zhì)的，有用鉛絲做的，也有用粘土做的，看顏色，五彩繽紛，望形狀，新穎別致。學(xué)生看了這些精美的并留有制作者姓名的模型后，贊嘆不已，大有“躍躍欲試”之勢(shì)。

借助模型還可以幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)習(xí)近平面圖形時(shí)產(chǎn)生的思維定勢(shì)的消極影響。

例如，在黑板上畫出圖1，不少學(xué)生乍一看認(rèn)為這是一個(gè)平面圖形，當(dāng)教師指出這是一個(gè)空間圖形的直觀圖時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為小平行四邊形凹在后面，有的學(xué)生認(rèn)為小平行四邊形凸在前面，因而引起了激烈的爭(zhēng)論，但很快意見趨于統(tǒng)一：兩種情況都可能存在。接著教師出示用硬紙板做的模型，學(xué)生觀物思圖，看圖想物，終于形成了強(qiáng)烈的立體感。然后教師在黑板上畫出圖2和圖3，并用模型示范，學(xué)生不僅分清了兩種不同的情況，更重要的是感受到了學(xué)習(xí)立體幾何新鮮有趣，就能變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。3.加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。

立幾知識(shí)與學(xué)生已掌握的平面幾何知識(shí)有密切的聯(lián)系。序言課中有目的地加強(qiáng)這種聯(lián)系有助于消除學(xué)生怕學(xué)、厭學(xué)的心理障礙，增強(qiáng)學(xué)好立體幾何的信心。

當(dāng)教師把模型放上講臺(tái)時(shí)，學(xué)生認(rèn)出模型中的正方體、圓柱體、圓錐體??教師指出：“這些幾何體在小學(xué)大家就已經(jīng)學(xué)過，現(xiàn)在學(xué)習(xí)立體幾何，就是要進(jìn)一步研究這些幾何體的性質(zhì)?！边@樣學(xué)生就會(huì)感到立體幾何并不陌生。教師還可以問學(xué)生：“兩條直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)？兩個(gè)平面相交有幾條交線？”用教具演示后學(xué)生很快就能掌握。再問：“幾個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線？幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？”學(xué)生會(huì)不加思索回答：“兩個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線，兩個(gè)點(diǎn)也可以確定一個(gè)平面?！边@時(shí)教師用兩個(gè)指頭試圖將一塊硬紙板頂住，但是無論怎樣變化位置總不能成功，引得學(xué)生一陣哄笑，不少學(xué)生也拿出作業(yè)本做試驗(yàn)。教師抓住這一時(shí)機(jī)告訴學(xué)生：“立體幾何與平面幾何有密切的聯(lián)系，它們研究的對(duì)象雖然不同，但研究的方法和研究的內(nèi)容（性質(zhì)、畫法、計(jì)算和應(yīng)用）基本相同?！边@就能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)立幾是學(xué)習(xí)習(xí)近平幾的自然延續(xù)。

三、引導(dǎo)學(xué)生探討如何學(xué)好立體幾何是序言課教學(xué)的落腳點(diǎn)。

有些老師常在序言課上板著面孔提出要“認(rèn)真聽講，認(rèn)真做好作業(yè)，課前要預(yù)習(xí)，課后要復(fù)習(xí)”的要求，這些自學(xué)生跨進(jìn)校門之日起就聽?wèi)T了的老調(diào)，并沒有多少效果。我們的做法是讓學(xué)生自由討論，各抒己見。因?yàn)橥ㄟ^以上活動(dòng)，學(xué)生對(duì)立體幾何的興趣被點(diǎn)燃以后，便自然想到：“我們?cè)鯓硬拍軐W(xué)好立幾知識(shí)呢？經(jīng)過討論以后，教師再歸納得出學(xué)好立幾的主要方法：①加強(qiáng)與平幾知識(shí)的聯(lián)系，注意用對(duì)比的方法區(qū)別異同，掌握實(shí)質(zhì)；②注意對(duì)實(shí)物、教具和模型的觀察和分析，培養(yǎng)空間想象能力；③自己動(dòng)手制作模型，以加深對(duì)立幾知識(shí)的理解和應(yīng)用。為了學(xué)好第一章，我們要求學(xué)生準(zhǔn)備好硬紙板三塊（代平面用），竹針或鉛絲四根（代直線用），在學(xué)習(xí)中隨時(shí)進(jìn)行模型演示，以逐步建立起空間觀念。?

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第二篇：立體幾何序言課教案設(shè)計(jì)j

立體幾何序言課教案設(shè)計(jì)

一、充分認(rèn)識(shí)序言課的重要性，是上好立體幾何序言課的前提。

立體幾何序言課以課本中的“引言”為主要教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)立體幾何這門功課有一個(gè)粗略的整體性了解，在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容之前有一個(gè)積極的思想準(zhǔn)備。通過序言課的教學(xué)，學(xué)生明白了立體幾何研究的內(nèi)容及學(xué)習(xí)立體幾何的目的，就能為以后的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

然而有的老師對(duì)序言課卻不夠重視，把已經(jīng)十分抽象概括的“引言”進(jìn)一步抽象概括，開課后草草幾句便開始了“平面”的教學(xué)。教師急急匆匆，學(xué)生稀里糊涂，極易給后繼學(xué)習(xí)帶來消極影響。

由此可見，教師在充分認(rèn)識(shí)序言課重要性的前提下，認(rèn)真組織教學(xué)，努力完成序言課的教學(xué)任務(wù)，對(duì)提高立體幾何課的教學(xué)效益是至關(guān)重要的。

二、排除心理障礙，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，是立體幾何序言課的主要任務(wù)。部分學(xué)生認(rèn)為立體幾何比平面幾何難學(xué)，存在畏懼心理；多數(shù)學(xué)生對(duì)能不能學(xué)好這門功課信心不足，對(duì)怎樣學(xué)習(xí)這門功課心中無數(shù)。這種消極心理狀態(tài)必然會(huì)給學(xué)習(xí)造成消極影響。因此在序言課教學(xué)中，應(yīng)把排除上述心理障礙，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣作為首先任務(wù)。

1.盡量引用實(shí)例。

“引言”中指出，“建造廠房、制造機(jī)器、修筑堤壩等，都需要進(jìn)一步研究空間圖形的問題?！睘榱耸箤W(xué)生真正認(rèn)識(shí)到立體幾何是一門應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)學(xué)科，我們?cè)谛蜓哉n上展示學(xué)校教學(xué)樓的建筑圖紙，學(xué)生爭(zhēng)相觀看，興趣盎然，并能辨認(rèn)出：“這就是我們的教學(xué)樓！”教者由此指出：“沒有立體幾何知識(shí)，這張圖紙是畫不出來的。”“同學(xué)們能從圖紙上看出是我們的教學(xué)樓，這說明大家已具有一定的空間想象能力，這正是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)。有這樣好的基礎(chǔ)，何愁學(xué)不好它？”聽到這些鼓勵(lì)，學(xué)生常露出自信的微笑。

2.巧用教具、模型。

要求學(xué)生自制簡單幾何體的模型這樣在序言課上就可以讓學(xué)生觀看前屆學(xué)生自制的各種模型。那些自制的模型，有紙質(zhì)的，有木質(zhì)的，有用鉛絲做的，也有用粘土做的，看顏色，五彩繽紛，望形狀，新穎別致。學(xué)生看了這些精美的并留有制作者姓名的模型后，贊嘆不已，大有“躍躍欲試”之勢(shì)。

借助模型還可以幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)習(xí)近平面圖形時(shí)產(chǎn)生的思維定勢(shì)的消極影響。例如，在黑板上畫出圖1，不少學(xué)生乍一看認(rèn)為這是一個(gè)平面圖形，當(dāng)教師指出這是一個(gè)空間圖形的直觀圖時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為小平行四邊形凹在后面，有的學(xué)生認(rèn)為小平行四邊形凸在前面，因而引起了激烈的爭(zhēng)論，但很快意見趨于統(tǒng)一：兩種情況都可能存在。接著教師出示用硬紙板做的模型，學(xué)生觀物思圖，看圖想物，終于形成了強(qiáng)烈的立體感。然后教師在黑板上畫出圖2和圖3，并用模型示范，學(xué)生不僅分清了兩種不同的情況，更重要的是感受到了學(xué)習(xí)立體幾何新鮮有趣，就能變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。

3.加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。

立幾知識(shí)與學(xué)生已掌握的平面幾何知識(shí)有密切的聯(lián)系。序言課中有目的地加強(qiáng)這種聯(lián)系有助于消除學(xué)生怕學(xué)、厭學(xué)的心理障礙，增強(qiáng)學(xué)好立體幾何的信心。當(dāng)教師把模型放上講臺(tái)時(shí)，學(xué)生認(rèn)出模型中的正方體、圓柱體、圓錐體??教師指出：“這些幾何體在小學(xué)大家就已經(jīng)學(xué)過，現(xiàn)在學(xué)習(xí)立體幾何，就是要進(jìn)一步研究這些幾何體的性質(zhì)?！边@樣學(xué)生就會(huì)感到立體幾何并不陌生。教師還可以問學(xué)生：“兩條直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)？兩個(gè)平面相交有幾條交線？”用教具演示后學(xué)生很快就能掌握。再問：“幾個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線？幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？”學(xué)生會(huì)不加思索回答：“兩個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線，兩個(gè)點(diǎn)也可以確定一個(gè)平面?！边@時(shí)教師用兩個(gè)指頭試圖將一塊硬紙板頂住，但是無論怎樣變化位置總不能成功，引得學(xué)生一陣哄笑，不少學(xué)生也拿出作業(yè)本做試驗(yàn)。教師抓住這一時(shí)機(jī)告訴學(xué)生：“立體幾何與平面幾何有密切的聯(lián)系，它們研究的對(duì)象雖然不同，但研究的方法和研究的內(nèi)容（性質(zhì)、畫法、計(jì)算和應(yīng)用）基本相同?！边@就能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)立幾是學(xué)習(xí)習(xí)近平幾的自然延續(xù)。

三、引導(dǎo)學(xué)生探討如何學(xué)好立體幾何是序言課教學(xué)的落腳點(diǎn)。

有些老師常在序言課上板著面孔提出要“認(rèn)真聽講，認(rèn)真做好作業(yè)，課前要預(yù)習(xí)，課后要復(fù)習(xí)”的要求，這些自學(xué)生跨進(jìn)校門之日起就聽?wèi)T了的老調(diào)，并沒有多少效果。我們的做法是讓學(xué)生自由討論，各抒己見。因?yàn)橥ㄟ^以上活動(dòng)，學(xué)生對(duì)立體幾何的興趣被點(diǎn)燃以后，便自然想到：“我們?cè)鯓硬拍軐W(xué)好立幾知識(shí)呢？經(jīng)過討論以后，教師再歸納得出學(xué)好立幾的主要方法：①加強(qiáng)與平幾知識(shí)的聯(lián)系，注意用對(duì)比的方法區(qū)別異同，掌握實(shí)質(zhì)；②注意對(duì)實(shí)物、教具和模型的觀察和分析，培養(yǎng)空間想象能力；③自己動(dòng)手制作模型，以加深對(duì)立幾知識(shí)的理解和應(yīng)用。為了學(xué)好第一章，我們要求學(xué)生準(zhǔn)備好硬紙板三塊（代平面用），竹針或鉛絲四根（代直線用），在學(xué)習(xí)中隨時(shí)進(jìn)行模型演示，以逐步建立起空間觀念。

平面

立體幾何課程是初等幾何教育的內(nèi)容之一，是在初中平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開設(shè)的，以空間圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算以及它們的應(yīng)用為研究對(duì)象，以演繹法為研究方法．通過立體幾何的教學(xué)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力．

平面的概念和平面的性質(zhì)是立體幾何全部理論的基礎(chǔ)．平面，是現(xiàn)實(shí)世界存在著的客觀事物形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象，在立體幾何中是只描述而不定義的原始概念，但平面是把三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形的主要媒介，在立體幾何問題平面化的過程中具有重要的橋梁作用．

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1．“平面”是空間圖形的基本元素，很多空間圖形的面都是平面圖形，平面圖形及其性質(zhì)是初中平面幾何的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此，要建立起“空間問題平面化”的觀點(diǎn)．

2．雖然日常生活中的平面物體有一定的局限，但作為立體幾何中的“平面”無大小之分，是無限延展的．

3．平面可用圖形表示，也可用符號(hào)表示，應(yīng)理清與其它圖形表示法的聯(lián)系與區(qū)別．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．通過“平面”概念的教學(xué)，初步培養(yǎng)空間想象能力，如平面的無限延展性．

2．由敘述語言、圖形語言和符號(hào)語言的互譯，培養(yǎng)語言轉(zhuǎn)換能力．

（三）德育滲透點(diǎn)

通過通俗意義上的平面到數(shù)學(xué)意義上的平面的學(xué)習(xí)，了解具體與抽象，特殊與一般的辯證關(guān)系，由點(diǎn)、直線、平面間內(nèi)在的聯(lián)系逐漸形成“事物總是運(yùn)動(dòng)變化”的辯證觀點(diǎn)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法 1．教學(xué)重點(diǎn)

（1）從客觀存在的平面物體抽象出“平面”概念．

（2）掌握點(diǎn)、直線、平面間的相互關(guān)系，并會(huì)用文字、圖形、符號(hào)語言正確表示．

（3）理解平面的無限延展性． 2．教學(xué)難點(diǎn)

（1）理解平面的無限延展性．

（2）集合概念的符號(hào)語言的正確使用． 3．解決辦法

（1）借助實(shí)物操作，抽象出“平面”概念．

（2）運(yùn)用正遷移規(guī)律，將直線的無限延伸性類比于平面的無限延展性．

三、課時(shí)安排 1課時(shí)．

四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

準(zhǔn)備好紙板三塊，紙盒一個(gè)，小竹簽四根．紙板作為平面的模型，紙盒用于觀察平面的位置，以便同畫出的圖形比較，小竹簽用于表示直線．

五、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1．能夠從日常生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”． 2．理解平面的無限延展性．

3．正確地用圖形和符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系．

（二）整體感知

“立體幾何”作為一門學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)的學(xué)科，其內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說基本上是完全陌生的，應(yīng)以“講授法’的主，引導(dǎo)學(xué)生觀察和想象，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，初步培養(yǎng)空間想象力．

本課是“立體幾何”的起始課，應(yīng)先把這一學(xué)科的內(nèi)容作一大概介紹，包括課本的知識(shí)結(jié)構(gòu)，“立體幾何”的研究對(duì)象，研究方法，學(xué)習(xí)立體幾何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以類比的方式，聯(lián)系直線的無限延伸性去理解平面的無限延展性，突破教學(xué)難點(diǎn)．在進(jìn)行“平面的畫法”教學(xué)時(shí)，不僅要會(huì)畫水平放置的平面，還應(yīng)會(huì)畫直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）．在用字母表示點(diǎn)、直線、平面三者間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)指明是借用了集合語句，并用列表法將這些關(guān)系歸類，以便作為初學(xué)者的學(xué)生便于比較、記憶和運(yùn)用．

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

A．引言

師：以往我們所學(xué)的幾何是平面幾何，研究的是平面圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算、應(yīng)用．今天我們開始學(xué)習(xí)一門新的學(xué)科——立體幾何．立體幾何的研究對(duì)象是空間圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算及應(yīng)用．它使得我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容從二維平面上升到三維空間，因此，需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中通過嚴(yán)密的邏輯推理把三維空間圖形問題轉(zhuǎn)化為二維平面圖形問題，這也是學(xué)好立體幾何的一個(gè)重要方法． 《立體幾何》一書共分兩章：第一章“直線和平面”是立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和理論基礎(chǔ)；第二章“多面體和旋轉(zhuǎn)體”是理論知識(shí)的運(yùn)用，并被廣泛地應(yīng)用于日常生產(chǎn)生活之中．

B．平面

1．平面的特點(diǎn)

師：現(xiàn)在我們來看手中的紙盒，它是由幾個(gè)面構(gòu)成的？ 生：6個(gè)面．

師：對(duì)，這六個(gè)面給我們以平面的形象，還有哪些面留給我們平面的形象呢？ 生：桌面、黑板、地面、海平面等．

師：對(duì)，這些物體是生活中所說的平面，但還不能算是數(shù)學(xué)意義上的平面，因?yàn)樗鼈兪怯邢薜拿妫偃绾Ｆ矫嫔嫌胁?，?dāng)我們想象它是一平如鏡時(shí)，它有什么特點(diǎn)呢？

生：很大、很平．

師：對(duì)，平面是一個(gè)不加定義的概念，具有“平”、“無限延展”、“無厚薄”的特點(diǎn)．一個(gè)平面可以把空間分成兩部分，這正如直線是無限延伸的，一條直線可以把平面分成兩部分，我們所畫的只是一條直線的一部分．因此，剛才所說的物體如果是平的，也只是它所在平面的一部分．

2．平面的畫法

師：同學(xué)們從小就會(huì)畫平面，是否記得用什么圖形來表示？ 生：平行四邊形．

師：對(duì)，通常畫平行四邊形來表示平面，但有時(shí)不，如四面體（圖1-1），又如三個(gè)平面相交且交于一點(diǎn)（圖1—2）．

注意，在畫平行四邊形表示平面時(shí)，所表示的平面如果是水平平面，通常把銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的兩倍（圖1-3）；如果是非水平平面，只要畫成平行四邊形，如直立平面（圖1－4）；如果幾個(gè)平面畫在一起，當(dāng)一個(gè)平面有一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮部分的線段畫成虛線或不畫（圖1-5）．請(qǐng)看課本中有關(guān)內(nèi)容．

3．平面的表示法

師：平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)（圖1－

3、圖1－5）；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD（圖1－4）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面AC（圖1-4）．

4．點(diǎn)、直線、平面之間的基本關(guān)系

師：空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面．從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語言來表示．規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示（以下各種情形要用小竹簽和紙板示范）．參圖1—6．

師：可見，集合中“∈”的符號(hào)只能用于點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的關(guān)

與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號(hào)，但在讀法上仍用幾何語言． 【練習(xí)】

[練習(xí)一]1．能不能說一個(gè)平面長4米，寬5米？為什么？能不能說矩形長3米，寬2米？“這個(gè)矩形是平面的一部分”的說法是否正確？

2．觀察圖1－

7、圖1－8的甲、乙兩個(gè)圖形，用模型來說明它們的位置有什么不同，并用字母表示各平面．

附注：加以區(qū)別．

1）講評(píng)圖1－7時(shí)，用書作示意，對(duì)直線的可見部分與不可見部分（（2）講評(píng)圖1－8時(shí)，出示模型，對(duì)可見棱與不可見棱加以區(qū)別． [練習(xí)二]試用集合符號(hào)表示：

（1）點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B不在直線上；（2）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面α內(nèi)．

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了立體幾何是在學(xué)習(xí)了平面幾何的基礎(chǔ)上對(duì)幾何的繼續(xù)研究，研究的對(duì)象是空間圖形，主要研究空間圖形的畫法、性質(zhì)、計(jì)算以及應(yīng)用．今天首先學(xué)習(xí)了平面的畫法和表示法，以及點(diǎn)、直線、平面間基本關(guān)系的文字語言，圖形語言和符號(hào)語言之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換，為下一節(jié)課學(xué)習(xí)習(xí)近平面的基本性質(zhì)作準(zhǔn)備．

六、布置作業(yè)

1．閱讀立體幾何課本有關(guān)“平面”的內(nèi)容．

2．試用集合符號(hào)表示下列各語句，并畫出圖形：（1）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，但不在平面β內(nèi)；（2）直線a經(jīng)過不屬于平面α的點(diǎn)A，且a不在平面α內(nèi)；（3）平面α與平面β相交于直線l，且l經(jīng)過點(diǎn)P；（4）直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P，且與平面α相交于點(diǎn)M．

4．預(yù)習(xí)“平面的基本性質(zhì)”．

七、板書設(shè)計(jì)

平面的基本性質(zhì)

（一）平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù)．平面的基本性質(zhì)是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了解從具體的直觀形象到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺思維上升至分析思維，使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間．

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

平面的基本性質(zhì)是通過三個(gè)與平面的特征有關(guān)的公理來規(guī)定的．

1．公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．

2．公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法．

3．公理3及其三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法．

4．“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性．在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證． 5．公理3的三個(gè)推論是以公理3為主要的推理論證的依據(jù)，是命題間邏輯關(guān)系的體現(xiàn)，為使命題的敘述和論證簡明、準(zhǔn)確，應(yīng)將其證明過程用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言表述．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．通過由模型示范到三條公理的文字?jǐn)⑹雠囵B(yǎng)觀察能力與空間想象能力． 2．通過由公理3導(dǎo)出其三個(gè)推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力． 3．將三條定理及三個(gè)推論用符號(hào)語言表述，提高幾何語言水平．

（三）德育滲透點(diǎn)

借助模型和實(shí)物來說明三個(gè)公理，進(jìn)行“數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐”的唯物主義觀念的教育，通過三條公理及公理3的三個(gè)推論的學(xué)習(xí)，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀點(diǎn)，更由于對(duì)三個(gè)推論的證明培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學(xué)習(xí)品質(zhì)和公理法思想．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法 1．教學(xué)重點(diǎn)

（1）體現(xiàn)平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用．

（3）兩條公理及公理3的三個(gè)推論中的“有且只有一個(gè)”的含義．（3）用圖形語言和符號(hào)語言表述三條公理及公理3的三個(gè)推論．（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會(huì)證一些簡單問題． 2．教學(xué)難點(diǎn)

（1）對(duì)“有且只有一個(gè)”語句的理解．

（2）對(duì)公理3的三個(gè)推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式．（3）確定兩相交平面的交線． 3．解決辦法

（1）從實(shí)物演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，闡明公理的條件和結(jié)論間的直觀形象，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語句的理解．

（2）通過系列設(shè)問，幫助學(xué)生漸次展開思維和想象，理解公理的實(shí)質(zhì)和作用．

三、課時(shí)安排 2課時(shí)．

四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

準(zhǔn)備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長15cm左右的小竹針，其中三根一樣長，一根稍短．針對(duì)三條公理設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)，對(duì)公理1，可作如下示范：把直尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對(duì)公理2，可用兩塊硬紙板進(jìn)行演示（如圖1－9）；對(duì)公理3，使用圖1－10所示的模型進(jìn)行演示．

五、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

（1）理解井熟記平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論．（2）掌握這三個(gè)公理和三個(gè)推論的文字語言、圖形語言、符號(hào)語言間的互譯．

（3）理解“有且只有一個(gè)”的含義，在此基礎(chǔ)上，以公理3為主要依據(jù)，推證其三個(gè)推論．

（4）能夠用模型來說明有關(guān)平面劃分空間的問題．（5）理解并掌握證明命題的常用方法——反證法和同一法．

（二）整體感知

本課以平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論為主要內(nèi)容，既有學(xué)生熟悉的事實(shí)，又有學(xué)生初次接觸的證明，因此以“設(shè)問——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納”法和講解法相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)．首先，對(duì)于平面基本性質(zhì)的三條公理，因?yàn)槭恰肮怼保瑹o需證明，教學(xué)中以系列設(shè)問結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn)，從而歸納出三條公理并加以驗(yàn)證．其中公理1應(yīng)以直線的“直”和“無限延伸”來刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來講；公理3應(yīng)突出已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，強(qiáng)調(diào)“三個(gè)點(diǎn)”且“不在同一直線上”．通過三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語句的理解．對(duì)于公理3的三個(gè)推論的證明，學(xué)生是初次接觸“存在性”和“唯一性”的證明，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以公理3為主要的推理依據(jù)進(jìn)行分析，逐漸擺脫對(duì)實(shí)物模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過程不僅要進(jìn)行口頭表述，而且教師應(yīng)進(jìn)行板書，使學(xué)生熟悉證明的書寫格式和符號(hào)．最后，無論定理還是推論，都要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言，并且做到既不遺漏又不重復(fù)且忠于原意．

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與完成過程

A．公理

師：立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個(gè)公理體系．人們經(jīng)過長期的觀察和實(shí)踐，把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理．請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）．

問題1：直線l上有一個(gè)點(diǎn)P在平面α內(nèi)，直線l是否全部落在平面α內(nèi)？ 問題2：直線l上有兩個(gè)點(diǎn)P、Q在平面α內(nèi)，直線l是否全部落在平面α內(nèi)？

（用竹針穿過紙板演示問題1，用直尺緊貼著玻璃黑板演示問題2，學(xué)生思考回答后教師歸納．）

這就是公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．這里的條件是什么？結(jié)論是什么？

生：條件是直線（a）上有兩點(diǎn)（A、B）在平面（α）內(nèi)，結(jié)論是：直線（a）在平面（α）內(nèi)．

師：把條件表示為A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把結(jié)論表示

11）．

這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿．

在這里，我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？

生：不是，因?yàn)槠矫媸菬o限延展的．

師：對(duì)，根據(jù)公理1，直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征．

現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（演示圖1－9－（1）給學(xué)生看）．問：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？

生甲：只有一個(gè)公共點(diǎn)．

生乙：因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn)．

師：生乙答得對(duì)，正因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．那么這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做好的縫隙里）．可見，這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上．這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線．此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理2，其條件和結(jié)論分別是什么？

生：條件是兩平面（α、β）有一公共點(diǎn)（A），結(jié)論 是：它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的直線．

師：條件表示為A∈α，A∈β，結(jié)論表示為：α∩β＝a，A∈a，圖形表示為圖1－9－（2）或圖1－12．

公理2是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定相交平面的交線的方法． 下面請(qǐng)同學(xué)們思考下列問題（用幻燈顯示）： 問題1：經(jīng)過空間一個(gè)已知點(diǎn)A可能有幾個(gè)平面？ 問題2：經(jīng)過空間兩個(gè)已知點(diǎn)A、B可能有幾個(gè)平面？ 問題3：經(jīng)過空間三個(gè)已知點(diǎn)A、B、C可能有幾個(gè)平面？

（教師演示圖1－10給學(xué)生看，學(xué)生思考后回答，教師歸納）．這說明，經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即公理3，其條件、結(jié)論分別是什么？

生：條件是：不在同一直線上的三點(diǎn)（A、B、C），結(jié)論是：過這三點(diǎn)（A、B、C）有且只有一個(gè)平面（α）．

A∈α，B∈α，C∈α，圖形表示為圖1－13，公理3是確定平面位置的依據(jù)之一．

以上三個(gè)公理是平面的基本性質(zhì)．其中公理2和公理3中的“有且只有一個(gè)”有兩層含義，在數(shù)學(xué)中，“有一個(gè)”是說明“存在”、但不唯一；“只有一個(gè)”是說明“唯一”，但不保證圖形存在．也就是說，如果有頂多只有一個(gè)．因此，在證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語句的命題時(shí)，要證明兩個(gè)方面——存在性和唯一性．

B．推論

師：確定一個(gè)平面的依據(jù)，除公理3外，還有它的三個(gè)推論．

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．說出推論1的條件和結(jié)論．

生：條件是：一條直線和直線外一點(diǎn)，結(jié)論是：經(jīng)過這條直線和這一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．

求證：經(jīng)過a和A有且只有一個(gè)平面．

證明：“存在性”即存在過A、a的平面，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C．

∴A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上．

∴過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面α（公理3）． ∴B∈α，C∈α．

即過直線a和點(diǎn)A有一個(gè)平面α．

“唯一性”，假設(shè)過直線a和點(diǎn)A還有一個(gè)平面β．

∴B∈β，C∈β．

∴過不共線三點(diǎn)A、B、C有兩個(gè)平面α、β，這與公理3矛盾．

∴假設(shè)不成立，即過直線a和點(diǎn)A不可能還有另一個(gè)平面β，而只能有一個(gè)平面α．

這里證明“唯一性”時(shí)用了反證法．

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．

其條件、結(jié)論分別是什么？

生：條件是：兩條直線相交，結(jié)論是：經(jīng)過這兩條直線有且只有一個(gè)平面． 師（板書）：已知：直線a∩直線b＝A． 求證：經(jīng)過a、b有且只有一個(gè)平面． 證明：“存在性”．

在a、b上分別取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)B、C，得不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，則過A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面α（公理3）．

∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是經(jīng)過相交直線a、b的一個(gè)平面． “唯一性”．

設(shè)過直線a和b還有另一個(gè)平面β，則A、B、C三點(diǎn)也一定都在平面β內(nèi)． ∴過不共線三點(diǎn)A、B、C就有兩個(gè)平面α和β． ∴平面α與平面β重合． ∴過直線a、b的平面只有一個(gè)． 這里證明唯一性時(shí)，用的是“同一法”．

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（證明作為思考題）

C．練習(xí)

1．下面是一些命題的敘述語（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．

其中命題和敘述方法都正確的是．

[

] 2．下列推斷中，錯(cuò)誤的是

[

]

D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共

3．一個(gè)平面把空間分成____部分，兩個(gè)平面把空間最多分成____部分，三個(gè)平面把空間最多分成____部分．

4．確定經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面α、β的交線．（圖1－16）

四、總結(jié)、擴(kuò)展

本課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，有三條公理及公理3的三推論．其中公理1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3及三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)．“確定一個(gè)平面”與“有且只有一個(gè)平面”是同義詞．“有”即“存在”，“只有一個(gè)”即“唯一”．所以證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語句的命題時(shí)，要證兩方面——存在性和唯一性．證明的方法是反證法和同一法．

五、布置作業(yè)

1．復(fù)習(xí)課本有關(guān)內(nèi)容并預(yù)習(xí)課本例題． 2．課本習(xí)題（略）．

3．確定經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面α、β、γ的交線．

4．思考題：（1）三個(gè)平面把空間可能分成幾部分？（2）如何證明推論3？

六、答案

練習(xí)：1．D，2．C，3．圖1－18． 作業(yè)：3．圖1－19．

七、板書設(shè)計(jì)

平面的基本性質(zhì)

（二）平面的基本性質(zhì)是立體幾何中演繹推理的邏輯依據(jù)．以平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共線、諸線共點(diǎn)、諸點(diǎn)共面是立體幾何中最基礎(chǔ)的問題，既加深了對(duì)平面基本性質(zhì)的理解，又是今后解決較復(fù)雜立體幾何問題的基礎(chǔ)．

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

掌握利用平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共面、諸線共面、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題的一般方法．

1．證明若干點(diǎn)或直線共面通常有兩種思路

（1）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余元素在這平面內(nèi)，如例1之②．

2．證明三點(diǎn)共線，通常先確定經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是某兩個(gè)平面的交線，再證明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即該點(diǎn)分別在這兩個(gè)平面內(nèi)，如例2． 3．證明三線共點(diǎn)通常先證其中的兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再證第三條直線經(jīng)過這一點(diǎn)，如練習(xí)．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過嚴(yán)格的推理論證，培養(yǎng)邏輯思維能力，發(fā)展空間想象能力．

（三）德育滲透點(diǎn)

通過對(duì)解題方法和規(guī)律的概括，了解個(gè)性與共性．特殊與一般間的關(guān)系，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)，又從有理有據(jù)的論證過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑問及解決辦法 1．教學(xué)重點(diǎn)

（1）證明點(diǎn)或線共面，三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)問題．（2）證明過程的書寫格式與規(guī)則． 2．教學(xué)難點(diǎn)

（1）畫出符合題意的圖形．（2）選擇恰當(dāng)?shù)墓砘蛲普撟鳛檎摀?jù)． 3．解決辦法

（1）教師完整板書有代表性的題目的證明過程，規(guī)范學(xué)生的證明格式．（2）利用實(shí)物，擺放成符合題意的位置．

三、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì) 動(dòng)手畫圖并證明．

四、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

1．學(xué)會(huì)審題，根據(jù)題意畫出圖形，并寫“已知、求證”． 2．論據(jù)正確，論證嚴(yán)謹(jǐn)，書寫規(guī)范．

3．掌握基本方法：反證法和同一法，學(xué)習(xí)分類討論．

（二）整體感知

立體幾何教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理論證訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的有效手段．首先應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，包括根據(jù)題意畫出圖形，并寫出已知、求證．其次，推理的依據(jù)是平面的基本性質(zhì)，要引導(dǎo)學(xué)生確定平面．由于學(xué)生對(duì)立體幾何中的推理頗不熟練，因此宜采用以啟發(fā)為主，邊講邊練的教學(xué)方式．教師在講解時(shí)，應(yīng)充分展開思維過程，培養(yǎng)學(xué)生分析空間問題的能力，在板書時(shí)，應(yīng)復(fù)誦公理或推論的內(nèi)容，加深對(duì)平面基本性質(zhì)的理解．

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

A．復(fù)習(xí)與講評(píng)

師：我們已學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)，那么具備哪些條件時(shí)，直線在平面內(nèi)？（生回答公理1，教師板畫圖1－20示意．）

師：具備哪些條件可以確定一個(gè)平面？（生4人回答，教師板畫圖1－21示意．）

師：上一節(jié)課后布置思考證明推論3，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們共同討論這個(gè)證明過程．

已知：直線a∥b．

求證：經(jīng)過a、b有且只有一個(gè)平面． 證明：“存在性”． ∵a∥b，∴a、b在同一平面α內(nèi)（平行線的定義）．“唯一性”——在直線a上作一點(diǎn)A．

假設(shè)過a和b還有一個(gè)平面β，則A∈β． 那么過b和b外一點(diǎn)A有兩個(gè)平面α和β． 這與推論1矛盾．

注：證唯一性，用了“反證法”．

B．例題與練習(xí)

師：先看怎樣證幾條線共面．

例1求證：兩兩相交而不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi)．分析：四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可能有兩種：一是有三條直線共點(diǎn)；二是沒有三條直線共點(diǎn)，故而證明要分兩種情況．

（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q． d∩c＝R，a、b、c相交于點(diǎn)O． 求證：a、b、c、d共面． 證明：∵d∩a＝P，∴過d、a確定一個(gè)平面α（推論2）． 同理過d、b和d、c各確定一個(gè)平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．

∴平面α、β、γ都經(jīng)過直線d和d外一點(diǎn)O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面．

注：本題的方法是“同一法”．

（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點(diǎn)．

求證：a、b、c、d共面 證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個(gè)平面α（推論2）． ∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．

∴a、b、c、d四線共面．

注：①讓學(xué)生從實(shí)物擺放中得到四條直線的兩種位置關(guān)系． ②分類討論時(shí)，強(qiáng)調(diào)要注意既不要重復(fù)，又不要遺漏． ③結(jié)合本例，說明證諸線共面的常用方法．

例2如圖1－25，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點(diǎn)，且EF交GH于P．

求證：P在直線BD上．

分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點(diǎn)．

已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求證：B、D、P三點(diǎn)共線． 證明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD確定平面ABD（推論2）．

∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F(xiàn)∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD． 同理，P∈平面BCD．

∴平面ABD∩平面BCD＝BD． ∴P∈BD即B、D、P三點(diǎn)共線．

注：結(jié)合本例，說明證三點(diǎn)共線的常規(guī)思路．

練習(xí)：兩個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交于一點(diǎn)，證明第三條交線也過這一點(diǎn)．

分析：雖說是證三線共點(diǎn)問題，但與例2有異曲同工之處，都是要證點(diǎn)P是兩平面的公共點(diǎn)．

已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p． 求證：p∈a． 證明：∵b∩c＝p，∴p∈b． ∵β∩γ＝b，∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a，∴p∈a．

師：以上例、習(xí)題分別證明了四線共面．三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)問題，這只是證明這類問題中的個(gè)例，根據(jù)不同的條件有不同的分析問題和解決問題的過程，但也具有一般的思路和方法．除了例

1、例2兩類問題的常用方法外，本練習(xí)是證三線共點(diǎn)問題，也有常用證法（將知識(shí)教學(xué)點(diǎn)中所列三條用幻燈顯示）．

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

本課以練習(xí)為主，學(xué)習(xí)了線共面、點(diǎn)共線，線共點(diǎn)的一般證明方法和分類討論的思想．證明依據(jù)是平面的基本性質(zhì)，數(shù)學(xué)方法有反證法和同一法，這也是這一單元的主要證明方法．在證明的書寫中，要求推論有據(jù)，書寫規(guī)范．

五、布置作業(yè) 1．課本習(xí)題（略）．

2．求證：兩兩相交的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．

3．已知：△ABC在平面α外，三角形三邊AB、AC、BC所在直線分別交α于M、N、R，求證：M、N、R三點(diǎn)共線．

4．如圖1－27，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是接AA1、CC1的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)D1、E1、F1、B共面．

（提示：證明空間若干個(gè)點(diǎn)共面，通常先由其中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明其它的點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)．本題先連結(jié)D1E并延長交DA延長線于G，連結(jié)D1F并延長交DC延長線于H，可證GH是D1、E、F三點(diǎn)確定的平面和平面AC的交線，然后再用平面幾何知識(shí)證點(diǎn)B在GH上．）

六、板書設(shè)計(jì)

平行直線

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 1．公理4，即平行公理． 2．等角定理及推論．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．利用聯(lián)想的方法，掌握并應(yīng)用由平面內(nèi)引伸到空間中的平行公理． 2．充分利用構(gòu)造的方法證明等角定理，為下一節(jié)兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性．

3．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在平面幾何中成立的結(jié)論或定理等，在用于非平面圖形時(shí)，須先證明．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法 1．教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生掌握平行公理及其應(yīng)用． 2．教學(xué)難點(diǎn)：等角定理證明的掌握及其應(yīng)用．

3．教學(xué)疑點(diǎn)：正確理解等角定理中命題的條件：兩個(gè)角的兩邊分別平行且這兩個(gè)角的方向相同．

三、課時(shí)安排 1課時(shí)．

四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)兩條直線的位置關(guān)系（幻燈顯示）師：空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種？

生：三種：相交、平行、異面．異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．相交直線和平行直線也稱為共面直線． 師：異面直線的畫法常用的有哪幾種？ 生：三種．如圖1－38，a與b都是異面直線． 師：如何判定兩條直線是異面直線？

生：（1）間接證法：根據(jù)定義，一般用反證法．

（2）直接證法：根據(jù)例題結(jié)論：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的

（二）平行公理

師：在平面幾何中，如圖1－40，若a∥b，c∥b，則a與c平行嗎？

生：平行．

師：也就是說，在平面中，若兩條直線a、c都和第三條直線b平行，則a∥c．這個(gè)命題在空間中是否成立呢？ 師：實(shí)際上，在空間中，若a∥b，c∥b，則a∥c也成立．我們把這個(gè)結(jié)論作為一個(gè)公理，不必證明，可直接應(yīng)用．

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

如圖1－41，三棱鏡的三條棱，若AA′∥BB′，CC′∥BB′，則有AA′∥CC′．

下面請(qǐng)同學(xué)們完成下列的例題，鞏固應(yīng)用平行公理．

例已知四邊形ABCD是空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的圖1-41四邊形），E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD

師分析：要證明四邊形EFGH是梯形，即要證明四邊形EFGH的一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行；或證明一組對(duì)邊平行且不相等．具體用哪一種方法，我們來分析一下題意：E、H分別是邊AB、AD的中

證明：如圖1－42，連結(jié)BD． ∵EH是△ABD的中位線，根據(jù)公理4，EH∥FG，又∵FG＞EH，∴四邊形EFGH是梯形．

（三）等角定理

師：平行公理不僅是今后論證平行問題的主要依據(jù)，也是證明等角定理的基礎(chǔ)．

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．

已知：∠BAC和∠B′A′C′的邊AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同． 求證：∠BAC＝∠B′A′C′．

師分析：在平面內(nèi)，這個(gè)結(jié)論我們已經(jīng)證明成立了．在空間中，這個(gè)結(jié)論是否成立，還需通過證明．要證明兩個(gè)角相等，常用的方法有：證明兩個(gè)三角形全等或相似，則對(duì)應(yīng)角相等；證明兩直線平行，則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；證明平行四邊形，則它的對(duì)角相等，等等．根據(jù)題意，我們只能證明兩個(gè)三角形全等或相似，為此需要構(gòu)造兩個(gè)三角形，這也是本題證明的關(guān)鍵所在．

證明：對(duì)于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面內(nèi)的情況，在平面幾何中已經(jīng)證明．下面我們證明兩個(gè)角不在同一平面內(nèi)的情況．

如圖1－43，在AB、A′B′，AC、A′C′上分別取AD＝A′D′、AE＝A′E′，連結(jié)AA′、DD′、EE′，DE、D′E′． ∵AB∥A′B′，AD＝A′D′，∴AA′DD′是平行四邊形．

根據(jù)公理4，得：DD′∥EE′． 又可得：DD′＝EE′

∴四邊形EE′D′D是平行四邊形．

∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′． ∴∠BAC＝∠B′A′C′．

師：若把上面兩個(gè)角的兩邊反向延長，就得出下面的推論．

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等．

從上面定理的證明可以知道：平面里的定義、定理等，對(duì)于非平面圖形，需要經(jīng)過證明才能應(yīng)用．

下面請(qǐng)同學(xué)們完成練習(xí)．

（四）練習(xí)（P．14練習(xí)1、2．）

1．把一張長方形的紙對(duì)折兩次，打開后如圖1－44那樣，說明為什么這些折痕是互相平行的？

答：把一張長方形的紙對(duì)折兩次，打開后得4個(gè)全等的矩形，每個(gè)矩形的豎邊是互相平行的，再應(yīng)用平行公理，可得知它們的折痕是互相平行的．

△ABC≌△A′B′C′．

∴四邊形BB′C′C是平行四邊形． ∴BC＝B′C′．

同理可證：AC＝A′C′，AB＝A′B′． ∴△ABC≌△A′B′C′．

（五）總結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行公理和等角定理及其推論．平行公理是論證平行問題的主要根據(jù)，也是確定平面的基礎(chǔ)．等角定理給下一節(jié)兩條異面直線所成角的定義奠定了基礎(chǔ)．這節(jié)課我們還明確了在平面幾何中成立的結(jié)論或定理等，在用于非平面圖形時(shí)，須先證后用．

五、作業(yè)

教材P．17習(xí)題二4、5、6、7、8．

兩條異面直線所成的角

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 1．兩異面直線所成角的定義及兩異面直線互相垂直的概念．

2．兩異面直線的公垂線和距離的概念及兩異面直線所成角及距離的求法．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．利用轉(zhuǎn)化的思想，化歸的方法掌握兩異面直線所成角的定義及取值范圍，并體現(xiàn)了定義的合理性．

2．利用類比的方法掌握兩異面直線的公垂線和距離等概念，應(yīng)用在證題中體現(xiàn)了嚴(yán)格的邏輯思維，并會(huì)求兩條異面直線所成角與距離．

（三）德育滲透點(diǎn)

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及有根有據(jù)、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1．教學(xué)重點(diǎn)：兩異面直線所成角的定義；兩異面直線的公垂線及距離的概念；兩異面直線所成角和距離的求法．

2．教學(xué)難點(diǎn)：兩異面直線所成角及距離的求法．

3．教學(xué)疑點(diǎn)：因?yàn)閮蓷l異面直線既不相交，但又有所成的角，這對(duì)于初學(xué)立體幾何的學(xué)生來說是難以理解的．講解時(shí)，應(yīng)首先使學(xué)生明了學(xué)習(xí)異面直線所成角的概念的必要性．

三、課時(shí)安排 1課時(shí)．

四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)提問引入課題

師：上新課前，我們先來回憶：平面內(nèi)兩條相交直線一般通過什么來反映它們之間的相互位置關(guān)系？

生：通過它們的夾角．如圖1－46，a、b的位置關(guān)系與a′、b′的位置關(guān)系是不一樣的，a、b的夾角比a′、b′的夾角來的小．

師：那么兩條異面直線是否也能用它們所成的角來表示它們之間相互位置的不同狀況．例如要表示大橋上火車行駛方向與橋下輪船航行方向間的關(guān)系，就要用到兩條異面直線所成角的概念．

（二）異面直線所成的角

師：怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示呢？

生：可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示．如圖1－47，異面直線a、b，在空間中任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角．

師：針對(duì)這個(gè)定義，我們來思考兩個(gè)問題．

問題1：這樣定義兩條異而直線所成的角，是否合理？對(duì)空間中的任一點(diǎn)O有無限制條件？

答：在這個(gè)定義中，空間中的一點(diǎn)是任意取的．若在空間中，再取一點(diǎn)O′，過點(diǎn)O′作a″∥a，b″∥b，根據(jù)等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等．即過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點(diǎn)位置無關(guān)，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性．注意：有時(shí)，為了方便，可將點(diǎn)O取在a或b上．

問題2：這個(gè)定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否有矛盾？

答：沒有矛盾．當(dāng)a、b相交時(shí)，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣． 師：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直（出示模型：正方體）．例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面．

（三）兩條異面直線的距離

師：（出示模型）觀察模型，思考問題：a與b，a′與b所成角相等，但是否就表示它們之間的相互位置也一樣呢？

生：不是．它們之間的遠(yuǎn)近距離不一樣，從而得到兩條異面直線的相互位置除了用它們所成的角表示，還要用它們之間的距離表示．

師：那么如何表示兩條異面直線之間的距離呢？我們來回憶在平面幾何中，兩條平行線間的位置關(guān)系是用什么來表示的？

生：用兩平行線間的距離來表示．

師：對(duì)．如圖1－50，要知道它們的距離，先要定義它們的公垂線，如圖1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，則a、b與a′、b′的公垂線分別為c、c′，且線段AB、A′B′的長度分別是a、b與a′、b′之間的距離．

對(duì)兩條異面直線的距離，我們可以應(yīng)用類似的方法先定義它們的公垂線． 定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線． 師：根據(jù)定義，思考問題．

問題1：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？

答：無數(shù)條．因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義．

問題2：兩條異面直線的公垂線有幾條？

答：有且只有一條（出示正方體骨架模型），能和AA′、B′C′都垂直相交的只有A′B′一條；能和AB與面A′C′內(nèi)過點(diǎn)A′的直線都垂直相交的直線只有一條AA′．

師：有了兩條異面直線公垂線的概念，我們就可以定義兩條異面生成的距離． 定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離．

如圖1－52中的線段AB的長度就是異面直線a、b間的距離． 下面，我們來完成練習(xí)和例題．

（四）練習(xí)

例設(shè)圖1－53中的正方體的棱長為a，（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線？

（2）求直線BA′和CC′所成的角的大?。?）求異面直線BC和AA′的距離．

解：（l）∵A′平面BC′，而點(diǎn)B，直線CC′都在平面BC′

∴直線BA′與CC′是異面直線． 同理，直線C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直線BA′成異面直線．

（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角． ∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂線段． ∵AB=a，∴BC和AA′的距離是a．

說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時(shí)要注意書寫規(guī)范．

【練習(xí)】

（P．16練習(xí)1、3．）

1．（1）兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？ 答：不一定，還可能異面．

（2）垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關(guān)系？ 答：三種：相交，平行，異面．

3．畫兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線． 解：

（五）總結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩條異面直線所成的角，以及兩條異面直線間的距離和有關(guān)概念．并學(xué)會(huì)如何求兩條異面直線所成角及距離，懂得將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決．

五、作業(yè)

P．17-18中9、10．

兩條異面直線所成的角練習(xí)課

教學(xué)目標(biāo)

1．記憶并理解余弦定理；

2．應(yīng)用余弦定理來求異面直線所成的角． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

這節(jié)課的重點(diǎn)是以異面直線所成的角的概念為指導(dǎo)作出相應(yīng)的角，然后用余弦定理解這個(gè)角所在的三角形求出這個(gè)角的余弦．這節(jié)課的難點(diǎn)是使學(xué)生初步理解當(dāng)cosθ＞0時(shí)，0°＜θ＜90°，當(dāng)cosθ=0時(shí)，θ=90°，當(dāng)cosθ＜0時(shí)，90°＜θ＜180°．

教學(xué)設(shè)計(jì)過程

一、余弦定理

師：余弦定理有哪兩種表述的形式？它們各有什么用途？ 生：余弦定理有兩種表述的形式，即：

a2=b2＋c2-2bccos A b2=c2+a2-2cacos B

c2=a2＋b2-2abcos C

第一種形式是已知兩邊夾角用來求第三邊，第二種形式是已知三邊用來求角．

師：在立體幾何中我們主要用余弦定理的第二種形式，即已知三角形的三邊來求角．

在余弦定理的第二個(gè)形式中，我們知道b＋c可以等于a；也可以小于a；也可以大于a2．那么，我們想當(dāng)b2+c2=a2時(shí)，∠A等于多少度？為什么？

生：當(dāng)b2＋c2=a2時(shí)，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°． 師：當(dāng)b2＋c2＞a2時(shí)，∠A應(yīng)該是什么樣的角呢？ 生：因?yàn)閏osA＞0，所以∠A應(yīng)該是銳角． 師：當(dāng)b2＋c2＜a2時(shí)，∠A應(yīng)該是什么樣的角呢？ 生：因?yàn)檫@時(shí)cosA＜0，所以∠A應(yīng)該是鈍角．

師：對(duì)，關(guān)于這個(gè)問題，我們只要求同學(xué)們有初步的理解即可．初步理解后應(yīng)該記住、會(huì)用．現(xiàn)在明確提出當(dāng)cosθ=0時(shí)，θ=90°，θ是直角；當(dāng)cosθ＞0時(shí)，0°＜θ＜90°，θ是銳角當(dāng)cosθ＜0時(shí)，90°＜θ＜180°，θ是鈍角．下面請(qǐng)同學(xué)們回答下列問題：

生：θ等于60°，等于120°． 師：這時(shí)θ和 是什么關(guān)系？ 生：θ和 是互為補(bǔ)角． 師：再回答下列問題：

生：θ1等于45°，θ2+ 2=180°．

1等于135°，θ1+ 1=180°；θ2等于30°，2

=150°，師：一般說來，當(dāng)cosθ=-cos 時(shí)，角θ與角 是什么關(guān)系？ 生：角θ與角 是互補(bǔ)的兩個(gè)角．即一個(gè)為銳角，一個(gè) 為鈍角，且θ＋ =180°．

（關(guān)于鈍角的三角函數(shù)還沒有定義，所以這里采用從特殊到一般的方法使學(xué)生有所理解即可）

二、余弦定理的應(yīng)用

例1 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求異面直線A1B和AD1所成的角的余弦．（如圖1）

師：首先我們要以概念為指導(dǎo)作出這個(gè)角，A1B和AD1所成的角是哪一個(gè)角？ 生：因?yàn)镃D1∥A1B，所以∠AD1C即為A1B與AD1所成的角．

師：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三邊，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．

師：我們要再一次明確求異面直線所成的角的三個(gè)步驟：第一是以概念為指導(dǎo)作出所成的角；第二是找出這個(gè)角所在的三角形；第三是解這個(gè)三角形．現(xiàn)在我們?cè)賮砜蠢?．

例2 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1與BC1所成角的余弦．（如圖2）

師：在這例中，我們除了首先要以概念為指導(dǎo)作出異面直線所成的角以外，還要注意把所給的特殊角的條件轉(zhuǎn)化為長方體各棱之間的關(guān)系，以便于我們用余弦定理．

生：因?yàn)锽C1∥AD1，所以AB1與BC1所成的角即為∠D1AB1．根

師：現(xiàn)在我們來看例3．

例3 已知正方體的棱長為a，M為AB的中點(diǎn)，N為B1B的中點(diǎn)．求A1M與C1N所成的角的余弦．（如圖3）（1992年高考題）

師：我們要求A1M與C1N所成的角，關(guān)鍵還是以概念為指導(dǎo)作出這個(gè)角，當(dāng)一次平移不行時(shí)，可用兩次平移的方法．在直觀圖中，根據(jù)條件我們?nèi)绾伟袮1M用兩次平移的方法作出與C1N所成的角？

生：取A1B1的中點(diǎn)E，連BE，由平面幾何可知BE∥A1M1，再取EB1的中點(diǎn)F，連FN由平面幾何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即為A1M與C1N所成的角．

師：還可以用什么方法作出A1M與C1N所成的角？ 生：當(dāng)BE∥A1M后，可取C1C中點(diǎn)G，連BG，則BG∥C1N，師：這兩種解法都要用兩次平移來作出異面直線所成的角，現(xiàn)在我們來看例4．

例4 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1與BD所成的角的余弦．（如圖4）

師：根據(jù)異面直線所成的角的概念，再根據(jù)長方體的基本性質(zhì)，如何作出AC1與BD所成的角。

生：連AC，設(shè)AC∩BD=0，則O為AC中點(diǎn)，取C1C的中點(diǎn)F，定理，得

師：想一想第二個(gè)解法

生：取AC1中點(diǎn)O1，B1B中點(diǎn)G．在△C1O1G中，∠C1O1G即

一可知：

師：想一想第三個(gè)解法．當(dāng)然還是根據(jù)異面直線所成的角概念首先作出這個(gè)角．有時(shí)可根據(jù)題目的要求在長方體外作平行直線．

生：延長CD到E，使ED=DC．則ABDE為平行四邊形．AE∥BD，所以∠EAC1即為AC1與BD所成的角．（如圖5）連EC1，在

由余弦定理，得

所以∠EAC1為鈍角．

根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為

師：根據(jù)這一道題的三種解法，我們可以看出，當(dāng)用異面直線所成的角的概念，作出所成的角，這時(shí)所作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角．（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）

今天就講這四個(gè)例題，這四個(gè)例題都是要用余弦定理來求異面直線所成的角．

作業(yè) 補(bǔ)充題

3．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點(diǎn)．求：（1）異面直線A1D1和CD的距離；（2）異面直線C1O和EF的距離．

4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB與A1C1所成的角的度數(shù)；（2）A1A與CB1所成的角的度數(shù)；（3）AB1與A1C1所成的角的余弦．

直線和平面平行的判定與性質(zhì)

（一）一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

1．直線和平面平行的定義．

2．直線和平面的三種位置關(guān)系及相應(yīng)的圖形畫法與記法． 3．直線和平面平行的判定．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1．理解并掌握直線和平面平行的定義．

2．掌握直線和平面的三種位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類的思想．

3．通過對(duì)比的方法，使學(xué)生掌握直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形的畫法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．

4．掌握直線和平面平行的判定定理的證明，證明用的是反證法和空間直線與平面的位置關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯思維。除此之外，還要會(huì)靈活運(yùn)用直線和平面的判定定理，把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行．

（三）德育滲透點(diǎn)

讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究直線與平面的位置關(guān)系及直線與平面平行是實(shí)際生產(chǎn)的需要，充分體現(xiàn)了理論來源于實(shí)踐，并應(yīng)用于實(shí)踐．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1．教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定定理． 2．教學(xué)難點(diǎn)：掌握直線與平面平行的判定定理的證明及應(yīng)用．

3．教學(xué)疑點(diǎn)：除直線在平面內(nèi)的情形外，空間的直線和平面，不平行就相交，課本中用記號(hào)a≮α統(tǒng)一表示a‖α，a∩α=A兩種情形，統(tǒng)稱直線a在平面α外．

三、課時(shí)安排

1.7直線和平面的位置關(guān)系與1.8直線和平面平行的判定與性質(zhì)這兩個(gè)課題安排為2課時(shí)．本節(jié)課為第一課時(shí)，講解直線和平面的三種位置關(guān)系及直線和平面平行的判定定理．

四、教與學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）直線和平面的位置關(guān)系．

師：前面我們已經(jīng)研究了空間兩條直線的位置關(guān)系，今天我們開始研究空間直線和平面的位置關(guān)系．直線和平面的位置關(guān)系有幾種呢？我們來觀察：黑板上的一條直線在黑板面內(nèi)；兩墻面的相交線和地面只相交于一點(diǎn)；墻面和天花板的相交線和地面沒有公共點(diǎn)，等等．如果把這些實(shí)物作出抽象，如把“墻面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交線”等想象成“水平的直線”，那么上面這些關(guān)系其實(shí)就是直線和平面的位置關(guān)系，有幾種，分別是什么？ 生：直線和平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)；直線和平面相交；直線和平面平行．

師：什么是直線和平面平行？

生：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這條直線和這個(gè)平面平行． 師：直線和平面的位置關(guān)系是否只有這三種？為什么？

生：只有這三種情況，這可以從直線和平面有無公共點(diǎn)來進(jìn)一步驗(yàn)證：若直線和平面沒有公共點(diǎn)，說明直線和平面平行；若直線和平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，說明直線和平面相交；若直線和平面有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)，根據(jù)公理1，說明這條直線在平面內(nèi)．

師：為了與“直線在平面內(nèi)”區(qū)別，我們把直線和平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為“直線在平面外”，歸納如下：

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．

師：如何畫出表示直線和平面的三種位置關(guān)系的圖形呢？

生：直線a在平面α內(nèi)，應(yīng)把直線a畫在表示平面α的平行四邊形內(nèi)，直線不要超出表示平面的平行四邊形的各條邊；直線a與平面α相交，交點(diǎn)到水平線這一段是不可見的，注意畫成虛線或不畫；直線a與平面α平行，直線要與表示平面的平行四邊形的一組對(duì)邊平行．如圖1-57：

注意，如圖1-58畫法就不明顯我們不提倡這種畫法．

下面請(qǐng)同學(xué)們完成P.19．練習(xí)1．

1．觀察圖中的吊橋，說出立柱和橋面、水面，鐵軌和橋面、水面的位置關(guān)系：（圖見課本）

答：立柱和橋面、水面都相交；鐵軌在橋面內(nèi)，鐵軌與水面平行．

（二）直線和平面平行的判定

師：直線和平面平行的判定不僅可以根據(jù)定義，一般用反證法，還有以下的方法．我們先來觀察：門框的對(duì)邊是平行的，如圖1-59，a∥b，當(dāng)門扇繞著一邊a轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊b始終與門扇不會(huì)有公共點(diǎn)，即b平行于門扇．由此我們得到：

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．

求證：a∥α．

師提示：要證明直線與平面平行，只有根據(jù)定義，用反證法，并結(jié)合空間直線和平面的位置關(guān)系來證明．

∴ a∥α或 a∩α＝A． 下面證明a∩α＝A不可能． 假設(shè)a∩α＝A ∵a∥b，在平面α內(nèi)過點(diǎn)A作直線c∥b．根據(jù)公理4，a∥c．這和a∩c＝A矛盾，所以a∩α＝A不可能．

∴a∥α． 師：從上面的判定定理可以知道，今后要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找出一條直線和已知直線平行，就可斷定這條已知直線必和這個(gè)平面平行，即可由線線平行推得線面平行．

下面請(qǐng)同學(xué)們完成例題和練習(xí)．

（三）練習(xí)

例1 空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線，平行于經(jīng)過另外兩邊的平面． 已知：空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)． 求證：EF∥平面BCD．

師提示：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明EF∥平面BCD，只要在平面BCD內(nèi)找一直線與EF平行即可，很明顯原平面BCD內(nèi)的直線BD∥EF．

證明：連結(jié)BD．

性，這三個(gè)條件是證明直線和平面平行的條件，缺一不可． 練習(xí)（P.22練習(xí)1、2．）

1．使一塊矩形木板ABCD的一邊AB緊靠桌面α，并繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，AB的對(duì)邊CD在各個(gè)位置時(shí)，是不是都和桌面α平行？為什么？（模型演示）

答：不是．

2．長方體的各個(gè)面都是矩形，說明長方體每一個(gè)面的各邊及對(duì)角線為什么都和相對(duì)的面平行？（模型演示）

答：因?yàn)殚L方體每一個(gè)面的對(duì)邊及對(duì)角線都和相對(duì)的面內(nèi)的對(duì)應(yīng)部分平行，所以，它們都和相對(duì)的面平行．

（四）總結(jié)

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線和平面的三種位置關(guān)系及直線和平面平行的兩種判定方法．學(xué)習(xí)直線和平面平行的判定定理，關(guān)鍵是要會(huì)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行來解題．

五、作業(yè)

P.22中習(xí)題三1、2、3、4．

六、板書設(shè)計(jì)

一、直線和平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)． 直線在平面外

二、直線和平面平行的判定 1．根據(jù)定義：一般用反證法．

2．根據(jù)判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．

直線和平面的位置關(guān)系：

第三篇：【趣味數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué) 第11課時(shí) 立體幾何趣題 球在平面上的投影教學(xué)案 新人教版必修1

第11課時(shí) 立體幾何趣題——

球在平面上的投影

教學(xué)要求：明白球在不同光照下的投影 教學(xué)過程：

放在水平面上的球與水平面切于點(diǎn)A，一束光線投射到球上，那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點(diǎn)A與輪廓曲線的關(guān)系又是什么?

一、平行光線下球的投影

放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)止，與水平面所成角為?(??90)的太陽光投射到球上，則球在水平面上的?投影是以A為 一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

分析：顯然，當(dāng)太陽光垂直于水平面，即??90時(shí)，球在水平面上的投影是以為A圓心，R為半徑的圓；當(dāng)0???90時(shí)，球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖1．

如圖l所示，與球面相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓柱面，與球切于圓O，則光線在水平面上的投影，可以看成圓柱面與水平面的交線l1，設(shè)與水平面平行且與球相切的平面?與球相切于點(diǎn)D，與圓柱面的交線為l2；P為l1上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的光線為PP，(P，為光線

’

’

?00PP與平面?的交點(diǎn))，且與球相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作與光線平行的直線交水平面于點(diǎn)B，連’結(jié)PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP’’，又PP

’ =

2Rsin?為一定值，則知點(diǎn)P在以2RA,B為焦點(diǎn)，長軸長為sin?的橢圓上，二、點(diǎn)光源下的球的投影

放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)A，與水平面距離為h的點(diǎn)光源S(S在球面外)投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線或以A為圓心的圓，且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關(guān)．

1．當(dāng)過點(diǎn)S，球心O的直線與水平面垂時(shí)，此時(shí)必有h>2R．球在水平面上的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓(圖略)，2．當(dāng)過點(diǎn)S、球心O的直線與水平面不垂直時(shí)．

①若h>2R，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖2．

如圖2所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓O3；球O1與圓錐面及水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓O2，與水平面的切點(diǎn)為B；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過P的光線與球O、O1的切點(diǎn)分別為D，C，則有PC=PB、PD=PA，易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是

以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)的拋物線，如圖3．

如圖3所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓Ol；

過S、O，A的平面與水平面交于AG；圓Ol所在的平面?與水平面的交

線為L；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過P與?平行的平面與圓錐面交于圓O2所以，球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線的拋物線．

3若h<2R，則球在水平面上的投影是○以A為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線的一支，如圖4．

如圖4所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓 錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓02；球Ol與圓錐面及

水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓03，與水平面的切點(diǎn)為月；戶為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過戶的光線與球O、Ol的切點(diǎn)分 別為G、打，則有PH二PB、PG二PA，且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．

三、小結(jié)：當(dāng)平行光線與水平面垂直時(shí)，球 在光線的投射下的輪廓線是一個(gè)圓，且球與水平面的切點(diǎn)為這個(gè)圓的圓心，當(dāng)平行光線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與 2

水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

當(dāng)點(diǎn)光源S與球心的連線與水平面垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓，當(dāng)點(diǎn)光源與球心的連線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線．

第四篇：【趣味數(shù)學(xué)】高中數(shù)學(xué) 第11課時(shí) 立體幾何趣題 球在平面上的投影教學(xué)案 新人教版必修1

第11課時(shí) 立體幾何趣題—— 球在平面上的投影 教學(xué)要求：明白球在不同光照下的投影 教學(xué)過程： 放在水平面上的球與水平面切于點(diǎn)A，一束光線投射到球上，那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點(diǎn)A與輪廓曲線的關(guān)系又是什么?

一、平行光線下球的投影 放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)止，與水平面所成角為()的太陽光投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為 一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓． 分析：顯然，當(dāng)太陽光垂直于水平面，即時(shí)，球在00水平面上的投影是以為A圓心，R為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖1． 如圖l所示，與球面相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓柱面，與球切于圓O，則光線在水平面上的l投影，可以看成圓柱面與水平面的交線，設(shè)與水平面平行且與球相切的平面與球相切1ll’’于點(diǎn)D，與圓柱面的交線為；P為上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的光線為PP，(P，為光線21’PP與平面的交點(diǎn))，且與球相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作與光線平行的直線交水平面于點(diǎn)B，連2R’’, ’ =結(jié)PB,易知，PB=P'D=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP又PP為一定值，則知點(diǎn)P在以 sin2R A,B為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上，二、點(diǎn)光源下的球的投影 放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)A，與水平面距離為h的點(diǎn)光源S(S在球面外)投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線或以A為圓心的圓，且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關(guān)． 1．當(dāng)過點(diǎn)S，球心O的直線與水平面垂時(shí)，此時(shí)必有h>2R．球在水平面上的投影是以球與 水平面的切點(diǎn)為圓心的圓(圖略)，2．當(dāng)過點(diǎn)S、球心O的直線與水平面不垂直時(shí)．

①若h>2R，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖2． 1

OOO如圖2所示，與球相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓；球與圓13O錐面及水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓，與水平面的切點(diǎn)為B；P為球在水平2O面的投影線上的任意一點(diǎn)，過P的光線與球O、的切點(diǎn)分別為D，C，則有PC=PB、PD=PA，1易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)的拋物線，如圖3． 如圖3所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓Ol； 過S、O，A的平面與水平面交于AG；圓Ol所在的平面與水平面的交線為L；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過P與平行的平面與圓圓O錐面交于所以，球在水平面上的2投影是以A為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線的拋物線．

3若h<2R，則球在水平面上的投影是○以A為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線的一支，如圖4． 如圖4所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓 錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓02；球Ol與圓錐面及

水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓03，與水平面的切點(diǎn)為月；戶為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過戶的光線與球O、Ol的切點(diǎn)分 別為G、打，則有PH二PB、PG二PA，且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．

三、小結(jié)：當(dāng)平行光線與水平面垂直時(shí)，球 在光線的投射下的輪廓線是一個(gè)圓，且球與水平面的切點(diǎn)為這個(gè)圓的圓心，當(dāng)平行光線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與 2 水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．

當(dāng)點(diǎn)光源S與球心的連線與水平面垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓，當(dāng)點(diǎn)光源與球心的連線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線． 3

第五篇：“學(xué)案導(dǎo)學(xué)小組合作”式復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的教案設(shè)計(jì)及總結(jié)反思

“學(xué)案導(dǎo)學(xué)小組合作”式復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的教案設(shè)計(jì)及總結(jié)反思

山東淄博周村實(shí)驗(yàn)中學(xué)王婧華

“學(xué)案導(dǎo)學(xué)小組合作”式復(fù)習(xí)課教學(xué)模式教案設(shè)計(jì)：

一、教學(xué)目的：復(fù)習(xí)高一英語必修4Module 2的有關(guān)內(nèi)容

二、教學(xué)方法：學(xué)案導(dǎo)學(xué) 小組合作

三、教學(xué)用具：錄音機(jī).多媒體

四、教學(xué)步驟：復(fù)習(xí)單詞

復(fù)習(xí)詞組1）夯實(shí)基礎(chǔ)=〉（2）能力擴(kuò)展

背誦重點(diǎn)句

=〉（3）綜合能力鞏固=〉（4）走進(jìn)高考 =〉

（5）作業(yè) 寫作練習(xí)（能力運(yùn)用）

一.提問單詞：(夯實(shí)基礎(chǔ))

（用多媒體分組出示單詞漢語讓學(xué)生先讀出英語再拼寫，小組比賽，全對(duì)得1分。答不上的小組，其他小組可以搶答,搶對(duì)一次加0.1分.）

(以下題目為學(xué)案內(nèi)容, 學(xué)案提前一天發(fā)給學(xué)生讓他們做,上課時(shí)讓各小組把所有的題目全部討論完,老師分題讓學(xué)生在黑板上展示,全對(duì)的小組加分2,書寫規(guī)范得0.5分,對(duì)于黑板上的錯(cuò)誤讓小組搶答,搶對(duì)一次加0.1分,最后公布各個(gè)小組的量化積分.)

二．單詞拼寫：(夯實(shí)基礎(chǔ))It took us all day to reach our ____________(目的地)I will go if my health ___________(允許)When you have paid for sth, a _________(收據(jù))is given to you.4 To travel by ______________(地鐵)is very convenient.The streets are full of ____________(旅客)

6.The new airport is still under _____________(建造)The wheels of the car got_________(陷在)in the mud and we could not go on.I want two second-class ________(單程票)to Beijing.三、寫出下列詞組（夯實(shí)基礎(chǔ)）

1．與…相連2.被困在……

3.馬上/一會(huì)兒4.到處旅游

5.四處走動(dòng)6.正在建設(shè)在中

7.關(guān)上8.保持冷靜

9.肯定不,沒門兒10.上班高峰期

11.使某人發(fā)瘋12.對(duì)…滿意

13.不牽扯進(jìn)去/避開

四．、背誦默寫課文重點(diǎn)句：(在掌握基礎(chǔ)之上的能力擴(kuò)展,在小組黑板展示同時(shí),下面的各個(gè)小組口頭背誦比賽,每對(duì)一個(gè)得0.5分)

1.只要你招招手,馬上就會(huì)有出租車開過來.2.你得確保出租車有營業(yè)許可證,并且一定要索取發(fā)票.3.最好是避開交通高峰期.4.編號(hào)大于100的公共汽車可以到達(dá)郊區(qū).5.不過也有夜班車,編號(hào)在200到300之間.6.如果嫌出租車貴工交車擁擠的話,在有些地方,你可以乘座有12個(gè)作為的小公共汽車.7.地鐵快捷方便,但是,交通高峰期時(shí)段情況就可能非常糟糕.8.如果你想逛逛老北京的胡同,三輪車就值得坐一坐了.五.完成下列句子(能力擴(kuò)展)

1.明天早點(diǎn)來,你就會(huì)見到她。

____________________ tomorrow ________ you’ll meet her.2．即使邀請(qǐng)她,她也不會(huì)來的。

She won’t come _________________ she is invited.3.如果你方便的話,明天到這里來一趟。

_______________________________ to you, come here tomorrow.4.不僅你而且她這次英語考試不及格。

______ __________ you _______ ______ she has failed in the exam.5.他跑的如此的快,所以我沒追上他。

He ran __________ _________ _________ I didn’t catch up with him.六.根據(jù)課文填空:(綜合鞏固)

You can use different means of transport to get around in Beijing.Simply raise you hand, and a taxi appears _________.You should check the cab has a business ______, and __________ you ask for a receipt.There are 20,000 buses and trolleybuses in Beijing, but they can get very crowded during the ________.There is also a night bus service, ________by buses with a number in the 200s._________in which you can always have a seat run regular services and follow the same route as the public buses.Underground trains are fast and convenient, but rush hours can be terrible.If you want to go to the narrow alleys of old Beijing, ________ are worth using

七、選擇填空：（綜合鞏固，精選錯(cuò)題率較高的題并稍微更改）

1、--Sinceyoucan'tfindabetterjob，whydon'tyousticktothepresentone?

--Well________.A、IbelievenotB、will cookC、NevermindD、I mightaswell2、Applesaresoldby ______weight，andeggsby ______ dozen.A、the，theB、/，aC、/，theD、the，a3、______ childrenthewayIdo，Kateshoulddobetter.A、LikingB、tolikeC、LikeD、Liked4、--Hedidn'taskmetogotoseeher

--But ______ifhehad

A、wouldyougoB、wouldyouhavegone

C、didyouwanttogoD、hadyougone5、Themostexcitingthingforhimwas ______ hefinallyfoundtwotinnedfruitsin ______ seemedtohimtobeaservant'sbedroom

A、what，thatB、what，what

C、that，thatD、that，what6、Whatworriesmemostis ______ hewillcome ______ hewillgethere。Thetrainissoonstarting。

A、thatboth，andB、notonlythat，but alsothat

C、notwhetherbuthowD、notwhether，butwhen7、Theteacherspokeinsuchalowvoiceintoday'sclassthatIcouldhear ______ nothing。

A、almostB、nearlyC、hardlyD、mostly8、Mother ______ usstorieswhenwewereyoung

A、wasusedtotellB、isusedtotelling

C、usedtotellD、usedtotelling

八、走近高考（精選與本單元有關(guān)的高考原題用于檢測(cè)復(fù)習(xí)效果）

1．（2006年全國卷1）Mary ,______here-----everybody else,stay where you are.A.comeB.comesC.to comeD.coming

2.(2005年高考天津卷)If it is quite _________to you ,I will visit you next Tuesday.A.convenientB.fairC.easyD.comfortable

3.(2005年高考湖南卷)Allow children the space to voice their opinions,_______they are differentfrom your own.A.untilB.even ifC.unlessD.as though

4.(2006年四川卷)Start out right away,________ you’ll miss the first train.A.andB.butC.orD.while

5.(2005年遼寧卷)Follow your doctor’s advice, _______ your cought will get worse.A.orB.andC.thenD.so

6.(2006年北京卷)-----________leave at the end of this month.-----I don’t think you should do that until ______another jo

b.A.I’m going to , you ‘d found

B.I’m going to, you’ve found

C.I’ll;you’ll find

D.I’ll;you’d find

九．教師就出現(xiàn)的問題點(diǎn)撥，并用多媒體出示所有題目的答案，讓學(xué)生自己檢查反思，把錯(cuò)題改在錯(cuò)題本上。

十、家庭作業(yè)：saysomethingabouttraffic jam of our county(書面表達(dá),能力運(yùn)用)

關(guān)于“學(xué)案導(dǎo)學(xué)小組合作”式英語復(fù)習(xí)課模式的總結(jié)反思：

我校自實(shí)行以學(xué)生為主體的新課堂教學(xué)模式后，我們把各班按優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的原則分成了六個(gè)學(xué)習(xí)小組,通過“學(xué)案導(dǎo)學(xué)，自主探究，合作交流，學(xué)生展示，教師點(diǎn)撥”的形式，即把“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”與“小組合作”相結(jié)合的教學(xué)方式，老師把學(xué)生每節(jié)課在黑板上的展示結(jié)果和其他表現(xiàn)按小組積分量化,學(xué)校每周一公布,每月一評(píng)選,每班評(píng)選出三個(gè)優(yōu)秀小組，極大的調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性,學(xué)生厭學(xué)現(xiàn)象基本消失。我們?cè)诟鞣N課堂教學(xué)模式上大膽探索，積極創(chuàng)新，逐漸摸索出了一套適合我校各類班級(jí)學(xué)生的教學(xué)模式，我們主要嘗試了新授課，復(fù)習(xí)課，講評(píng)課，英語閱讀課，英語寫作課的教學(xué)模式。高中英語的復(fù)習(xí)課一直是老師們感覺很難把握的課型，以往我們就是讓學(xué)生做卷子，老師在課堂上講很多，自己累，學(xué)生感覺大多是無效教學(xué)，收獲不大，沒有實(shí)效。為此我們?cè)趶?fù)習(xí)課上很下功夫，按“學(xué)案導(dǎo)學(xué)小組合作”式英語復(fù)習(xí)課模式設(shè)計(jì)了課型，并在評(píng)價(jià)制度上努力做了一些新的嘗試，盡量做到公平公正、科學(xué)合理，下面我以我在級(jí)部出示的一堂公開課為例，初步探討出了復(fù)習(xí)課的課堂教學(xué)模式。

第一步：教師公布上一天各個(gè)小組的累計(jì)得分，宣布前三名的小組，讓學(xué)生們用掌聲鼓勵(lì)他們，老師給后三名的小組鼓勁，鼓勵(lì)他們爭(zhēng)取今天超過前三個(gè)小組的得分，從上課一開始就激發(fā)他們不服輸?shù)木窈透页亩分尽?/p>

第二步：公布課前老師檢查學(xué)案的完成情況和課代表統(tǒng)計(jì)的作業(yè)完成情況，沒做完的每人扣0.1分記入小組得分。

第三步：讀單詞

每次找一個(gè)到兩個(gè)小組到講臺(tái)上讀單詞，其他同學(xué)聽后糾正。這是我根據(jù)英語的學(xué)科特點(diǎn)，專門給語音基礎(chǔ)不好的學(xué)生設(shè)計(jì)的展示機(jī)會(huì)，這步不能省略，否則這個(gè)檔次的學(xué)生就一點(diǎn)也不學(xué)了，我這樣做的初衷就是在課堂上體現(xiàn)對(duì)每一個(gè)學(xué)生的關(guān)注，讓所有人都有成就感，體會(huì)到成功進(jìn)步的喜悅，進(jìn)而對(duì)英語這門課產(chǎn)生興趣，但這步不能浪費(fèi)太多時(shí)間，一次最多找兩個(gè)學(xué)生代表本組，就沖這個(gè)機(jī)會(huì)這一類的學(xué)生也會(huì)課下做準(zhǔn)備，并且我給語音不好的學(xué)生每人找了個(gè)好學(xué)生結(jié)對(duì)子,課下可以隨時(shí)幫助他們。學(xué)生單詞全讀對(duì)得0.1分。

第四步：聽寫單詞

每天堅(jiān)持聽寫20個(gè)單詞，前一天就告訴學(xué)生聽寫的內(nèi)容，這樣學(xué)生好準(zhǔn)備，學(xué)生聽寫全對(duì)的得0.2分,書寫好的加0.1分。

第五步：小組討論

討論內(nèi)容：

1.上一天的6個(gè)漢譯英句子，課代表派每個(gè)小組輪流提前一天寫在黑板上，學(xué)生做在作業(yè)本上。

2.上一天老師發(fā)下去讓學(xué)生做的學(xué)案，它是備課組通過集體備課編寫的，讓學(xué)生把所有的題目都討論一遍。

討論過程及注意事項(xiàng)：

1．老師及時(shí)深入到各個(gè)小組參與討論，并及時(shí)了解學(xué)生感覺難度很大的題目，或板書在黑板上或展示前先集體講解。

2．小組討論包括組內(nèi)交流組外求助。討論氣氛熱烈，態(tài)度認(rèn)真，并且全員參與的小組得0.1分，本小組成員都不會(huì)的題目可向其他小組求助或問老師，前三名先討論完的小組，組長向老師要板書的題目，其他同學(xué)安靜地坐在座位上的得0.1分。

3．給各個(gè)組分題時(shí)也有很多技巧：讓先討論完的小組做內(nèi)容多書寫多的題目，讓整體水平高的小組做難度大的題目，讓最后討論完的小組做書寫少的題目，這樣保證幾個(gè)小組幾乎同時(shí)做完，便與同時(shí)聽講。對(duì)于整體實(shí)力相對(duì)較弱的小組給他們簡單點(diǎn)的題目，讓所有人體會(huì)到成功的快樂，我發(fā)現(xiàn)讓基礎(chǔ)差的學(xué)生多到黑板展示有利于提高他們小組討論的參與意識(shí)。

4．每個(gè)小組都有活動(dòng)記錄員，記錄本課小組活動(dòng)情況，誰沒參與，誰表現(xiàn)比較好?？稍趯?shí)際中他們只寫好的，一般我讓基礎(chǔ)差的學(xué)生擔(dān)任，讓他感覺有事可做，也讓他感覺老師重視他信任他，以此來調(diào)動(dòng)這個(gè)層次的學(xué)生上課參與的積極性，下課后讓他把活動(dòng)記錄交上來我查看。

5．每個(gè)小組有一名噪音控制員，在討論聲太高或紀(jì)律不好時(shí)他可以起作用。第六步：小組黑板展示

1．在六個(gè)小組都領(lǐng)到題目開始板書的同時(shí)，各小組噪音控制員安排小組其他成員安靜下來，這時(shí)老師找一個(gè)難度大的題目或有利于口語訓(xùn)練的題目先和同學(xué)們口頭做一遍（比如口頭說六個(gè)句子），或直接做其他的題目。板書完畢，老師開始在黑板上讓學(xué)生們糾錯(cuò)。對(duì)于發(fā)現(xiàn)黑板上的錯(cuò)誤又糾正過來的小組每次得0.1分。

2．黑板展示內(nèi)容全對(duì)的小組得1分，其次適當(dāng)減分，書寫好的加0.1分。自從我宣布加書寫分后，學(xué)生的板書很自然地好起來。

3．糾正錯(cuò)誤后，老師適當(dāng)點(diǎn)撥后，再讓學(xué)生在錯(cuò)題本上改錯(cuò)，同時(shí)把全部答案用多媒體展示出來，學(xué)生遇到問題再繼續(xù)討論或請(qǐng)教老師。

4．課后課代表統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)并寫在張貼在墻上的排行榜上，第二天我宣布上一天的結(jié)果，并及時(shí)鼓勵(lì)得分高的小組，調(diào)動(dòng)得分低的小組的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。

對(duì)該復(fù)習(xí)課課堂教學(xué)模式的總結(jié)和深層反思：自編學(xué)案涉及面廣，課時(shí)容量大，教學(xué)效率高，課堂氣氛活躍，小組成員積極參與組內(nèi)交流合作，小組間競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)強(qiáng)，從學(xué)生一開始討論的躍躍欲試到爭(zhēng)搶著找錯(cuò)改錯(cuò)來看，該課改變了以往學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的局面，真正體現(xiàn)了課堂教學(xué)以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，老師適時(shí)適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥，且點(diǎn)撥到位，真正把課堂還給了學(xué)生，是很適合我校學(xué)生具體情況的實(shí)用的復(fù)習(xí)課教學(xué)模式。由于學(xué)生隨時(shí)會(huì)提出新的問題，老師可能課前難以預(yù)料，相對(duì)來說對(duì)老師知識(shí)方面的要求更高了，該課型模式對(duì)老師來說是個(gè)新的挑戰(zhàn)。同時(shí)老師還要調(diào)控好課堂，該討論時(shí)要讓學(xué)生動(dòng)起來，學(xué)生上黑板后，要讓其他學(xué)生迅速靜下來，在老師的引導(dǎo)下互動(dòng)，這對(duì)老師的管理水平和管理能力又是一個(gè)新的挑戰(zhàn)，教師只有做到動(dòng)靜結(jié)合,收放自如才能真正駕御課堂。

其實(shí)任何一種教學(xué)模式都不是萬能的，在實(shí)際教學(xué)過程中還要注意多和學(xué)生交流.比如：每次我在上班下班的路上只要遇到學(xué)生，只要放學(xué)后我發(fā)現(xiàn)班里還有學(xué)生在,我就順便問他們英語課有什么問題，需要什么地方改進(jìn)，你感覺哪里難，你認(rèn)為老師怎么講你能接受等，并針對(duì)學(xué)生提出的問題及時(shí)調(diào)整自己的課堂教學(xué)，使它更適合學(xué)生的需要。由此我也得出一個(gè)結(jié)論：讓學(xué)生喜歡、適合自己學(xué)生并能讓學(xué)生真正學(xué)到東西的課才是一堂好課。每天進(jìn)行教學(xué)反思是很必要的，總結(jié)上課的得失，有利于下一次的改進(jìn)，有時(shí)在一個(gè)班講完課，發(fā)現(xiàn)問題在另一班就及時(shí)調(diào)整。另外對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育也很重要，比如：愛國愛校教育，感恩教育，信心教育，惜時(shí)教育，學(xué)習(xí)是時(shí)代發(fā)展需要的教育，通過張貼優(yōu)秀學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和優(yōu)秀學(xué)生勵(lì)志語教育學(xué)生等。同時(shí)還要注重對(duì)學(xué)生責(zé)任心的培養(yǎng)；合作精神、競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)、執(zhí)著和不服輸?shù)木竦呐囵B(yǎng)；良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)；良好的學(xué)習(xí)氛圍和優(yōu)良的班風(fēng)的培養(yǎng)；還應(yīng)注意多激發(fā)他們思維的創(chuàng)造性、質(zhì)疑性、批判性，以開發(fā)學(xué)生的智力，同時(shí)定期召開學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流班會(huì)，介紹學(xué)習(xí)方法也很有效。最重要的任課老師的工作責(zé)任心、工作熱情、工作積極性和老師的敬業(yè)精神、奉獻(xiàn)精神，都直接影響著學(xué)生的責(zé)任心和學(xué)習(xí)積極性?？傊@個(gè)模式的運(yùn)作需要老師不斷地激發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望、積極性和競(jìng)爭(zhēng)意思，需要老師除了具備豐富的專業(yè)知識(shí)外還要有豐富的課外知識(shí)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的能力,這對(duì)老師確實(shí)是一種新的挑戰(zhàn),因?yàn)橐磺卸际窃谘芯刻剿髦?需要教師付出大量的心血。從課改一開始教委分管領(lǐng)導(dǎo)的親自督導(dǎo),區(qū)教研室領(lǐng)導(dǎo)學(xué)校校長以及分管校長親自聽課評(píng)課指導(dǎo)并為大家排憂解難，以及級(jí)部主任對(duì)公開課的堂堂把關(guān)以及到位的指導(dǎo),充分證明領(lǐng)導(dǎo)重視是這次課改模式運(yùn)作順利的根本保證。