第一篇：不定積分 教案示例
不定積分·教案示例
目的要求
1．理解原函數(shù)的定義，知道原函數(shù)的性質(zhì)，會求簡單函數(shù)的原函數(shù)．
2．理解不定積分的概念，掌握不定積分的線性性質(zhì)，會用定義求簡單函數(shù)的不定積分．
內(nèi)容分析
1．不定積分是一元函數(shù)微積分學的基本內(nèi)容，本章教材是在學生已掌握求導數(shù)方法的基礎上，研究求原函數(shù)或不定積分的．故學好“導數(shù)與微分”是學好不定積分的前提，教學時，要與“導數(shù)與微分”一章的有關內(nèi)容進行對照．
2．本節(jié)教學重點是原函數(shù)和不定積分的概念教學，難點是原函數(shù)的求法．突破難點的關鍵是緊緊扣住原函數(shù)的定義，逆用求導公式，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的理順．由于逆運算概念學生并不陌生，因此教學中要充分利用思維定勢的積極因素并引入教學．另外，本節(jié)切勿提高教學難度，因為隨著后續(xù)學習的深入，積分方法多，無需直接用定義求不定積分．
3．本節(jié)教學要始終抓住一條主線：“求導數(shù)與求原函數(shù)或不定積分(在不計所加任意常數(shù)時)互為逆運算”．強調(diào)求不定積分時，不要漏寫任意常數(shù)C；另外，要向?qū)W生說明：求一個函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但結(jié)果的導數(shù)應相等．指出這點是有益的，一方面使學生會檢查得到的不定積分是否正確，另一方面消除學生由于所得不定積分形式的不同而產(chǎn)生的疑問．
4．根據(jù)本節(jié)知識的抽象性，教學中應充分安排學生進行觀察、聯(lián)想、類比、討論等課堂活動，使之參與到概念的發(fā)現(xiàn)過程，體會知識的形成過程．本著這一原則，本節(jié)課宜采用引導發(fā)現(xiàn)法進行教學．
教學過程
1．創(chuàng)設情境，引入新課(1)引例(見解本章頭)．
用多媒體顯示引例圖象，提出問題，激起學生求知欲望，揭示并板書課題．(2)介紹微積分產(chǎn)生的時代背景，弘揚科學的學習態(tài)度和鉆研精神． 2．嘗試探索，建立新知
(1)提出問題：已知某個函數(shù)的導數(shù)，如何求這個函數(shù)？(2)嘗試練習：求滿足下列條件的函數(shù)F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3
(3)解決問題：上述練習是完成與求導數(shù)相反的逆運算．因此，解決問題的方法仍為求導數(shù)．
(4)形成定義：詳見課本“原函數(shù)”的定義． 對于原函數(shù)的定義，教師應強調(diào)下列三點：
第一，F(xiàn)(x)與f(x)是定義在同一區(qū)間I上，這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開區(qū)間．
第二，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)．
第三，求原函數(shù)(在不計所加常數(shù)C的情況下)與求導數(shù)互為逆運算．(5)簡單應用：
例1 求下列函數(shù)的一個原函數(shù)． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3
小結(jié)解法：根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個函數(shù)F(x)，使它的導數(shù)F′(x)等于f(x)．
(6)討論問題：已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)，那么函數(shù)f(x)是否還有其他原函數(shù)？舉例說明．(略)(7)歸納性質(zhì)：
一般地，原函數(shù)有下面的性質(zhì)：
設F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，對于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)＋C也是f(x)的原函數(shù)，并且f(x)在區(qū)間I上任何一個原函數(shù)都可以表示成F(x)＋C的形式．
教師強調(diào)：一個函數(shù)雖然有無窮多個原函數(shù)，但是我們只要求出其中的一個就行，其他的原函數(shù)都可以由這個原函數(shù)再加上一個常數(shù)得到．這樣就給出了求已知函數(shù)的所有原函數(shù)的方法．
3．類比分析，拓廣知識
根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，類比引入不定積分的概念．
(1)講解不定積分的有關概念：不定積分、積分號、被積函數(shù)、積分變量、被積式、積分常數(shù)等(詳見課本)．
對于不定積分的定義，教師說明如下：
第一，函數(shù)f(x)的不定積分?f(x)dx等于函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)
＋C．常數(shù)C不要漏寫，F(xiàn)(x)只能表示一個原函數(shù)，這也正是原函數(shù)和
不定積分的區(qū)別；不定積分記號?f(x)dx由積分記號“?”和被積式
“f(x)dx”構(gòu)成，書寫時不要漏掉dx．
第二，在不定積分?f(x)dx中，積分變量是x；在不定積分?uxdx中，積分變量是x，被積分函數(shù)u是關于x的指數(shù)函數(shù)；在?udu中，xx
積分變量是u，被積函數(shù)ux是關于u的冪函數(shù)．
(2)推導不定積分的性質(zhì)．
性質(zhì)1：(?f(x)dx)?＝f(x)
證明：設函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，即F′(x)＝f(x)．
由不定積分的定義得?f(x)dx＝F(x)＋C．∴(?f(x)dx)′＝(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)∴(?f(x)dx)′＝f(x)性質(zhì)2：?F′(x)dx＝F(x)＋C
證明(略)上述兩個性質(zhì)表明：求導數(shù)與求不定積分(在不計所加的任意常數(shù)時)互為逆運算．因此，求不定積分時，常常利用導數(shù)與不定積分的這種互逆關系，驗證所求的不定積分是否正確．
4．例題評價，反饋訓練
例2 如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f′(x)＝g′(x)，則一定有
[B]
A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＋C C．[?f(x)dx]?＝[?g(x)dx]?
D．f(x)＝Cg(x)例3 求下列不定積分．
(1)?xdx(2)?cosxdx
小結(jié)解法：
(1)求不定積分時，都要在結(jié)果上寫上任意常數(shù)C．本章凡是沒有特別說明時，所加的C均表示任意常數(shù)．
(2)求一個函數(shù)的不定積分，由于方法不同，它的結(jié)果在形式上往往也不同．這種形式上不同的結(jié)果，可以用求它們的導數(shù)的方法，看其導數(shù)是否相同，如果導數(shù)相同，就說明結(jié)果是正確的．
課堂練習：教科書練習第1、3、4題．
例4 已知f(x)是二次函數(shù)，且?f(x)dx＝2x3－x2＋9x＋C，求f(x)的解析式．
解：由不定積分的性質(zhì)得
f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．歸納總結(jié)，鞏固提高
(1)一條主線：求導數(shù)與求不定積分(在不計所加任意常數(shù)時)互為逆運算．(2)二組概念：原函數(shù)的定義和性質(zhì)，不定積分的定義和性質(zhì)．
(3)三個注意：一是注意一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，它們之間僅相差一個常數(shù)；二是注意求不定積分時，不要漏寫任意常數(shù)C；三是注意求一個函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但其結(jié)果的導數(shù)應相等．
布置作業(yè)
1．課本習題4．1第3、4題．
2．設函數(shù)y＝f(x)的圖象為a，且在曲線a上任一點M(x，y)處的切線的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲線過點P(1，2)，求函數(shù)y＝f(x)的解析式．
13(答案：f(x)＝x4＋x＋．)
443．已知函數(shù)f(x)＝?(2ax＋b)dx，且f(0)＝f(2)＝0，方程f(x)＝x
有兩個相等實根．
(1)求f(x)的解析式．
(2)是否存在實數(shù)m、n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]．
1(答案：(1)f(x)＝－x2＋x；(2)存在m＝－2，n＝0．)
第二篇：不定積分教案
高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
教學目的：
第四章
不定積分
1、理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。
2、掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。
3、會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。教學重點：
1、不定積分的概念；
2、不定積分的性質(zhì)及基本公式；
3、換元積分法與分部積分法。教學難點：
1、換元積分法；
2、分部積分法；
3、三角函數(shù)有理式的積分。§4? 1 不定積分的概念與性質(zhì)
一、原函數(shù)與不定積分的概念
定義
1如果在區(qū)間I上? 可導函數(shù)F(x)的導函數(shù)為f(x)? 即對任一x?I? 都有
F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?
那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)?
例如 因為(sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函數(shù)?
又如當x ?(1? ??)時?
因為(x)??1? 所以x是1的原函數(shù)?
2x2x
提問:
cos x和1還有其它原函數(shù)嗎？
2x
原函數(shù)存在定理
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)? 那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F(x)? 使對任一x ?I 都有
F ?(x)?f(x)?
簡單地說就是? 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)?
兩點說明?
第一? 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)? 那么f(x)就有無限多個原函數(shù)? F(x)?C都是f(x)的原函數(shù)? 其中C是任意常數(shù)?
第二? f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)? 則 ?(x)?F(x)?C
(C為某個常數(shù))?
高等數(shù)學課程建設組1 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
定義2 在區(qū)間I上? 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分? 記作
?f(x)dx?
其中記號?稱為積分號? f(x)稱為被積函數(shù)? f(x)dx稱為被積表達式? x 稱為積分變量?
根據(jù)定義? 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)? 那么F(x)?C就是f(x)的不定積分? 即
?f(x)dx?F(x)?C?
因而不定積分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一個原函數(shù)?
例1??因為sin x 是cos x 的原函數(shù)???所以
?cosxdx?sinx?C?
因為x是1的原函數(shù)???所以
2x
例2.求函數(shù)f(x)?1的不定積分?
x 解：當x>0時???(ln x)??1??
x
?1 dx?lnx?C(x>0)??
x
當x<0時???[ln(?x)]??1?(?1)?1??
?xx
?1 dx?ln(?x)?C(x<0)??
x 合并上面兩式???得到
?1 dx?ln|x|?C(x?0)??
x
例3 設曲線通過點(1? 2)? 且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍? 求此曲線的方程?
解 設所求的曲線方程為y?f(x)? 按題設? 曲線上任一點(x? y)處的切線斜率為y??f ?(x)?2x, ，即f(x)是2x 的一個原函數(shù)?
因為
?2xdx?x2?C?
高等數(shù)學課程建設組2 ?21dx?x?C? x高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
故必有某個常數(shù)C使f(x)?x 2?C? 即曲線方程為y?x 2?C?
因所求曲線通過點(1? 2)? 故
2?1?C?
C?1?
于是所求曲線方程為y?x2?1?
積分曲線? 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線?
從不定積分的定義? 即可知下述關系?
d[?f(x)dx]?f(x)?
dx或
d[?f(x)dx]?f(x)dx?
又由于F(x)是F ?(x)的原函數(shù)? 所以
?F?(x)dx?F(x)?C?
或記作
?dF(x)?F(x)?C?
由此可見? 微分運算（以記號d表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算? 以記號?表示）是互逆的? 當記號?與d 連在一起時? 或者抵消? 或者抵消后差一個常數(shù)?
二、基本積分表(1)?kdx?kx?C(k是常數(shù))?
(2)?x?dx?1x??1?C?
??1(3)?1dx?ln|x|?C?
x(4)?exdx?ex?C?
x(5)?axdx?a?C?
lna(6)?cosxdx?sinx?C?
(7)?sinxdx??cosx?C?
(8)?(9)?1dx?sec2xdx?tanx?C? ?cos2x1dx?csc2xdx??cotx?C?
?sin2x高等數(shù)學課程建設組3 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
(10)?12dx?arctanx?C?
1?x(11)?1dx?arcsinx?C?
1?x2(12)?secxtanxdx?secx?C?
(13)?cscxcotdx??cscx?C?
(14)?sh x dx?ch x?C?
(15)?ch x dx?sh x?C?
例4
例5 ?x3dx??x?3dx??3?1x?3?1?C??2x2?C?
?x2111xdx??5x2dx7?1122?x?C?x2?C?2x3x?C? 5?17725??
例6 ?dxx3x?4x3dx??4?1x3?4?13?C?1??3x3?C??33?C?
x
三、不定積分的性質(zhì)
性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個函數(shù)的不定積分的和? 即
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx?
這是因為, [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).性質(zhì)2 求不定積分時? 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來? 即
?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常數(shù)? k ?0)?
例7.?x(x?5)dx??5x2dx?725(x21?5x2)dx 5x2dx?51x2dx ???15x2dx3???22 ?x2?5?x2?C?
7332(x?1)3x?3x?3x?1dx?(x?3?3?1)dx 例8 ?dx???22xx2xx ??xdx?3?dx?3?1dx??12dx?1x2?3x?3ln|x|?1?C?
x2xx高等數(shù)學課程建設組4 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
例9 ?(ex?3cosx)dx??exdx?3?cosxdx?ex?3sinx?C?
xx(2e)x?C?2e?C?
例10 ?2edx??(2e)dx?ln(2e)1?ln2xxx1?x?x2dx?x?(1?x2)dx?(1?1)dx 例11 ??x(1?x2)?1?x2x
x(1?x2)??12dx??1dx?arctanx?ln|x|?C?
x1?x44(x2?1)(x2?1)?1xx?1?1 例12 ?dx??dx??dx
1?x21?x21?x2 ??(x2?1?12)dx??x2dx??dx??12dx
1?x1?x ?1x3?x?arctanx?C? 例13 ?tan2xdx??(sec2x?1)dx??sec2xdx??dx
? tan x ? x ? C ?
例14 ?sin2x dx??1?cosxdx?1?(1?cosx)dx
222 ? 例15 1(x?sinx)?C?
2?1dx?4?12dx??4cotx?C?
sinxsin2xcos2x22
高等數(shù)學課程建設組5 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
§4? 2 換元積分法
一、第一類換元法
設f(u)有原函數(shù)F(u)?
u??(x)? 且?(x)可微? 那么? 根據(jù)復合函數(shù)微分法? 有 d F[?(x)]?d F(u)?F ?(u)d u? F? [?(x)] d?(x)? F ?[?(x)]??(x)d x ? 所以
F ?[?(x)]??(x)dx? F ?[?(x)] d?(x)? F ?(u)d u? d F(u)?d F[?(x)]?
因此
?F?[?(x)]??(x)dx??F?[?(x)]d?(x)
??F?(u)du??dF(u)??dF[?(x)]?F[?(x)]?C? 即
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?[?f(u)du]u??(x)
?[F(u)?C] u ? ?(x)? F[?(x)]?C?
定理
1設f(u)具有原函數(shù)? u??(x)可導? 則有換元公式
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C ?
被積表達式中的dx 可當作變量x的微分來對待? 從而微分等式??(x)dx ?du可以應用到被積表達式中?
在求積分?g(x)dx時? 如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)? f[?(x)]??(x)的形式? 那么
?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]u??(x)?
例1.?2cos2xdx??cos2x?(2x)?dx??cos2xd(2x)
??cosudu?sinu?C?sin 2x?C ?
例2.?3?2xdx?2?3?2x(3?2x)?dx?2?3?2xd(3?2x)11111
?1?1dx?1ln|u|?C?1ln|3?2x|?C?
2u22 例3.?2xexdx??ex(x2)?dx??exd(x2)??eudu
?eu?C?ex?C?
例4.?x1?x2dx?1?1?x2(x2)?dx?1?1?x2dx2 2??1?1?x2d(1?x2)??1?u2du??1u2?C
22??1(1?x2)2?C?
3高等數(shù)學課程建設組6 3132222高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
例5.?tanxdx??sinxdx???1dcosx
cosxcosx
???1du??ln|u|?C u
??????ln|cos x|?C ?
即
?tanxdx??ln|coxs|?C?
類似地可得?cotxdx?ln|sinx|?C?
熟練之后? 變量代換就不必再寫出了?
例6.?a2?x2dx?a2?111dx
1?(x)2a
?1?1dx?1arctanx?C?
a1?(x)2aaaa 即 n?C? ?a2?x2dx?aarctaa11x 例7.?chxdx?a?chxdx?a shx?C?
aaaa 例8.當a?0時，1dx?111xndx??dx?arcsi?C?
?aaaxxa2?x2221?()1?()aa?
即 ?xn1dx?arcsi?C?
22aa?x 例9.?x2?a2dx?2a?(x?a?x?a)dx?2a[?x?adx??x?adx] 1111111
?1[?1d(x?a)??1d(x?a)]
2ax?ax?a
?1[ln|x?a|?ln|x?a|]?C?1ln|x?a|?C?
2a2ax?a 即 ?x2?a2dx?2aln|x?a|?C? 11x?a 例10.?x(1?2lnx)??1?2lnx?2?dxdlnx1d(1?2lnx)
1?2lnx
?1ln|1?2lnx|?C?
2高等數(shù)學課程建設組7 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
3x 例11.?edx?2?e3xdx?2?e3xd3x
3x
?2e3x?C?
3含三角函數(shù)的積分?
例12.?sin3xdx??sin2x?sinxdx???(1?cos2x)dcosx
???dcosx??cos2xdcosx??cosx?1cos3x?C? 例13.?sin2xcos5xdx??sin2xcos4xdsinx
??sin2x(1?sin2x)2dsinx
??(sin2x?2sin4x?sin6x)dsinx
?1sin3x?2sin5x?1sin7x?C???357 例14.?cos2xdx??1?cos2xdx?1(?dx??cos2xdx)
?1?dx?1?cos2xd2x?1x?1sin2x?C?
2424 例15.?cos4xdx??(cos2x)2dx??[1(1?cos2x)]2dx ?1?(1?2cos2x?cos22x)dx ?1?(3?2cos2x?1cos4x)dx
422
?1(3x?sin2x?1sin4x)?C 428
?3x?1sin2x?1sin4x?C?
8432 例16.?cos3xcos2xdx?1?(cosx?cos5x)dx
?1sinx?1sin5x?C?
2101 例17.?cscxdx??1dx??dx
xxsinx2sincos22高等數(shù)學課程建設組8 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
dxdtanx22?ln|tanx|?C?ln |csc x ?cot x |?C ?
??
??2tanxcos2xtanx222 即
?csc?ln |csc x ?cot x |?C ? xdx 例18.?secxdx??csc(x??)dx?ln|csc(x? ?)?cot(x? ?)|?C
222
?ln |sec x ? tan x | ? C?
即
?sec?ln |sec x ? tan x | ? C? xdx
二、第二類換元法
定理2 設x ??(t)是單調(diào)的、可導的函數(shù)? 并且??(t)?0? 又設f [?(t)]??(t)具有原函數(shù)F(t)? 則有換元公式
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?F[??1(x)]?C?
其中t????(x)是x??(t)的反函數(shù)?
這是因為
{F[??1(x)]}??F?(t)dt?f[?(t)]??(t)1?f[?(t)]?f(x)?
dxdxdt 例19.求?a2?x2dx(a>0)?
解: 設x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么a2?x2?a2?a2sin2t?acost?
22dx ?a cos t d t ? 于是
?a2?x2dx??acost?acostdt
?a2?cos2tdt?a2(1t?1sin2t)?C?
2422x因為t?arcsin, sin2t?2sintcost?2x?a?x? 所以
aaa?2a11a?xdx?a(t?sin2t)?C?arcsinx?1xa2?x2?C?
242a2222
解: 設x?a sin t ? ? ??t? ?? 那么
22高等數(shù)學課程建設組9 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
?a2?x2dx??acost?acostdt ?a2?cos2tdt?a2(1t?1sin2t)?C?aarcsinx?1xa2?x2?C?
242a2提示:a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?acos tdt ?
22提示: t?arcsinx, sin2t?2sintcost?2x?a?x?
aaa
例20.求?dx(a>0)?
x2?a
2解法一? 設x?a tan t? ? ??t? ?? 那么
22x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?a sec t ? dx?a sec 2t d t ? 于是
?2asectdt?sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?
dx???asectx2?a222因為sect?x?a? tant?x? 所以
aa?dx? ln |sec t ? tan t |?C?ln(x?x2?a2)?C?ln(x?x2?a2)?C?
1aax2?a2其中C 1?C?ln a ?
解法一? 設x?a tan t? ? ??t? ?? 那么
?dx?asec2tdt?sectdt?ln|sect?tant|?C
?asect?x2?a222xx?a
?ln(?)?C?ln(x?x2?a2)?C1?
aa其中C 1?C?ln a ?
提示:x2?a2?a2?a2tan2t?asect ? dx?a sec 2t dt ?
22提示:sect?x?a? tant?x?
aa
解法二: 設x?a sh t ? 那么
高等數(shù)學課程建設組10 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
?dx??ach tdt??dt?t?C?arshx?C
ach tax2?a2??
?ln?x?(x)2?1??C?ln(x?x2?a2)?C1?
a?a?其中C 1?C?ln a ?
提示: x2?a2?a2sh2t?a2?a ch t ? dx ?a ch t d t ?
例23.求?dx(a>0)?
x2?a2
解: 當x>a 時? 設x?a sec t(0?t? ?)? 那么
2x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?a tan t ?
于是
?dx??asecttantdt??sectdt? ln |sec t ? tan t |?C ?
atantx2?a222因為tant?x?a? sect?x? 所以
aa?dx? ln |sec t ? tan t |?C ?ln|x?x2?a2|?C?ln(x?x2?a2)?C?
1aax2?a2其中C 1?C?ln a ?
當xa? 于是
?dx???du??ln(u?u2?a2)?C x2?a2u2?a2
??ln(?x?x2?a2)?C?ln(?x?x2?a2)?C1?
22?x?x?a?ln?C?ln(?x?x2?a2)?C1?
2a其中C 1?C?2ln a ?
綜合起來有
?
dx?ln|x?x2?a2|?C? 22x?a
解: 當x>a 時? 設x?a sec t(0?t? ?)? 那么
2高等數(shù)學課程建設組11 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
?dx??asecttantdt??sectd t 22atantx?a22
?ln|setc?tant|?C?lnx(?x?a)?C
aa
?lnx(?x2?a2)?C?
其中C 1?C?ln a ?
當xa? 于是
?dx???du??ln(u?u2?a2)?C x2?a2u2?a22222?x?x?a
??ln(?x?x?a)?C?ln?C
a2
?ln(?x?x2?a2)?C1?
其中C 1?C?2ln a ?
提示:x2?a2?a2sec2t?a2?asec2t?1?atant ?
22xx?a提示:tant?? sect??
aa
綜合起來有
dx?ln|x?x2?a2|?C? x2?a2
補充公式?
?(16)?tanxdx??ln|cosx|?C? ?????cotxdx?ln|sinx|?C?(18)?secxdx?ln|secx?tanx|?C?(19)?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C?(20)?(21)?(22)?(23)?1dx?1arctanx?C?
aaa?x221dx?1ln|x?a|?C?2ax?ax?a221dx?arcsinx?C?
aa2?x2
dx?ln(x?x2?a2)?C?
x2?a2高等數(shù)學課程建設組12 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
(24)? dx?ln|x?x2?a2|?C?
x2?a2
§4? 3 分部積分法
設函數(shù)u?u(x)及v?v(x)具有連續(xù)導數(shù)? 那么? 兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為
(uv)??u?v?uv??
移項得
uv??(uv)??u?v?
對這個等式兩邊求不定積分? 得
?uv?dx?uv??u?vdx??或?udv?uv??vdu? 這個公式稱為分部積分公式?
分部積分過程: ?uv?dx??udv?uv??vdu?uv??u?vdx? ? ? ??
例1 ?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?x sin x?cos x?C ?
例2 ?xexdx??xdex?xex??exdx?xex?ex?C?
例3 ?x2exdx??x2dex?x2ex??exdx2
?x2ex?2?xexdx?x2ex?2?xdex?x2ex?2xex?2?exdx
?x2ex?2xex?2ex?C ?ex(x2?2x?2)?C?
例4 ?xlnxdx?1?lnxdx2?1x2lnx?1?x2?1dx
222x??????????????????????????1x2lnx?1?xdx?1x2lnx?1x2?C?
2224 例5 ?arccosxdx?xarccosx??xdarccosx
?xarccosx??x1dx
1?x21?
?xarccosx?1?(1?x2)2d(1?x2)?xarccosx?1?x2?C? 例6 ?xarctanxdx?1?arctanxdx2?1x2arctanx?1?x2?12dx
2221?x
?1x2arctanx?1?(1?12)dx
221?x高等數(shù)學課程建設組13 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
?1x2arctanx?1x?1arctanx?C?
222 例7 求?exsinxdx?
解 因為?exsinxdx??sinxdex?exsinx??exdsinx
?exsinx??excosxdx?exsinx??cosxdex
?exsinx?excosx??exdcosx
?exsinx?excosx??exdcosx
?exsinx?excosx??exsinxdx?
所以
?exsinxdx?1ex(sinx?cosx)?C?
例8 求?sec3xdx?
解 因為
?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtanx
?secxtanx??secxtan2xdx
?secxtanx??secx(sec2x?1)dx
?secxtanx??sec3xdx??secxdx
?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec3xdx?
所以
?se3cxdx?1(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C? 例9 求In??dx? 其中n為正整數(shù)?(x2?a2)n 解 I1??2dx2?1arctanx?C?
ax?aa
當n?1時，用分部積分法? 有
dxxx2dx ??2(n?1)?(x2?a2)n?1(x2?a2)n?1?(x2?a2)n高等數(shù)學課程建設組14 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
x1a2]dx? ?2(n?1)[??(x2?a2)n?1(x2?a2)n(x2?a2)n?1x即 In?1?2?2(n?1)(In?1?a2In)? 2n?1(x?a)
?于是?? In?1[2x2n?1?(2n?3)In?1]? 2a(n?1)(x?a)2以此作為遞推公式? 并由I1? 例10 求?exdx? 1xarctan?C即可得In? aa 解 令x ?t 2 ? 則 ? dx?2tdt? 于
?exdx?2?tetdt?2et(t?1)?C?2ex(x?1)?C?
?exdx??exd(x)2?2?xexdx
?2?xdex?2xex?2?exdx
?2xex?2ex?C?2ex(x?1)?C??
第一換元法與分部積分法的比較: 共同點是第一步都是湊微分
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)令?(x)?u?f(u)du?
?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)? 哪些積分可以用分部積分法？
?xcosxdx???xexdx???x2exdx? ?xlnxdx? ?arccosxdx? ?xarctanxdx? ?exsinxdx? ?sec3xdx?
?2xexdx??exdx2??eudu? ? ? ? ???x2exdx??x2dex?x2ex??exdx2? ? ? ? ?
高等數(shù)學課程建設組15 22高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
§4? 幾種特殊類型函數(shù)的積分
一、有理函數(shù)的積分
有理函數(shù)的形式?
有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù)? 即具有如下形式的函數(shù):
P(x)a0xn?a1xn?1?????an?1x?an?
? Q(x)b0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm其中m和n都是非負整數(shù)??a0? a1? a2? ? ? ? ? an及b0? b1? b2? ? ? ? ? bm都是實數(shù)?
并且a0?0? b0?0? 當n?m時? 稱這有理函數(shù)是真分式? 而當n?m時? 稱這有理函數(shù)是假分式?
假分式總可以化成一個多項式與一個真分式之和的形式? 例如
x3?x?1?x(x2?1)?1?x?1?
x2?1x2?1x2?
1真分式的不定積分?
求真分式的不定積分時? 如果分母可因式分解? 則先因式分解? 然后化成部分分式再積分?
例1 求? 解 x?3dx?
x2?5x?6?x2?5x?6dx??(x?2)(x?3)dx??(x?3?x?2)dx x?3x?36 ??6dx??5dx?6ln|x?3|?5ln|x?2|?C?
x?3x?2提示?(A?B)x?(?2A?3B)x?3?
?A?B?(x?2)(x?3)x?3x?2(x?2)(x?3)A?B?1? ?3A?2B?3? A?6? B??5?
分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分?
例2 求? 解 x?2dx?
x?2x?32?x2?2x?3dx??(2x2?2x?3?3x2?2x?3)dx x?212x?21dx
?1?22x?2dx?3?212x?2x?3x?2x?3d(x2?2x?3)d(x?1)1?3?
??2 2x?2x?3(x?1)2?(2)?1ln(x2?2x?3)?3arctanx?1?C?
2221(2x?2)?3提示? 2x?2?22?
?1?2x?2?3?21x?2x?3x?2x?32x?2x?3x?2x?3 例3 求?1dx?
x(x?1)2高等數(shù)學課程建設組16 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
解 ?x(x?1)2dx??[x?x?1?(x?1)2]dx 1111
??1dx??1dx??12dx?ln|x|?ln|x?1|?1?C?
x?1xx?1(x?1)
提示? 1?1?x?x??1?1
x(x?1)(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2??1?x?x?12?1?1?12?
x(x?1)(x?1)xx?1(x?1)
二、三角函數(shù)有理式的積分
三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)? 其特點是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運算? 由于各種三角函數(shù)都可以用sin x 及cos x 的有理式表示?
故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x 的有理式?
用于三角函數(shù)有理式積分的變換:
把sin x、cos x表成tanx的函數(shù)? 然后作變換u?tanx?
222tanx2tanxxx2?2?2u?
sinx?2sincos?22sec2x1?tan2x1?u2221?tan2xxx2?1?u2?
cosx?cos2?sin2?22sec2x1?u22變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分?
例4 求?1?sinxdx?
sinx(1?cosx)2x2u2du?
1?u 解 令u?tan? 則sinx?? cosx?? x?2arctan u ? dx?2221?u1?u21?u(1?2u2)2du?1(u?2?1)du 1?u于是 ?1?sinxdx??22?usinx(1?cosx)2u(1?1?u)1?u21?u21?u221u
?(?2u?ln|u|)?C?1tan2x?tanx?1ln|tanx|?C?
4222222 解 令u?tanx? 則
2高等數(shù)學課程建設組17 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
(1?2u2)1?u
?1?sinxdx???22du 2sinx(1?cosx)2u(1?1?u)1?u1?u21?u2 ?1(u?2u?ln|u|)?C?1?(u?2?1)du
222u
?1tan2x?tanx?1ln|tanx|?C?
42222
說明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過變換化為有理函數(shù)的積分???例如?
三、簡單無理函數(shù)的積分
無理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號消去?
例5 求?x?1dx?
x 解 設x?1?u? 即x?u2?1? 則
cosx1?1?sinxdx??1?sinxd(1?sinx)?ln(1?sinx)?C?
?x?1dx?u?2udu?2u2du ?u2?1?u2?1x
?2?(1?12)du?2(u?arctanu)?C 1?u
?2(x?1?arctanx?1)?C?
例6 求?dx?
1?x?23 解 設3x?2?u? 即x?u3?2? 則
dx?1?3u2du?3u2?1?1du ?1?3x?2?1?u?1?u ?3?(u?1?1)du?3(u?u?ln|1?u|)?C
1?u2
?33(x?2)2?33x?2?ln|1?3x?2|?C?例7 求?dx?
(1?3x)x 解 設x?t 6? 于是dx ?6t 5d t ?
從而
高等數(shù)學課程建設組18 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
dx6t5dt?6t2dt1??(1?3x)x?(1?t2)t3?1?t2?6?(1?1?t2)dt?6(t?arctant)?C
?6(6x?arctan6x)?C?
例8 求?11?xdx?
xx 解 設1?x?t? 即x?21? 于是
t?1x
?x11?xdx?(t2?1)t??2tdt ?x(t2?1)22
??2?2tdt??2?(1?21)dt
t?1t? ??2t?ln|t?1|?C
t?11?x?ln1?x?x?C
??2?
x1?x?x
練習
1?
求?dx?
2?cosx1?t2x2
解?
作變換t?tan?
則有dx??
dt? cosx?21?t21?t22dt221tdx1??1?t2?2?
? ?ddt?2t1?t2?cosx3?t31?()232?1?t23?23arctant3?C?23arctan(1xtan)?C?
23sin5xdx?
4cosx4(1?co2sx)2sin5xsinx
解? ?dx???dcosx???dcosx
cos4xco4sxco4sx21
???(1??)dcosx
cos2xcos4x
2?
求?
??cosx?
3?
求?21??C?
3cosx3cosx3x?1dx?
x2?3x?2高等數(shù)學課程建設組19 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
解? ?3x?13x?174??dx??(dx?)dx(x?2)(x?1)x2?3x?2x?2x?111dx?4?dx x?2x?1
?7ln|x?2|?4ln|x?1|?C?
§4.5積分表的使用
積分的計算要比導數(shù)的計算來得靈活、復雜??為了實用的方便??往往把常用的積分公式匯集成表??這種表叫做積分表??求積分時??可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單變形后??在表內(nèi)查得所需的結(jié)果?? 積分表
一、含有ax?b的積分
?7?1．?dx?1ln|ax?b|?C
ax?ba2．?(ax?b)?dx?3．?1(ax?b)??1?C(???1)a(??1)xdx?1(ax?b?bln|ax?b|)?C ax?ba224．?xdx?13?1(ax?b)2?2b(ax?b)?b2ln|ax?b|??C
ax?ba25．?6．?7．?8．?9．?dx??1lnax?b?C x(ax?b)bxdx1?alnax?b?C ??x2(ax?b)bxb2xx1?ln|ax?b|?b??C dx?(ax?b)2a2ax?bx2dx?1?ax?b?2bln|ax?b|?b2??C(ax?b)2a3ax?bdx11lnax?b?C ??x(ax?b)2b(ax?b)b2xxdx??(3x?4)2例1求?解??這是含有3x?4的積分??在積分表中查得公式
x1b?(ax?b)2dx?a2?ln|ax?b|?ax?b??C??
高等數(shù)學課程建設組20 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
現(xiàn)在a?
3、b?4??于是
x14?(3x?4)2dx?9?ln|3x?4|?3x?4??C?
二、含有ax?b的積分 1．?ax?bdx?2(ax?b)3?C
3a2．?xax?bdx?22(3ax?2b)(ax?b)3?C
15a3．?x2ax?bdx?4．?5．?2(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 105a3xdx?2(ax?2b)ax?b?C
3a2ax?bx2dx?2(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C 15a3ax?b??6．?dx??xax?b??7．?1lnax?b?b?C(b?0)bax?b?b 2arctanax?b?C(b?0)?b?bdx??ax?b?a?dx
bx2bxax?bx2ax?b8．?ax?bdx?2ax?b?b?dx
xxax?b9．?ax2?bdx??ax?b?a?dx xx2xax?b
三、含x2?a2的積分 1．?2．?3．?x2?a2dx?1arctanx?C
aadx?x2n?3dx ??(x2?a2)n2(n?1)a2(x2?a2)n?12(n?1)a2(x2?a2)n?1dx?1lnx?a?C
x2?a22ax?a
四、含有ax2?b(a?0)的積分
?1?abarctandx1．?2??ax?b?1ln?2?ab2．?ax?C(b?0)b ax??b?C(b?0)ax??bxdx?1ln|ax2?b|?C ax2?b2a高等數(shù)學課程建設組21 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
3．?4．?5．?6．?7．?x2dx?x?bdx ?2ax?baaax2?bdx1lnx2?C ?x(ax2?b)2b|ax2?b|dxx2(ax2?b)1dx ??1?a?2bxbax?bdxaln|ax2?b|?1?C ?x3(ax2?b)2b2x22bx2dx?x11dx ??(ax2?b)22b(ax2?b)2bax2?b
五、含有ax2?bx?c(a?0)的積分
六、含有x2?a2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dx?arshx?C?ln(x?x2?a2)?C
a1x2?a2dxx?C
(x2?a2)3a2x2?a2xdx?x2?a2?C x2?a2x1dx???C(x2?a2)3x2?a2x2dx?xx2?a2?a2ln(x?x2?a2)?C
22x2?a2x2xdx???ln(x?x2?a2)?C
22322(x?a)x?a22dx?1lnx?a?a?C
|x|xx2?a2ax22?a2dx??x2?C axx2?a229．?x2?a2dx?xx2?a2?aln(x?x2?a2)?C 22例3求?dx??
x4x2?9dxdx?1????x4x2?92xx2?(3)22解??因為?所以這是含有x2?a2的積分??這里a?3??在積分表中查得公式
2高等數(shù)學課程建設組22 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
dx1lnx2?a2?a?C??? ?xx2?a2a|x|x2?(3)2?3dx22?C?1ln4x2?9?3?C?? ?1?2ln于是 ?|x|32|x|x4x2?92
3七、含有x2?a2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?7．?8．?dx?xarch|x|?C?ln|x?x2?a2|?C 1ax2?a2|x|dxx???C
(x2?a2)3a2x2?a2xdx?x2?a2?C 22x?ax1dx???C(x2?a2)3x2?a2x2dx?xx2?a2?a2ln|x?x2?a2|?C
22x2?a2x2xdx???ln|x?x2?a2|?C
(x2?a2)3x2?a2dx?1arccosa?C
|x|xx2?a2ax22?a2dx?x2?C axx2?a229．?x2?a2dx?xx2?a2?aln|x?x2?a2|?C 2
2八、含有a2?x2(a?0)的積分 1．?2．?3．?4．?5．?6．?dx?arcsinx?C
aa2?x2dxx???C
(a2?x2)3a2a2?x2xdx??a2?x2?C 22a?xx1dx??C(a2?x2)3a2?x2x2dx??xa2?x2?a2arcsinx?C
22aa2?x2x2xdx??arcsinx?C
a(a2?x2)3a2?x2高等數(shù)學課程建設組23 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
7．?8．?22dx?1lna?a?x?C |x|xa2?x2ax222dx??a2?x?C axa2?x229．?a2?x2dx?xa2?x2?aarcsinx?C
22a
九、含有?ax2?bx?c(a?0)的積分
十、含有?x?a或(x?a)(x?b)的積分 x?b
十一、含有三角函數(shù)的積分 1．?secxdx?ln|secx?tanx|?C 2．?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C 3．?secxtanxdx?secx?C 4．?cscxcotxdx??cscx?C 5．?sin2xdx?x?1sin2x?C
246．?cos2xdx?x?1sin2x?C
247．?sinnxdx??1sinn?1xcosx?n?1?sinn?2xdx
nn8．?cosnxdx?1cosn?1xsinx?n?1?cosn?2xdx nn9．?sinaxcosbxdx??1cos(a?b)x?1cos(a?b)x?C
2(a?b)2(a?b)1sin(a?b)x?1sin(a?b)x?C 2(a?b)2(a?b)10．?sinaxsinbxdx??11．?cosaxcosbxdx?1sin(a?b)x?1sin(a?b)x?C 2(a?b)2(a?b)atanx?bdx?22?C(a2?b2)12．?arctana?bsinxa2?b2a2?b2高等數(shù)學課程建設組24 高等數(shù)學教案
第四章
不定積分
atanx?b?b2?a2dx?22ln?C(a2?b2)13．?22a?bsinxb?aatanx?b?b2?a2214．?dx?2a?barctan?a?btanx??C(a2?b2)a?bcosxa?ba?ba?b2a?bb?a?C(a2?b2)a?bb?atanx?dxa?bln214．??2a?bcosxa?bb?atanx?2例2求?dx?? 5?4cosx解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式
a?barct?x??C(a2?b2)?? ana?btana?ba?b2這里a?
5、b??4??a 2?b2??于是
??a?bcoxsa?bdx2dx2
??5?4coxs5?(?4)5?(?4)5?(?4)x??C arct?antan
5?(?4)5?(?4)2
?2arctan?3tanx??C??
32例??求?sin4xdx??
解??這是含三角函數(shù)的積分?? 在積分表中查得公式
?sinnxdx??1sinn?1xcosx?n?1?sinn?2xdx???sin2xdx?x?1sin2x?C?
nn24這里n?4??于是
?sin4xdx??1sin3xcosx?3?sin2xdx??1sin3xcosx?3(x?1sin2x)?C?? 444424
高等數(shù)學課程建設組25
第三篇：不定積分證明題
證明題（共 4 小題）
1、證明:?sin
?sinmxcosnxdx n?1m?1
xcosm?nx?n?1
m?n?sinmxcosn?2xdx
(m,n?N,n?2).2、證明:?sinmxcos
m?1nxdx n?1
??
3、證明sinxcosm?nx?m?1m?n?sinm?2xcosnxdx(m?2).???nnn?1n?2xsinxdx??xcosx?nxcos(x?)?n(n?1)x.?2?
2?n?)???n!cos(x?22?)?c,其中n為自然數(shù)。?? cos(x?
4、證明In??xcosxdx?xsinx?nx
n?2nnn?1sin(??x)2?n(n?1)xsinx(2??n??x)???n!sin(?x)?c,其中n為自然數(shù)。22
第四篇：數(shù)學分析教案 (華東師大版)第八章 不定積分
《數(shù)學分析》教案
第八章 不定積分
教學要求：
1.積分法是微分法的逆運算。要求學生：深刻理解不定積分的概念，掌握原函數(shù)與不定積分的概念及其之間的區(qū)別；掌握不定積分的線性運算法則，熟練掌握不定積分的基本積分公式。
2.換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。
3.有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎。要求學生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。
教學重點：深刻理解不定積分的概念；熟練地應用換元積分公式；熟練地應用分部積分公式；
教學時數(shù)：18學時
《數(shù)學分析》教案
可見，若 { │ 有原函數(shù) Ｒ}.，則 的全體原函數(shù)所成集合為
原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).(下章給出證明).可見, 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有原函數(shù);若 則 在區(qū)間 上有介值性.在區(qū)間 上有原函數(shù), 例2.已知 為 的一個原函數(shù)，=5.求
.2.不定積分—— 原函數(shù)族：定義； 不定積分的記法；幾何意義.例3
;
.（二）不定積分的基本性質(zhì): 以下設 和
有原函數(shù).⑴
(先積分后求導, 形式不變應記牢！).⑵
..(先求導后積分, 多個常數(shù)需當心！)⑶
時，（被積函數(shù)乘系數(shù)，積分運算往外挪！）
⑷
由⑶、⑷可見, 不定積分是線性運算, 即對, 有
《數(shù)學分析》教案
教學要求： 換元積分公式與分部積分公式在本章中處于十分重要的地位。要求學生：牢記換元積分公式和選取替換函數(shù)（或湊微分）的原則，并能恰當?shù)剡x取替換函數(shù)（或湊微分），熟練地應用換元積分公式；牢記分部積分公式，知道求哪些函數(shù)的不定積分運用分部積分公式，并能恰當?shù)貙⒈环e表達式分成兩部分的乘積，熟練地應用分部積分公式；獨立地完成一定數(shù)量的不定積分練習題，從而逐步達到快而準的求出不定積分。
教學重點：熟練地應用換元積分公式；熟練地應用分部積分公式；
一、新課引入：由直接積分的局限性引入
二、講授新課：
（一）.第一類換元法 ——湊微分法：
由
引出湊微公式.Th1 若
連續(xù)可導, 則
該定理即為：若函數(shù)
能分解為
《數(shù)學分析》教案
.湊法2.特別地, 有
.例9
.和.例10
例11.例12
=
湊法3
.例13 ⑴
⑵
例14
《數(shù)學分析》教案
.例23.例24.例25
例26
三、小結(jié)
.（二）第二類換元法 —— 拆微法： 從積分 出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即
=
=
=
引出拆微原理.Th2 設
是單調(diào)的可微函數(shù),并且
又
具有原
函數(shù).則有換元公式
(證)
《數(shù)學分析》教案
解 令 形, 有
有
.利用例22的結(jié)果, 并用輔助三角 =
=
例31
⑶正割代換: 正割代換簡稱為“割換”.是針對型如 根式施行的, 目的是去掉根號.方法是: 利用三角公式
有的 令
變量還愿時, 常用輔助三角形法.例32
解
.例33
.解法一
（用割換）
解法二
（湊微）
.《數(shù)學分析》教案
本題還可用割換計算, 但較繁.3.雙曲代換: 利用雙曲函數(shù)恒等式 掉型如 如:
的根式., 令 , 可去
.化簡時常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 例40
.本題可用切換計算,但歸結(jié)為積分題課例3., 該積分計算較繁.參閱后面習例41
解
.例42
.解
《數(shù)學分析》教案
解法三(用初等化簡, 并湊微)
例45
解 =.代換法是一種很靈活的方法.三、小結(jié)
（三）.分部積分法:導出分部積分公式.介紹使用分部積分公式的一般原則.1.冪
X 型函數(shù)的積分: 分部積分追求的目標之一是: 對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導, 以使該因子有較大簡化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會變繁), 但總體上應使積分簡化或能直接積出.對“冪
” 型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α?/p>
”求導以使其成為代數(shù)函數(shù).例46
(冪對搭配，取對為u)
例47(冪三搭配，取冪為u)例48(冪指搭配，取冪為u)例49(冪指搭配，取冪為u)
《數(shù)學分析》教案
例56
=，解得.例57
= =，解得
三、小結(jié)
.§ 3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分(2學時)
教學要求：有理函數(shù)的不定積分是求無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的基礎。要求學生：掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；會求四種有理最簡真分式的不定積分，知道有理函數(shù)的不定積分（原函數(shù)）還是初等函數(shù)；學會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；掌握求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。
教學重點：使學生掌握化有理函數(shù)為分項分式的方法；求四種有理最簡真分式的不定積分，學會求某些有理函數(shù)的不定積分的技巧；求某些簡單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式不定積分的方法，從理論上認識到這些函數(shù)的不定積分都能用初等函數(shù)表示出來。
《數(shù)學分析》教案
例5
求
例6 設
且具有連續(xù)導函數(shù).計算積分
例7 , 求積分
二.含有二次三項式的積分:
例8
=
=
.例9
=
=.9-
第五篇：高等數(shù)學(上冊)教案17 不定積分的概念和性質(zhì)
第4章 不定積分
不定積分的概念和性質(zhì)
【教學目的】：
1.理解原函數(shù)的概念；
2.理解不定積分的定義，及幾何意義； 3.掌握不定積分的基本公式和性質(zhì)； 4.會用直接積分法計算不定積分。
【教學重點】： 1.原函數(shù)的概念；
2.不定積分的概念及幾何意義； 3.不定積分的基本公式和性質(zhì)。
【教學難點】： 1.基本積分公式；
2.用直接積分法計算不定積分。
【教學時數(shù)】：2學時 【教學過程】：
4.1.1原函數(shù)與不定積分
定義1 如果在區(qū)間I上，可導函數(shù)F(x)的導數(shù)為f(x)，即F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx（x?I），那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)．
如果f(x)有一個原函數(shù)，那么f(x)就有無窮多個原函數(shù)．
設?(x)是f(x)的另一個原函數(shù)，則任意的x?I，有??(x)?f(x)．于是
??(x)?F(x)?????(x)?F?(x)?f(x)?f(x)?0所以?(x)?F(x)?C0(C0為某個常數(shù))這表明?(x)與F(x)只差一個常數(shù)．因此當C為任意常數(shù)時，表達式F(x)?C 就可以表示f(x)的全體原函數(shù)，也就是說，f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合，即函數(shù)族?F(x)?C|C?R?．
定義2 如果F(x)是f(x)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，那么F(x)?C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在該區(qū)間上的不定積分．即?f(x)dx=F(x)?C．其中符號?稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量． 由上面的討論可知，若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么?f(x)dx=F(x)?C（C為任意常數(shù)）．因此，求函數(shù)f(x)的不定積分，只需求出被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)再加上積分常數(shù)C，求不定積分的方法稱為積分法．
從不定積分的定義，即可知不定積分與微分(求導)互為逆運算：
由于?f(x)dx是f(x)的原函數(shù)，所以[?f(x)dx]'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函數(shù)，所以?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C．
由此可見微分運算(以記號d表示)與求不定積分的運算(簡稱積分運算以記號?表示)是互逆的，記號?與d一起時或者抵消，或者抵消后差一常數(shù)．
1例3 求?dx．
x解 當x?0時，由于(lnx)'?11，所以lnx是在(0,??)內(nèi)的一個原函數(shù)，xx1因此在(0,??)內(nèi)，有 ?dx?lnx?C．
x111?(?1)?，所以ln(?x)是在(??,0)內(nèi)的一當x?0時，由于[ln(?x)]'?x?xx1個原函數(shù)，因此在(??,0)內(nèi) ?dx?ln(?x)?C．
x1把以上結(jié)果綜合起來，得 ?dx?ln|x|?C．
x4.1.2不定積分的幾何意義
因為不定積分?f(x)dx=F(x)?C是f(x)的原函數(shù)的一般表達式，所以它對應的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族．
積分曲線族F(x)?C有如下特點：
（1）積分曲線族中任意一條積分曲線都可以由曲線y?F(x)沿y軸方向上、下平移得到；
（2）由于[F(x)?C]??F?(x)?f(x)，即橫坐標相同的點處，所有曲線的切線都是互相平行的．
4.1.3基本積分公式表
（1）?kdx?kx?C（k為常數(shù)）；（2）?xdx??1x??1?C； ??111xa?C，?exdx?ex?C；（3）?dx?ln|x|?C；（4）?axdx?xlna（5）?cosxdx?sinx?C；（6）?sinxdx??cosx?C；（7）?112dx??csc2xdx??cotx?C；dx?secxdx?tanx?C；（8）22??sinxcosx（9）?11?x2dx?arcsinx?C；（10）?1dx?arctanx?C； 21?x（11）?cscxcotxdx??cscx?C；（12）?secxtanxdx?secx?C．
4.1.4不定積分的性質(zhì)
性質(zhì)1 設函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx．
性質(zhì)
2設函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則?kf(x)dx?k?f(x)dx．
例6 求?(x3?3x?ex?e3)dx．
解 ?(x3?3x?ex?e3)dx??x3dx??3xdx??exdx??e3dx ?141xx?3?ex?e3x?C． 4ln3注意到被積函數(shù)中x3是冪函數(shù)，3x和ex是指數(shù)函數(shù)，而e3是常數(shù)，它們的積分公式是不同的．
【教學小節(jié)】：
通過本節(jié)的學習，理解原函數(shù)、不定積分的概念及幾何意義，熟記基本積分公式，掌握不定積分性質(zhì)并學會使用直接積分法計算不定積分。
【課后作業(yè)】：
無
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