第一篇：抽屜原理及其簡單應用

抽屜原理及其應用

摘 要: 本文著重從抽屜的構(gòu)造方法闡述抽屜原理,介紹了抽屜原理及其常見形式，并結(jié)合實例探討了這一原理在高等數(shù)學和初等數(shù)論中的應用。關(guān)鍵詞: 組合數(shù)學；抽屜原理；抽屜構(gòu)造

1．引言

抽屜原理也叫鴿籠原理, 它是德國數(shù)學家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet)首先提出來的, 因此也稱作狄利克雷原理.它是數(shù)學中一個基本的原理，在數(shù)論和組合論中有著廣泛的應用。在數(shù)學的學習研究中，我們也可以把它看作是一種重要的非常規(guī)解題方法，應用它能解決許多涉及存在性的數(shù)學問題。

2．抽屜原理的基本形式與構(gòu)造

2.1基本形式

陳景林、閻滿富編著的中國鐵道出版社出版的《組合數(shù)學與圖論》一書中對抽屜原理給出了比較具體的定義，概括起來主要有下面幾種形式: 原理Ⅰ 把多于n個的元素按任一確定的方式分成n個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。

原理Ⅱ 把m個元素任意放到n(m?n)個集合里，則至少有一個集合里至少有k個元素，其中

?m , 當n能整除m時,??nk???m??　　?1　, 當n不能整除m時.?????n?原理Ⅲ 把無窮個元素按任一確定的方式分成有窮個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素。

2.2基本構(gòu)造

利用抽屜原理解題過程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屜，元素進入抽屜的規(guī)則是什么，以及在同一個盒子中，所有元素具有的性質(zhì)。構(gòu)造抽屜是用抽屜原理解題的關(guān)鍵。有的題目運用一次抽屜原理就能解決，有的則需反復用多次；有些問題明顯能用抽屜原理解決，但對于較復雜的問題則需經(jīng)過一番剖析轉(zhuǎn)化才能用抽屜原理解決。3.利用抽屜原理解題的常用方法

3.1利用劃分數(shù)組構(gòu)造抽屜

例1 在前12個自然數(shù)中任取七個數(shù)，那么, 一定存在兩個數(shù), 其中的一個數(shù)是另一個數(shù)的整數(shù)倍。

分析：若能把前12個自然數(shù)劃分成六個集合, 即構(gòu)成六個抽屜，使每個抽屜內(nèi)的數(shù)或只有一個, 或任意的兩個數(shù), 其中的一個是另一個的整數(shù)倍，這樣, 就可以由抽屜原理來推出結(jié)論?，F(xiàn)在的問題是如何對這12個自然數(shù)：1，2 ,?,12 進行分組, 注意到一個自然數(shù), 它要么是奇數(shù), 要么是偶數(shù)。若是偶數(shù), 我們總能把它表達為奇數(shù)與2k（k?1,2,3...）的乘積的形式，這樣, 如果允許上述乘積中的因子2k的指數(shù)K可以等于零, 則每一個自然數(shù)都可表達成“ 奇數(shù)?2k”（k?1,2,3...）的形式, 于是, 把1，2，3?,12個自然數(shù)用上述表達式進行表達, 并把式中“奇數(shù)” 部分相同的自然數(shù)作為一組, 構(gòu)成一個抽屜。

證明： 把前12個自然數(shù)劃分為如下六個抽屜：

A1={1?20,1?21,1?22,1?23} A2={3?20,3?21,3?22} A3={5?20,5?21} A4={7?20} A5={9?20} A6={11?20} 顯然, 上述六個抽屜內(nèi)的任意兩個抽屜無公共元素, 且A1+A2+...+A6={1,2,3,...,12}.于是，由抽屜原理得，對于前12個自然數(shù)不論以何種方式從其中取出七個數(shù)，必定存在兩個數(shù)同在上述六個抽屜的某一個抽屜內(nèi)。設x、y是這兩個數(shù)，因為A4、A5、A6都是單元素集，因此，x、y不可能同在這三個抽屜中的任何一個抽屜內(nèi)?？梢?，x、y必同在A1、A2、A3的三個抽屜中的某一個之內(nèi)，這樣x和y兩個數(shù)中，較大的數(shù)必是較小數(shù)的整數(shù)倍。例2 學校組織1993名學生參觀天安門，人民大會堂和歷史博物館，規(guī)定每人必須去一處，最多去兩處參觀。那么至少有多少學生參觀的地方完全相同？

分析：我們可以把某學生參觀某處記作“1”，沒有去參觀記作“0”。并用有序數(shù)組{a，b，c}表示學生去參觀天安門、人民大會堂和歷史博物館的不同情況。因為規(guī)定每人必須去一處，最多去兩處，所以參觀的方式，只有下列六種可能：

{1、1、0} {1、0、1} {0、1、1} {1、0、0} {0、1、0} {0、0、1} 把這六種情況作為六個抽屜，根據(jù)抽屜原理，在1993名學生中，至少有（1993）+1=333人參觀的地方相同。63.2利用余數(shù)構(gòu)造抽屜

把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0],[1],[2],?,[m?1]表示。在研究與整除有關(guān)的問題時，常常用剩余類作為抽屜。

例3 對于任意的五個自然數(shù)，證明其中必有3 個數(shù)的和能被3 整除。

證明：任何數(shù)除以3 所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構(gòu)造為3個抽屜：[0]，[1]，[2]

1、若這五個自然數(shù)除以3 后所得余數(shù)分別分布在這3 個抽屜中(即抽屜中分別為含有余數(shù)為0,1,2 的數(shù))，我們從這三個抽屜中各取1 個(如1到5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3 整除。

2、若這5 個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3 個余數(shù)（抽屜原理），而這三個余數(shù)之和或為0，或為3，或為6，故所對應的3 個自然數(shù)之和是3 的倍數(shù)。

3、若這5 個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中，很顯然，必有3 個自然數(shù)之和能被3 整除。

3.3利用等分區(qū)間構(gòu)造抽屜

所謂等分區(qū)間簡單的說即是：如果在長度為1的區(qū)間內(nèi)有多于n個的點，可考慮把區(qū)間n等分成n個子區(qū)間，這樣由抽屜原理可知，一定有兩點落在同一子

1區(qū)間，它們之間的距離不大于這種構(gòu)造法常用于處理一些不等式的證明。

n例4 已知11個數(shù)x1,x2,?,x11,全滿足0?xi?1　,i＝1,　2　?　,11,證明必有兩個xi,xj(i?j)滿足xi?xj?1.101.由抽屜原理，10證明：如圖1，將實數(shù)軸上介于0與1那段(連同端點)等分為10小段(這10個小段也就是10個等分區(qū)間，即10個抽屜)，每一小段長為

?11?11個點(數(shù))中至少有??+1=2個點落在同一條小線段上，這兩點相應的數(shù)之差

?10?的絕對值? 1.100

圖1 對于給定了一定的長度或區(qū)間并要證明不等式的問題，我們常常采用等分區(qū)間的構(gòu)造方法來構(gòu)造抽屜，正如上面的例子，在等分區(qū)間的基礎上我們便很方便的構(gòu)造了抽屜，從而尋找到了證明不等式的一種非常特殊而又簡易的方法，與通常的不等式的證明方法(構(gòu)造函數(shù)法，移位相減法)相比，等分區(qū)間構(gòu)造抽屜更簡易，更容易被人接受。

3.4利用幾何元素構(gòu)造抽屜

在涉及到一個幾何圖形內(nèi)有若干點時，常常是把圖形巧妙地分割成適當?shù)牟糠?，然后用分割所得的小圖形作抽屜。這種分割一般符合一個“分劃”的定義，即抽屜間的元素既互不重復，也無遺漏；但有時根據(jù)解題需要，分割也可使得抽屜之間含有公共元素。

例5 如果直徑為5的圓內(nèi)有10個點，求證其中有某兩點的距離小于2。分析：把圓等分成9個扇形而構(gòu)造出9個抽屜，是最先考慮到的，但顯然是不行的（雖然有兩個點在某一扇形內(nèi)，但不能確認它們之間的距離小于2）。轉(zhuǎn)而考慮先用一個與已知圓同心，半徑為1 的不包含邊界的小圓作為一個抽屜，然后把圓環(huán)部分等分成八個部分，如圖二所示，這樣就構(gòu)成了9個抽屜。

證明：先將圓分成八個全等的扇形，再在中間作一個直徑d=1.8的圓(如圖2)，這就把已知的圓分成了9個區(qū)域(抽屜).由抽屜原理，圓內(nèi)的10個點(球)，必有兩點落在同一區(qū)域內(nèi)，只須證明每個區(qū)域中的兩點的距離都小于2.顯然，小圓內(nèi)任兩點間的距離小于2，又曲邊扇形ABCD中，AB?2，AD?2，CD?2，而任兩點距離最大者AC，有

AC =OA2?OC2?2OA?OCcos45?

=2.52?0.92?2.5?0.9?2=3.88<2.圖2

3.5利用狀態(tài)制構(gòu)造抽屜

例6 設有六點，任意三點不共線，四點不共面，如果把這六個點兩兩用直線聯(lián)系起來，并把這些直線涂以紅色或者藍色.求證：不論如何涂色，總可以找到三點，做成以它們?yōu)轫旤c的三角形，而這三角形三邊涂有相同的顏色。

分析：設已知六點為A1,A2,A3,A4,A5,A6,由于任三點不共線，所以任三點均可作為某三角形的三個頂點。

證明：從六個點中任取一點A1，將A1與其余五點相連得到五條線段，線段如下所示： A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A1A6,這五條線段只有兩種顏色即紅色或者藍色，由抽屜原理知，至少有三條涂有同一種顏色。顏色為抽屜，線段為元素，不妨設A1A2,A1A3,A1A4,涂有紅色，這時我們考察△A2A3A4

(1)若△A2A3A4中有一條紅色邊，如A2A3，則△A1A2A3為三邊同紅的三角形；

(2)若△A2A3A4中無一條紅色邊，則△A2A3A4就是三邊均為藍色的三角形。4.抽屜原理的應用

4.1抽屜原理在高等數(shù)學中的應用

高等數(shù)學中一些問題抽象，復雜，解答比較困難，如果一些問題巧妙地運用抽屜原理會收到很好的效果，下列舉例介紹抽屜原理在高等數(shù)學中的巧妙應用。

例7 設A為n階方陣，證明：存在1?i?n，使秩(Ai)=秩(Ai?1)=秩(Ai?2)??

證明：因為n階方陣的秩只能是0,1　,　2,　?　,n這n+1個一，由抽屜原理可知，存在k,l滿E?A0,A,A2,?,An,An?1,E的個數(shù)多于秩的個數(shù)，足1?k

秩(Ak)= 秩(Al), 但

秩(Ak)?秩(Ak?1)???秩(Al), 所以

秩(Ak)=秩(Ak?1), 利用此式與秩的性質(zhì)得

秩(ABC)?秩(AB)+秩(BC)-秩(B), 這里的A,B,C是任意三個可乘矩陣，用數(shù)學歸納法可證

秩(Ak?m)=秩(Ak?m?1).其中m為非負整數(shù)，故命題的結(jié)論成立。

4.2抽屜原理在初等數(shù)論中的應用

例8(中國剩余定理)令m和n為兩個互素的正整數(shù)，并令a和b為整數(shù)，且0?a?m?1以及0?b?n?1，則存在一個正整數(shù)x，使得x 除以m 的余數(shù)是a，并且x 除以n 的余數(shù)為b，即x可以寫成x?pm?a的同時又可以寫成x?qn?b的形式，這里p 和q 是整數(shù)。

(n?1)m?a，證明: 為了證明這個結(jié)論考慮n 個整數(shù)a，m?a，2m?a，?，這些整數(shù)中的每一個除以m都余a.設其中的兩個除以n 有相同的余數(shù)r． 令這兩個數(shù)為im?a 和jm?a，其中存在兩整數(shù)qi和qj，使得im?a?qin?r及jm?a?qjn?r，0?i?j?n?1.因此，這兩個方程相減可得(j?i)m?(qj?qi)n.于是n是(j?i)m的一個因子． 由于n和m沒有除1 之外的公因子，因此n是j?i的因子． 然而，0?i?j?n?1意味著，0?j?i?n?1,也就是說n 不可能是j?i的因子． 該矛盾產(chǎn)生于我們的假設: n個整數(shù)a，m?a,2m?a,...,(n?1)m?a中有兩個除以n會有相同的余數(shù)。

因此這n個數(shù)中的每一個數(shù)除以n 都有不同的余數(shù)。

根據(jù)抽屜原理，n個數(shù)0，1，?，n?1 中的每一個作為余數(shù)都要出現(xiàn)，特別地，數(shù)b也是如此。令p 為整數(shù)，滿足0?p?n?1，且使數(shù)x?pm?a 除以n余數(shù)為b． 則對于某個適當?shù)膓，有x?qn?b．

因此，x?pm?a且x?qn?b，從而x具有所要求的性質(zhì)。

5.結(jié)束語

本文對抽屜原理的常見形式及其應用結(jié)合實例做了一些探討，為數(shù)學解題提供了一種簡便的方法．應用抽屜原理解題的難點在于如何恰當?shù)臉?gòu)造抽屜，而制造抽屜的辦法是靈活多變的, 不能生搬硬套某個模式, 需要靈活運用。

參考文獻

[1]陳景林,閻滿富.組合數(shù)學與圖論.北京：中國鐵道出版社出版,2000.4-6 [2]曹汝成.組合數(shù)學.廣州：華南理工大學出版社,2001.170-173 ［3]鐘穎.關(guān)于抽屜原理［J］.成都教育學院學報，2003，17（7）：75.［4]朱華偉,符開廣.抽屜原理［J］.數(shù)學通訊，2006，19（17）：37.[5]忘向東,周士藩等.高等代數(shù)常用方法.山西：高校聯(lián)合出版社,1989.64-66 [6]劉否南.華夏文集.太原：高校聯(lián)合出版社,1995.88-90 [7]魏鴻增等.抽屜原理在高等數(shù)學中的應用.數(shù)學通報,1995,2.3-4 [8]嚴示健.抽屜原則及其它的一些應用.數(shù)學通報,1998,4.10-11

The Principle And Application Of The Drawer

Liu Xiaoli Abstract: this article emphatically from the drawer methods of constructing this drawer principle, and introduces the drawer principle and common form, and combined with the discusses the principle in the higher mathematics elementary theory and the application.Keywords: combinatorial mathematics;drawer principle;theory of drawer structure

第二篇：簡單的抽屜原理

寧夏慧思源學校

小學六年級數(shù)學

2010年培優(yōu)A班

簡單的抽屜原理

姓名：

日期：

成績：

教學重點 學會找抽屜

教學難點 把抽屜問題運用到實際問題中

【知識要點】

把5個蘋果放在4個抽屜里，那么可以肯定至少有一個抽屜至少放了2個蘋果；3只鴿子飛進2個籠子，那么至少有一個籠子飛進兩只鴿子；10條魚放進三個魚缸里，肯定至少有一個魚缸放了至少4條魚。以上三個例子所表述的數(shù)學原理就是“抽屜原理”。

根據(jù)抽屜原理，可以得到以下兩個結(jié)論：

1．如果把n+1件東西放入n個抽屜里，則至少有一個抽屜里至少有2件東西。2．把K件東西放入N個抽屜中，當K能被N整除時，那么至少有一個抽屜至少會有K/N件東西；當K不能被N整除時，則至少有一個抽屜至少會有[K/N]+1件東西。（“[A]”表示取一個不大于數(shù)A的最大整數(shù)，如：[3/2]=[1.5]=1，[1/9]=0。）

這一原理看似很簡單卻能變化出很多復雜的問題。

【典型例題】

例1 從一副撲克牌中至少要取出多少張牌才能保證有4張牌的花色是一樣的。

例2 黑色、黃色、白色襪子分別有5只、6只、7只，相同顏色的襪子兩只為一雙。如果閉上眼睛，保證從中選出兩雙同顏色的襪子，至少要取多少只襪子？

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2010年培優(yōu)A班

例3 袋子里有紅、黑、黃、白球若干個，每人隨意摸兩個球，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸的花色的情況是相同的？

例4 一些科學家參觀一個學術(shù)討論會，他們每人只會英語、俄語、德語、法語、日語、拉丁語中的三門語言，至少有多少人參加討論會，才能保證有兩人所說的外語相同。

例5 從1—50中至多取出多少個自然數(shù)，任意兩個數(shù)的和都不是6的倍數(shù)。

隨堂小測

姓 名 成 績

1．一副撲克牌共54張（包括大、小王）問至少抽出多少張才能保證有3張牌的點數(shù)一樣。

2．把5張紅卡片，7張綠卡片，11張黃卡片，12張白卡片放入抽屜里：

（1）保證各種顏色卡片都拿到，至少要在抽屜里取出多少張卡片？

（2）保證取到的卡片中至少有4張同顏色卡片，至少要從抽屜里取出多少張卡片？

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3．一位運動員用9秒跑完100米，證明：在跑的過程中必有一秒內(nèi)所跑的路程超過11米。

4．把152本書分給17個同學，如果每個同學至少要拿一本書，那么不管怎樣分，一定會有兩個同學得到的本數(shù)相同。為什么？

5．400本書隨意分給若干名同學，但每人不得超過11本，試證明：至少有七名同學得到的書的本數(shù)相同。

6．有3根白色筷子，10根黑色筷子，8根黃色筷子，2根籃色筷子，7根紅色筷子。問在黑暗中至少取出多少根才能保證有兩雙顏色一樣的筷子。（相同顏色的筷子為一雙）

7．有故事書、科技書、文藝書三種書，每個同學可以任意選擇兩本書。那么至少有幾個同學才能保證兩個同學借的書完全相同。

8．六

（一）班有43名學生報名參加數(shù)學、美術(shù)、書法三個課外活動小組，每人可以參加一個組，兩個組或者三個組。問這些學生中至少有幾個人參加了完全相同的組。

9．五（1）班有40名學生。班里有1個小書架，同學們可以任意借閱。試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有一個同學至少能借到2本書？

每一份私下的努力，都會有倍增的回報！

第三篇：抽屜原理及其應用

抽屜原理及其應用

張 志 修

摘要：抽屜原理雖然簡單，但應用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當?shù)碾y度。掌握了抽屜原理解題的步驟就能思路清晰的對一些存在性問題、最小數(shù)目問題做出快速準確的解答。運用抽屜原理，制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵。首先要確定分類對象（即“物體”），再從分類對象中找出分類規(guī)則（即“抽屜”）．根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。一般來說，“抽屜”的個數(shù)應比“物體”的個數(shù)少，最后運用抽屜原理。

關(guān)鍵詞：代數(shù) 幾何 染色 存在性

引言

抽屜原理最早是由德國數(shù)學家狄利克雷發(fā)現(xiàn)的，因此也叫狄利克雷重疊原則。抽屜原理是一條重要的理論。運用抽屜原理可以論證許多關(guān)于“存在”、“總有”、“至少有”的存在性問題。學習抽屜原理可以用來解決數(shù)學中的許多問題，也可以解決生活中的一些現(xiàn)象。

抽屜原理的內(nèi)容

第一抽屜原理：

原理1 把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。

[證明]（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數(shù)至多是n，而不是題設的n?k?k?1?，這不可能。

原理2 把多于mn(m乘以n)個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m?1個或多于m?1個的物體。

[證明]（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜

至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能。

原理3 把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里 有無窮個物體。.原理1 2 3都是第一抽屜原理的表述 第二抽屜原理：

把?mn﹣1?個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有?mn﹣1?個物體。

[證明]（反證法）：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有mn個物體，與題設矛盾，故不可能。

一、應用抽屜原理解決代數(shù)問題

抽屜原理在公務員考試中的數(shù)字運算部分時有出現(xiàn)。抽屜原理是用最樸素的思想解決組合數(shù)學問題，它易于接受，在數(shù)學問題中有重要的作用。

1、整除問題常用剩余類作為抽屜。把所有整數(shù)按照除以某個自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用?0?，?，?2?，?1?，?m﹣1?表示。

例1：對于任意的五個自然數(shù)，證明其中必有3個數(shù)的和能被3整除。

證明∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構(gòu)造為3個抽屜：

?0?，?1?，?2?

①若這五個自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個抽屜中

(即抽屜中分別為含有余數(shù)為0，1，2，的數(shù))，我們從這三個抽屜中各取1個(如1到5中取3,4,5)，其和?3?4?5?12? 必能被3整除。

②若這5個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3個余數(shù)（抽屜原理），而這三個余數(shù)之和或為0，或為3，或為6，故所對應的3個自然數(shù)之和是3的倍數(shù)。

③若這5個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中，很顯然，必有3個自然數(shù)之和能被3整除。

2、還有的以集合造抽屜

例2：從1、2、3、4??、12這12個自然數(shù)中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，他們的差是7？

分析與解答：在這12個自然數(shù)中，差是7的自然數(shù)有以下5對：?12,5? ?11,4? ?10,3? ?9,2? ?8,1?。另外，還有2個不能配對的數(shù)是?6? ?7?。可構(gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個抽屜。只要有兩個數(shù)是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為?12,5? ?11,4? ?10,3?

?9,2? ?8,1? ?6? ?7?，顯然從7個抽屜中取8個數(shù)，則一定可以使有兩個數(shù)字來源于同一個抽屜，也即作差為7。

二、應用抽屜原理解決幾何問題

利用分割圖形的方法構(gòu)造抽屜

本方法主要用于解決點在幾何圖形中的位置分布和性質(zhì)問題,通常我們把一個幾何圖形分割成幾部分,然后把每一部分當做一個“抽屜”,每個抽屜里放入相應的元素。

例3：已知邊長1為的等邊三角形內(nèi)有5個點，則至少有兩個點

距離不大于1/2。

證明：用兩邊中點的連線將邊長為1的等邊三角形分成 四個邊長為1/2的等邊三角形，若規(guī)定邊DE、EF、FD上的 點屬于三角形DEF，則三角形ABC內(nèi)的所有點被分為 4個全等的小等邊三角形，由抽屜原理，三角形內(nèi)的任意5個點至少有2個點屬于同一小等邊三角形，由“三角形內(nèi)（包括邊界）任意兩點間的距離不大于其最大邊長”知這兩個點距離不大于1/2。

抽屜原理與中學數(shù)學的關(guān)系，常用抽屜原理的最值的思路解中學數(shù)學題。

例4:用柯西不等式及二元均值不等式證明了如下三角不等式： 在△ABC中，有sin2A?sin2B?sin2C?.證明：由抽屜原理知sinA,sinB,sinC中必有兩個不大于或不小于3294，不妨設sinA?33,sinB?22或sinA?33,sinB?22則[sin2A?(323)][sin2B?()2]?0,故 2243sin2A?sin2B?sin2Asin2B?

34于是

43sin2A?sin2B?sin2C?sin2Asin2B?sin2C?

344cos(A?B)?cos(A?B)23]?sin2C? =[32413?(1?cosC)2?1?cos2C? 34219??(cosC?)2? 3249? 4

三、應用抽屜原理解決染色問題

染色問題是數(shù)學中的重要內(nèi)容之一，也是深受廣大師生喜愛的的題目類型之一。染色問題是借用圖論的思想心提高解決問題的能力，所涉及的各科數(shù)學知識都不是很難，但染色法解數(shù)學問題技巧性非常強，而且解題的途徑都比較獨特，難度往往在于尋求解決問題的關(guān)鍵所在或最佳方法．

平面染色問題為點染色或線染色問題。通常是根據(jù)各個物體所存在的狀態(tài),將它們的狀態(tài)看作抽屜原理中的“抽屜”和“元素”,從而來解決問題的。

（1）點染色問題

例5：將平面上每點都任意地染上黑白兩色之一。求證:一定存在一個邊長為1或3的正三角形,它的三個頂點同色。

證明：在這個平面上作一個邊長為1的正三角形。如果A、B、C這三點同色，則結(jié)論成立，故不妨設A和B異色。以線段AB為底邊,作一個腰長為2的等腰ABD。由于點A和B異色,故無論D為何色,總有一腰的兩個端點異色。不妨設點A和D異色。設AD的中點為E,則AE=ED=1。不妨設點A和E為白色,點D為黑色。

以AE為一邊,在直線AD兩側(cè)各作一個等邊三角形:AEF與AEG。若點F和G中有一個是白點,則導致一個邊長為1的等邊三角形的三個頂點都是白點；否則,邊長為3的等邊DFG的三個頂點同為黑點。

（2）邊染色問題

例6：假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色？

解：首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現(xiàn)在我們再單獨來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。

四、應用抽屜原理解決實際問題

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗。

例7：黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的2雙筷子（每雙筷子兩根的顏色應一樣），問至少要取材多少根才能保證達到要求？

解：這道題并不是品種單一，不能夠容易地找到抽屜和蘋果，由于有三種顏色的筷子，而且又混雜在一起，為了確保取出的筷子中有2雙不同顏色的筷子，可以分兩步進行。第一步先確保取出的筷子中

有1雙同色的；第二步再從余下的筷子中取出若干根保證第二雙筷子同色。首先，要確保取出的筷子中至少有1雙是同色的，我們把黑色、白色、黃色三種顏色看作3個抽屜，把筷子當作蘋果，根據(jù)抽屜原則，只需取出4根筷子即可。其次，再考慮從余下的20根筷子中取多少根筷子才能確保又有1雙同色筷子，我們從最不利的情況出發(fā)，假設第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黃色。這樣，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黃色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黃色的，能與第一次取出的1根白色筷子或黃色筷子配對，從而保證有2雙筷子顏色不同，總之，在最不利的情況下，只要取出4?7?11根筷子，就能保證達到目的。

例8：某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。

分析與解答：共有n位校友，每個人握手的次數(shù)最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n﹣1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n﹣2次；如果有一個校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、?、n﹣2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、?、n-1，握手次數(shù)都只有n﹣1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數(shù)一樣多。

抽屜原理雖然簡單，但應用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當?shù)碾y度。掌握了抽屜原理解題的步驟就能思路清晰的對一些存在性問題、最小數(shù)目問題做出快速準確的解答。運用抽屜原理，制造抽屜是運用原則的一大關(guān)鍵。首先要確定分類對象（即“物體”），再從分類對象中找出分類規(guī)則（即“抽屜”）．根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。一般來說，“抽屜”的個數(shù)應比“物體”的個數(shù)少，最后運用抽屜原理。解決問題，抽屜原理是一個利器。我們在解題的過程中可以迅速代入，更多要思考怎樣用抽屜原理讓問題清晰化，簡單化。通過學習，使我的邏輯思維能力得到了提高，擴展了我的知識面，掌握了“抽屜原理”的基本內(nèi)容，懂得把所學知識運用到生活中去，運用“抽屜原理”解決生活中的許許多多以前不明白的現(xiàn)象。

參考文獻：

[1] 殷志平、張德勤著《數(shù)學解題轉(zhuǎn)化策略舉要》

《中學教學教與學》1996.1 第19頁 [2] 宿曉陽著《用抽屜原理巧證一個三角不等式》

《中學數(shù)學月刊》2010.6 第45頁

[3] 其他參考：http:// http://baike.baidu.com/view/8899.htm http://wenku.baidu.com/view/4527ed3710661ed9ad51f30e.html http://wenku.baidu.com/view/158dd2***92ef78c.html http:///free/20101221/84545509713564.html http://wenku.baidu.com/view/4272e8f9941ea76e58fa0489.html 8

第四篇：小學奧數(shù)-簡單抽屜原理

1．把10個蘋果發(fā)給3個同學，下面說法正確的是__________．

A.一定有一個人剛好分到3個蘋果．B.一定有一個人剛好分到4個蘋果．C.一定有一個人至少分到4個蘋果． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：C 2．把30個金幣發(fā)給7個人，下面說法正確的是__________．

A.一定有一個人至少分到5個金幣．B.一定有一個人至少分到6個金幣．C.一定有一個人剛好分到6個金幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 3．把20塊巧克力發(fā)給3個人，下面說法正確的是__________．

A.一定有一個人剛好分到6塊巧克力．B.一定有一個人至少分到7塊巧克力．C.一定有一個人至少分到8塊巧克力． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：B 4．把6個蘋果放進5個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.2B.3C.4D.5 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 5．把9個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.4B.5C.6D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：D 6．把13個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.4B.5C.6D.7 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 7．把20個蘋果放進6個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.5B.4C.6D.7 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：B 8．把30個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.8B.9C.10D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 9．把27個蘋果放進4個抽屜，一定有一個抽屜里至少有__________個蘋果． A.8B.9C.10D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：D 10．任意25個人中，至少有__________個人屬于同一個生肖． A.3B.4C.5D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：A 首頁上一頁1234下一頁尾頁 11．任意30個人中，至少有__________個人的生日在同一個月份里． A.9B.8C.3D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：選擇題 答案：C 12．一個星期吃掉30個雞蛋，至少有__________個雞蛋是在同一天吃掉的． A.8B.7C.6D.以上都不對 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：選擇題 答案：D 13．袋子里有紅色的球3個，黃色的球5個，藍色的球6個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證一定有黃色的球． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：18 14．袋子里有紅色的球3個，黃色的球5個，藍色的球6個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證一定有藍色的球． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：17 15．袋子里有紅色的球3個，黃色的球5個，藍色的球6個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證一定有綠色的球． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：15 16．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個，牛肉味的8個，辣椒味的6個．那么至少吃________個餃子，才能保證一定能吃到2個口味一樣的餃子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：4 17．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個，牛肉味的8個，辣椒味的6個．那么至少吃________個餃子，才能保證一定能吃到3個口味一樣的餃子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：7 18．盤子里有一些餃子，韭菜味的5個，牛肉味的8個，辣椒味的6個．那么至少吃________個餃子，才能保證一定能吃到4個口味一樣的餃子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：10 19．袋子里有4種硬幣：金幣、銀幣、銅幣、樂幣，每種硬幣都有很多，那么一次至少拿_________枚，才能保證其中一定有3枚相同類型的硬幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：9 20．袋子里有4種硬幣：金幣、銀幣、銅幣、樂幣，每種硬幣都有很多，那么一次至少拿_______枚，才能保證其中一定有2枚是同一種類型的硬幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：5 首頁上一頁1234下一頁尾頁

21．袋子里有4種硬幣：金幣、銀幣、銅幣、樂幣，每種硬幣都有很多，那么一次至少拿_______枚，才能保證其中一定有5枚是同一種類型的硬幣． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：17 22．一個袋子里有1只紅襪子、3只黑襪子、5只白襪子和8只綠襪子．那么一次至少摸出_______只襪子，才能保證一定有顏色一樣的3只襪子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：8 23．一個袋子里有2只紅襪子、4只黑襪子、7只白襪子和9只綠襪子．那么一次至少摸出_______只襪子，才能保證一定有顏色一樣的4只襪子． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：12 24．一個袋子里有4顆巧克力糖、5顆奶糖、10顆水果糖和20顆棉花糖．那么一次至少拿出_______顆糖，才能保證一定有6顆糖口味相同． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：中等 類型：填空題 答案：20 25．袋子里有紅色的球6個，黑色的球7個，黃色的球10個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證取出的球至少有兩種顏色． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：11 26．袋子里有紅色的球6個，黑色的球7個，黃色的球10個，綠色的球8個，那么一次至少拿_______個球，才能保證取出的球至少有三種顏色． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：19 27．袋子里有紅色的球12個，黑色的球8個，黃色的球7個，綠色的球5個，那么一次至少拿_______個球，才能保證取出的球至少有兩種顏色． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：13 28．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各10根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會有白色和紅色的粉筆． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：31 29．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各8根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會有白色和紅色的粉筆． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：25 30．盒子里有白色、紅色、黃色、綠色的粉筆各20根，一次性至少取出_______根粉筆，才能保證取出的粉筆中一定會有白色和紅色的粉筆． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：61 首頁上一頁1234下一頁尾頁

31．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個，魚肉餡的8個，牛肉餡的10個，白菜餡的15個，那么至少吃_______個包子，才能保證一定能吃到牛肉餡和白菜餡的． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：29 32．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個，魚肉餡的8個，牛肉餡的10個，白菜餡的15個，那么至少吃_______個包子，才能保證一定能吃到雞肉餡和魚肉餡的． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：34 33．籠子里有一些包子，其中雞肉餡的5個，魚肉餡的8個，牛肉餡的10個，白菜餡的15個，那么至少吃_______個包子，才能保證一定能吃到魚肉餡和牛肉餡的． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：簡單 類型：填空題 答案：31 34．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有2張． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：困難 類型：填空題 答案：31 35．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含2種花色，并且這2種花色的牌至少都有3張． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：困難 類型：填空題 答案：22 36．一副撲克牌共54張，其中有2張王牌，還有黑桃、紅心、草花和方塊4種花色的牌各13張．那么至少抽出_______張牌，才能保證取出的牌中至少包含3種花色，并且這3種花色的牌至少都有4張． 來源：2015·樂樂課堂·練習難度：困難 類型：填空題 答案：35 首頁上一頁1234下一頁尾頁

第五篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計 芙蓉中心小學 簡淑梅 【教學內(nèi)容】：

人教版《義務教育課程標準實驗教科書●數(shù)學》六年級（下冊）第四單元數(shù)學廣角“抽屜原理”第70、71頁的內(nèi)容?！窘滩姆治觥浚?/p>

這是一類與“存在性”有關(guān)的問題，教材通過幾個直觀例子，放手讓學生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“反證法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數(shù)學方法來思考問題，從而抽象出“抽屜原理”的一般規(guī)律。并利用這一規(guī)律對一些簡單的實際問題加以“模型化”。即：只需要確定實際生活中某個物體（或某個人、或種現(xiàn)象）的存在就可以了?！緦W情分析】：

抽屜原理是學生從未接觸過的新知識，很難理解抽屜原理的真正含義，尤其是對平均分就能保證“至少”的情況難以理解。

年齡特點：六年級學生既好動又內(nèi)斂，教師一方面要適當引導，引發(fā)學生的學習興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學生發(fā)表見解，發(fā)揮學生學習的主體性。

思維特點：知識掌握上，六年級的學生對于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對于“數(shù)學證明”。因此，教師要耐心細致的引導，重在讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生搬硬套，只求結(jié)論，要讓學生不知其然，更要知其所以然?！窘虒W目標】：

1．知識與能力目標：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過猜測、驗證、觀察、分析等數(shù)學活動，建立數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建?！彼枷搿?/p>

2．過程與方法目標：

經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據(jù)、有條理地進行思考和推理的能力。

3．情感、態(tài)度與價值觀目標：

通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數(shù)學問題的能力和興趣，感受到數(shù)學文化及數(shù)學的魅力?！窘虒W重點】：

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”?！窘虒W難點】：

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”?！窘虒W準備】：

多媒體課件、撲克牌、盒子、鉛筆、書、練習紙?！窘虒W過程】：

一、課前游戲，激趣引新。

上課伊始，老師高舉3張卡片。（高興狀）

（1）老師這有3張漂亮的卡片，我想把它們送給在坐的三位同學，想要嗎？

（2）在送之前，我想請同學們猜一猜，這三張卡片會到男生手上還是會到女生手上？（學生思考后回答：可能送給了3名女生、可能送給了3名男生、也有可能送給了2名男生和1名女生、還有可能送給了2名女生和1名男生。）

（3）同學們列出的這四種情況是這個活動中可能存在的現(xiàn)象，你能從這四種可能存在的現(xiàn)象中找到一種確定現(xiàn)象嗎？（學生思考后回答：得到卡片的三個同學當中，至少會有兩個同學的性別相同。）

（4）老師背對著學生把卡片拋出驗證學生的說法。

（5）如果老師再拋幾次還會有這種現(xiàn)象出現(xiàn)嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數(shù)學原理，也就是我們今天這節(jié)課要研究的學習內(nèi)容，想不想研究??？

〖設計意圖〗：在知識探究之前通過送卡片的游戲，從之前學過的“可能性”導入到今天的學習內(nèi)容。一方面是使教師和學生進行自然的溝通交流；二是要激發(fā)學生的興趣，引起探究的愿望；三是要讓學生明白這種“確定現(xiàn)象”與“可能性”之間的聯(lián)系，為接下來的探究埋下伏筆。

二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

1．動手擺擺，感性認識。

把4枝鉛筆放進3個文具盒中。

（1）小組合作擺一擺、記一記、說一說，把可能出現(xiàn)的情況都列舉出來。

（2）提問：不管怎么放，一定會出現(xiàn)哪種情況？討論后引導學生得出：不管怎樣放，總有一個文具盒里至少放了2只鉛筆。

〖設計意圖〗：抽屜原理對于學生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中

至少放進2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導學生直接關(guān)注到每種分法中數(shù)量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。

2．提出問題，優(yōu)化擺法。

（1）如果把 5支鉛筆放進4個文具盒里呢？結(jié)果是否一樣？怎樣解釋這一現(xiàn)象？（學生自由擺放，并解釋些種現(xiàn)象存在的確定性。）

（2）老師指著一名擺得非?？斓耐瑢W問：怎么你比別人擺得更快呢？你是否有最簡潔、最快速的方法，快快說出來和同學一起分享好嗎？

（3）學生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設法（平均分的方法），組織學生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在討論的基礎上，師生小結(jié)：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

〖設計意圖〗：鼓勵學生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎上，學生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設法滲透平均分的思想。

3．步步逼近，理性認識。

（1）師：把6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆嗎？為什么？

把7支鉛筆放進6個文具盒里呢？

把8枝筆放進7個盒子里呢？

把20枝筆放進19個盒子里呢？

……

（2）符合這種結(jié)果的情況你能一一說完嗎？你會用一句歸納這些情況嗎？

（筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）

〖設計意圖〗：通過這個連續(xù)的過程發(fā)展了學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維，從而達到理性認識“抽屜原理”。

4．數(shù)量積累，發(fā)現(xiàn)方法。

7只鴿子要飛進5個鴿舍里，無論怎么飛，至少會有兩子鴿子飛進同一個鴿舍。為什么？

（1）如果要用一個算式表示，你會嗎？

（2）算式中告訴我們經(jīng)過第一次平均分配后，還余下了2只鴿子，這兩只鴿子會怎么飛呢？（有可能兩只飛進了同一個鴿舍里，也有可能飛進了不同的鴿舍里。）

（3）不管怎么飛，一定會出現(xiàn)哪種情況？

（4）討論：剛才是鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1枝的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里”？

（4）如果是“8只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下3只鴿子。）

（5）“9只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下4只鴿子。）

根據(jù)學生的回答，用算式表示以上各題，并板書。

〖設計意圖〗：從余數(shù)1到余數(shù)2、3、4……，讓學生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數(shù)也要進行二次平均分。并發(fā)現(xiàn)余下的鴿子數(shù)只要小于鴿舍數(shù)，就一定有“至少有兩子鴿子飛進同一個鴿舍”的現(xiàn)象發(fā)生。

5．構(gòu)建模型，解釋原理。

（1）觀察黑板上的算式，你有了什么新的發(fā)現(xiàn)？（只要鴿子數(shù)比盒鴿舍數(shù)多，且小于鴿舍數(shù)的兩倍，至少有2只鴿子飛進了同一個鴿舍里。）

（2）剛才我們研究的這些現(xiàn)象就是著名的“抽屜原理”，（教師板書課題：抽屜原理）我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜。

（3）課件出示：“抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀的德國數(shù)學家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用?！俺閷显怼钡膽檬乔ё?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。

（4）請你用“抽屜原理”解釋我們的課前游戲，為什么不管老師怎么送，得到卡片的同學一定有兩個同學的性別是一樣的？其中什么相當于“物體”？什么相當于“抽屜”？

〖設計意圖〗：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發(fā)現(xiàn)簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著，并讓學生體會平常事中也有數(shù)學原理，有探究的成就感，激發(fā)對數(shù)學的熱情。

三、循序漸進，總結(jié)規(guī)律。

（1）出示71頁的例2：把5本書放進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。為什么？

A、該如何解決這個問題呢？

B、如何用一個式子表示呢？

C、你又發(fā)現(xiàn)了什么？

教師根據(jù)學生的回答，繼續(xù)板書算式。

（2）如果一共有7本書呢？9本書呢？

（3）思考、討論：總有一個抽屜至少放進的本數(shù)是“商＋1”還是“商＋余數(shù)”呢？為什么？

教師師讓學生充分討論后得出正確的結(jié)論：總有一個抽屜至少放進的本數(shù)是“商＋1”（教師板書。）

〖設計意圖〗：對規(guī)律的認識是循序漸進的。在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎上，引導學生抓住假設法最核心的思路---“有余數(shù)除法”，學生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。從而得出“某個抽屜書的至少數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，從而使學生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。四．運用原理，解決問題。

1、基本類型，說說做做。

（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？

（2）張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

2、深化練習，拓展提升。

（1）有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，如果請五位同學每人任意抽1張，同種花色的至少有幾張？為什么？

如果9個人每一個人抽一張呢？

（2）某街道辦事處統(tǒng)計人口顯示，本街道轄區(qū)內(nèi)當年共有 370名嬰兒出生。統(tǒng)計員斷定：“至少有2名嬰兒是在同一天出生的?！边@是為什么？ 至少有多少名嬰兒是在同一個月出生的？為什么？

〖設計意圖〗：讓學生運用所學知識去分析、解決生活實際問題，不僅是學生掌握知識的繼續(xù)拓展與延伸，還是他們成功解決問題后獲取愉悅心情的重要途經(jīng)；不同題型、不同難度的練習不僅能進一步調(diào)動學生學習的積極性，還能滿足不同的孩子學到不同的數(shù)學，并體會抽屜原理的形式是多種多樣的。

五、全課小結(jié)，課外延伸。

（1）說一說：今天這節(jié)課，我們又學習了什么新知識？你還有什么困惑？

（2）用今天學到的知識向你的家長解釋下列現(xiàn)象：

從1、2、3……100，這100個連續(xù)自然數(shù)中，任意取出51個不相同的數(shù)，其中必有兩個數(shù)互質(zhì)，這是為什么呢？

〖設計意圖〗：既讓學生說數(shù)學知識的收獲，也引導學生談情感上的感受，同時培養(yǎng)他們的質(zhì)疑能力，使三維目標落到實處；把課堂知識延伸到課外，與家長一起分析思考，主要是想拓展學生思維，達到“家校牽手，共話數(shù)學”的教學目的。

板書設計。

抽屜原理

物體數(shù) 抽屜數(shù) 至少數(shù) =商＋1

（鉛筆數(shù)）（盒子數(shù)）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖設計意圖〗：這樣的板書設計是在教學過程中動態(tài)生成的，按講思路來安排的，力求簡潔精練。這樣設計便于學生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學重點，使板書真正起到畫龍點睛的作用。