第一篇：抽屜

數(shù)學(xué)廣角——抽屜原理

教學(xué)內(nèi)容：人教版六年級下冊：數(shù)學(xué)廣角——抽屜原理 馬愛兵

教學(xué)目標(biāo)：

1、初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決實(shí)際問題。

2、通過猜測、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。滲透“建?！彼枷?。

3、經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。

4、通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點(diǎn)：抽屜原理的理解和應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：判斷誰是蘋果，誰是抽屜。

教學(xué)過程：

一、引入

1、老師任意點(diǎn)13位同學(xué)，就可以肯定，至少有2個(gè)同學(xué)的生日是在同一個(gè)月，你們信嗎？

2、驗(yàn)證：學(xué)生報(bào)——出生月份。

3、點(diǎn)題：想知道這是為什么嗎？通過今天的學(xué)習(xí)，你就能解釋這個(gè)現(xiàn)象了。下面我們就來研究這類問題，我們先從簡單的情況入手研究。

（設(shè)計(jì)意圖：緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的出生月份談起，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。使學(xué)生積極投入到對問題的研究中。同時(shí)，滲透研究問題的方法、建模的數(shù)學(xué)思想）

二、新課

（一）抽屜原理

（一）1、課件出示：有4只鴿子飛回3個(gè)鴿籠里，至少會有幾只鴿子飛回到同一個(gè)鴿籠呢？你怎么證明會有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠？

（1）學(xué)生獨(dú)立證明、說理

（2）組內(nèi)交流看法

（3）小組學(xué)生匯報(bào)

方法1）擺或畫

2）數(shù)的分解：

方法3）假設(shè)法（反證法）

假設(shè)每個(gè)鴿籠飛回1只，那么3個(gè)鴿籠最多放3只鴿子，還剩下1只，也要進(jìn)其中的一個(gè)鴿籠，所以至少有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠。

4?SPAN lang=EN-US>3=1??1 1 1=2

問：兩個(gè)1表示的意思一樣嗎？

4、問：這種推理方法，實(shí)際上是剛才鴿子不同飛法的第幾種？（1，1，2）

為什么你只研究這種方法就能斷定一定有“至少2只鴿子飛到同一個(gè)鴿籠中”？不考慮其它幾種情況嗎？

——引導(dǎo)學(xué)生從最不利的情況考慮，把道理說明白。

5、那么，如果增加鴿子和鴿籠的數(shù)量，又會怎樣呢？

出示：5只鴿子飛回4個(gè)鴿籠？

6只鴿子飛回5個(gè)鴿籠？

10只鴿子飛回9個(gè)鴿籠？

100只鴿子飛回99個(gè)鴿籠？

問：發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？——只要鴿子數(shù)比鴿籠數(shù)量多1，總有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠。

問：難道這個(gè)規(guī)律只有在這種情況下才存在嗎？你還能提出什么問題？（問題意識培養(yǎng)）

6、如果不余1呢？怎么辦？這個(gè)規(guī)律還存在嗎？

生舉例證明。如假設(shè)法 5?SPAN lang=EN-US>3=1??2 1 1=2

問：為什么加1而不加2？（第二次強(qiáng)調(diào)最不利）

生：剩下的2只鴿子既可以飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠，也可以分別飛進(jìn)2個(gè)鴿籠。要保證“至少”就繼續(xù)從“最不利的情況”考慮，讓2只鴿子進(jìn)2個(gè)鴿籠。達(dá)到“至少”有2只在1個(gè)籠子。

7、如果把鴿子和鴿籠的數(shù)量進(jìn)一步增加呢？

8只鴿子進(jìn)5個(gè)鴿籠，至少有？只鴿子進(jìn)同一個(gè)鴿籠？

13只鴿子進(jìn)9個(gè)鴿籠，至少有？只鴿子進(jìn)同一個(gè)鴿籠？

100只鴿子進(jìn)95個(gè)鴿籠，至少有？只鴿子進(jìn)同一個(gè)鴿籠？

生：——只要鴿子數(shù)量是鴿籠數(shù)量的1倍多，總有一個(gè)鴿籠里至少飛進(jìn)2只或2只以上的鴿子?！澴訑?shù)髁郵?SPAN lang=EN-US>=商?1 商 1

師總結(jié)：看來，余1時(shí)，是這個(gè)規(guī)律；那么，余

2、余3時(shí)這個(gè)規(guī)律也同樣存在。

8、問：為什么不用分解數(shù)、畫圖的方法一一列舉，而用假設(shè)的方法來證明？

——對比三種方法的適用性。

（設(shè)計(jì)意圖：滲透在研究問題、探索規(guī)律時(shí)，先從簡單的情況開始研究的探究方法。證明過程中，展示了不同學(xué)生的證明方法，展示了不同學(xué)生的思維水平，使學(xué)生既互相學(xué)習(xí)、觸類旁通，又建立“建?！彼枷?，突出了學(xué)習(xí)方法。同時(shí)讓學(xué)生理解“最不利”是什么意思，這一層，讓學(xué)生從不同的角度去正確認(rèn)識抽屜原理一：把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。）

（二）數(shù)學(xué)小知識：抽屜原理的由來。

最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰呢？他就是德國數(shù)學(xué)家“狄里克雷”，后人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做 “抽屜原理”。

（設(shè)計(jì)意圖：介紹鴿巢原理、抽屜原理的由來，以增加數(shù)學(xué)文化的氣息。同時(shí)教育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的觀察生活的態(tài)度，研究問題的方法。）

（三）練習(xí)

小游戲：一副撲克牌，拿走兩個(gè)王。老師請3位同學(xué)到前面來抽牌，其他同學(xué)來猜。

——請分別抽5張牌，其他同學(xué)來猜一猜，每人手中的牌，至少有幾張牌的花色一樣？

（設(shè)計(jì)意圖：通過小游戲增加學(xué)習(xí)動(dòng)力和樂趣，體會游戲中的數(shù)學(xué)。）

（四）抽屜原理

（二）1、“狄里克雷”發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律后，并沒有停止對現(xiàn)象的研究，又發(fā)現(xiàn)了問題?，F(xiàn)在你也想一想，還有沒有值得我們繼續(xù)研究的問題呢？（問題意識培養(yǎng)）

——如果鴿子或蘋果的數(shù)量更多一些呢？

2、出示：假如有9個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜中，那么至少會有幾個(gè)蘋果被放到了同一個(gè)抽屜中？

3、組內(nèi)同學(xué)交流看法，之后匯報(bào)。

4、如果是14個(gè)蘋果放進(jìn)4 個(gè)抽屜中呢？ 14?SPAN lang=EN-US>4=3??2，3 1=4

23個(gè)蘋果放進(jìn)4個(gè)抽屜中呢？ 23?SPAN lang=EN-US>4=5??3 5 1=6

5、總結(jié)規(guī)律

師：如果繼續(xù)增加蘋果和抽屜的數(shù)量，你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？

——蘋果數(shù)除以抽屜數(shù)，那么總會有一個(gè)抽屜里放進(jìn)比商多1的蘋果。

師：之所以把這個(gè)規(guī)律稱之為“原理”，是因?yàn)樵谖覀兊纳钪写嬖谥S多能用這個(gè)原理解決的問題，研究出這個(gè)規(guī)律是非常有價(jià)值的。

老師上課時(shí)提出的生日問題，現(xiàn)在你能解釋嗎？

那么你還能舉出一些能用抽屜原理解釋的生活中的例子嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去。在教學(xué)的最后，請學(xué)生用這節(jié)課學(xué)的抽屜原理解釋課始老師提出的生日問題，再讓學(xué)生舉一些能用抽屜原理解釋的生活現(xiàn)象，以達(dá)到鞏固應(yīng)用的目的。）

三、鞏固練習(xí)（說明“把誰當(dāng)做蘋果，把誰當(dāng)做抽屜”）

1、小麗從書架上隨意拿下了13份報(bào)紙，你知道至少有幾份報(bào)紙是同一個(gè)月的嗎？

2、某校六年級學(xué)生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看同學(xué)的出生日期，就可斷定在這400個(gè)學(xué)生中至少有兩人是同年同月同日出生的，你知道這是為什么嗎？

3、你能證明在一個(gè)11位數(shù)中，至少有2個(gè)數(shù)位上的數(shù)字是相同的嗎？

思考題： 要拿出25個(gè)蘋果，最多從幾個(gè)抽屜中拿，才能保證從其中一個(gè)抽屜里至少拿了7個(gè)蘋果。

四、總結(jié)：通過今天的學(xué)習(xí)你有什么收獲？——知識上、學(xué)習(xí)方法上、數(shù)學(xué)小知識上總結(jié)。抽屜原理” 人教版六年級數(shù)學(xué)教案2010-01-28 18:53:46 來源：人教網(wǎng) 網(wǎng)友評論0條我要投稿

【教學(xué)內(nèi)容】

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》六年級下冊第68頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1．經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實(shí)際問題。

2． 通過操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3． 通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實(shí)際問題加以“模型化”。

【教具、學(xué)具準(zhǔn)備】

每組都有相應(yīng)數(shù)量的盒子、鉛筆、書。

【教學(xué)過程】

一、課前游戲引入。

師：同學(xué)們在我們上課之前，先做個(gè)小游戲：老師這里準(zhǔn)備了4把椅子，請5個(gè)同學(xué)上來，誰愿來？（學(xué)生上來后）

師：聽清要求，老師說開始以后，請你們5個(gè)都坐在椅子上，每個(gè)人必須都坐下，好嗎？（好）。這時(shí)教師面向全體，背對那5個(gè)人。

師：開始。

師：都坐下了嗎？

生：坐下了。

師：我沒有看到他們坐的情況，但是我敢肯定地說：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)”我說得對嗎？

生：對！

師：老師為什么能做出準(zhǔn)確的判斷呢？道理是什么？這其中蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們就一起來研究這個(gè)原理。下面我們開始上課，可以嗎？

【點(diǎn)評】教師從學(xué)生熟悉的“搶椅子”游戲開始，讓學(xué)生初步體驗(yàn)不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)，使學(xué)生明確這是現(xiàn)實(shí)生活中存在著的一種現(xiàn)象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后面開展教與學(xué)的活動(dòng)做了鋪墊。

二、通過操作，探究新知

（一）教學(xué)例1

1．出示題目：有3枝鉛筆，2個(gè)盒子，把3枝鉛筆放進(jìn)2個(gè)盒子里，怎么放？有幾種不同的放法？

師：請同學(xué)們實(shí)際放放看，誰來展示一下你擺放的情況？（指名擺）根據(jù)學(xué)生擺的情況，師板書各種情況（3，0）（2，1）

【點(diǎn)評】此處設(shè)計(jì)教師注意了從最簡單的數(shù)據(jù)開始擺放，有利于學(xué)生觀察、理解，有利于調(diào)動(dòng)所有的學(xué)生積極參與進(jìn)來。

師：5個(gè)人坐在4把椅子上，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)。3支筆放進(jìn)2個(gè)盒子里呢？

生：不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝筆？

是：是這樣嗎？誰還有這樣的發(fā)現(xiàn)，再說一說。

師：那么，把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)盒子里，怎么放？有幾種不同的放法？請同學(xué)們實(shí)際放放看。（師巡視，了解情況，個(gè)別指導(dǎo)）

師：誰來展示一下你擺放的情況？（指名擺）根據(jù)學(xué)生擺的情況，師板書各種情況。

（4，0，0）

（3，1，0）

（2，2，0）

（2，1，1），師：還有不同的放法嗎？

生：沒有了。

師：你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。

師：“總有”是什么意思？

生：一定有

師：“至少”有2枝什么意思？

生：不少于兩只，可能是2枝，也可能是多于2枝？

師：就是不能少于2枝。（通過操作讓學(xué)生充分體驗(yàn)感受）

師：把3枝筆放進(jìn)2個(gè)盒子里，和把4枝筆飯放進(jìn)3個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。這是我們通過實(shí)際操作現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論。那么，我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺一種情況，也能得到這個(gè)結(jié)論呢？

學(xué)生思考——組內(nèi)交流——匯報(bào)

師：哪一組同學(xué)能把你們的想法匯報(bào)一下？

組1生：我們發(fā)現(xiàn)如果每個(gè)盒子里放1枝鉛筆，最多放3枝，剩下的1枝不管放進(jìn)哪一個(gè)盒子里，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。

師：你能結(jié)合操作給大家演示一遍嗎？（學(xué)生操作演示）

師：同學(xué)們自己說說看，同位之間邊演示邊說一說好嗎？

師：這種分法，實(shí)際就是先怎么分的？

生眾：平均分

師：為什么要先平均分？（組織學(xué)生討論）

生1：要想發(fā)現(xiàn)存在著“總有一個(gè)盒子里一定至少有2枝”，先平均分,余下1枝，不管放在那個(gè)盒子里，一定會出現(xiàn)“總有一個(gè)盒子里一定至少有2枝”。

生2：這樣分，只分一次就能確定總有一個(gè)盒子至少有幾枝筆了？

師：同意嗎？那么把5枝筆放進(jìn)4個(gè)盒子里呢？（可以結(jié)合操作，說一說）

師：哪位同學(xué)能把你的想法匯報(bào)一下，生：（一邊演示一邊說）5枝鉛筆放在4個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。

師：把6枝筆放進(jìn)5個(gè)盒子里呢？還用擺嗎？

生：6枝鉛筆放在5個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。

師：把7枝筆放進(jìn)6個(gè)盒子里呢？

把8枝筆放進(jìn)7個(gè)盒子里呢？

把9枝筆放進(jìn)8個(gè)盒子里呢？??

：

你發(fā)現(xiàn)什么？

生1：筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。

師：你的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎？（一樣）你們太了不起了！同桌互相說一遍。

【點(diǎn)評】教師關(guān)注了“抽屜原理”的最基本原理，物體個(gè)數(shù)必須要多于抽屜個(gè)數(shù)，化繁為簡，此處確實(shí)有必要提領(lǐng)出來進(jìn)行教學(xué)。在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論：只要放的鉛筆數(shù)盒數(shù)多1，總有一個(gè)盒里至少放進(jìn)2支。通過教師組織開展的扎實(shí)有效的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生學(xué)的有興趣，發(fā)展了學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

2．解決問題。

（1）課件出示：5只鴿子飛回4個(gè)鴿籠，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里，為什么？

（學(xué)生活動(dòng)—獨(dú)立思考 自主探究）

（2）交流、說理活動(dòng)。

師：誰能說說為什么？

生1：如果一個(gè)鴿籠里飛進(jìn)一只鴿子，最多飛進(jìn)4只鴿子，還剩一只，要飛進(jìn)其中的一個(gè)鴿籠里。不管怎么飛，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里。

生2：我們也是這樣想的。

生3：把5只鴿子平均分到4個(gè)籠子里，每個(gè)籠子1只，剩下1只，放到任何一個(gè)籠子里，就能保證至少有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)籠里。

生4：可以用5÷4=1??1，余下的1只，飛到任何一個(gè)鴿籠里都能保證至少有2只鴿子飛進(jìn)一個(gè)個(gè)籠里，所以，“至少有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)籠里”的結(jié)論是正確的。

師：許多同學(xué)沒有再擺學(xué)具，證明這個(gè)結(jié)論是正確的，用的什么方法？

生：用平均分的方法，就能說明存在“總有一個(gè)鴿籠至少有2只鴿子飛進(jìn)一個(gè)個(gè)籠里”。

師：同意嗎？（生：同意）老師把這位同學(xué)說的算式寫下來，（板書：5÷4=1??1）

師：同位之間再說一說，對這種方法的理解。

師：現(xiàn)在誰能說說你對“總有一個(gè)鴿籠里至少飛進(jìn)2只鴿子的理解”

生：我們發(fā)現(xiàn)這是必然存在的一個(gè)現(xiàn)象，不管鴿子怎樣飛回鴿籠，一定會有一個(gè)鴿籠里至少有2只鴿子。

師：同學(xué)們都有這個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎？

生眾：發(fā)現(xiàn)了。

師：同學(xué)們非常了不起，善于運(yùn)用觀察、分析、思考、推理、證明的方法研究問題，得出結(jié)論。同學(xué)們的思維也在不知不覺中提升了許多，那么讓我們再來看這樣一組問題。

（二）教學(xué)例2

1．出示題目：把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書？

把7本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書？

把9本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書？

（留給學(xué)生思考的空間，師巡視了解各種情況）

2．學(xué)生匯報(bào)。

生1：把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，如果每個(gè)抽屜里先放2本，還剩1本，這本書不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少有3本書。

板書：5本 2個(gè) 2本?? 余1本（總有一個(gè)抽屜里至有3本書）

7本 2個(gè) 3本?? 余1本（總有一個(gè)抽屜里至有4本書）

9本 2個(gè) 4本?? 余1本（總有一個(gè)抽屜里至有5本書）

師：2本、3本、4本是怎么得到的？生答完成除法算式。

5÷2=2本??1本（商加1）

7÷2=3本??1本（商加1）

9÷2=4本??1本（商加1）

師：觀察板書你能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：“總有一個(gè)抽屜里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以得到。

師：如果把5本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書？

生：“總有一個(gè)抽屜里的至少有3本”只要用5÷3=1本??2本，用“商+ 2”就可以了。

生：不同意！先把5本書平均分放到3個(gè)抽屜里，每個(gè)抽屜里先放1本，還剩2本，這2本書再平均分，不管分到哪兩個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少有2本書，不是3本書。

師：到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”呢？誰的結(jié)論對呢？在小組里進(jìn)行研究、討論。

交流、說理活動(dòng)：

生1：我們組通過討論并且實(shí)際分了分，結(jié)論是總有一個(gè)抽屜里至少有2本書，不是3本書。

生2：把5本書平均分放到3個(gè)抽屜里，每個(gè)抽屜里先放1本，余下的2本可以在2個(gè)抽屜里再各放1本，結(jié)論是“總有一個(gè)抽屜里至少有2本書”。

生3∶我們組的結(jié)論是5本書平均分放到3個(gè)抽屜里，“總有一個(gè)抽屜里至少有2本書”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。

師：現(xiàn)在大家都明白了吧？那么怎樣才能夠確定總有一個(gè)抽屜里至少有幾個(gè)物體呢？

生4：如果書的本數(shù)是奇數(shù)，用書的本數(shù)除以抽屜數(shù)，再用所得的商加1，就會發(fā)現(xiàn)“總有一個(gè)抽屜里至少有商加1本書”了。

師：同學(xué)們同意吧？

師：同學(xué)們的這一發(fā)現(xiàn)，稱為“抽屜原理”，“ 抽屜原理”又稱“鴿籠原理”，最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理”。這一原理在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用?！俺閷显怼钡膽?yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。

3．解決問題。71頁第3題。（獨(dú)立完成，交流反饋）

小結(jié)：經(jīng)過剛才的探索研究，我們經(jīng)歷了一個(gè)很不簡單的思維過程，我們獲得了解決這類問題的好辦法，下面讓我們輕松一下做個(gè)小游戲。

【點(diǎn)評】在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中教師抓住了假設(shè)法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法” 形式表示出來，使學(xué)生學(xué)生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里，看每個(gè)抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里比平均分得的書的本數(shù)多1本。特別是對“某個(gè)抽屜至少有書的本數(shù)”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數(shù)”，教師適時(shí)挑出針對性問題進(jìn)行交流、討論，使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。

三、應(yīng)用原理解決問題

師：我這里有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，我請五位同學(xué)每人任意抽1張，聽清要求，不要讓別人看到你抽的是什么牌。請大家猜測一下，同種花色的至少有幾張？為什么？

生：2張/因?yàn)?÷4=1?1

師：先驗(yàn)證一下你們的猜測：舉牌驗(yàn)證。

師：如有3張同花色的，符合你們的猜測嗎？

師：如果9個(gè)人每一個(gè)人抽一張呢？

生：至少有3張牌是同一花色，因?yàn)?÷4=2?1

四、全課小結(jié)

【點(diǎn)評】當(dāng)學(xué)生利用有余數(shù)除法解決了具體問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納這一類“抽屜問題”的一般規(guī)律，使學(xué)生進(jìn)一步理解掌握了“抽屜原理”。（作者：山東省濟(jì)南市民生大街小學(xué) 張榮明 山東省濟(jì)南市市中區(qū)教研室 董惠平）

教學(xué)內(nèi)容】《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》六年級下冊7071頁?！窘虒W(xué)目標(biāo)】

1．經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實(shí)際問題。

2． 通過操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3． 通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

【教學(xué)重點(diǎn)】經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】理解“抽屜原理”，并對一些簡單實(shí)際問題加以“模型化”?！窘叹摺W(xué)具準(zhǔn)備】每組都有相應(yīng)數(shù)量的盒子、鉛筆、書?！窘虒W(xué)過程】

一、情境引入。

猜出生月。

二、通過操作，探究新知

（一）教學(xué)例1

1．出示題目：把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)盒子里，怎么放？有幾種不同的放法？

（學(xué)生先思考，然后在組內(nèi)動(dòng)手操作）

師：誰來展示一下你擺放的情況？（根據(jù)學(xué)生擺的情況，師演示各種情況。）

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

師：把四支鉛筆放入3個(gè)鉛筆盒中一共有以上4中不同的放法。由于擺放的方法不同，每個(gè)鉛筆盒總的支數(shù)也不相同。請同學(xué)們看看，鉛筆盒中的指數(shù)有哪些不同的情況呢？（0、1、2、3、4）

師：看來，鉛筆盒中的的支數(shù)是有多有少的。在沒一種放法中的支數(shù)也是有多有少的?？傆幸粋€(gè)鉛筆盒的支數(shù)放的是最多的，同學(xué)們能找出來嗎？ 師：第一種擺法中，哪個(gè)鉛筆盒的支數(shù)是最多的？是幾支？那我可以這樣說，第一種擺法中，總有一個(gè)鉛筆盒要放入（）支鉛筆。那第二種擺法總有一個(gè)鉛筆盒中要放入幾支鉛筆呢？第三種？第四種呢？

第二篇：抽屜原理

抽屜原理

把5個(gè)蘋果放到4個(gè)抽屜中，必然有一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)蘋果，這是抽屜原理的通俗解釋。一般地，我們將它表述為：

第一抽屜原理：把（mn＋1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m＋1）個(gè)物體。

使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。一般說來，數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等，都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。

例1 從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)來，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；

（2）有2個(gè)數(shù)的差為50；

（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組中的2個(gè)數(shù)是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，它們一定是互質(zhì)的。

（2）將100個(gè)數(shù)分成50組：

{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有2個(gè)數(shù)屬于同一組，這一組的2個(gè)數(shù)的差為50。

（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：

第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；

第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；

第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；

第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}；

第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1，11，13，…，97}。

第五組中有22個(gè)數(shù)，故選出的51個(gè)數(shù)至少有29個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于1。

例2 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

證明：因1996÷4＝499，故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。

得到500個(gè)余數(shù)r1，r2，…，r500。由于余數(shù)只能取0，1，2，…，499這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原理，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，這個(gè)差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互質(zhì)的，故它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)。

例3 在一個(gè)禮堂中有99名學(xué)生，如果他們中的每個(gè)人都與其中的66人相識，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何4人中都一定有2人不相識（假定相識是互相的）。

分析：注意到題中的說法“可能出現(xiàn)……”，說明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說的結(jié)論即可。

解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：

（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學(xué)生作為3個(gè)抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學(xué)生所認(rèn)識的66人只在B，C中，同時(shí)，B，C中的學(xué)生所認(rèn)識的66人也只在A，C和A，B中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說情況

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就可能出現(xiàn)。

因?yàn)槎Y堂中任意4人可看做4個(gè)蘋果，放入A，B，C三個(gè)抽屜中，必有2人在同一抽屜，即必有2人來自同一組，那么他們認(rèn)識的人只在另2組中，因此他們兩人不相識。

例4 如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開始時(shí)相對的滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同。當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對。

分析：此題中沒有直接提供我們用以構(gòu)造抽屜和蘋果的數(shù)量關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換一下看問題的角度。

解：內(nèi)外兩環(huán)對轉(zhuǎn)可看成一環(huán)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)。一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個(gè)抽屜。

注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45°角就有一次滾珠相對的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對的局面，而最初的8對滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以數(shù)字相同的滾珠相對的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，8次相同數(shù)字滾珠相對的局面看做8個(gè)蘋果，則至少有2次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中，即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對。

例5 有一個(gè)生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因，只能控制盤的重量在指定的20克到20.1克之間?，F(xiàn)在需要重量相差不超過0.005克的兩只鐵盤來裝配一架天平，問：最少要生產(chǎn)多少個(gè)盤子，才能保證一定能從中挑出符合要求的兩只盤子？

解：把20～20.1克之間的盤子依重量分成20組：

第1組：從20.000克到20.005克；

第2組：從20.005克到20.010克；

……

第20組：從20.095克到20.100克。

這樣，只要有21個(gè)盤子，就一定可以從中找到兩個(gè)盤子屬于同一組，這2個(gè)盤子就符合要求。

例6 在圓周上放著100個(gè)籌碼，其中有41個(gè)紅的和59個(gè)藍(lán)的。那么總可以找到兩個(gè)紅籌碼，在它們之間剛好放有19個(gè)籌碼，為什么？

分析：此題需要研究“紅籌碼”的放置情況，因而涉及到“蘋果”的具體放置方法，由此我們可以在構(gòu)造抽屜時(shí)，使每個(gè)抽屜中的相鄰“蘋果”之間有19個(gè)籌碼。

解：依順時(shí)針方向?qū)⒒I碼依次編上號碼：1，2，…，100。然后依照以下規(guī)律將100個(gè)籌碼分為20組：

（1，21，41，61，81）；

（2，22，42，62，82）；

……

（20，40，60，80，100）。

將41個(gè)紅籌碼看做蘋果，放入以上20個(gè)抽屜中，因?yàn)?1=2×20＋1，所以至少有一個(gè)抽屜中有2+1=3（個(gè)）蘋果，也就是說必有一組5個(gè)籌碼中有3個(gè)紅色籌碼，而每組的5個(gè)籌碼在圓周上可看做兩兩等距，且每2個(gè)相鄰籌碼之間都有19個(gè)籌碼，那么3個(gè)紅色籌碼中必有2個(gè)相鄰（這將在下一個(gè)內(nèi)容——第二抽屜原理中說明），即有2個(gè)紅色籌碼之間有19個(gè)籌碼。

下面我們來考慮另外一種情況：若把5個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為：

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第二抽屜原理：把（mn-1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m-1）個(gè)物體。

例7 在例6中留有一個(gè)疑問，現(xiàn)改述如下：在圓周上放有5個(gè)籌碼，其中有3個(gè)是同色的，那么這3個(gè)同色的籌碼必有2個(gè)相鄰。

分析：將這個(gè)問題加以轉(zhuǎn)化：

如右圖，將同色的3個(gè)籌碼A，B，C置于圓周上，看是否能用另外2個(gè)籌碼將其隔開。

解：如圖，將同色的3個(gè)籌碼放置在圓周上，將每2個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜，將其余2個(gè)籌碼看做蘋果，將2個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜中，則必有1個(gè)抽屜中沒有蘋果，即有2個(gè)同色籌碼之間沒有其它籌碼，那么這2個(gè)籌碼必相鄰。

例8 甲、乙二人為一個(gè)正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。首先，甲任選3條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外3條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的6條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的4條棱全部涂上紅色？

解：不能。

如右圖將12條棱分成四組：

第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。

無論甲第一次將哪3條棱涂紅，由抽屜原理知四組中必有一組的3條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的3條棱涂綠，甲就無法將某一面的4條棱全部涂紅了。

下面我們討論抽屜原理的一個(gè)變形——平均值原理。

我們知道n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an的和與n的商是a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均值。平均值原理：如果n個(gè)數(shù)的平均值為a，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于a，也至少有一個(gè)不小于a。

例9 圓周上有2000個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0，1，2，…，1999（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）。求證：必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于2999。

解：設(shè)圓周上各點(diǎn)的值依次是a1，a2，…，a2000，則其和

a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：

（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）

=3（a1＋a2＋…＋a2000）

＝3×1999000。

這2000組和中必至少有一組和大于或等于

但因每一個(gè)和都是整數(shù)，故有一組相鄰三數(shù)之和不小于2999，亦即存在一個(gè)點(diǎn)，與它緊相鄰的兩點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三數(shù)之和不小于2999。

例10 一家旅館有90個(gè)房間，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同時(shí)回來，那么至少要準(zhǔn)備多少把鑰匙分給這100名旅客，才能使得每次客人回來時(shí)，每個(gè)客人都能用自己分到的鑰匙打開一個(gè)房門住進(jìn)去，并且避免發(fā)生兩人同時(shí)住進(jìn)一個(gè)房間？

解：如果鑰匙數(shù)小于990，那么90個(gè)房間中至少有一個(gè)房間的鑰匙數(shù)少房間就打不開，因此90個(gè)人就無法按題述的條件住下來。

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另一方面，990把鑰匙已經(jīng)足夠了，這只要將90把不同的鑰匙分給90個(gè)人，而其余的10名旅客，每人各90把鑰匙（每個(gè)房間一把），那么任何90名旅客返回時(shí)，都能按要求住進(jìn)房間。

最后，我們要指出，解決某些較復(fù)雜的問題時(shí)，往往要多次反復(fù)地運(yùn)用抽屜原理，請看下面兩道例題。

例11 設(shè)有4×28的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍(lán)、黃三種顏色中的任意一種。試證明：無論怎樣涂法，至少存在一個(gè)四角同色的長方形。

證明：我們先考察第一行中28個(gè)小方格涂色情況，用三種顏色涂28個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有10個(gè)小方格是同色的，不妨設(shè)其為紅色，還可設(shè)這10個(gè)小方格就在第一行的前10列。

下面考察第二、三、四行中前面10個(gè)小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。這有兩種可能：

（1）這三行中，至少有一行，其前面10個(gè)小方格中，至少有2個(gè)小方格是涂有紅色的，那么這2個(gè)小方格和第一行中與其對應(yīng)的2個(gè)小方格，便是一個(gè)長方形的四個(gè)角，這個(gè)長方形就是一個(gè)四角同是紅色的長方形。

（2）這三行中每一行前面的10格中，都至多有一個(gè)紅色的小方格，不妨設(shè)它們分別出現(xiàn)在前三列中，那么其余的3×7個(gè)小方格便只能涂上黃、藍(lán)兩種顏色了。

我們先考慮這個(gè)3×7的長方形的第一行。根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)小方格是涂上同一顏色的，不妨設(shè)其為藍(lán)色，且在第1至4列。

再考慮第二行的前四列，這時(shí)也有兩種可能：

（1）這4格中，至少有2格被涂上藍(lán)色，那么這2個(gè)涂上藍(lán)色的小方格和第一行中與其對應(yīng)的2個(gè)小方格便是一個(gè)長方形的四個(gè)角，這個(gè)長方形四角同是藍(lán)色。

（2）這4格中，至多有1格被涂上藍(lán)色，那么，至少有3格被涂上黃色。不妨設(shè)這3個(gè)小方格就在第二行的前面3格。

下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。用藍(lán)、黃兩色涂3個(gè)小方格，由抽屜原理知，至少有2個(gè)方格是同色的，無論是同為藍(lán)色或是同為黃色，都可以得到一個(gè)四角同色的長方形。

總之，對于各種可能的情況，都能找到一個(gè)四角同色的長方形。

例12 試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案。一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對于其中任何3人，都有一道題目的答案互不相同。問：參加考試的學(xué)生最多有多少人？

解：設(shè)每題的三個(gè)選擇分別為a，b，c。

（1）若參加考試的學(xué)生有10人，則由第二抽屜原理知，第一題答案分別為a，b，c的三組學(xué)生中，必有一組不超過3人。去掉這組學(xué)生，在余下的學(xué)生中，定有7人對第一題的答案只有兩種。對于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。對于這5人關(guān)于第三題應(yīng)用第二抽屜原理知，可以選出4人，他們關(guān)于第三題的答案只有兩種可能。最后，對于這4人關(guān)于第四題應(yīng)用第二抽屜原理知，必可選出3人，他們關(guān)于第四題的答案也只有兩種。于是，對于這3人來說，沒有一道題目的答案是互不相同的，這不符合題目的要求。可見，所求的最多人數(shù)不超過9人。

另一方面，若9個(gè)人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個(gè)問題的答案互不相同。

所以，所求的最多人數(shù)為9人。練習(xí)13

1.六（1）班有49名學(xué)生。數(shù)學(xué)王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學(xué)至少有4人成績相同?！闭垎柾趵蠋熣f得對嗎？為什么？

2.現(xiàn)有64只乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有幾個(gè)

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乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

3.某校初二年級學(xué)生身高的厘米數(shù)都為整數(shù)，且都不大于160厘米，不小于150厘米。問：在至少多少個(gè)初二學(xué)生中一定能有4個(gè)人身高相同？

4.從1，2，…，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：

（1）有兩個(gè)數(shù)的和為101；

（2）有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；

（3）有一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和是51的倍數(shù)。

5.在3×7的方格表中，有11個(gè)白格，證明

（1）若僅含一個(gè)白格的列只有3列，則在其余的4列中每列都恰有兩個(gè)白格；

（2）只有一個(gè)白格的列只有3列。

6.某個(gè)委員會開了40次會議，每次會議有10人出席。已知任何兩個(gè)委員不會同時(shí)開兩次或更多的會議。問：這個(gè)委員會的人數(shù)能夠多于60人嗎？為什么？

7.一個(gè)車間有一條生產(chǎn)流水線，由5臺機(jī)器組成，只有每臺機(jī)器都開動(dòng)時(shí)，這條流水線才能工作。總共有8個(gè)工人在這條流水線上工作。在每一個(gè)工作日內(nèi)，這些工人中只有5名到場。為了保證生產(chǎn)，要對這8名工人進(jìn)行培訓(xùn)，每人學(xué)一種機(jī)器的操作方法稱為一輪。問：最少要進(jìn)行多少輪培訓(xùn)，才能使任意5個(gè)工人上班而流水線總能工作？

8.有9名數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語言，每3人中至少有2人能通話。求證：在這9名中至少有3名用同一種語言通話。

練習(xí)13

1.對。解：因?yàn)?9-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是說，把從100分至86分的15個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)做抽屜，49-3=46（人）的成績當(dāng)做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分?jǐn)?shù)在同一抽屜中，即成績相同。

2.4個(gè)。解：18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里至多可以放6只乒乓球。為使相同乒乓球個(gè)數(shù)的盒子盡可能少，可以這樣放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分別在每一份的3個(gè)盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3個(gè)盒子中放了1只乒乓球，3個(gè)盒中放了2只乒乓球……3個(gè)盒子中放了6只乒乓球。這樣，18個(gè)盒子中共放了乒乓球

（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。

把以上6種不同的放法當(dāng)做抽屜，這樣剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一個(gè)抽屜里的任何一個(gè)盒子里（除已放滿6只乒乓球的抽屜外），都將使該盒子中的乒乓球數(shù)增加1只，這時(shí)與比該抽屜每盒乒乓數(shù)多1的抽屜中的3個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)相等。例如剩下的1只乒乓球放進(jìn)原來有2只乒乓球的一個(gè)盒子里，該盒乒乓球就成了3只，再加上原來裝有3只乒乓球的3個(gè)盒子，這樣就有4個(gè)盒子里裝有3個(gè)乒乓球。所以至少有4個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。

3.34個(gè)。

解：把初二學(xué)生的身高厘米數(shù)作為抽屜，共有抽屜

160-150+1=11（個(gè)）。

根據(jù)抽屜原理，要保證有4個(gè)人身高相同，至少要有初二學(xué)生

3×11+1=34（個(gè)）。

4.證：（1）將100個(gè)數(shù)分成50組：

/ 7

｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。

在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組的兩數(shù)之和為101。

（2）將100個(gè)數(shù)分成10組：

｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余數(shù)｝。

其中第10組中有41個(gè)數(shù)。在選出的51個(gè)數(shù)中，第10組的41個(gè)數(shù)全部選中，還有10個(gè)數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。

（3）將選出的51個(gè)數(shù)排成一列：

a1，a2，a3，…，a51。

考慮下面的51個(gè)和：

a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。

若這51個(gè)和中有一個(gè)是51的倍數(shù)，則結(jié)論顯然成立；若這51個(gè)和中沒有一個(gè)是51的倍數(shù)，則將它們除以51，余數(shù)只能是1，2，…，50中的一個(gè)，故必然有兩個(gè)的余數(shù)是相同的，這兩個(gè)和的差是51的倍數(shù)，而這個(gè)差顯然是這51個(gè)數(shù)（a1，a2，a3，…，a51）中的一個(gè)數(shù)或若干個(gè)數(shù)的和。

5.證：（1）在其余4列中如有一列含有3個(gè)白格，則剩下的5個(gè)白格要放入3列中，將3列表格看做3個(gè)抽屜，5個(gè)白格看做5個(gè)蘋果，根據(jù)第二抽屜原理，5（=2×3-1）個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜，則必有1個(gè)抽屜至多只有（2-1）個(gè)蘋果，即必有1列只含1個(gè)白格，也就是說除了原來3列只含一個(gè)白格外還有1列含1個(gè)白格，這與題設(shè)只有1個(gè)白格的列只有3列矛盾。所以不會有1列有3個(gè)白格，當(dāng)然也不能再有1列只有1個(gè)白格。推知其余4列每列恰好有2個(gè)白格。

（2）假設(shè)只含1個(gè)白格的列有2列，那么剩下的9個(gè)白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屜原理知，必有1列至多只有2-1=1（個(gè)）白格，與假設(shè)只有2列每列只1個(gè)白格矛盾。所以只有1個(gè)白格的列至少有3列。

6.能。

解：開會的“人次”有 40×10=400（人次）。設(shè)委員人數(shù)為N，將“人次”看做蘋果，以委員人數(shù)作為抽屜。

若N≤60，則由抽屜原理知至少有一個(gè)委員開了7次（或更多次）會。但由已知條件知沒有一個(gè)人與這位委員同開過兩次（或更多次）的會，故他所參加的每一次會的另外9個(gè)人是不相同的，從而至少有7×9=63（個(gè)）委員，這與N≤60的假定矛盾。所以，N應(yīng)大于60。

7.20輪。

解：如果培訓(xùn)的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺機(jī)器上可進(jìn)行工作的工人果這3個(gè)工人某一天都沒有到車間來，那么這臺機(jī)器就不能開動(dòng)，整個(gè)流水線就不能工作。故培訓(xùn)的總輪數(shù)不能少于20。

另一方面，只要進(jìn)行20輪培訓(xùn)就夠了。對3名工人進(jìn)行全能性培訓(xùn)，訓(xùn)練他們會開每一臺機(jī)器；而對其余5名工人，每人只培訓(xùn)一輪，讓他們每人能開動(dòng)一臺機(jī)器。這個(gè)方案實(shí)施后，不論哪5名工人上班，流水線總能工作。

8.證：以平面上9個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，A9表示9個(gè)數(shù)學(xué)家，如果兩人能通話，就把表示他們的兩點(diǎn)聯(lián)線，并涂上一種顏色（不同的語言涂上不同顏色）。此時(shí)有兩種情況：

（1）9點(diǎn)中有任意2點(diǎn)都有聯(lián)線，并涂了相應(yīng)的顏色。于是從某一點(diǎn)A1出發(fā)，分別與

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A2，A3，…，A9聯(lián)線，又據(jù)題意，每人至多能講3種語言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3種不同的顏色，由抽屜原理知，這8條線段中至少有2條同色的線段。不妨設(shè)A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語言通話。

（2）9點(diǎn)中至少有2點(diǎn)不聯(lián)線，不妨設(shè)是A1與A2不聯(lián)線。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。再由抽屜原理知，其中必有4條聯(lián)線從A1或A2 出發(fā)。不妨設(shè)從A1出發(fā)，又因A1至多能講3種語言，所以這4條聯(lián)線中，至少有2條聯(lián)線是同色的。若A1A3與A1A4同色，則A1，A3，A4這3點(diǎn)表示的3名數(shù)學(xué)家可用同一種語言通話。

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第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材分析：現(xiàn)行小學(xué)教材人教版在十一冊編入這一原理，旨在于讓學(xué)生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會用“抽屜原理”解決實(shí)際有關(guān)“存在”問題；通過猜測、驗(yàn)證、觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓孩子建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。

學(xué)情分析：使孩子經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣，感受到數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實(shí)際問題。

2、通過操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學(xué)難點(diǎn)：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實(shí)際問題加以“模型化”。

教學(xué)過程

一、游戲引入

3個(gè)人坐兩個(gè)座位，3人都要坐下，一定有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人。

這其中蘊(yùn)含了有趣的數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)（）枝鉛筆先猜一猜，再動(dòng)手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？

不管怎么放總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆?？傆惺鞘裁匆馑迹恐辽偈鞘裁匆馑?/p>

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數(shù)是多少呢？

1、3人坐2個(gè)位子，總有一個(gè)座位上至少坐了2個(gè)人2、4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒中，總有一個(gè)文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒中，6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒中。99支鉛筆放進(jìn)98個(gè)文具盒中。是否都有一個(gè)文具盒中

至少放進(jìn)2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達(dá)嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個(gè)文具盒里，總有一個(gè)文具盒至少放進(jìn)幾枝鉛筆？把7枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里呢? 8枝筆放進(jìn)2個(gè)文具盒呢? 9枝筆放進(jìn)3個(gè)文具盒呢？至少數(shù)=上+余數(shù)嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數(shù)學(xué)小知識

數(shù)學(xué)小知識：抽屜原理的由來最先發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律的人是誰呢？最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄里克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題的，后人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個(gè)規(guī)律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關(guān)在5個(gè)籠子里，至少有多少只兔子要關(guān)在同一個(gè)籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為什么？

4、六年級四個(gè)班的學(xué)生去春游，自由活時(shí)有6個(gè)同學(xué)在一起，可以肯定。為什么？

六、小結(jié)

這節(jié)課你有什么收獲？

七、作業(yè)：課后練習(xí)

第四篇：抽屜原理

抽屜原理

【知識要點(diǎn)】

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)基本原理，最先是由德國數(shù)學(xué)家狹利克雷明確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。

把3個(gè)蘋果放進(jìn)2個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里放了2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果。這個(gè)人人皆知的常識就是抽屜原理在日常生活中的體現(xiàn)。用它可以解決一些相當(dāng)復(fù)雜甚至無從下手的問題。

原理1：把n+1個(gè)元素分成n類，不管怎么分，則一定有一類中有2個(gè)或2個(gè)以上的元素。

原理2：把m個(gè)元素任意放入n（n＜m）個(gè)集合，則一定有一個(gè)集合呈至少要有k個(gè)元素。

其中 k＝ 商（當(dāng)n能整除m時(shí)）

商＋1（當(dāng)n不能整除m時(shí)）

原理3：把無窮多個(gè)元素放入有限個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里含有無窮多個(gè)元素?！窘忸}步驟】

第一步：分析題意。分清什么是“東西”，什么是“抽屜”，也就是什么作“東西”，什么可作“抽屜”。

第二步：制造抽屜。這個(gè)是關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計(jì)抽屜。根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)和確定解決問題所需的抽屜及其個(gè)數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。

第三步：運(yùn)用抽屜原理。觀察題設(shè)條件，結(jié)合第二步，恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用幾個(gè)原則，以求問題之解決。【例題講解】

例

1、教室里有5名學(xué)生正在做作業(yè)，今天只有數(shù)學(xué)、英語、語文、地理四科作業(yè)

求證：這5名學(xué)生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè)。證明：將5名學(xué)生看作5個(gè)蘋果 將數(shù)學(xué)、英語、語文、地理作業(yè)各看成一個(gè)抽屜，共4個(gè)抽屜 由抽屜原理1，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果。即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)。

例

2、木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出多少個(gè)球？ 解：把3種顏色看作3個(gè)抽屜

若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于3 大于3的最小數(shù)字是4 故至少取出4個(gè)小球才能符合要求 答：最少要取出4個(gè)球。

例

3、班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個(gè)學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學(xué)生看作50個(gè)抽屜，把書看成蘋果 根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多 即書至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。

例

4、在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。

解：把這條小路分成每段1米長，共100段

每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把101棵樹看作是101個(gè)蘋果 于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果 即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹

例5、11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本 試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同

證明：若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有A、B、C、D四種

若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種 共有10種類型

把這10種類型看作10個(gè)“抽屜” 把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”

如果誰借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜

由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同

例

6、有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝 試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同 證明：設(shè)每勝一局得一分

由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能 以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜 現(xiàn)有50名運(yùn)動(dòng)員得分 則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同

例

7、體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？

解：根據(jù)規(guī)定，同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍(lán)｝｛足足｝｛排排｝｛藍(lán)藍(lán)｝｛足排｝｛足藍(lán)｝｛排藍(lán)｝ 以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜 將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果

50÷9＝5.……5

由抽屜原理2：k＝商＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的

第五篇：抽屜原理

抽屜原理

一、起源

抽屜原理最先是由19 世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家迪里赫萊(Dirichlet)運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題的,所以又稱“迪里赫萊原理”,也有稱“鴿巢原理”的.這個(gè)原理可以簡單地?cái)⑹鰹椤鞍?0個(gè)蘋果,任意分放在9 個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果”.這個(gè)道理是非常明顯的,但應(yīng)用它卻可以解決許多有趣的問題,并且常常得到一些令人驚異的結(jié)果.抽屜原理是國際國內(nèi)各級各類數(shù)學(xué)競賽中的重要內(nèi)容,本講就來學(xué)習(xí)它的有關(guān)知識及其應(yīng)用.二、抽屜原理的基本形式

定理1,如果把n+1 個(gè)元素分成n 個(gè)集合,那么不管怎么分,都存在一個(gè)集合,其中至少有兩個(gè)元素.證明:(用反證法)若不存在至少有兩個(gè)元素的集合,則每個(gè)集合至多1 個(gè)元素,從而n 個(gè)集合至多有n 個(gè)元素,此與共有n+1 個(gè)元素矛盾,故命題成立.在定理1 的敘述中,可以把“元素”改為“物件”,把“集合”改成“抽屜”,抽屜原理正是由此得名.同樣,可以把“元素”改成“鴿子”,把“分成n 個(gè)集合”改成“飛進(jìn)n 個(gè)鴿籠中”.“鴿籠原理”由此得名.解答抽屜原理的關(guān)鍵：

假設(shè)有3 個(gè)蘋果放入2 個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜中有2 個(gè)蘋果，她的一般模型可以表述為：

第一抽屜原理：把（mn+1）個(gè)物體放入n 個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至少有（m+1）個(gè)物體。

若把3 個(gè)蘋果放入4 個(gè)抽屜中，則必然有一個(gè)抽屜空著，她的一般模型可以表述為：

第二抽屜原理：把（mn－1）個(gè)物體放入n 個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m—1）個(gè)物體。

抽屜原理一

把4 只蘋果放到3 個(gè)抽屜里去，共有4 種放法，不論如何放，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。

同樣，把5 只蘋果放到4 個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。

更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1 只蘋果放到n 個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所 學(xué)的數(shù)學(xué)知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個(gè)例子：如果將13 只鴿子放進(jìn)6 只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3 只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2 只鴿子，6 只鴿籠共放12 只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪 只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3 只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n 件的物品任意放到n 個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n 個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個(gè)抽屜里的物品都不多于m 件，這樣，n 個(gè)抽屜中可放物品的總數(shù)就不會超過m×n 件。這與多于m×n 件物品的假設(shè)相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個(gè)抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n 個(gè)抽屜中每 個(gè)都放入m 件物品，共放入（m×n）件物品，此時(shí)再放入1 件物品，無論放入哪個(gè)抽屜，都至少有一個(gè)抽屜不少于（m ＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當(dāng)m＝1 時(shí)，抽屜原理2 就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2 是抽屜原理1 的推廣。我們很容易理解這樣一個(gè)事實(shí)：把3 只蘋果放到兩個(gè)抽屜中，肯定有一個(gè)抽屜中有2 只或2 只以上的蘋果。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這一事實(shí)，就是：將n+1 個(gè)元素放入n 個(gè)集合內(nèi)，則一定有一個(gè)集合內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素（n 為正整數(shù)）。

這就是抽屜原理，也稱為“鴿籠（巢）”原理。這一原理最先是由德國數(shù)學(xué)家狄里克雷明確提出來的，因此，稱之為狄 里克雷原理。

抽屜原理還有另外的常用形式：

抽屜原理2：把m 個(gè)元素任意放入n(n < m)個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里至少有k 個(gè)元素，其中：

抽屜原理3：把無窮多個(gè)元素放入有限個(gè)集合里，則一定有一個(gè)集合里含有無窮多個(gè)元素。

抽屜原理又叫重疊原則，抽屜原則有如下幾種情形。

抽屜原則①：把n+1 件東西任意放入n 只抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩件東西。

抽屜原則②：把m 件東西放入n 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里至少有[m/n]件東西。

抽屜原則③：如果有無窮件東西，把它們放在有限多個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含無窮件東西。利用抽屜原則解題時(shí)，其關(guān)鍵是如何利用題中已知條件構(gòu)造出與題設(shè)密切相關(guān)的“抽屜”。