第一篇：高中平面解析幾何有效教學策略分析オ

高中平面解析幾何有效教學策略分析オ

平面解析幾何是高中數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，它是一門鍛煉學生解析能力、計算能力和作圖能力的綜合性學習內(nèi)容，同時也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題思想的思維鍛煉性學科.本文通過圖例結(jié)合的方式，聯(lián)系實際教學，詳細地闡述了高中平面解析幾何的教學策略和教學方式.高中解析幾何是高中數(shù)學學習中的重點和難點，由于它的題目思維鍛煉量大，題型靈活，所以部分同學難以完全理解平面解析幾何的解題方式，這也給老師的教學帶來了較大的困難.想要做到有效的教學，就應(yīng)該做到數(shù)圖結(jié)合，總結(jié)歸納簡潔明了的教學策略.這樣才能促進教學進程的推進.一、靈活利用平面幾何中的定義進行解答

定義是數(shù)學的基礎(chǔ)，根據(jù)長時間的教學經(jīng)驗，能夠靈活利用定義并嚴謹遵循定義進行解題的學生，往往在碰見變化多樣的難度較高的題型時，同樣可以做出漂亮的答案.就以下面的平面解析幾何中的最值問題為例.已知直線a滿足4x-3y+11=0，直線b滿足x=-1，同時，一個動點P在曲線C：y2=4x上運動，求動點P到直線a、b距離之和的最小值.根據(jù)定義，我們可以迅速畫出曲線圖.從P點向直線b作垂線段PQ，連結(jié)PF，動點P到直線b的距離可以轉(zhuǎn)化為線段PF，這樣便可看出距離和的最小值為F到直線a的距離d=3.所以，定義法是平面解析幾何中的金鑰匙，因為在定義法中明確的標明了定直線與定點以及定點與頂點間距離不變的關(guān)系，想要用最簡潔方便的方法解出這道題的答案，就應(yīng)該熟練掌握定義，并巧妙地加以運用，迅速找到最值問題中的突破口.而突破口一旦找到，問題也就迎刃而解.定義在數(shù)學中是最嚴謹?shù)拇嬖?，一切問題的延伸都依靠著定義的支撐.而定義有時卻是最繞口難懂，讓學生們最容易忽略的存在.部分老師有時甚至會在課堂上說“要是定義不懂就算了，能解題就行”之類的話，這樣不僅是給學生們一個錯誤的導向，更是大大降低了學生們的探知欲望.由此可見，定義的了解是多么重要，老師們在平時的教學中同樣也需要加以重視.[HJ]

三、不忽略備課的過程

對于高中平面幾何的教學，一般老師都擁有較多的參考書，上課講解的題目一般也是直接從參考書上照搬下來，有些老師不進行備課，直接按照數(shù)學書上的步驟講解，不給學生進行解題方法的拓展，甚至有時部分老師會直接讓學生看著書理解.這樣做不僅不能提高教學的效率，還會打擊學生的學習熱情.俗話都說“磨刀不誤砍柴工”，想要幫助學生“砍去”平面解析幾何這棵大樹，就不應(yīng)該荒廢教學備課這個“磨刀”的過程.同時，也只有備好課，認真篩選上課時講解的內(nèi)容，才能在課堂上用最精簡的時間，教出最好的效果，學生也能最大可能的吸收最多的知識.所以，想要在平面解析幾何中達到最有效的教學，備課是不可缺少的部分.高中平面幾何不僅是以后大學幾何學習中的基礎(chǔ)，學習習近平面幾何更是能夠鍛煉到學生們的空間能力和思維能力.平面幾何帶給學生們的有利影響是長久性的.想要學生學好平面幾何，除了平時的練習，更離不開老師的有效教學.老師在引導學生的道路上任重而道遠.

第二篇：平面解析幾何

? 《“平面解析幾何”復(fù)習教學的目標與設(shè)計》的學習心得體會

本人學習了《“平面解析幾何”復(fù)習教學的目標與設(shè)計》的視頻，感觸很深。授課老師能深入淺出的分析函數(shù)與導數(shù)高三復(fù)習的方法及注意點，并對相關(guān)知識的專題內(nèi)容進行分析，并對體系進行很好整理。在培養(yǎng)學生函數(shù)意識、掌握函數(shù)的思維方法、學會運用函數(shù)思想解決問題方面提出見解。對函數(shù)與導數(shù)專題蘊含的核心觀點、思想和方法進行剖析。通過學習，我認為在今后的數(shù)學教學中，要努力做好如下幾方面的工作。

? ?

一、《解析幾何》的教育價值

隨著時代的發(fā)展，人們對數(shù)學和數(shù)學教育本質(zhì)的認識在不斷地發(fā)展、變化與更新，數(shù)學已經(jīng)從單純的工具演變提升為所有公民所必備的一種精神、一種文化、一種觀念、一種思維方式，因此數(shù)學教育純粹向?qū)W生傳授知識和解題方法的單一化目標正在被包含“文理融合，德智兼顧，完善人格，提高素養(yǎng)”在內(nèi)的多元化、立體化目標所取代.《解析幾何》正是在這些方面顯示出非凡的教育價值.? 美國應(yīng)用數(shù)學家M·克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學》中指出：“數(shù)學是一種精神，一種理性的精神.正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵.”

? 《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》[1]在開頭也明確指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分”，“高中數(shù)學課程對于認識數(shù)學與自然界、數(shù)學與人類社會的關(guān)系，認識數(shù)學的科學價值、文化價值，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用.”

? 提到數(shù)學的理性精神，不能不說說愛因斯坦震撼人心的論述：“為什么數(shù)學比其它一切科學更受到特殊的重視？一個理由是，它的命題是絕對可靠和無可爭議的，而其它一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險之中.”《解析幾何》的所有命題就具有“連上帝”都認為“絕對可靠”與“無可爭議”的理性特征.? 世界文明全方位的進步越來越離不開數(shù)學理論、數(shù)學技術(shù)與數(shù)學思維.不僅自然科學與技術(shù)依靠著數(shù)學，就是社會人文科學也大量應(yīng)用著數(shù)學的理念、方法與思維方式.正如日本著名學者、數(shù)學教育家米山國藏所說：“我搞了多年的數(shù)學教育，發(fā)現(xiàn)學生們在初中、高中接受的數(shù)學知識因畢業(yè)進入社會后，幾乎沒有什么機會應(yīng)用這些作為知識的數(shù)學，通常是出校門不到

一、兩年就很快忘掉了.然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻于腦中的數(shù)學精神，數(shù)學的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”精辟深邃的見解在《解析幾何》中得到淋漓盡致的體現(xiàn).? 文[2]說：“數(shù)學在人類文明史中一直是一種主要的文化力量.?人類歷史上每一個重大事件的背后都有數(shù)學的身影：哥白尼的日心說，牛頓的萬有引力定律，無線電波的發(fā)現(xiàn)，三權(quán)分立的政治結(jié)構(gòu)，?等都與數(shù)學思想有密切的聯(lián)系.” ? 十六、七世紀，許多數(shù)學家在思考，能否找到一種可以解決所有數(shù)學問題的統(tǒng)一方法.雖然許多數(shù)學家沒有獲得成功，但在長期思索、探尋的過程中孕育著一項超越前人的，數(shù)學發(fā)展史，乃至科學發(fā)展史上劃時代、里程碑式的偉大成果，這就是法國數(shù)學家笛卡兒創(chuàng)立的《解析幾何》.? 笛卡兒長期思考用代數(shù)方法來研究幾何問題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察蜘蛛在墻角結(jié)網(wǎng)，那縱橫交錯的蛛絲網(wǎng)絡(luò)引發(fā)了他的靈感，那不正是“用代數(shù)方法來研究幾何問題”的絕佳工具嗎？基于此種構(gòu)想，平面直角坐標系以及解決幾何圖形問題的坐標法、解析法應(yīng)運而生，“數(shù)”和“形”神奇地結(jié)合了起來，函數(shù)、方程實現(xiàn)了視覺化、形象化；曲線與幾何圖形實現(xiàn)了數(shù)量化.點、線和曲線的運動與數(shù)量變化融為一體，并達到完美的境界，“動”與“靜”的辨證關(guān)系被刻畫得惟妙惟肖.對此，恩格斯給予了極高的評價：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了.”[3]

? 有了平面直角坐標系，在函數(shù)的研究中可充分發(fā)揮其圖像的優(yōu)勢，在方程的研究中又可發(fā)揮對應(yīng)圖形的優(yōu)勢，真是數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢互補，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐標系，可以將復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)表示在平面內(nèi)，構(gòu)建出復(fù)平面，使復(fù)數(shù)的研究逐步提升能到一個前所未有的高度.有了平面直角坐標系，隨著函數(shù)研究的逐步深入，發(fā)明了導數(shù)，于是推動現(xiàn)代化科學技術(shù)發(fā)展的微、積分誕生了.有了平面直角坐標系，人們又將平面向量表示成坐標(x，y)，那么平面向量的所有運算都可以實現(xiàn)坐標化，使有關(guān)問題的解決變得更加簡捷流暢，這是向量研究的重大突破.平面直角坐標系又發(fā)展到空間直角坐標系，于是誕生了空間向量、空間解析幾何.完全可以說，對大到宇宙天體中各種星球的運行，小到物質(zhì)的分子原子的結(jié)構(gòu)以及電子運動的研究，都可以歸結(jié)為對函數(shù)及其圖像、曲線及其方程的研究，都是以坐標系為重要工具，都與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣.下面的框圖以濃縮的方式揭示的就是源于坐標系而發(fā)展成的“一棵參天大樹”.? ? ? ?

? 進入高中的學生，隨著知識、技能、思想和閱歷的逐漸豐富，思維水平的長足提升，審美意識的開始樹立，辨證唯物主義世界觀的逐步形成，將實現(xiàn)從幼稚蒙昧的少年“破繭化蛹成蝶”的巨變，在學生整個人生發(fā)展的這個非常關(guān)鍵的時期，《解析幾何》的教學正是促進學生這種巨變的重要推動力.? 數(shù)學思維是人的綜合素質(zhì)中最重要的組成部分，廣闊性、深刻性、敏捷性、縝密性、創(chuàng)造性、批判性等數(shù)學思維的各種特性在《解析幾何》中都有極為豐富的背景內(nèi)容.從《解析幾何》中提煉出的各種數(shù)學思想可在極大的程度上豐富學生的大腦.從《解析幾何》中反映出的數(shù)學美是隨處可見的，問題是要能去發(fā)現(xiàn)、揭示和欣賞，并用這種美激發(fā)興趣，引發(fā)思維的創(chuàng)造.數(shù)學中充滿辨證法，對立統(tǒng)一的法則、矛盾的普遍性與特殊性、偶然性與必然性、矛盾雙方在一定條件可以互相轉(zhuǎn)化、量變到質(zhì)變等哲學基本原理，在《解析幾何》中都可以找到大量生動鮮活的實例.教師高瞻遠矚、縱橫捭闔，巧妙地將這些內(nèi)容編織進課堂教學之中，學生在感到賞心悅目、情趣盎然的同時，更會覺得自己的“思維得以運用到最完善的程度”，這是思維與各種能力趨于成熟的標志.? ?

二、《解析幾何》的教學建議

對《解析幾何》教育、教學價值的深刻理解，可使教師形成一種高屋建瓴的磅礴氣勢，能高瞻遠矚地洞悉整個教材的體系，以便將《解析幾何》當作一部“長篇巨著”，然后再將它創(chuàng)編為一集集既相互獨立，又有內(nèi)在聯(lián)系的“電視連續(xù)劇”，設(shè)計并實施科學性與藝術(shù)性雙具的一節(jié)節(jié)教學精品，以取得最大限度的教育、教學效益.為此，提出《解析幾何》教學的一些建議.? ? 1 突出主線 副線交叉 和諧統(tǒng)一

《解析幾何》的靈魂是“解析”，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的坐標法，這是貫穿于《解析幾何》教學的一條主線.但這條主線又與多條副線交叉組合，構(gòu)成了和諧統(tǒng)一的有機系統(tǒng).?(1)認識并處理好函數(shù)及其圖像與曲線及其方程的聯(lián)系與區(qū)別.雖然這兩者都是以坐標系為紐帶，但函數(shù)y=f(x)與二元方程F(x，y)=0有著本質(zhì)的區(qū)別.直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖像最多只能有一個公共點，而直線x=a與方程F(x，y)=0的曲線的公共點卻可以超過一個.在一定條件下，曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù).如由方程x2+y2=R2可解得，但這卻不能稱為函數(shù)，只有

與

? 才能稱為函數(shù).在這里，函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與方程的曲線實現(xiàn)了溝通.在解決有關(guān)弦長、圖形的面積、直線的斜率、離心率的問題中，常轉(zhuǎn)化為對目標函數(shù)的求解與研究.可見函數(shù)與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣，函數(shù)堪稱《解析幾何》中的一號副線.?(2)一般方程堪稱《解析幾何》中的二號副線.在研究曲線位置關(guān)系的問題中，常轉(zhuǎn)化為對一元二次方程的討論，判別式△的幾種情況、根與系數(shù)的關(guān)系就成了解決《解析幾何》中的“?？汀??(3)不等式堪稱《解析幾何》中的三號副線.不等式的性質(zhì)、不等式的求解、不等式的證明、均值不等式的應(yīng)用與《解析幾何》的綜合問題常處于各級各類考試試卷的把關(guān)位置.?(4)三角函數(shù)堪稱《解析幾何》中的四號副線.直線傾斜角、直線方程中x、y的系數(shù)中常含三角函數(shù)、圓的方程x2+y2=R2與橢圓方程? ?

a＞b＞0)的參數(shù)形式 等

都與三角函數(shù)有著密切的親緣關(guān)系.(5)平幾知識的頻繁介入.求動點的軌跡、解決有關(guān)圖形的問題，常與平幾圖形聯(lián)袂，“小小的”平幾知識常成為解決大問題的杠桿.直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、線段的中點常在《解析幾何》問題中扮演著重要“角色”.?(6)《解析幾何》的問題常與平面向量的運算、平行、垂直、夾角等攜手組成絢麗多姿的綜合題.(7)《立體幾何》與《解析幾何》的綜合.近年來發(fā)現(xiàn)一些與《立體幾何》有關(guān)的軌跡問題，是“立體”與“解析”兩大幾何的聯(lián)手，值得關(guān)注.在高中數(shù)學的選修部分，更進一步揭示了圓錐曲線與圓錐的淵源關(guān)系，是拓寬學生數(shù)學視野、豐富數(shù)學手段、發(fā)展思維的良機.?

? ?(8)數(shù)列知識的介入.雖然這類問題不是太多，但也應(yīng)值得重視.2 重研究對象，更重數(shù)學方法

? 從對象看，《解析幾何》研究的無非是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，但在研究它們的各種性質(zhì)與解決有關(guān)問題的過程更要重

? ? ? ? ? 視數(shù)學方法的構(gòu)建與應(yīng)用.最重要的、處于核心位置的 數(shù)學方法當屬坐標法，如右面的 框圖所示.以直角坐標系為工具，實現(xiàn)幾何條件的代數(shù)化，得到曲線(動點的軌跡)的方程，又在直角坐標系中結(jié)合方程研究曲線的性質(zhì)，深入理解這個方法的精髓，所有研究對象的性質(zhì)將成為顯然的幾何事實，記憶、掌握與運用就變得十分自然、順暢.? 以坐標法為樞紐，還要輔以若干重要的支線，總結(jié)一些另外的典型方法也是十分必要的.?(1)設(shè)直線l：y=kx+b與曲線 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，那么研究直線l與曲線C的位置關(guān)系就轉(zhuǎn)化為對這個方程的解的研究.當△＞0時，直線l與曲線C有不同的兩個交點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|=

.特別地，當k=1時，|AB|=，? =圖形中出現(xiàn)了等腰直角三角形.? 這就是著名的弦長公式，給長度、面積、最值，特別是求范圍等問題的解決提供了方便.但思維不可僵化，有時直線l的方程也可設(shè)為x=my+a，則可巧妙地避免對直線的斜率是否存在的繁瑣討論，當然這時的弦長公式就變?yōu)閨AB|=

.?

? 類似的結(jié)論固然須牢固掌握，但更重要的是要帶領(lǐng)學生一起來追尋它們形成的“歷史足跡”，重視與突出其推導過程.(2)增強應(yīng)用圓錐曲線定義的意識.現(xiàn)以橢圓為例.在坐標系xOy中，設(shè)定點F1(-c，0)、F2(c，0)，若動點M(x，y)滿足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)① ? ?

? 經(jīng)代數(shù)化，得 ②

? 則可化得橢圓的標準方程.? ? 橢圓的標準方程又可變形為在將②式化為標準方程的過程中，有一個過度式

③，?

? ? 進而可化為 ④

結(jié)合圖1，那么①②兩式以不同的形式展示了橢圓的第一定義，④ ? 式展示的是橢圓的第二定義，③式即，展示的是橢圓

? 的另一定義，不妨稱之為橢圓的第三定義.由④式還可得|MF2|=a-ex，其中

? 的就是橢圓的離心率.這樣就將橢圓的三個定義與橢圓的準線、離心

? 率、橢圓的焦半徑公式融為一體，組成一個完整的知識體系.不過，在③式中，由于x≠±a，所以必須增補點(a，0)與(-a，0)，才能得到一個完整的橢圓.?(3)“將幾何條件代數(shù)化”當然是求動點軌跡的最重要的基本方法，但此外還要總結(jié)另外一些典型的方法，如定義法、參數(shù)法、反代法.現(xiàn)僅以反代法為例，闡述其基本形式.? 設(shè)已知曲線C：F(x，y)=0上的一動點P(x0，y0)，Q(x，y)是與P相關(guān)的動點，則求點Q的軌跡方程按以下步驟進行：

? 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

?o

求相關(guān)

條件方程組：由P與Q的相關(guān)條件得

?

?

? 3o求反代式：由上述方程組解得用x、y表示x0、y0的反代式 ?

? 4o反代置換：將反代式代入①式，即得Q點的軌跡方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.?(4)曲線的切線越來越受到重視.圓的切線自不必說，其他曲線的切線，一方面可用上面(1)所說的△=0來解決，但更值得關(guān)注的是有關(guān)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的切線的問題，常用導數(shù)方法來解決.?(5)一個典型奇特的方法，即同構(gòu)式的應(yīng)用.限于篇幅，這里僅舉一例.? A、B是拋物線y=x2的上的兩個動的動點，O是原點，若OA⊥OB，過O作OH⊥AB于H，求H點的軌跡方程.? ? ? ? ? 設(shè)A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以O(shè)A為直徑的圓的方程是化為

同理，由以O(shè)B為直徑的圓的方程，得②③兩式中，只是t的下標數(shù)字不同，其余的結(jié)構(gòu)完全相同，兩式一“碰撞”，下標消失，得

? ?

④

則t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，所以t1t2=-(x2+y2)，結(jié)合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).這就是欲求的H點的軌跡方程.②③兩式叫做同構(gòu)式，從初中到高中，無數(shù)問題的解答都可以仰仗同構(gòu)式的奇特功能.這里展示的是同構(gòu)式的最單純的形式，當然還有許多變化，但再復(fù)雜的相關(guān)問題其基本原理與之是一致的.? ?

? ? 3 體現(xiàn)學生的“四個主體”

“四個主體”指的是樹立學生的主體精神，強化學生的主體意識，確立學生的主體地位，發(fā)揮學生的主體作用.弘揚學生的“四個主體”，但決不意味著削弱教師的主導作用，反而對教師的主導作用提出了更高層次的要求.僅舉一個課例：《直線的傾斜角和斜率》.? 在講授選擇傾斜角的什么三角函數(shù)值為直線的斜率時，學生會質(zhì)疑，為什么不選正弦或余弦，而偏要選正切？教師不可用“這是規(guī)定”來搪塞，而要發(fā)動學生進行深入的討論、爭辯，教師以平等的身份參與其中，用詼諧幽默的語言進行點撥、啟發(fā)、誘導和評析.? 直線傾斜角的取值范圍是，現(xiàn)在分別畫出y=sinx、y=cosx、y=tanx在區(qū)間上的圖像(如圖2、3、4)，讓它們來個“公開、公平、公正、透明的競聘”，看到底哪個函數(shù)能“勝出”.? ? y=sinx在區(qū)間上的值都是非負的，且對于不同的角，可能有相同的函數(shù)值，它失去了“當選”的資格；y=cosx在區(qū)間上的值域為-1，1]，且=0，而當傾斜角為時，直線垂直于x軸，此時說“直線的斜率為0”，不合情理，它也不具備“勝出”的條件；可是y=tan在與上分別是增函數(shù)，對應(yīng)于直線斜率從負無窮逐漸增大到0；從0逐漸增大到正無窮，而當垂直于x軸，tan情合理地認定tan? ?

時，直線

不存在，即直線的斜率不存在，直線就一點也不傾斜了，多么自為直線的斜率.然與和諧！學生哈哈大笑，在笑聲中領(lǐng)悟了多方面知識的實質(zhì)，并達成了共識，合4 優(yōu)化思維品質(zhì)是教學的核心內(nèi)容

數(shù)學是思維的科學，數(shù)學教學的根本任務(wù)就是優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，所有知識、技能、思想的理解、接受、掌握與運用都有著思維活動的深刻與豐富的背景，所以在《解析幾何》教學的始終都要將這個重要目標放在首位.? 前文中的所有框圖雖然不必向?qū)W生講述，但只有當教師深刻理解后才能做到“底氣足”、理直氣壯.選擇傾斜角的正切函數(shù)作為直線的斜率涉及覆蓋了眾多的知識與技能.體現(xiàn)的是思維廣闊性.? 關(guān)于橢圓的三個定義的討論，將原本似乎彼此無關(guān)的內(nèi)容納入到一個體系之中，反映的是思維的深刻性.在不同的問情境中迅速識別、判斷與檢索，如應(yīng)用反代法、同構(gòu)式，是思維敏捷性的體現(xiàn).在求動點軌跡方程時，需要去掉那些點，補上哪些點，以保證軌跡與方程的完備性與純粹性，反映的是思維的縝密性.直線方程設(shè)為x=my+a、由方程②③判斷t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，不拘一格、別出心裁，顯示的是思維的創(chuàng)造性.檢驗軌跡和方程是否保證完備性與純粹性、拋物線等圓錐曲線的定義中的“定點”必須在“定直線外”、橢圓定義中的“定長”必須“大于|F1F1|”等，顯示的都是思維的批判性.?

?

?

?

? ? 5 用數(shù)學的人文精神關(guān)懷學生的人文發(fā)展

數(shù)學雖然是理科，但其中飽含的人文精神對于學生綜合素養(yǎng)的提高起著舉足輕重的作用.關(guān)鍵是要做到有機結(jié)合、潛移默化、潤物無聲.前文談到笛卡兒創(chuàng)立了《解析幾何》，竟將時間精確到年、月、日與“傍晚”時刻，使這個故事更具震撼力與穿透力.教師還可“借題發(fā)揮”：笛卡兒的創(chuàng)造看似偶然，? 但必然性包含在偶然性之中，偶然的創(chuàng)造發(fā)明是長期殫精竭慮、思索探尋的必然結(jié)果.請問笛卡兒是在多大歲數(shù)時作出了這項創(chuàng)造？學生會回應(yīng)：23歲！那么“有志不在年高，無志空長百歲”的箴言則躍然紙上.? 恩格斯說：“數(shù)學中充滿辨證法.”又說：“數(shù)學：辨證的輔助工具和表現(xiàn)形式.”[4]，所以文[1]規(guī)定了高中數(shù)學教育的一項重要目標，那就是樹立學生的“辯證唯物主義的世界觀.”

? “學生聽不懂所講解的辯證法”，這種擔心是多余的，只要你理解透徹了，結(jié)合具體鮮活形象的事例，運用通俗淺顯的語言，學生是能領(lǐng)會的.如直線l：y=kx+b，若k是變量，b是常量，則直線l就在平面內(nèi)圍繞點(0，1)作旋轉(zhuǎn)運動；若b是變量，k是常量，則直線l就在平面內(nèi)作斜率為定值的平行移動.這種“動中寓靜，變中求定”的特征就是對立統(tǒng)一法則的生動體現(xiàn).? 再如“量變到質(zhì)變”的基本原理，在《解析幾何》中可找到無數(shù)生動的事例.點與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系、曲線與曲

? ? 線的位置關(guān)系，都能深入淺出地揭示這一原理.再如圖5，設(shè)平面內(nèi)的一 條定直線l以及l(fā)外的一個定點F，平面內(nèi)的動點P、Q、R到直線l的距

? 離分別為PN、QN、RN，若，則P點的軌跡是橢圓；若1，? ? 則Q點的軌跡是拋物線；若，則R點的軌跡是雙曲線.量的不斷

積累，超越一定的界值，就會發(fā)生質(zhì)的變化，或說飛躍，淺顯之中反映的是深刻的道理，且能引發(fā)諸多聯(lián)想.另外，數(shù)學美對于情操的熏陶、數(shù)學美對于創(chuàng)造思維的誘發(fā)、優(yōu)良的意志品質(zhì)在解決問題過程的巨大作用、對科學真理不懈的追求與舍命的堅持、為全球人類造福的獻身精神，都可以巧妙地融入《解析幾何》的教學之中.?

? 行文至此，深深地感到，通過《解析幾何》的教學，可實現(xiàn)師生的互惠雙贏。

第三篇：高中解析幾何教學策略——數(shù)學史的視角總結(jié)

高中解析幾何教學策略——數(shù)學史的視角

李鐵安

宋乃慶

【摘要】充分發(fā)揮數(shù)學史對數(shù)學教育的作用和功效，應(yīng)全面深入挖掘數(shù)學史中對數(shù)學課程具有啟發(fā)意義和教育價值的科學與文化要素，并應(yīng)用于具體的數(shù)學教學．笛卡爾解析幾何思想是一個整體文化系統(tǒng)．以笛卡爾數(shù)學思想的文化內(nèi)涵為素材，制訂高中解析幾何教學策略，可以有效地促進高中解析幾何教學，從而更好地實現(xiàn)課程目標．基于笛卡爾數(shù)學思想，可制訂如下具體的教學策略：（1）整體文化驅(qū)動；（2）核心概念統(tǒng)領(lǐng)；（3）思想結(jié)構(gòu)分拆整合；（4）雙向模式轉(zhuǎn)化．

關(guān)鍵詞：數(shù)學史 笛卡爾 解析幾何 導 言

立足于數(shù)學史的視角審思數(shù)學，對認識、理解數(shù)學教育具有啟發(fā)意義．數(shù)學史有機地融入到數(shù)學教育中也是數(shù)學新課程的基本理念之一．要充分發(fā)揮數(shù)學史對數(shù)學教育的作用和功效，應(yīng)全面深入挖掘數(shù)學史中對數(shù)學課程具有啟發(fā)意義和教育價值的科學與文化要素，并應(yīng)用于具體的數(shù)學教學．本文通過分析挖掘笛卡爾解析幾何思想的科學與文化內(nèi)涵，并基于笛卡爾數(shù)學思想，提出高中解析幾何教學的若干策略． 高中解析幾何課程與教學現(xiàn)狀概述

高中解析幾何課程是一門以解析幾何學的基本內(nèi)容和思想為背景材料，用代數(shù)方法研究平面幾何問題的學科．課程內(nèi)容主要包括空間坐標系、直線與圓的方程、圓錐曲線、參數(shù)方程與極坐標等．這些內(nèi)容是初中平面幾何學習的繼續(xù)、內(nèi)容的擴充、方法的提升，是初等代數(shù)演繹的載體、應(yīng)用的平臺，是學生升入大學繼續(xù)學習空間解析幾何、線性代數(shù)和微積分的基礎(chǔ)．高中解析幾何課程在整個初等數(shù)學中占據(jù)非常重要的地位．高中解析幾何既是一種重要的數(shù)學思想，也是一種重要的數(shù)學方法，其核心是數(shù)形結(jié)合的思想方法，這一思想方法在初等數(shù)學的其它領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用．同時，在解決解析幾何問題過程中，還要用初等數(shù)學中許多其它的思想方法，如映射、化歸、方程、函數(shù)、分類、變換、參數(shù)等思想方法，高中解析幾何可謂數(shù)學思想的“戰(zhàn)場”．所以，高中解析幾何課程具有培養(yǎng)學生數(shù)學綜合能力的功效．而且，解析幾何學是17 世紀數(shù)學發(fā)展的重大成果之一，對數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了重要影響，它的創(chuàng)立在數(shù)學發(fā)展史上具有劃時代意義．也蘊涵著笛卡爾獨樹一幟的數(shù)學精神、思想和方法，個性品質(zhì)以及發(fā)明創(chuàng)造的思維線索和心理歷程．因此，高中解析幾何課程更具有豐富的文化價值和教育價值，是提高學生科學素養(yǎng)和整體文化認知水平的一個典型范例．然而，目前高中解析幾何課程在實施過程中沒有全面、完整、準確、有效地實現(xiàn)課程目標．調(diào)查結(jié)果表明，高中解析幾何教學還存在諸多問題．主要表現(xiàn)在如下幾個方面：

（1）教師對解析幾何課程的本質(zhì)及其教學宗旨存在一定的偏頗或欠缺；（2）課程目標和教學內(nèi)容偏窄；（3）課程目標與教學實際背離；

（4）教學方式單一，課堂缺乏探究與交流；

（5）學生對解析幾何課程的理解膚淺，學習興趣初濃漸淡；（6）高考評價導向存在一定的偏頗或欠缺．

具體地，絕大多數(shù)教師往往認為解析幾何的學科性質(zhì)是偏重于代數(shù)的，學生學習解析幾何的宗旨就是要學會代數(shù)計算和代數(shù)方法；課程目標就是讓學生學會列方程，熟練解方程，即使注重數(shù)形結(jié)合這一核心思想，也側(cè)重于幾何問題代數(shù)化這單一的方面；教學上偏重于列方程和解方程，以訓練算法為主，靠做大量習題提高代數(shù)技巧，忽視對代數(shù)結(jié)果的幾何含義分析，忽視幾何方法的簡潔性和有效性，甚至有去幾何化的傾向，很少介紹解析幾何產(chǎn)生的背景，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的思想方法，它在數(shù)學史中的獨特地位，以及這一學科的巨大威力．對解析幾何這種簡單的處理，使許多學生在解析幾何課程學習中沒有感受到它的科學價值、文化價值和教育價值；學生學習方法單調(diào)，思維方式單一，沉湎于機械訓練，直覺思維和創(chuàng)造力受阻，學習興趣初濃漸淡，終因難而厭．不容忽視的是，高考數(shù)學試題中解析幾何的內(nèi)容也多以列方程、解方程的題材為主，學生在高考中，涉及解析第2 期 李鐵安等：高中解析幾何教學策略——數(shù)學史的視角 91幾何內(nèi)容的題目的得分從總體上看并不低，這也在客觀上影響了目前高中解析幾何教學的導向．

改變目前高中解析幾何課程與教學的現(xiàn)實境況，探索如何在數(shù)學新課程理念下科學、有效地實施解析幾何課程，就顯得十分必要而迫切．一種可行的策略是充分借助數(shù)學史的力量．通過分析挖掘笛卡爾創(chuàng)立解析幾何過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想，并基于笛卡爾數(shù)學思想制訂教學若干策略，可以有效地促進高中解析幾何教學，從而更好地實現(xiàn)課程目標． 笛卡爾解析幾何思想的內(nèi)涵——數(shù)學文化學的視角

數(shù)學文化學是指從文化這樣一個特殊的視角認識、理解、分析數(shù)學．由于影響數(shù)學發(fā)展的文化因素是多方面的，數(shù)學也具有廣泛的文化特征與文化價值，所以，數(shù)學文化學就從更為廣泛的角度指明了影響數(shù)學歷史發(fā)展的各個因素，而且也直接涉及了對于數(shù)學本質(zhì)及其價值的認識[1]．數(shù)學文化學是數(shù)學史研究的一個重要范式．通過數(shù)學文化學分析數(shù)學，既可以厘清影響數(shù)學發(fā)展的各個因素，也可以充分解析出數(shù)學的文化價值．

以數(shù)學文化學為分析框架分析笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，本文認為，笛卡爾解析幾何思想是一個整體文化系統(tǒng)．具體從以下6 個方面體現(xiàn)：

（1）歷史淵源：文化全面復(fù)興；生產(chǎn)高度發(fā)展；科學和數(shù)學本身提出了大量問題；數(shù)學觀和數(shù)學方法論發(fā)生了重大變化．

（2）數(shù)學結(jié)構(gòu)：笛卡爾解析幾何思想的數(shù)學結(jié)構(gòu)由核心概念，基本方法，數(shù)學原理3 個層次構(gòu)成．核心概念是曲線與方程，基本方法是幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化，數(shù)學原理是映射原理（或化歸原則）．笛卡爾解析幾何思想的數(shù)學結(jié)構(gòu)是其整體文化系統(tǒng)的核心．

（3）科學價值：將變量和坐標觀念引入了數(shù)學，開創(chuàng)了近現(xiàn)代數(shù)學的先河；提出了一切問題都可以歸結(jié)為解方程問題的“通用數(shù)學”方案，開創(chuàng)了機械化的數(shù)學計算方法；提出了將數(shù)學作為一種方法科學的直觀—演繹法的方法論，使科學方法論實現(xiàn)了革命性的突破．

（4）哲學表現(xiàn)：反映了客觀世界的3 方面特征——運動變化性，普遍聯(lián)系性，永恒統(tǒng)一性；呈3 個方法層次——具體化的數(shù)學方法，一般化的科學方法，普適化的哲學方法．

（5）認識模式：問題解決的思維線索依直覺思維→抽象思維→演繹思維→歸納思維而進行；創(chuàng)造的心理歷程按照觀念選擇→審美直覺→有用提取→有效組合的心理邏輯展開．

（6）個性品質(zhì)：理性化的哲學素養(yǎng)和統(tǒng)一化的數(shù)學信念；懷疑、批判的創(chuàng)新精神和合理繼承前人成果的包容精神；對數(shù)學簡約美、和諧美和統(tǒng)一美的審美追求．作為一個整體文化系統(tǒng)的笛卡爾解析幾何思想，其中的每一個子系統(tǒng)之間是互相關(guān)聯(lián)的（見圖1）． 圖1 笛卡爾數(shù)學思想的內(nèi)涵 高中解析幾何教學策略——基于笛卡爾數(shù)學思想的視角

4.1 策略一——整體文化驅(qū)動

文化驅(qū)動的概念可以界定為：以文化所固有的力量推動人的發(fā)展．這里的整體“文化驅(qū)動”策略就是指在高中解析幾何課程教學的啟動環(huán)節(jié)，以笛卡爾數(shù)學思想的文化內(nèi)涵為素材驅(qū)動教學． 4.1.1 文化驅(qū)動數(shù)學教學的意義與功能（1）文化驅(qū)動教學可以內(nèi)化學生精神空間的開豁度．教育的主題是喚醒人的超越性，超越需要開闊的精神空間．崇高的信念、理性的素質(zhì)、高尚的情感是課程內(nèi)容中的文化精髓，對于學生，這些因素的相互滲透、化通，可以拓展精神空間的高度，支撐精神空間的結(jié)構(gòu)，涵育精神空間的厚度，并最終整合成一個有力的精神性存在．精神空間的開豁度是科學創(chuàng)造的重要因素，牛頓、愛因斯坦，包括本文所涉及的笛卡爾等科學史上諸多具有非凡創(chuàng)造力的科學家，他們之所以能夠創(chuàng)造出劃時代的科學成就，其中一個很重要的因素就是具有比常人更崇高的信念，更深邃的洞察力和更遼遠的視野．所以，文化驅(qū)動教學可以內(nèi)化學生精神空間的開豁度，更好地實現(xiàn)精神超越．從而，提升人的創(chuàng)新素養(yǎng)和創(chuàng)造能力．

（2）文化驅(qū)動教學可以促進學生整體認知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展．現(xiàn)代認知心理學認為，興趣、性格、動機、情感、意志等基本心理因素相互作用，構(gòu)成個體學習過程的心理環(huán)境和認知驅(qū)力，它是影響意識指向的直接環(huán)境和內(nèi)在動力．那么，如何讓這種內(nèi)在動力啟動起來呢？就是充分利用課程本身的誘因（incentive）價值．所謂誘因，即一切能引起機體產(chǎn)生動機性行為的外部刺激[2]．課程本身的誘因價值可以驅(qū)動學生的學習[3]．利用課程中廣泛的文化要素，可以為學生提供一個龐大的信息資源，直接刺激學生學習過程的心理環(huán)境，對學生學習興趣、動機，品質(zhì)等非智力因素和學生的感知、注意、思維、想象等智力因素的形成與發(fā)展都會產(chǎn)生積科學價值認識模式歷史淵源個性品質(zhì)數(shù)學結(jié)構(gòu)哲學表現(xiàn)笛卡爾數(shù)學思想的內(nèi)涵（一個整體文化系統(tǒng)）極影響．因此，文化驅(qū)動教學可以促進學生整體認知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展．

（3）文化驅(qū)動數(shù)學教學可以全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)．文化是數(shù)學的基本特征．高度抽象性、邏輯嚴謹性、應(yīng)用廣泛性、不斷累積性、永恒競智性、審美驅(qū)動性、和諧統(tǒng)一性及它們之間的交互作用構(gòu)成了龐大的數(shù)學文化系統(tǒng)．以文化驅(qū)動數(shù)學教學可以全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)．思維的抽象性可以牢固信念并挑戰(zhàn)智力；推理的嚴謹性可以培養(yǎng)良好的思維習慣和品質(zhì)；知識的系統(tǒng)性以及問題的復(fù)雜性，可以涵育堅強的意志和學習態(tài)度；數(shù)學累積性可以激發(fā)

創(chuàng)新意識、開闊歷史視野；審美驅(qū)動性與和諧統(tǒng)一性可以完善數(shù)學觀和對數(shù)學美的情感體驗． 4.1.2 文化驅(qū)動解析幾何教學的意義與功能

數(shù)學教學是數(shù)學思想的教學．但數(shù)學創(chuàng)造中，數(shù)學家的信念品質(zhì)、價值判斷、審美追求等文化因素的暗流總是涌動在知識和真理成分的背后．數(shù)學思想教學的哲學意義在于，讓學生透過數(shù)學知識和真理的“冰冷的美麗”背后，了解是什么樣的一種深層文化預(yù)先存在于數(shù)學家的預(yù)設(shè)中，使他能夠形成這樣的思想和創(chuàng)造，并進入學生自己的心靈．笛卡爾數(shù)學思想具有廣泛而深刻的文化內(nèi)涵，是一個整體文化系統(tǒng)．所以，高中解析幾何課程教學應(yīng)尤其突出解析幾何思想的教學．以笛卡爾數(shù)學思想的文化內(nèi)涵為素材，在課程教學的啟動環(huán)節(jié)驅(qū)動解析幾何教學，可以讓學生對解析幾何產(chǎn)生的文化和歷史背景、基本思想和學科特點以及笛卡爾創(chuàng)立解析幾何時的數(shù)學信念、數(shù)學思維、心理模式、個性品質(zhì)等有一個整體性認識，為學生營造一個渴望認知、理解和掌握知識的、深富吸引力的學習情境，從而激發(fā)學生學習的原動力，使學生形成立體的認知結(jié)構(gòu)，也為解析幾何基本思想的全面展開奠定基礎(chǔ)．

奧蘇伯爾（Ausubel）曾提出先行組織者（advanceorganize）概念，即：組織者是先于學習材料呈現(xiàn)之前而呈現(xiàn)的一個引導性材料．它在概括與包容的水平上高于要學習的材料，但以學習者通俗易懂的語言呈現(xiàn)，故它是新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁．文化驅(qū)動解析幾何教學正可以作為課程教學的先行組織者． 4.1.3 整體文化驅(qū)動策略實施具體方案

設(shè)置一個導言課，安排在解析幾何課程開始之初．教學主題：追尋笛卡爾數(shù)學思想的蹤跡——解析幾何課程內(nèi)容及學科思想介紹

教學內(nèi)容：

（1）笛卡爾生平簡介（2）歷史背景簡介

（3）笛卡爾創(chuàng)立解析幾何構(gòu)思過程（4）解析幾何的創(chuàng)新與意義（5）笛卡爾信念、精神與品質(zhì)（6）解析幾何中的哲學思想

教學方式：講座，師生交流，學生課后作文 課時安排：以2 學時為宜 4.2 策略二——核心概念統(tǒng)領(lǐng)

所謂核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略，就是以曲線與方程概念為核心，總體統(tǒng)領(lǐng)解析幾何知識結(jié)構(gòu)，開展教學． 4.2.1 核心概念統(tǒng)領(lǐng)的意義與功能

曲線與方程概念是數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)核，也是直線方程、圓方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程的上位概念，解析幾何知識結(jié)構(gòu)直接依曲線與方程概念而展開．因此，曲線與方程概念在解析幾何知識結(jié)構(gòu)中居統(tǒng)領(lǐng)地位．

核心概念統(tǒng)領(lǐng)解析幾何教學，可以讓學生更好地了解和理解解析幾何中基本概念（曲線與方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方法（數(shù)形結(jié)合思想方法）和研究對象（直線和各種二次曲線）之間的邏輯關(guān)聯(lián)，加深對解析幾何課程的深入理解和整體把握，使學生獲得普遍的認知遷移，使學科基本觀念在記憶中得到鞏固，為學生深刻理解解析幾何的基本思想搭建平臺．

4.2.2 核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略的原理歸結(jié)

布魯納（Bruner）認為，學科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，知識的整體性和事務(wù)的普遍聯(lián)系是學科的基本結(jié)構(gòu)．不論教什么學科，務(wù)必使學生理解該學科的基本結(jié)構(gòu)．這種基本結(jié)構(gòu)是學生必須掌握的科學因素，應(yīng)該成為教學過程的核心，因為學生如果掌握了學科知識的基本結(jié)構(gòu)，他就可以獨立地面對并深入新的知識領(lǐng)域，從而不斷地、獨立地認識新問題，增多新知識．為此，它強調(diào)：學習和掌握每門學科中那些廣泛起作用的概念、定義、原理和法則體系是最好的辦法．學生學到的觀念越是基本，幾乎歸結(jié)為定義，則它對新問題的適用性越寬廣．

同樣的觀點也在奧蘇伯爾的意義學習理論中體現(xiàn)．奧蘇伯爾認為，學生的學習，如果要有價值的話，應(yīng)該盡可能地有意義，即意義學習．意義學習的先決條件之一就是要盡可能先傳授學科中具有包攝性、概括性和最有說服力的概念和原理，以便學生能對學習內(nèi)容加以組織和綜合．

曲線與方程概念是對解析幾何內(nèi)容廣泛起作用的最基本概念，也是解析幾何知識結(jié)構(gòu)中具有包攝性、概括性和最有說服力的概念．顯見，以曲線與方程概念為核心的核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略，正符合布魯納關(guān)于學科基本結(jié)構(gòu)的教育原理，也符合奧蘇伯爾關(guān)于意義學習的原理．

4.2.3 核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略的具體實施

設(shè)置一個奠基課，安排在解析幾何正課的第一節(jié)．教學主題：解析幾何核心概念的形成與課程知識結(jié)構(gòu)教學內(nèi)容：

（1）曲線與方程概念形成過程——幾何量算術(shù)化—構(gòu)造代數(shù)方程—求解軌跡方程—形成核心概念（2）曲線與方程定義——存在性與完備性

（3）數(shù)形結(jié)合基本思想——幾何問題代數(shù)化—代數(shù)問題幾何化—代數(shù)化與幾何化統(tǒng)一（4）解析幾何基本原理——映射（化歸）

（5）解析幾何知識結(jié)構(gòu)——概念、思想、原理、研究對象（曲線類型）及其關(guān)系教學方式：講授，師生交流、探索

課時安排：以2 學時為宜 4.3 策略三——思想結(jié)構(gòu)分拆

所謂思想結(jié)構(gòu)分拆策略，就是在解析幾何教學中，將數(shù)形結(jié)合思想的兩個方面——幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化做獨立要素分析．

4.3.1 思想結(jié)構(gòu)分拆的意義與功能

數(shù)形結(jié)合思想的教學是高中解析幾何教學的核心．但數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何課程內(nèi)容中的體現(xiàn)往往并不是顯性的，并且，由于幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化本身是融為一體的，這直接導致學生對數(shù)形結(jié)合思想的理解處于一種模糊狀態(tài)，不能形成牢固的幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化觀念．在解析幾何教學中，實施思想結(jié)構(gòu)分拆教學策略，有助于學生形成完整、清晰、穩(wěn)定、持久、良序的認知結(jié)構(gòu)和認知層次，使學生全面掌握和靈活應(yīng)用解析幾何基本思想．分拆是手段，通過分拆，擴散信息，展示思想結(jié)構(gòu)的邏輯意義，使學生對信息的檢索更加容易進行，便于知識的提取，能夠清晰識別和領(lǐng)會思想方法；分拆的目的在于整合，整合是目標，在幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化之間建立高強度的聯(lián)系，使學生牢固觀念．所以，思想結(jié)構(gòu)分拆教學策略，重在分拆，旨在整合． 4.3.2 思想結(jié)構(gòu)分拆策略的認知原理

現(xiàn)代數(shù)學學習理論認為：數(shù)學學習是一個數(shù)學認知過程．因此，要對數(shù)學形成過程中的內(nèi)部認知加以分析．數(shù)學思想的學習要經(jīng)歷從感性到理性，從領(lǐng)會到形成，從鞏固到應(yīng)用的發(fā)展過程．數(shù)形結(jié)合思想學習的心理建構(gòu)過程需要經(jīng)歷以下4 個階段：

（1）辨認（identifica-tion）：先通過曲線與方程的概念學習，確認數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個方面——幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化；

（2）分化（differential）：幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化對心理產(chǎn)生不同的刺激反應(yīng)；（3）交互（reciprocal）：幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化以彼此對立的方式在心理上運行；（4）內(nèi)化（intenalization）：此時的數(shù)形結(jié)合思想，以一種綜合的心理圖式轉(zhuǎn)化為內(nèi)部觀念．

與之相對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合思想的教學策略應(yīng)該是首先學習曲線與方程的概念，讓學生確認數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個方面——幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化，顯然，這可以在前面核心概念統(tǒng)領(lǐng)策略這一環(huán)節(jié)中實現(xiàn)；然后，對數(shù)形結(jié)合思想進行分拆，將其分解為幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化這兩種彼此獨立的方法；再對這兩種方法做獨立要素分析，最后，整合為一種統(tǒng)一的思想．

事實上，思想結(jié)構(gòu)的分拆，是一種解析的方法．這恰可以從笛卡爾本人的哲學方法論中找到皈依．笛卡爾曾給出了獲得正確知識的方法：為了把一個問題簡化成便于理性處理的要素，應(yīng)該把它分解開來，盡量由簡入繁．這意味著，解析的方法是最有效的． 4.3.3 思想結(jié)構(gòu)分拆策略的具體實施

此策略主要是強調(diào)幾何問題代數(shù)化后，要對代數(shù)結(jié)果做幾何意義的分析．通常在建立直線、圓、圓錐曲線等曲線方程和解決具體問題中實施．如對于橢圓概念教學，在推導橢圓標準方程的過程中，通過幾何問題代數(shù)化，可得到橢圓的第一定義；通過中間代數(shù)結(jié)果變形，新的代數(shù)結(jié)果幾何化，同時可得到橢圓的第二定義．這樣，兩種方法的功能可以清晰地體現(xiàn)出來，也可使學生理解兩個定義之間的內(nèi)在統(tǒng)一． 4.4 策略四——雙向模式轉(zhuǎn)化

所謂雙向模式轉(zhuǎn)化策略，就是將解析幾何中的代數(shù)模式與幾何模式進行互相轉(zhuǎn)化，它是思想結(jié)構(gòu)分拆的具體操作．

4.4.1 雙向模式轉(zhuǎn)化策略的意義與功能

目前高中解析幾何教學更多地側(cè)重于幾何問題代數(shù)化這單一的方面，忽視或忽略對代數(shù)結(jié)果的幾何含義的分析，因而代數(shù)問題幾何化方法沒有得到充分體現(xiàn)，這也直接導致學生對數(shù)形結(jié)合思想理解的缺失．笛卡爾通過建立坐標系，使圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，這的確是解析幾何的基本方法．但在合適的坐標系下，某些代數(shù)問題也同樣可以轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理．事實上，在笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的過程中，他本人已經(jīng)敏銳地看到了這一點，利用圓與拋物線的交點求三次和四次代數(shù)方程就是代數(shù)問題幾何化的一個經(jīng)典實例[4]．解析幾何在處理代數(shù)問題和幾何問題上是一個“雙刃工具”[5]．通過代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)構(gòu)，可以強化代數(shù)直觀；借助坐標系并利用幾何性質(zhì)對幾何結(jié)構(gòu)做代數(shù)解析，可以強化幾何直觀．因此，在高中解析幾何教學中，應(yīng)強化雙向模式的轉(zhuǎn)化，尤其應(yīng)加強代數(shù)問題幾何化的教學．這不僅是讓學生完整地學習解析幾何思想方法的課程目標的需要，也可以培養(yǎng)學生逆向思維、直覺思維和抽象思維等能力，提升學生的模型意識和數(shù)學地分析解決問題的能力．

4.4.2 雙向模式轉(zhuǎn)化的方法論原則

解析幾何中的數(shù)學模式從宏觀上看包括代數(shù)模式和幾何模式，并直接體現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合思想上．幾何模式轉(zhuǎn)化為代數(shù)模式就是幾何問題代數(shù)化；代數(shù)模式轉(zhuǎn)化為幾何模式就是代數(shù)問題幾何化．具體地，直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是具有幾何性質(zhì)的幾何模型，而直線方程、圓方程、橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程都是具有代數(shù)特征的代數(shù)模型，認識每一種曲線方程，解決其中的問題的過程就是模式雙向轉(zhuǎn)化的過程．所以，模式雙向轉(zhuǎn)化是解析幾何的主要特征．

其方法論原則是：首先，觀察代數(shù)問題（幾何問題）的外部結(jié)構(gòu)是否具有幾何特征（代數(shù)特征）；然后，根據(jù)代數(shù)問題（幾何問題）的幾何特征（代數(shù)特征）探索代數(shù)模式與幾何模式之間的內(nèi)在聯(lián)系；最后，根據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系構(gòu)造解決問題的幾何模式或代數(shù)模式．這里，最重要的是對代數(shù)模式和幾何模式的辨認和識別，模式識別是知識遷移的前提[6]．

4.4.3 雙向模式轉(zhuǎn)化策略的具體實施

此策略主要用于解決兩類問題：一是對一些代數(shù)問題，利用純粹代數(shù)方法很難解決，而其代數(shù)結(jié)構(gòu)具有幾何特征，則可充分借助幾何性質(zhì)解決；二是對一些幾何問題，通過建立坐標系，使圖形的幾何關(guān)系在其代數(shù)方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來，則可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．對于這兩類問題，前者在目前解析幾何教學中普遍重視不夠，或者只是零星處理，建議應(yīng)該作為一個專題系統(tǒng)教學；而對于后者，教學中很少出現(xiàn)這樣的例題和習題，建議應(yīng)該加以充實．

以上，基于笛卡爾數(shù)學思想提出的高中解析幾何教學策略，在應(yīng)用于具體的教學實踐中取得了一定的功效，但這僅僅是初步的探討，還有待進一步深化研究． 結(jié) 語

歷史是最好的啟發(fā)式！數(shù)學史對數(shù)學教育的意義已耳熟能詳，無庸贅言．為此，證明數(shù)學史對數(shù)學教育的確具有啟發(fā)意義，這似乎對數(shù)學教育實踐、對數(shù)學史融入數(shù)學教育的研究都并無太多啟發(fā)意義，也不是本文的宗旨．基于數(shù)學教育的數(shù)學史應(yīng)把史學形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，基于數(shù)學史的數(shù)學教育應(yīng)到數(shù)學史中尋找新生長點．如何挖掘數(shù)學史的教育要素，使數(shù)學史的價值在數(shù)學教育中得以真正體現(xiàn)，是數(shù)學史融入數(shù)學教育的終極追求．本文也正是基于這樣的理念，選擇了一個具體的課程內(nèi)容，做了一點嘗試． 【參考文獻】

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High School Analytic Geometry Teaching Strategy——Mathematics Historyangle of View LI Tie-an, SONG Nai-qing(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)Abstract: The full display mathematics history logarithm study education function and the effect, should in the comprehensive thorough excavation mathematics history the logarithm study curriculum had theinspiration significance and the education value

science and the cultural feature, and using to concrete mathematics teaching.Rene Descartes the analytic geometry thought was an overall cultural system.Take Rene Descartes mathematics thought cultural connotation as the source material, the making high school analytic geometry teaching strategy, might effectively promote the high school analytic geometry teaching, thus achieves the curriculum goal well.Based on Rene Descartes mathematics thought, might draw up the following concrete teaching strategy:(1)overall cultural actuation;(2)the core concept commands;(3)the thought structure minute opens the conformity;(4)bi-directional pattern transformation..Key words: mathematics history;rene descartes;analytic geometry;teaching [責任編校：周學智]

第四篇：有效教學策略案例分析

有效教學策略案例分析 ——《綠毛龜》例談

上學期，我上了五年級第一學期的一篇課文《綠毛龜》。這篇課文是第九冊教材第五單元的第一篇課文。課文生動地描述了一家人精心喂養(yǎng)綠毛龜?shù)那榫昂途G毛龜給家里帶來的歡樂。文字淺顯易懂，與學生生活實際比較接近，學生在內(nèi)涵理解上難度不大。

本單元的訓練重點是教會學生在閱讀中善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于提問，并用多種方法自己解決難題。于是我把這個作為這節(jié)課的一個教學目標。

另外雖然是狀物文章，但文章文辭優(yōu)美，讀起來瑯瑯上口。是學生積累語言和學習表達的很好的范文。所以我制定了這個目標：體會課文用詞貼切簡練的特點，會抓住有關(guān)句子分析感受。

除了文本的理解，這堂課我還要教什么呢？讀與寫有效融合應(yīng)該成為我這節(jié)課的主旨。我仔細看了文本，發(fā)現(xiàn)作者在敘述綠毛龜“姿態(tài)高雅”、“食態(tài)可掬”、“通靈之性”三方面時，寫作結(jié)構(gòu)與方法都是迥然不同的，用先具體后概括寫了“姿態(tài)高雅”；寫“食態(tài)可掬”則用了先概括后具體的方法；總起分述綠毛龜?shù)摹巴`之性”。不僅僅只是動作上的描寫，好幾處正面描寫與側(cè)面描寫穿插在一起，形象生動地描繪了寵物綠毛龜?shù)目蓯?、美麗、有趣，喜愛之情也隨之油然而生。教會學生一些寫作的方法，真正地讓學生在課內(nèi)受益，這個是我要的教學目標。再說對于高年級學生來說，掌握文章的寫作方法正是需要培養(yǎng)的一個技能。于是三維目標里我制定了“能有感情朗讀課文，體會綠毛龜姿態(tài)高雅、食態(tài)可掬、通靈之性的特點，學習作者抓特點描寫動物的寫作方法?！?/p>

對于教學目標的落實，我是這樣處理的：在課導入時，我這樣說到“今天老師將帶領(lǐng)大家去與一只世間的可愛精靈親密接觸，看看它將給我們大家?guī)硎裁串惡鯇こ５捏@喜？”隨著《綠毛龜》課題的板書，我適時問到：關(guān)于綠毛龜，你知道什么信息？并說說你是通過什么渠道獲得這一信息的？由于課前學生做了充分的準備，加上孩子愛動物的天性，何況是對于世界四大奇龜之一的綠毛龜，他們或借助于教材，或借助于網(wǎng)絡(luò)，借助于書籍，借助于父母，從大小到體重；從外形談到吃東西的模樣；從綠毛龜談到其他的三大奇龜－雙頭龜、白玉龜、蛇形龜??學生娓娓而談，說了還想說，讓我深刻感受到孩子的能力是不可估量的。信息交流激發(fā)了學生想了解綠毛龜?shù)臐夂衽d趣，我趁熱打鐵：那么“作者筆下的綠毛龜是怎么樣的？是不是與我們了解的一樣？”我請同學們通過自由朗讀課文，去認識作者筆下的綠毛龜，同時探究我們一家大小為什么喜歡綠毛龜？在探究的過程中，我教會學生抓關(guān)鍵詞句的方法，如描寫外形的句子；如吃東西動作的描寫；又如通靈之性的神態(tài)描寫。在一次次的咬文嚼字中，在一次次的深入朗讀中，學生從外形、吃相、通靈之性三方面探究出了我們?nèi)覍@小精靈的喜愛；更從作者無聲的文字中感受到了人和動物和諧相處的快樂的情感。

對于本單元的教學目標“讓學生在閱讀課文時，善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于提出問題，并努力用各種方法自己去解決疑難問題”的落實，我是這樣處理的：在教學設(shè)計時，我刻意地讓學生找出文中的中心句，抓住中心句“我對這只千里迢迢從無錫“飛”入我家的綠毛龜一見鐘情。從此，它成了我們一家大小的寵物?！睘榻虒W的切入點。借學生對于“飛”以及引號作用的質(zhì)疑引出，帶領(lǐng)學生初步整體認知課文大意，通過讀文解答問題，學生已掌握抓關(guān)鍵詞來理解句子的能力，通過“千里迢迢、一見鐘情”的解析，自然就理解了“飛”為什么加引號，體會到當我見到綠毛龜?shù)轿壹視r那種喜悅心情。甚至還有些學生還讀懂了這句話在文章結(jié)構(gòu)上的作用，承上與啟下的內(nèi)容明確，作者總體寫作思路也就了如指掌了。

學習課文的重點部分時，我跑出一個問題：綠毛龜是我們一家大小的寵物，是因為它__________________。引導學生通過找、劃、讀，來談?wù)勊麄兊捏w會。而我則在一旁引導、點撥，幫助他們完善他們的語言。考慮到每一方面都有其難點，如何去突破它們，我卻是動了點腦筋。學生抓住比喻、擬人的修辭手法來感受“姿態(tài)高雅”，實際還是挺空洞的，我運用了一組鮮活的圖片幫助學生體會綠毛龜那碧綠如翡翠的長毛好似被微風吹拂的頭發(fā)，溫柔地、飄逸地在清澈透亮的水里飄飄散散，可愛的綠毛龜在水中悠閑自得的樣子。那姿態(tài)就是高雅。“雙手齊來，捧著那肉，”做做動作來體會，“咬、嚼、吞，津津有味地吃，”次序能否顛倒，感受它的吃食過程，“品嘗千年難得一嘗的佳肴”夸張手法所帶給這只綠毛龜?shù)氖硲B(tài)可掬。作者觀察的仔細，運用詞語的準確，想象的合理，更加賦予了綠毛龜活力。運用不同的教學方法突破教學難點，學生也學得輕松、扎實。

第五篇：有關(guān)平面解析幾何的心得體會（xiexiebang推薦）

心得體會 有關(guān)平面解析幾何

上周六有幸聽張老師老師的課，感悟頗深。雖然自己一直研究的是數(shù)學，但并沒有真正思考如何在教學中灌輸給學生數(shù)學思維。同時也發(fā)現(xiàn)自己的知識處于一種混亂的狀態(tài)，雖然每次都能把題解出來，但仔細一想其實不然。當自己不是一個學生，而是教學生如何學習數(shù)學，如何解決一道數(shù)學題甚至是一道高考題的時候，自己更應(yīng)深入思考數(shù)學帶給我們什么，難道僅僅是解對一道題而已嗎？數(shù)學到底是什么？當意識到這個問題后，再次面對數(shù)學題的時候，我們更應(yīng)該關(guān)注的是題目背后的內(nèi)容，當某天不在為了解決一道數(shù)學題的時候，我們收獲了什么？

在自己之前的教學中學生不乏出現(xiàn)這樣的情況：哎呀，這道題昨天還會解呢，今天就忘了；這個知識點怎么不記得了......，而且有時自己碰到一時想不起如何解題的時候，也會這么問自己，聽了張鶴老師的課后，頓然大悟—數(shù)學不應(yīng)該是用記得，是需要理解的，不存在忘與不忘的問題，只有理解與不理解的問題。當一個知識點徹底的搞明白原理和涉及到的數(shù)學思維時，無論碰到什么樣的變式題，都應(yīng)該做到萬變不離其宗的境界，當然了，這個境界對學生來講是很高的。目標很高，難道我們就不去做了嗎？不然，學生的學習和思維過程是一個循序漸進的過程，在教學過程中，我們應(yīng)該不斷的灌輸給學生的是數(shù)學思想和思維，讓學生明白的不僅僅是這個知識點可以解決什么類型的題，而且更應(yīng)該明白的是這個知識點為什么這樣呈現(xiàn)，它所呈現(xiàn)的思維特點和方法是什么。

拿平面解析幾何來說，它的基本思想是用代數(shù)方法解決幾何問題。何為代數(shù)方法？就是將如直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等這些基本的幾何對象代數(shù)化，在平面直角坐標系中建立它們的方程，從幾何特征轉(zhuǎn)化到代數(shù)計算。在這個基本思想指導下，學生學完平面解析幾何后，遇到題目，腦子里第一閃過的不應(yīng)該是聯(lián)立方程，解方程這種機械的解決方法，而應(yīng)該是歸納概括出要解決的幾何對象的幾何特征，從幾何背景、幾何圖形的特征入手，然后在考慮下一步?；氐綄嶋H情況中，要想讓學生熟練的歸納出要解決幾何對象的幾何特征，不像說這句話這么容易。在實際教學中，常常會出現(xiàn)這樣的情況：學生知道要這么做，要這么思維，在草稿紙上羅列了一堆幾何特征，可就是想不出解決問題所需要的幾何特征！這個問題暴露出來的就是做題量不夠，要想熟練掌握數(shù)學思維，不能僅僅知道有什么數(shù)學思維就行了，更重要的是在實踐中感悟這種思維，在題目中它是怎么體現(xiàn)的，這需要學生做大量的題，從實踐中自己歸納出來，這才是最重要的。