第一篇：20150523--0526借助幾何畫板實(shí)現(xiàn)定積分定義教學(xué)中的基本思想的直觀解釋（定稿）

借助幾何畫板實(shí)現(xiàn)曲邊梯形面積教學(xué)中的基本思想的直觀解釋

萬州上海中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組 劉印學(xué)（20150525）

在定積分的教學(xué)中，曲邊梯形的面積問題是首先提出的問題，其基本思想是將自變量的區(qū)間n等分，每一等分的“小”曲邊梯形面積可近似用長(zhǎng)方形面積代替，將所有近似代替的長(zhǎng)方形面積求和，當(dāng)n無限增大時(shí)，所有長(zhǎng)方形面積和趨近于預(yù)先給定的曲邊梯形面積。如何借助幾何畫板中的深度迭代、構(gòu)造、計(jì)算、繪圖等功能做出如下的效果圖？直觀反映“分割—近似代替—求和—取極限”四步法求曲邊梯形面積，讓學(xué)生直觀感受無限逼近的數(shù)學(xué)思想，改變參數(shù)n的值或拖動(dòng)區(qū)間端點(diǎn)的位置，圖形的逼近效果也隨著改變，下面以幾何畫板漢化版本5.06做詳細(xì)操作步驟，供初學(xué)者參考。本人也是初學(xué)，自學(xué)、探究了好幾天，怕以后忘了就整理了后面的詳細(xì)操作步驟，不當(dāng)之處相互商榷。例如： 將CD區(qū)間8等份:

將CD區(qū)間20等份：

改變區(qū)間的起點(diǎn)，并把區(qū)間15等分：

詳細(xì)操作步驟：

1、在工具菜單中，點(diǎn)“繪圖—繪制新函數(shù)”，并在新建函數(shù)對(duì)話框中輸入新函數(shù)的表達(dá)式。檢查無誤后“確定”。在顯示圖像中適當(dāng)調(diào)整比例。

2、在x軸上任意取兩點(diǎn)，A、B（可以改變點(diǎn)標(biāo)簽）注意用“點(diǎn)工具”，指到x軸變色后點(diǎn)擊鼠標(biāo)左鍵即可，不畫點(diǎn)后就將鼠標(biāo)指針指向選擇工具，選點(diǎn)后右鍵，在出現(xiàn)的下拉菜單中，選擇“顯示點(diǎn)的標(biāo)簽”，同時(shí)也可點(diǎn)菜單中的橫坐標(biāo)，也可改變其他屬性。可以選“點(diǎn)的標(biāo)簽”在對(duì)話框中修改標(biāo)簽的字母。這樣畫出的點(diǎn)只能在x軸上拖動(dòng)，如果用繪圖工具下的繪制點(diǎn)，就不能拖動(dòng)，后面的操作就無法進(jìn)行，此時(shí)，可以選中點(diǎn)，右鍵，-在下拉菜單中選“橫坐標(biāo)”則在操作界面中就顯示出XA、XB的值。

3、找到AB之間的第一個(gè)分點(diǎn)B1（或A1）

方法

一、利用 “變換”下的 “縮放”功能找到，線段AB之間的一個(gè)分點(diǎn)B、（1）點(diǎn)“數(shù)據(jù)”菜單下的“新建參數(shù)”

（2）在對(duì)話框中改變參數(shù)為n，后面的值就是我們要想將AB等分為多少等分，自己可任意輸入一個(gè)大于2的數(shù)字就可以。,再點(diǎn)點(diǎn)“數(shù)據(jù)”菜單下的“計(jì)算”，在對(duì)話框中輸入計(jì)算式，n-1.只需把箭頭指向新建的參數(shù)那里就在算式編輯框中顯示n后再輸入運(yùn)算號(hào)-1，確定，也是為后面深度迭代做準(zhǔn)備，深度迭代的默認(rèn)第一次為

0，所以只迭代N-1次即可?！皵?shù)據(jù)”—“計(jì)算”輸入算式1/n,為縮放比值。

（3）選項(xiàng)工具，指向“1/n”，然后，在“變換”菜單下找到“標(biāo)記比值”，雙擊點(diǎn)A，（也可以單擊A---“變換”---“標(biāo)記中心”），再點(diǎn)B，--“變換”—“縮放”，這時(shí)就會(huì)在x軸上顯示出AB之間的一個(gè)N 等分點(diǎn)，編輯標(biāo)簽。

“縮放之前要在” 變換“菜單下”標(biāo)記比值“，”標(biāo)記中心“才知道哪個(gè)點(diǎn)一哪個(gè)點(diǎn)為中心縮放多少比例。

方法二：利用 “變換”下的 “平移”功能找到線段AB之間的一個(gè)分點(diǎn)A1

（1）在繪制新函數(shù)圖像，并在橫軸上選定兩點(diǎn)A、B后，點(diǎn)“數(shù)據(jù)”菜單下的“新建參數(shù)”（同方法一）

（2）在對(duì)話框中改變參數(shù)為n，后面的值就是我們要想將AB等分為多少等分，自己可任意輸入一個(gè)大于2的數(shù)字就可以。,再點(diǎn)點(diǎn)“數(shù)據(jù)”菜單下的“計(jì)算”，在對(duì)話框中輸入計(jì)算式，n-1.只需把箭頭指向新建的參數(shù)那里就在算式編輯框中顯示n后再輸入運(yùn)算號(hào)-1，為后面迭代做準(zhǔn)備，確定，（與方法一同）

（3）用見圖片工具選定A，B，“構(gòu)造”---線段，再選定線段，“度量”—“長(zhǎng)度” 也可以，直接選定兩點(diǎn)后“度量”—兩點(diǎn)間的距離。改變距離標(biāo)簽。計(jì)算AB/n(4)選定AB/n的計(jì)算值，“變換”—標(biāo)記距離，也可以“雙擊”（連續(xù)兩次點(diǎn)擊）AB/n的計(jì)算值，選A---“變換”---“平移”，在對(duì)話框中的“水平距離”中自動(dòng)顯示“標(biāo)記距離”，在垂直方向距離選項(xiàng)中改直角坐標(biāo)為0，確定，顯示出A1。

4、右建在3步中做出的第一個(gè)分點(diǎn)，“橫坐標(biāo)”,（1）分別利用 “數(shù)據(jù)”中“計(jì)算“功能，按照函數(shù)表達(dá)式，計(jì)算出A與第一個(gè)N等分點(diǎn)的縱坐標(biāo)（函數(shù)值）

（2）利用 “繪圖”菜單下拉菜單中的“繪制點(diǎn)”，在繪制點(diǎn)的對(duì)話框中，用箭頭

工具指向，計(jì)算出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，確定，如圖顯示EF。右鍵，畫出的點(diǎn)可以改變點(diǎn)的標(biāo)簽字母、屬性。

5、選擇AF.“構(gòu)造”---線段；E/B、”構(gòu)造菜單的下拉菜單中選“線段”

（1）在圖中先選中線段EB/,再選點(diǎn)A,構(gòu)造—垂線（也可以先選X軸，再選點(diǎn)A，“構(gòu)造—平行線”）

（2）選中構(gòu)造出的垂線（平行線）和線段EB/,“構(gòu)造”下拉菜單中的“交點(diǎn)，選中上步構(gòu)造出的直線右鍵-，在右鍵出來的子菜單中的選“隱藏直線”（3）一次選中點(diǎn)A、F、E、B/,“構(gòu)造”---四邊形的內(nèi)部

6、運(yùn)用“變換”中的深度迭代功能，實(shí)現(xiàn)重復(fù)做出對(duì)應(yīng)的矩形。

（1）用箭頭工具，選擇點(diǎn)A---,參數(shù)N，---計(jì)算值n-1，(注意三個(gè)的順序不能改變，檢查拖動(dòng)A點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都要隨之改變，參數(shù)點(diǎn)在后面，否則，不會(huì)出現(xiàn)后面的深度迭代)后再按住shift建，點(diǎn)“變換”會(huì)出現(xiàn) “深度迭代”對(duì)話框，在選項(xiàng)框中用箭頭工具確定，A---選B/點(diǎn)，n—選n-1，點(diǎn)擊對(duì)話框中的迭代即可

只要前面步驟沒問題的話，在出現(xiàn)圖形時(shí)同時(shí)出現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)表。

（2）現(xiàn)在你可以隨意改變參數(shù)中的n后面框內(nèi)對(duì)應(yīng)的值，制作的圖、表就會(huì)隨著改變

（3）也可以自由拖動(dòng)端點(diǎn)A、B，大功告成，哈哈！

注意：

1、用第3步中的平移方法確定第一個(gè)N等分點(diǎn)后，同（4）（5）步一樣做出第一個(gè)近似代替的矩形

這個(gè)方法便于計(jì)算每個(gè)矩形的面積，利用“數(shù)據(jù)”—計(jì)算，分別計(jì)算起點(diǎn)與分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差，再計(jì)算差與起點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積作為第一個(gè)矩形的面積S1，深度

迭代后的效果表圖如下，注意表格中的數(shù)據(jù)區(qū)別。S1對(duì)應(yīng)的一列數(shù)據(jù)就是相應(yīng)的每個(gè)矩形面積。

7、再次新建參數(shù)t=0,計(jì)算S1+t,將標(biāo)簽改為T，T表示所有矩形的面積和.選點(diǎn)A，參數(shù)t,參數(shù)N，參數(shù)N-1，按住shift,---深度迭代，A—A1,t---T,n---n-1,迭代，得到下面面積累計(jì)和數(shù)據(jù)表。T列數(shù)據(jù)就是曲邊梯形的近似面積。再改變分割次數(shù)N，就可以觀察到曲邊梯形面積的近似值了

8、不斷改變N的次數(shù)，為了顯示清晰，可以隱藏其他過程。

深度迭代100次時(shí)的過剩近似值：T

深度迭代100次后的不足近似值和：T2