第一篇：高中數(shù)學(xué)常用方法總結(jié)——如何將錯位相減法所得結(jié)論的公式化

錯位相減法的簡潔結(jié)論----公式化

錯位相減法是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的最簡潔的方法之一,錯位相減法還可以推廣到求數(shù)列{an?bn}的前項(xiàng)和,其中{an}是等差數(shù)列,公差為不為0,{bn}是等比數(shù)列,公比不為1.例:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1?1,an?1?2Sn,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.分析:當(dāng)n?1時,由an?1?2Sn得an?2Sn?1,兩式相減得an?1?3an,所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始成等比,又a2?2S1?2a1?2,所以an?2?3n?2,因?yàn)閍1?1不滿足此式,所以nan???1,n?1?2n?3n?2,n?1.Tn?1?4?30?6?31?8?32????2(n?2)?3n?4?2(n?1)?3n?3?2n?3n?23Tn?3?4?31?6?32?8?33???????2(n?2)?3n?3?2(n?1)?3n?2?2n?3n?1兩式相減: ?2Tn?2?2(31?32?33???3n?3?3n?2)?2n?3n?1

3?3n?1?2?2??2n?3n?1?(?2n?1)?3n?1?1

1?3所以: Tn?(n?)?3n?1?.又因?yàn)門1?a1?1也滿足上式,所以: Tn?(n?)?3n?1?,n?N?

錯位相減法程序化的步驟讓學(xué)生容易掌握和理解,但因計(jì)算量較大,學(xué)生常會因?yàn)橛?jì)算的原因?qū)е鲁鲥e.如果錯位相減法可以簡化為一種形式簡單的結(jié)論,我們又何樂而不為呢? 筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),通項(xiàng)形如an?(xn?y)?qn,(q?1,q?0,x?0)的數(shù)列,其前n項(xiàng)和必定形如Sn?(An?B)?qn?1?C,這個結(jié)論可以由錯位相減法證明,就留給讀者去證了,我簡單從另外一個方法求得A,B, 因?yàn)? Sn?Sn?1?[(An?B)?qn?1?C]?[(An?A?B)?qn?C]

12121212?[A(q?1)n?B(q?1)?A]?qn?(xn?y)?qn

對比系數(shù)得: A?xy?A,B?,此時C可以由S1?a1求得.q?1q?1上例中,設(shè)bn?nan,則當(dāng)n?1時,b1?1,當(dāng)n?1時,bn?2n?3n?2.根據(jù)公式有: A?20?111?1,B???,所以Tn?(n?)?3n?1?C, 3?13?1221212又因?yàn)? T1??C?b1?1?C? 所以:Tn?(n?)?3n?1?,n?N?

解題思路和過程固然是重要的,但簡潔的結(jié)論也很重要,它可以使我們少走彎路,少做重復(fù)的工作.單方面去強(qiáng)調(diào)過程或結(jié)論都是不可取的,在教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生掌握好錯位相減法的思想精髓上,再引出這個結(jié)論,才不會顧此失彼.從例題中可以看出,即使所求數(shù)列的首項(xiàng)不滿足(xn?y)?qn,也不會影響使用公式求和,但若所求數(shù)列前k項(xiàng)不滿足(xn?y)?qn,則求和結(jié)果必須加上條件n?k,此時公式中的C值該由前k項(xiàng)和求出,當(dāng)n?k時,前n

1212項(xiàng)和須看具體情形而定.